追求算理一致性的“小數(shù)除法”單元整體設(shè)計(jì)與實(shí)踐

浙江杭州市錢塘區(qū)臨江新城實(shí)驗(yàn)學(xué)校 （311228） 朱曙光 王國建

“小數(shù)除法”是人教版教材五年級(jí)上冊第三單元的教學(xué)內(nèi)容，其中，掌握小數(shù)除法的算法和算理是本單元教學(xué)的重點(diǎn)。筆者從單元整體的角度出發(fā)，提煉核心概念，對單元的教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行整體性設(shè)計(jì)，溝通小數(shù)除法與整數(shù)除法之間的聯(lián)系，打通單元內(nèi)部知識(shí)的脈絡(luò)，進(jìn)而讓學(xué)生感悟算理的一致性。

一、橫縱分析，整體構(gòu)建單元知識(shí)體系

1.橫向分析——找準(zhǔn)各課時(shí)之間的聯(lián)系

在同一個(gè)教學(xué)單元中，各個(gè)課時(shí)的知識(shí)內(nèi)容之間存在著密切的聯(lián)系，這些知識(shí)點(diǎn)相互銜接，共同組成一條知識(shí)鏈。

學(xué)習(xí)小數(shù)除法的前提是掌握整數(shù)除法和小數(shù)的意義?！靶?shù)除法”整個(gè)單元以“除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法”為起始課，“一個(gè)數(shù)除以小數(shù)”是“除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法”的變式，其他內(nèi)容則是這兩種除法的商的多種情形與應(yīng)用。可見，掌握小數(shù)除法的算法和算理是本單元的重點(diǎn)。小數(shù)除法的算理和算法與整數(shù)除法大致相同，唯一不同的是小數(shù)除法需要考慮小數(shù)點(diǎn)。因此，本單元教學(xué)的核心要義是將整數(shù)除法的算理和算法遷移到小數(shù)除法中。

2.縱向分析——明確單元的地位與作用

教師梳理與對比所有相關(guān)的單元，厘清教學(xué)的前后順序，尋找知識(shí)的發(fā)展脈絡(luò)，了解本單元在整個(gè)知識(shí)體系中的作用。這有助于教師明確本單元的教學(xué)目標(biāo)與重難點(diǎn)，明確之前的教學(xué)內(nèi)容對開展本單元教學(xué)的影響。同時(shí)，教師需要明確本單元的知識(shí)應(yīng)該掌握到什么程度，才能有序推動(dòng)整個(gè)知識(shí)體系的構(gòu)建。筆者對小學(xué)階段與“小數(shù)除法”相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行了梳理（見表1）。

表1 小學(xué)階段與“小數(shù)除法”相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)

從表1 中可以看出，“表內(nèi)除法（一）”是學(xué)生學(xué)習(xí)小數(shù)除法的起點(diǎn)，小數(shù)除法的學(xué)習(xí)建立在整數(shù)除法的基礎(chǔ)上。因此，對整數(shù)除法算法和算理的掌握情況將直接影響小數(shù)除法的學(xué)習(xí)。

二、合理布局，重新構(gòu)建單元教學(xué)內(nèi)容

1.基于核心概念，確定單元教學(xué)目標(biāo)

“一個(gè)數(shù)除以小數(shù)”是基于“除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法”的遷移，而“除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法”是基于“整數(shù)除法”的遷移，歸根結(jié)底，“一個(gè)數(shù)除以小數(shù)”是基于“整數(shù)除法”的遷移。由此，筆者確立了“小數(shù)除法”的單元與課時(shí)核心概念（見表2）。

表2 “小數(shù)除法”的單元與課時(shí)核心概念

基于以上分析，筆者從知識(shí)技能、意義理解、思想方法和情感態(tài)度四個(gè)方面來描述單元教學(xué)目標(biāo)（見表3）。

表3 “小數(shù)除法”單元教學(xué)目標(biāo)

