基于Kelvin模型的圓形巷道位移反分析的唯一性

張志增,程一桐,周林豪,余浩然,劉豐林

(中原工學(xué)院建筑工程學(xué)院)

引 言

隨著數(shù)值模擬技術(shù)在地下工程穩(wěn)定性分析方面的應(yīng)用日益廣泛,對數(shù)值模擬結(jié)果產(chǎn)生較大影響的已經(jīng)不是數(shù)值計(jì)算方法,而是巖體參數(shù)[1]。然而,由于巖體經(jīng)歷了數(shù)萬年的復(fù)雜演變,不僅具有尺寸效應(yīng),還具有時(shí)間效應(yīng),確定其力學(xué)參數(shù)難度較大。

一般地,常用的巖體力學(xué)參數(shù)獲取方法包括經(jīng)驗(yàn)類比法、現(xiàn)場原位試驗(yàn)法與實(shí)驗(yàn)室試樣試驗(yàn)法等,但各有不足[2-5]。例如:現(xiàn)場原位試驗(yàn)的結(jié)果固然可靠,卻受到試驗(yàn)周期長、成本高等限制,如果將現(xiàn)場試驗(yàn)作為獲取巖體參數(shù)的主要手段,其經(jīng)濟(jì)成本將遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過允許的范圍;實(shí)驗(yàn)室試樣試驗(yàn)法在取樣過程中已經(jīng)改變了巖體的原始力學(xué)狀態(tài),加上樣品尺寸有限,其代表性也值得進(jìn)一步討論。反分析法的問世,為巖體力學(xué)參數(shù)的確定指明了一條新道路[6-7]。

反分析法[8-10]是將現(xiàn)場量測數(shù)據(jù)作為已知條件,通過反演模型推算出巖體初始參量的求解方法,能夠較為準(zhǔn)確地反映巖土體的力學(xué)行為,在實(shí)際工程中得到了較為廣泛的應(yīng)用。謝建兵等[11]利用簡易瑞典條分法對某露天礦滑移面的抗剪強(qiáng)度參數(shù)進(jìn)行反分析;湯華等[12]基于均勻設(shè)計(jì)法反分析出小灣水電站地下硐室的相關(guān)物理力學(xué)參數(shù);魏霖陽[13]論述了雙硐室存在時(shí)反分析理論。

在位移反分析中,一個(gè)重要的問題是解的唯一性,忽略反分析的唯一性可能會(huì)使計(jì)算結(jié)果失去價(jià)值,但目前針對此領(lǐng)域的研究并不充分。呂愛鐘等[14-15]推導(dǎo)了參數(shù)可辨識(shí)性條件,并論證了地下硐室彈性位移反分析的多種唯一性問題;張路青等[16]闡述了單一硐室位移反分析的唯一性;YANG等[17]用作圖的方式證明了圖譜反分析的唯一性;張志增等[18-20]對位移反分析的基礎(chǔ)理論進(jìn)行了若干研究;李小昌[21]考慮了剪應(yīng)力對位移反分析唯一性的影響。以上文獻(xiàn)的研究對象均為彈性介質(zhì),而理論研究和工程實(shí)踐表明,大多數(shù)巖體都反映出與時(shí)間相關(guān)的黏彈性特征[22]。因此,對黏彈性巖體位移反分析唯一性的研究在指導(dǎo)工程實(shí)踐、提高反分析的準(zhǔn)確性方面有廣泛用途。本文以前人的研究成果為基礎(chǔ),以Kelvin模型為基本流變模型,對黏彈性巖體中圓形巷道位移反分析的唯一性進(jìn)行研究。

1 圓形巷道黏彈性解析解

圓形巷道計(jì)算模型如圖1所示,在彈性巖體中開挖一個(gè)水平向的圓形巷道,并假設(shè)巷道埋深足夠大,地應(yīng)力場均勻,則圍巖內(nèi)任一點(diǎn)因開挖引起的徑向位移(ur)[23]為:

圖1 圓形巷道計(jì)算模型Fig.1 Calculation model of circular roadway

(1)

式中:μ為泊松比;E為彈性模量(MPa);p為豎直方向的地應(yīng)力(MPa);a為巷道的半徑(m);q為水平方向的地應(yīng)力(MPa);r為圍巖內(nèi)任一點(diǎn)至巷道中心的距離(m);θ為該點(diǎn)徑向與水平向的夾角(°)。

令

(2)

(3)

將式(1)改寫為:

(4)

黏彈性巖體介質(zhì)的本構(gòu)方程f(D)σ為:

f(D)σ=g(D)ε

(5)

Kelvin模型的微分本構(gòu)方程σ為:

(6)

則拉式空間下Kelvin模型的微分算子形式為:

(7)

由此得到Kelvin模型的蠕變?nèi)崃縅1(t)與廣義蠕

變?nèi)崃縅2(t)[24]為:

(8)

(9)

對式(4)進(jìn)行Laplace變換得到圓形巷道黏彈性徑向位移表達(dá)式:

ur(t)=ArJ1(t)+BrJ2(t)

(10)

