李 勰,賀艷峰,韓 帆
(延安大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院,陜西 延安 716000)
不定方程
是一類重要的三次不定方程,關(guān)于該不定方程的整數(shù)解已有不少的研究成果,其研究的內(nèi)容主要集中在a=1,2,3,4,5,6,7,10,11,13,15,29。文獻(xiàn)[1]證明了當(dāng)a=±1,D>2,D無(wú)平方因子且不能被3 或6k+1 形素?cái)?shù)整除時(shí),方程(1)僅有平凡解x=±1,y=0;文獻(xiàn)[2]證明了當(dāng)a=±1,D>1,D無(wú)平方因子且不能被6k+1 形素?cái)?shù)整除時(shí),方程(1)除x3+1=2y2僅有整數(shù)解(x,y)=(1,±1),(23,±78)外,無(wú)其他整數(shù)解;文獻(xiàn)[3]證明了當(dāng)a=±1,D=2時(shí),方程(1)僅有正整數(shù)解(x,y)=(1,1),(23,78);文獻(xiàn)[4]證明了當(dāng)a=1,D=2 019 時(shí),方程(1)僅有平凡整數(shù)解(x,y)=(-1,0);文獻(xiàn)[5]研究了當(dāng)a=±3,D=pq時(shí),方程(1)的整數(shù)解問(wèn)題;文獻(xiàn)[6]研究了a=±13,D=26 時(shí),方程(1)的整數(shù)解問(wèn)題;文獻(xiàn)[7]研究了當(dāng)a=±5,D=6q時(shí),方程(1)的整數(shù)解問(wèn)題;文獻(xiàn)[8]研究了當(dāng)a=±1,D=14時(shí),方程(1)的整數(shù)解問(wèn)題;文獻(xiàn)[9]證明了當(dāng)a=-3,D=119 時(shí),方程(1)僅有整數(shù)解(x,y)=(3,0);文獻(xiàn)[10]研究了當(dāng)a=-2,D=13時(shí),方程(1)的整數(shù)解問(wèn)題;文獻(xiàn)[11]研究了方程x3+27=182y2和x3+8=273y2的整數(shù)解問(wèn)題;文獻(xiàn)[12]證明了當(dāng)a=-1,D=749時(shí),方程(1)僅有整數(shù)解(x,y)=(1,0);文獻(xiàn)[13]證明了當(dāng)a=-1,D=1 043 時(shí),方程(1)僅有整數(shù)解(x,y)=(1,0);文獻(xiàn)[14]證明了當(dāng)q≡1(mod 12) 時(shí),方程x3-1=709qy2有解的充要條件,且q滿足一定條件時(shí),該方程無(wú)正整數(shù)解。而當(dāng)a=±17,D=34時(shí),方程(1)的整數(shù)解到目前為止未見研究。
本文主要利用同余式的性質(zhì)證明了當(dāng)a=±17,D=34 時(shí),不定方程x3+4 913=34y2僅有正整數(shù)解(x,y)=(17,17),(391,1 326),不定方程x3-4 913=34y2僅有整數(shù)解(x,y)=(17,0)。
引理1[15]不定方程
僅有正整數(shù)解(x,y)=(1,1),(23,78)。
不定方程
僅有整數(shù)解(x,y)=(1,0)。
定理1不定方程僅有正整數(shù)解(x,y)=(17,17),(391,1 326)。
證明當(dāng)x≡0(mod 17)時(shí),有x3≡0(mod 173),則由式(2)知y≡0(mod17)。令x=17x1,y=17y1,代入式(2),整理得(x1)3+1=2(y1)2。由引理1知,不定方程x3+1=2y2僅有正整數(shù)解(x,y)=(1,1),(23,78)。故x=17,y=17 或x=391,y=1 326,即不定方程x3+4 913=34y2僅有正整數(shù)解(x,y)=(17,17),(391,1 326)。
(x+17,x2-17x+289)=
