基于二元維納過程列車定位慣性單元的壽命預測

管益民，湯舒雅

（中國鐵路西安局集團有限公司，陜西 西安 710016）

0 引言

全球定位系統(tǒng)（GPS）能夠?qū)崿F(xiàn)列車快速準確地定位，但衛(wèi)星信號容易受山體、高建筑等障礙物的遮擋，具有易受干擾、不穩(wěn)定的特點，而基于慣性測量單元的慣性定位方式不受外界因素干擾，具有穩(wěn)定性和高自主性[1]。GPS 定位和慣性定位相結(jié)合的列車定位方式，可以精準定位列車的動態(tài)位置，是列車定位技術(shù)中最關(guān)鍵的發(fā)展方向之一[2]。慣性測量單元作為GPS 定位和慣性定位組合定位系統(tǒng)的重要組成部分，準確預測服役壽命，對保證其工作性能、準確定位列車位置信息及保障列車安全運行具有重要意義。

慣性測量單元由慣性傳感器和電子部件組成（慣性傳感器包括陀螺儀和加速度計），慣性導航系統(tǒng)直接固定在運行載體上，通過測量載體的三維加速度和角速度實現(xiàn)導航定位，承受著列車運行時強烈的振動與沖擊。隨著列車服役時間不斷增加，慣性測量單元各方面性能都會逐漸發(fā)生退化，當各性能退化量達到某一固定的閾值時，慣性測量單元若不能精準定位列車位置，意味著慣性測量單元故障，即使用壽命的終結(jié)。由于慣性單元隨車運行，要承受來自車體各個方向強烈的振動與沖擊，導致其運行工況惡劣，服役環(huán)境復雜，使得慣性測量單元的性能退化機理不明確，構(gòu)建慣性測量單元的失效機理模型極其困難，而基于隨機過程的壽命預測方法無需精通其性能退化機理，可利用慣性測量單元運行狀態(tài)的監(jiān)測數(shù)據(jù)構(gòu)建退化模型，通過推導其壽命的概率密度函數(shù)進而實現(xiàn)壽命預測，在量化壽命預測結(jié)果的不確定性上具有天然優(yōu)勢[3]。維納過程適用于刻畫非單調(diào)退化問題，因此被廣泛應用于長壽命、高可靠性設(shè)備的退化建模[4]，Wu等[5]基于維納過程對復雜機電系統(tǒng)進行了壽命預測；劉廣等[6]基于維納過程構(gòu)建動車組列車接觸器的壽命預測模型，實現(xiàn)了其壽命預測；劉曉宇等[7]以輪徑作為性能退化指標提出了一種地鐵車輛輪對可靠性分析方法，但上述研究都是基于單性能指標的剩余壽命預測及可靠性分析模型。然而慣性測量單元的服役工況復雜，運行環(huán)境多變，僅用單性能指標無法全面準確地反映其整體的性能退化規(guī)律，因此研究考慮多性能指標相關(guān)的剩余壽命預測方法具有重要意義。金曉航等[8]基于Copula函數(shù)提出了一種2個性能指標相關(guān)退化的軸承剩余壽命預測方法；楊濤等[9]基于二元維納過程提出了一種考慮2 個性能指標退化的水工閘門剩余壽命預測方法。

基于此，為了更加全面準確地描述列車定位慣性單元的退化過程，進而更準確地預測其壽命，基于二元維納模型提出了2個性能指標相關(guān)退化的慣性單元壽命預測方法。利用維納過程來描述慣性測量單元的性能退化過程，對2 個性能指標的退化過程進行建模分析，利用赤池信息量準則（Akaike Information Criterion,AIC）準則選擇擬合效果最佳的Copula 函數(shù)刻畫2 個性能退化指標之間的相關(guān)關(guān)系，采用馬爾科夫鏈蒙特卡洛（MCMC）方法估計模型中的未知參數(shù)，進而實現(xiàn)慣性測量單元的剩余壽命預測。

1 基于二元維納過程的退化建模

1.1 二元維納模型的構(gòu)建

假設(shè)慣性測量單元2個性能指標的退化過程都符合正態(tài)分布，且退化過程中監(jiān)測時間一致。則列車定位慣性測量單元第k個性能指標在時刻ti的退化量X（k）（ti）可表示為

式（1）中：表示第k個性能指標的漂移系數(shù)；表示第k個性能指標的擴散系數(shù)；B（t）表示標準維納過程。

1.2 基于Copula函數(shù)的相關(guān)性分析

慣性測量單元2個性能指標的退化過程并不是相互獨立的，將其直接描述為線性關(guān)系又不符合工程實際。而Copula函數(shù)能夠?qū)⑦吘壏植捡詈系蕉嘣植己瘮?shù)，用來刻畫多個性能指標之間的相關(guān)性。根據(jù)Sklar定理[10]，當各性能退化指標的邊緣分布函數(shù)已知時，則各性能退化指標聯(lián)合分布函數(shù)為：