將式(2)、式(3)、式(8)、式(9)代入式(10),得到符合Kelvin本構(gòu)模型的黏彈性巖體在圓形巷道下的位移解析解:

(11)

2 位移反分析的唯一性

2.1 判定準(zhǔn)則

位移反分析的唯一性可用式(12)所示的參數(shù)可辨識(shí)法則進(jìn)行判別[10],?fi/?βj為待反演參數(shù)fi的靈敏系數(shù),根據(jù)?fi/?βj的線性相關(guān)性來判別βj的可辨識(shí)度:若?fi/?βj線性無關(guān),待反演參數(shù)能夠唯一地被辨識(shí),反之則不能唯一地被辨識(shí)。

(12)

式中:fi為位移輸出值;β1,β2,…,βj為待反演參數(shù);n為測點(diǎn)的數(shù)目,n≥j。

當(dāng)式(12)成立時(shí),至少存在一個(gè)不等于0的Cj,此時(shí)靈敏系數(shù)線性相關(guān);反之,當(dāng)且僅當(dāng)Cj等于0時(shí)式(12)才成立,此時(shí)靈敏系數(shù)線性無關(guān)。

將各參數(shù)的靈敏系數(shù)代入式(12),整理得到:

(13)

(14)

相應(yīng)的系數(shù)矩陣為:

(15)

方程組(14)中有5個(gè)未知數(shù),3個(gè)方程,所以最少要已知2個(gè)參數(shù),其他參數(shù)才有可能唯一地被反分析出來,否則,無論增加多少測量點(diǎn),都不能把所有參數(shù)唯一地反分析出來。為使反分析結(jié)果更加通俗明了,在此引入如下概念:

1)不唯一,指當(dāng)各參數(shù)之間滿足任意條件時(shí),反分析的結(jié)果都不唯一。

2)條件唯一,指當(dāng)各參數(shù)之間滿足某種條件時(shí),反分析的結(jié)果才唯一。

3)絕對唯一,指各參數(shù)之間無論存在何種條件,反分析結(jié)果都唯一。

2.2 已知任意2個(gè)參數(shù)時(shí)的情況

假設(shè)已知豎向地應(yīng)力p與水平地應(yīng)力q,反分析E、η與μ3個(gè)參數(shù),此時(shí)?ur/?p、?ur/?q應(yīng)為0,此時(shí)的系數(shù)矩陣為:

(16)

待反演參數(shù)靈敏系數(shù)的線性相關(guān)性可用系數(shù)矩陣的秩R來判斷,矩陣滿秩的情況下,線性方程組(14)只存在0解,靈敏系數(shù)線性無關(guān),反分析唯一;否則,靈敏系數(shù)線性相關(guān),反分析不唯一。矩陣(15)的秩R=2<3,屬于反分析不唯一的范疇。其余反分析結(jié)果及其充分條件如表1所示,每個(gè)參數(shù)都被反分析了6次,結(jié)果如表2所示。根據(jù)表1、表2中的數(shù)據(jù),可以得到以下結(jié)論:

表1 已知2個(gè)參數(shù)時(shí)的反分析唯一性Table 1 Back analysis of uniqueness for the case of 2 known parameters

表2 已知2個(gè)參數(shù)時(shí)的反分析結(jié)果統(tǒng)計(jì)Table 2 Statistics of back analysis of results for the case of 2 known parameters

1)在已知任意2個(gè)參數(shù)的條件下,反分析不唯一的情形只有1種,條件唯一的情形有9種。

2)地應(yīng)力顯著影響了反分析的結(jié)果,2個(gè)方向的地應(yīng)力作為已知量且不等于0時(shí),反分析結(jié)果唯一;二者不相等時(shí),反分析結(jié)果唯一。

3)參數(shù)p與q的可辨識(shí)性最好,μ、E與η次之。

2.3 已知任意3個(gè)參數(shù)時(shí)的情況

假設(shè)已知豎向地應(yīng)力p、水平地應(yīng)力q與黏滯系數(shù)η,反分析E、μ2個(gè)參數(shù),此時(shí),?ur/?p、?ur/?q和?ur/?η都應(yīng)為0,此時(shí)的系數(shù)矩陣為:

(17)

2個(gè)方向的地應(yīng)力相等時(shí),矩陣(17)的秩R=1,反分析不唯一;不相等時(shí),矩陣的秩R=2,反分析唯一。其余反分析結(jié)果及其充分條件如表3所示,每個(gè)參數(shù)都被反分析了4次,結(jié)果如表4所示。根據(jù)表3、表4中的數(shù)據(jù),可以得到以下結(jié)論:

表3 已知3個(gè)參數(shù)時(shí)的反分析唯一性Table 3 Back analysis of uniqueness for the case of 3 known parameters

表4 已知3個(gè)參數(shù)時(shí)的反分析結(jié)果統(tǒng)計(jì)Table 4 Statistics of back analysis of results for the case of 3 known parameters

1)在已知任意3個(gè)參數(shù)的條件下,絕對唯一有4種,條件唯一有6種,不存在不唯一的情況。

2)地應(yīng)力對結(jié)果的影響同樣明顯,在2個(gè)方向的地應(yīng)力作為已知量且相等時(shí),反分析結(jié)果不唯一;二者不相等時(shí),反分析結(jié)果唯一。