2.基于橫縱梳理，調(diào)整單元課時(shí)內(nèi)容

根據(jù)對知識(shí)內(nèi)容的橫縱梳理，筆者對“小數(shù)除法”的單元教學(xué)進(jìn)行了整體重構(gòu)，將新課教學(xué)分成四個(gè)板塊，分別是“除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法”“一個(gè)數(shù)除以小數(shù)”“循環(huán)小數(shù)與算式規(guī)律”和“商的選擇與應(yīng)用”。在重構(gòu)后的教學(xué)設(shè)計(jì)中，筆者將原先的“商的近似數(shù)”教學(xué)內(nèi)容調(diào)整至“循環(huán)小數(shù)”和“用計(jì)算器探索規(guī)律”之后，并將這三種求商近似數(shù)的方法整合到同一教學(xué)板塊中。具體構(gòu)思見表4。

表4 “小數(shù)除法”重構(gòu)教學(xué)板塊

這四個(gè)教學(xué)板塊中，第一、第二個(gè)板塊兩種小數(shù)除法是本單元的教學(xué)重點(diǎn)。第三個(gè)板塊是在計(jì)算小數(shù)除法的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步探討商的另一種形式——循環(huán)小數(shù)，并探究算式中商的規(guī)律。第四個(gè)板塊是引導(dǎo)學(xué)生在解決問題時(shí)根據(jù)實(shí)際情況靈活選擇“四舍五入”法、“進(jìn)一法”或“去尾法”來處理商。

三、整體設(shè)計(jì)，精準(zhǔn)落實(shí)單元教學(xué)目標(biāo)

1.單元導(dǎo)讀，整體感知基本內(nèi)容

單元導(dǎo)讀可以幫助學(xué)生明確單元學(xué)習(xí)的重點(diǎn)，理解單元知識(shí)點(diǎn)之間的關(guān)聯(lián)以及它們與之前所學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系。

單元導(dǎo)讀可以這樣安排：

（1）初讀單元內(nèi)容，本單元主要學(xué)習(xí)哪些知識(shí)？

（2）再讀單元內(nèi)容，你覺得本單元的知識(shí)之間存在怎樣的聯(lián)系？哪幾個(gè)知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系最密切？本單元學(xué)習(xí)的內(nèi)容跟之前學(xué)習(xí)的什么內(nèi)容有關(guān)？

“小數(shù)除法”的單元導(dǎo)讀有助于學(xué)生從整體上把握整個(gè)單元的知識(shí)脈絡(luò)與學(xué)習(xí)內(nèi)容，使學(xué)生對小數(shù)除法的知識(shí)結(jié)構(gòu)形成初步認(rèn)知。

2.分步學(xué)習(xí)，自然建構(gòu)知識(shí)體系

（1）在比較中溝通知識(shí)的“聯(lián)”

“除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法”是“小數(shù)除法”單元的起始課，它的學(xué)習(xí)以整數(shù)除法為基礎(chǔ)，因此，教師在教學(xué)中應(yīng)以整數(shù)除法為切入口，通過聯(lián)系整數(shù)除法和小數(shù)除法來激活學(xué)生的思維，促進(jìn)知識(shí)的正向遷移，實(shí)現(xiàn)前后知識(shí)的自然對接。這樣，單元的起始課便有了學(xué)習(xí)的著力點(diǎn)。

［例題］王鵬堅(jiān)持晨練，計(jì)劃4 周跑步22.4km，他平均每周應(yīng)跑多少千米？

學(xué)生都列出了算式“22.4÷4”，具體計(jì)算時(shí)出現(xiàn)了5種方法（如圖1）。

圖1

①22.4km=22400m，22400÷4=5600m=5.6km

②22.4÷4=20÷4+2.4÷4=5+0.6=5.6km

③22.4÷4=5.6 ④22.4÷4=5.6 ⑤22.4÷4=5.6

筆者引導(dǎo)學(xué)生對這5 種方法進(jìn)行三次比較，以便學(xué)生發(fā)現(xiàn)整數(shù)除法和小數(shù)除法之間的聯(lián)系和區(qū)別，實(shí)現(xiàn)算理和算法的遷移，從整體上認(rèn)識(shí)除法運(yùn)算，將除法運(yùn)算的知識(shí)融會(huì)貫通。