Sklar 定理：若F（x1,x2,…xn）為邊緣分布函數(shù)F（x1），F(xiàn)（x2），…F（x3）的聯(lián)合分布函數(shù)，Cα（F（x1），F(xiàn)（x2），…F（xn））為Copula 函數(shù)，α為Copula 函數(shù)的未知參數(shù)，則存在一個Copula函數(shù)滿足：

因此采用Copula函數(shù)刻畫慣性測量單元2個性能指標之間的相關(guān)性，則有：

常見的3 種Copula 函數(shù)見表1，其中α為Copula函數(shù)的未知參數(shù)，μ、ν為Copula函數(shù)的自變量。

表1 常見的3種Copula函數(shù)

AIC準則是一種能夠評價所選模型擬合效果優(yōu)劣的方法，因此，采用AIC準則選擇擬合效果最佳的Copula函數(shù)，AIC的值EAIC越小，則擬合效果越好，表達式如下：

式（4）中：A為模型對應的極大似然函數(shù)；m為模型參數(shù)的個數(shù)。

2 參數(shù)估計

2.1 基于貝葉斯理論的參數(shù)估計

假設(shè)對慣性單元的退化過程共測量N次，用X（k）（ti）表示第k個性能退化量在ti時刻的測量值（k=1，2，i=1，2，…，N）。則慣性測量單元在tj時刻的退化增量可表示為ΔX（k）（tj）=X（k）（tj）-X（k）（tj-1），由維納過程的性質(zhì)，退化增量ΔX（k）（tj）服從正態(tài)分布，即ΔX（k）（tj）～N（μ（k）Δtj，σ2（k）Δtj，且Δtj=Δtj-Δtj-1。退化過程的似然函數(shù)可表示為：

假定模型聯(lián)合先驗分布為π（θ）=π（μ，σ），根據(jù)貝葉斯估計理論，模型中未知參數(shù)的聯(lián)合后驗分布可表示為：

2.2 馬爾可夫鏈蒙特卡洛方法

馬爾可夫鏈蒙特卡洛（MCMC）方法具有數(shù)據(jù)模擬、迭代以提升參數(shù)求解的效率，且在高維總體取樣求解問題中應用已趨于成熟，受到廣泛應用。MCMC 方法根據(jù)抽樣方式不同分為不同的種類，Gibbs 抽樣是MCMC 方法中最簡單、應用最廣泛的一種。MCMC-Gibbs抽樣的具體步驟如下[11]：

第三步：將其重復q次，就能夠得到如下樣本：

采用OpenBUGS軟件對模型中的未知參數(shù)進行估計，對其進行10 000次迭代獲取模型后驗分布及參數(shù)估計結(jié)果，進而對慣性測量單元壽命分布和可靠度函數(shù)進行求解。

3 壽命預測模型

當慣性測量單元性能退化指標的退化量第一次超過規(guī)定的失效閾值時，則認為慣性測量單元失效。令X（t）=｛X（1）（t），X（2）（t）｝表示在t時刻慣性測量單元的2個性能退化量，失效閾值分別記為D={D（1）,D（1）} ，由于采用2個性能退化指標對慣性測量單元進行壽命預測，當任意一個性能退化量達到其失效閾值時慣性測量單元失效，即{X（k）（t）>D（k）,（k=1,2）}時認為慣性單元失效。因此，慣性測量單元的壽命T可以定義為：

由于慣性測量單元的性能逐漸退化時，2 個性能指標的退化過程都服從維納過程，因此，慣性測量單元的壽命T服從逆高斯分布。當估計出模型參數(shù)η（k）,σ（k）后，得到其壽命的邊緣概率密度函數(shù)和可靠度函數(shù)為：

然后利用所選擇的擬合效果最佳的Copula 函數(shù)表達2 個性能退化指標之間的相關(guān)關(guān)系，可以得到慣性測量單元壽命的聯(lián)合概率密度函數(shù)及可靠度函數(shù)為[12]：

式中，F(xiàn)（1）（t）,F（2）（t）是2 個性能退化指標的累積分布函數(shù)；c(F（1）（t）,F（2）（t）)是C(F（1）（t）,F（2）（t）)的概率密度函數(shù)。