3)參數(shù)p的辨識(shí)性最好,q、E次之,η與μ最差。

2.4 已知任意4個(gè)參數(shù)時(shí)的情況

假設(shè)已知豎向地應(yīng)力p、水平地應(yīng)力q、黏滯系數(shù)η與彈性模量E,反分析泊松比μ。此時(shí)?ur/?p、?ur/?q、?ur/?η與?ur/?E都應(yīng)為0,即方程組(14)中含有C1、C2、C3與C4的項(xiàng)都為0,此時(shí)的系數(shù)矩陣為:

(18)

當(dāng)?shù)貞?yīng)力相等時(shí),上述矩陣為0矩陣,反分析結(jié)果不唯一;當(dāng)?shù)貞?yīng)力不相等時(shí),反分析結(jié)果唯一。

其余反分析結(jié)果及其充分條件如表5所示,每個(gè)參數(shù)均被反分析了1次,結(jié)果如表6所示。根據(jù)表5、表6中的數(shù)據(jù),可以得到以下結(jié)論:

表5 已知4個(gè)參數(shù)時(shí)的反分析唯一性Table 5 Back analysis of uniqueness for the case of 4 known parameters

表6 已知4個(gè)參數(shù)時(shí)的反分析結(jié)果統(tǒng)計(jì)Table 6 Statistics of back analysis results for the case of 4 known parameters

1)在已知任意4個(gè)參數(shù)的條件下,絕對唯一的情形有4種,條件唯一的情形有1種。已知條件增多,各參數(shù)的可辨識(shí)性明顯增強(qiáng)。

2)較于前兩種情況(已知任意2個(gè)參數(shù),已知任意3個(gè)參數(shù)),地應(yīng)力之間的關(guān)系對反分析結(jié)果的影響逐漸降低。

3)參數(shù)p、q、η與E的可辨識(shí)性較好,μ較差。

3 待反分析參數(shù)的數(shù)量對唯一性的影響

黏彈性巖體的位移解析解較為復(fù)雜,以至于求解系數(shù)矩陣存在一定難度,且參數(shù)的可辨識(shí)性表現(xiàn)不太理想,絕對唯一的情況只占少數(shù)。在實(shí)際工程中,通過位移反分析將所有的巖體參數(shù)都反分析出來,既缺乏可能性,也缺乏必要性。所以位移反分析的工作要點(diǎn)要放在對地下工程影響較大或通過常規(guī)手段難以確定的參數(shù)上。在本文反分析的5個(gè)參數(shù)中,泊松比μ的影響相對來說不如其余4個(gè)參數(shù)重要,因而可以考慮將其排除在外從而提高其余參數(shù)的唯一性。若不將泊松比作為已知參量,此時(shí)線性方程組對應(yīng)的系數(shù)矩陣為:

(19)

矩陣(19)的秩為3,共有4個(gè)未知數(shù),至少已知1個(gè)參數(shù),才有可能反分析出其余參數(shù)。按照上述分析方法進(jìn)行反分析,結(jié)果如表7～9所示。

表7 已知1個(gè)參數(shù)時(shí)反分析的唯一性Table 7 Back analysis of uniqueness for the case of 1 known parameter

表8 已知2個(gè)參數(shù)時(shí)反分析的唯一性Table 8 Back analysis of uniqueness for the case of 2 known parameters

表9 已知3個(gè)參數(shù)時(shí)反分析的唯一性Table 9 Back analysis of uniqueness for the case of 3 known parameters

從反分析結(jié)果可以看出,在不考慮泊松比的前提下,其余參數(shù)的可辨識(shí)性均有提升。在所有的反分析結(jié)果中,前提唯一的情況占比從64%降低到35.7%,絕對唯一的情況占比從32%提高到64.3%,不存在不唯一的情況。

綜上所述,對待反分析參數(shù)進(jìn)行合理的取舍,不僅可以降低工作量,對提高參數(shù)可辨識(shí)性也有很大幫助。

4 結(jié) 論

1)討論了3種情形(已知2個(gè)參數(shù)、已知3個(gè)參數(shù)和已知4個(gè)參數(shù))下符合Kelvin本構(gòu)模型的黏彈性巖體位移反分析的唯一性。最少已知2個(gè)力學(xué)參數(shù),其他參數(shù)才有可能唯一地被反分析出來,否則,無論增加多少根測線,都不能把所有參數(shù)唯一地反分析出來。

2)已知的參數(shù)越多,待反分析參數(shù)被辨識(shí)的可能性就越大。當(dāng)未知參數(shù)較多時(shí),各參數(shù)的可辨識(shí)性存在顯著差距。2個(gè)方向的地應(yīng)力是否已知、是否相等及是否為0對反分析結(jié)果的影響較為明顯。

3)根據(jù)實(shí)際需要適當(dāng)?shù)剡x擇待反分析參數(shù),對提高反分析結(jié)果的唯一性有顯著影響。

4)總體看來,地應(yīng)力具有最好的可辨識(shí)性,其次是彈性模量、泊松比及黏滯系數(shù)最差。