(x+17,(x+17)2-51(x+17) +172× 3)=1或3,所以方程x3+4 913=34y2在(a,b)=1 且a≠0 時(shí),給出下列8種可能的情形:
情形一:x+17=a2,x2-17x+289=34b2,y=ab;
情形二:x+17=2a2,x2-17x+289=17b2,y=ab;
情形三:x+17=3a2,x2-17x+289=102b2,y=3ab;
情形四:x+17=6a2,x2-17x+289=51b2,y=3ab;
情形五:x+17=34a2,x2-17x+289=b2,y=ab;
情形六:x+17=17a2,x2-17x+289=2b2,y=ab;
情形七:x+17=102a2,x2-17x+289=3b2,y=3ab;
情形八:x+17=51a2,x2-17x+289=6b2,y=3ab。
下面分別討論這8種情形下方程(2)的整數(shù)解。
情形一:x+17=a2,x2-17x+289=34b2,y=ab。
對(duì)x2-17x+289=34b2兩邊同時(shí)取模17,得x2-17x+289 ≡ 34b(2mod17)。從而有x2-17x+289 ≡ 0(mod17),x2-17x≡0(mod17),則 有x2≡0(mod17),即x≡0(mod 17)與上述x0(mod 17)相矛盾。因此該種情形下無(wú)滿足不定方程x3+4 913=34y2的整數(shù)解。
情形二:x+17=2a2,x2-17x+289=17b2,y=ab。
同情形一,得x2-17x+289 ≡17b2(mod 17),則有x≡0(mod 17)與上述x0(mod 17)相矛盾。因此該種情形下無(wú)滿足不定方程x3+4 913=34y2的整數(shù)解。
情形三:x+17=3a2,x2-17x+289=102b2,y=3ab。
同情形一,得x2-17x+289 ≡102b2(mod 17),則有x≡0(mod 17)與上述x0(mod 17)相矛盾。因此該種情形下無(wú)滿足不定方程x3+4 913=34y2的整數(shù)解。
情形四:x+17=6a2,x2-17x+289=51b2,y=3ab。
同情形一,得x2-17x+289 ≡51b2(mod 17),則有x≡0(mod 17)與上述x0(mod 17)相矛盾。因此該種情形下無(wú)滿足不定方程x3+4 913=34y2的整數(shù)解。
情形五:x+17=34a2,x2-17x+289=b2,y=ab。
由x+17=34a2得x=34a2-17=17(2a2-1),故 有17|x,與x不能被17 整除相矛盾。因此該種情形下無(wú)滿足不定方程x3+4 913=34y2的整數(shù)解。
情形六:x+17=17a2,x2-17x+289=2b2,y=ab。
同情形五,由x+17=17a2得17|x,與x不能被17 整除相矛盾。因此該種情形下無(wú)滿足不定方程x3+4 913=34y2的整數(shù)解。
情形七:x+17=102a2,x2-17x+289=3b2,y=3ab。
同情形五,由x+17=102a2得17|x,與x不能被17 整除相矛盾。因此該種情形下無(wú)滿足不定方程x3+4 913=34y2的整數(shù)解。
情形八:x+17=51a2,x2-17x+289=6b2,y=3ab。
同情形五,由x+17=51a2得17|x,與x不能被17整除相矛盾。因此該種情形下無(wú)滿足不定方程x3+4 913=34y2的整數(shù)解。
得證。
定理2不定方程
僅有整數(shù)解(x,y)=(17,0)。
證明當(dāng)x≡0(mod 17)時(shí),有x3≡0(mod 173),則由式(3)知y≡0(mod17)。令x=17x1,y=17y1,代入式(3),整理得(x1)3-1=2(y1)2。由引理1知,不定方程x3-1=2y2僅有整數(shù)解(x,y)=(1,0)。故x=17,y=0,即不定方程x3-4 913=34y2僅有整數(shù)解(x,y)=(17,0)。
當(dāng)x0(mod 17),即x不能被17整除時(shí),由于