4 實例分析

選取加速度計的速率隨機游走系數(shù)和陀螺儀的角度隨機游走系數(shù)作為慣性測量單元的2個性能退化指標，失效閾值分別定為0.16（m·s-1）·h-1/2、0.75（°）·h-1/2，退化數(shù)據(jù)采用文獻中慣性測量單元性能指標監(jiān)測數(shù)據(jù)[13]，每7 d 作為1 個采樣周期，總共監(jiān)測85周，得到85組性能退化數(shù)據(jù)，退化數(shù)據(jù)如圖1所示。其中k=1 表示加速度計的速率隨機游走系數(shù)退化模型參數(shù)，k=2 表示陀螺儀的角度隨機游走系數(shù)退化模型參數(shù)。

圖1 兩個性能指標的退化數(shù)據(jù)

利用MCMC方法估計模型參數(shù)，在OpenBugs軟件中進行MCMC-Gibbs 抽樣迭代，取后10 000 次迭代數(shù)據(jù)用于參數(shù)估計，圖2 為慣性測量單元的2 個性能指標相關(guān)退化模型的參數(shù)的迭代過程，根據(jù)圖2 的迭代軌跡圖可認為參數(shù)處于收斂狀態(tài)，得到模型中未知參數(shù)μ（1），μ（2），σ（1），σ（2）的估計值，將參數(shù)的估計值及慣性測量單元2個性能指標退化數(shù)據(jù)的邊緣分布函數(shù)F（x1），F(xiàn)（x2）代入式（3）則得到Copula函數(shù)中的未知參數(shù)α的估計值，模型參數(shù)μ（1），μ（2），σ（1），σ（2）及α的估計值見表3，其中MC 誤差由OpenBugs 軟件生成，表示蒙特卡洛模擬的誤差，用來度量由模擬引起的參數(shù)均值的方差。將上述慣性測量單元2個性能指標的退化數(shù)據(jù)代入式（4）得到3 種Copula 函數(shù)的AIC 值（表2），因此選擇AIC 最小的Frank Copula函數(shù)來刻畫慣性測量單元兩性能指標間的相關(guān)關(guān)系。

圖2 參數(shù)的迭代過程圖

表2 3種Copula函數(shù)的AIC值

表3 模型參數(shù)估計值

4.1 慣性測量單元的可靠性分析

將表3 模型參數(shù)代入式（9）（11）的可靠度函數(shù)中，可獲得慣性測量單元的可靠度曲線如圖3所示。

圖3 慣性測量單元的可靠度曲線

由圖3可以看出，2條單性能指標退化模型的可靠度曲線十分靠近，且單性能指標退化模型的可靠度曲線較二元相關(guān)退化模型的可靠度曲線整體偏右，也就是說在運行時間相同時，二元相關(guān)退化模型對應的慣性測量單元的可靠度明顯小于單性能指標退化模型對應的可靠度，因此，考慮2個性能指標相關(guān)關(guān)系的列車定位慣性測量單元可靠度評估較單性能指標模型預測結(jié)果更保守，若僅考慮單性能退化指標，可能會高估慣性測量單元的可靠性，從而導致危險發(fā)生，因此，考慮2個性能指標相關(guān)的可靠性評估顯得尤為重要。

4.2 慣性測量單元的壽命預測

將表3中估計得到的模型參數(shù)代入式（10）的概率密度函數(shù)中，可獲得慣性測量單元的壽命分布如圖4所示。

圖4 慣性測量單元壽命的概率密度曲線

以慣性測量單元壽命概率密度最大的點所對應的時間，即概率密度的最高點所對應的時間作為慣性測量單元的壽命預測值，由圖4可以看出，二元相關(guān)退化模型預測的慣性單元的壽命在68周左右，這與文獻[14]預測結(jié)果一致，也驗證了該方法的準確性。

5 結(jié)論

（1）提出了一種2個性能指標相關(guān)退化的列車慣性測量單元的壽命預測方法，利用AIC 準則選擇最佳的Copula 函數(shù)構(gòu)建基于兩性能指標相關(guān)退化的慣性測量單元壽命預測模型，采用MCMC 方法對模型中的未知參數(shù)進行估計，可以實現(xiàn)列車定位慣性測量單元的壽命預測，此外，該方法對多性能指標相關(guān)退化系統(tǒng)的壽命預測也具有很大的參考價值。

（2）列車定位慣性測量單元的2 個性能退化指標之間不是單純的線性關(guān)系，F(xiàn)rank Copula 函數(shù)可以很好地描述2 個性能退化指標之間的相關(guān)性，使得慣性測量單元的壽命預測結(jié)果更符合實際。

（3）慣性測量單元可靠性分析結(jié)果表明，考慮兩性能指標相關(guān)退化的列車定位慣性測量單元可靠度評估結(jié)果較單性能指標退化模型預測結(jié)果更加保守，2 個性能指標相關(guān)退化模型的壽命預測結(jié)果大約為68周，與已有文獻慣性測量單元的壽命預測結(jié)果一致，說明該方法可以預測列車慣性測量單元的壽命，驗證了該方法的正確性。