比較一：這些方法中哪幾種比較相似？請按照方法的相似性將它們歸類。

比較二：觀察方法4和方法5，在一步一步除的時(shí)候，下面到底是寫2.4還是24？

比較三：為什么方法5的商有小數(shù)點(diǎn)，方法3的商沒有？小數(shù)點(diǎn)該怎么點(diǎn)？

新知的學(xué)習(xí)建立在舊知上，通常需要對舊識(shí)進(jìn)行正向的遷移。轉(zhuǎn)化正是實(shí)現(xiàn)正向遷移的重要方式。轉(zhuǎn)化的實(shí)現(xiàn)需要教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行比較、辨析，發(fā)現(xiàn)知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系。

（2）在轉(zhuǎn)化中凸顯知識(shí)的“通”

將已學(xué)的單元知識(shí)遷移到新授單元的知識(shí)學(xué)習(xí)中，讓學(xué)生感受知識(shí)間的相通性，不僅有助于學(xué)生鞏固舊知識(shí)，還有助于學(xué)生更好地理解新知識(shí)，從而更靈活地運(yùn)用所學(xué)知識(shí)。

［例題］奶奶編“中國結(jié)”，編一個(gè)要用0.85m絲繩。用7.65m絲繩可以編幾個(gè)“中國結(jié)”？

筆者首先組織學(xué)生圍繞“7.65÷0.85 與我們學(xué)過的小數(shù)除法有什么不同”這一問題展開探究和交流。然后，闡述小數(shù)除法的基本方法，將除數(shù)是小數(shù)的小數(shù)除法轉(zhuǎn)化為除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法，即利用商不變的性質(zhì)將“7.65÷0.85”轉(zhuǎn)化為“765÷85”。最后，讓學(xué)生根據(jù)除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法的算法進(jìn)行計(jì)算。通過轉(zhuǎn)化讓學(xué)生體會(huì)到兩種小數(shù)除法之間的聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的自然過渡，從而幫助學(xué)生更全面地理解和掌握小數(shù)除法的計(jì)算方法。

（3）在銜接中體現(xiàn)知識(shí)的“順”

在單元教學(xué)中，教師應(yīng)將單元內(nèi)的知識(shí)串成一條知識(shí)鏈，從一個(gè)知識(shí)點(diǎn)過渡到另一個(gè)知識(shí)點(diǎn)的教學(xué)應(yīng)自然，體現(xiàn)單元知識(shí)點(diǎn)銜接的順暢性。

［例題］爸爸要給王鵬買羽毛球，羽毛球一筒19.4元，有12個(gè)。

（1）每個(gè)羽毛球大約多少錢？

（2）爸爸帶了115元錢，可以買多少筒？

（3）王鵬將用過的羽毛球放回球筒中，65 個(gè)羽毛球要幾個(gè)球筒才能裝完？

“商的近似數(shù)”的教學(xué)內(nèi)容涉及循環(huán)小數(shù)，因此筆者將此內(nèi)容的學(xué)習(xí)調(diào)整到“循環(huán)小數(shù)”之后。在這一課的教學(xué)中，筆者出示上述例題讓學(xué)生列式計(jì)算。學(xué)生計(jì)算第（1）題后發(fā)現(xiàn)商是一個(gè)循環(huán)小數(shù)，筆者順勢提問：“在現(xiàn)實(shí)生活中，錢數(shù)可以是循環(huán)小數(shù)嗎？”學(xué)生馬上意識(shí)到，題目問的是“大約多少錢”，要用“四舍五入”法求商的近似數(shù)。在學(xué)生掌握了用“四舍五入”法求商的近似數(shù)之后，筆者繼續(xù)提問，引導(dǎo)學(xué)生思考和探討不同情況下求商的近似數(shù)的方法。

在“雙新”背景之下，對單元整體教學(xué)進(jìn)行研究是大勢所趨。無論單元知識(shí)屬于哪一個(gè)知識(shí)體系，單元整體設(shè)計(jì)中對教材處理的基本原則都是提煉核心問題、確定整體目標(biāo)、關(guān)注前后內(nèi)容、確定單元課時(shí)，在知識(shí)與知識(shí)的關(guān)聯(lián)中凸顯數(shù)學(xué)原理的一致性與整體性。