(x-17,x2+17x+289)=
(x-17,(x-17)2+51(x-17)+172×3)=1或3,所以方程x3-4 913=34y2在(a,b)=1 且a≠0 時(shí),給出下列8種可能的情形:
情形一:x-17=a2,x2+17x+289=34b2,y=ab;
情形二:x-17=2a2,x2+17x+289=17b2,y=ab;
情形三:x-17=3a2,x2+17x+289=102b2,y=3ab;
情形四:x-17=6a2,x2+17x+289=51b2,y=3ab;
情形五:x-17=34a2,x2+17x+289=b2,y=ab;
情形六:x-17=17a2,x2+17x+289=2b2,y=ab;
情形七:x-17=102a2,x2+17x+289=3b2,y=3ab;
情形八:x-17=51a2,x2+17x+289=6b2,y=3ab。
下面分別討論這8種情形下方程(3)的整數(shù)解。
情形一:x-17=a2,x2+17x+289=34b2,y=ab。
對(duì)x2+17x+289=34b2兩邊同時(shí)取模17,得x2+17x+289≡34b2(mod17)。從而有x2+17x+289≡0(mod17),x2+17x≡0(mod17),則有x2≡0(mod17),即x≡0(mod17)與上述x0(mod 17)相矛盾。因此該種情形下無(wú)滿足不定方程x3-4 913=34y2的整數(shù)解。
情形二:x-17=2a2,x2+17x+289=17b2,y=ab。
同情形一,得x2+17x+289 ≡17b2(mod 17),則有x≡0(mod 17)與上述x0(mod 17)相矛盾。因此該種情形下無(wú)滿足不定方程x3-4 913=34y2的整數(shù)解。
情形三:x-17=3a2,x2+17x+289=102b2,y=3ab。
同情形一,得x2+17x+289 ≡102b2(mod 17),則有x≡0(mod17)與上述x0(mod17)相矛盾。因此該種情形下無(wú)滿足不定方程x3-4 913=34y2的整數(shù)解。
情形四:x-17=6a2,x2+17x+289=51b2,y=3ab。
同情形一,得x2+17x+289 ≡ 51b(2mod17),則有x≡0(mod17)與上述x0(mod 17)相矛盾。因此該種情形下無(wú)滿足不定方程x3-4 913=34y2的整數(shù)解。
情形五:x-17=34a2,x2+17x+289=b2,y=ab。
由x-17=34a2得x=34a2+17=17(2a2+1),故有17|x,與x不能被17 整除相矛盾。因此該種情形下無(wú)滿足不定方程x3-4 913=34y2的整數(shù)解。
情形六:x-17=17a2,x2+17x+289=2b2,y=ab。
同情形五,由x-17=17a2得17|x,與x不能被17 整除相矛盾。因此該種情形下無(wú)滿足不定方程x3-4 913=34y2的整數(shù)解。
情形七:x-17=102a2,x2+17x+289=3b2,y=3ab。
同情形五,由x-17=102a2得17|x,與x不能被17 整除相矛盾。因此該種情形下無(wú)滿足不定方程x3-4 913=34y2的整數(shù)解。
情形八:x-17=51a2,x2+17x+289=6b2,y=3ab。
同情形五,由x-17=51a2得17|x,與x不能被17整除相矛盾。因此該種情形下無(wú)滿足不定方程x3-4 913=34y2的整數(shù)解。
得證。
本文利用同余式的性質(zhì)證明了不定方程x3+4 913=34y2僅有正整數(shù)解(x,y)=(17,17),(391,1 326),不定方程x3-4 913=34y2僅有整數(shù)解(x,y)=(17,0)。
對(duì)于不定方程x3±a3=Dy2的整數(shù)解尚未得到一般解法,今后可以繼續(xù)研究a、D符合其他取值情況時(shí)方程的所有整數(shù)解,從而使得形如x3±a3=Dy2這類不定方程的整數(shù)解得到解決。