基于跨地域最優(yōu)的水資源配置雙層多目標模型研究

李 莉，李偉青，黎耀華，楊澤斌

（1.惠州學院 數(shù)學與統(tǒng)計學院； 2.惠州學院 電子信息與電氣工程學院，廣東 惠州 516007）

隨著人口的不斷增加，人們對水資源的需求量也日漸激增，而隨著對水資源的不合理開采和利用，最終很多國家出現(xiàn)不同程度的缺水問題。針對水資源配置方法，郝奇琛等［1］結(jié)合多種水源以及供水能力和供需關(guān)系等制約因素，構(gòu)建了廈門市多水源聯(lián)合分配模型；李?。?］等應用NSGAIII-NSGAII 多目標模型建立了水資源配置雙層模型并得出最優(yōu)方案；王瑤瑤等［3］利用Mike Basin 模型軟件搭建流域水資源配置模型并利用多目標規(guī)劃的方法求解得出最優(yōu)方案；向龍等［4］選取多個目標函數(shù)構(gòu)建了不確定性模糊多目標規(guī)劃(IFMOP)水資源配置模型，并計算了不確定性解集以解決水資源配置問題?？梢?，在處理水資源配置問題時，多向的供水目標使得模型中應設(shè)立多個目標函數(shù)以及多個約束條件，以便得到最優(yōu)供水方案。

除了水源短缺，在很大程度上缺水是因調(diào)水跨度大使得水資源得不到科學分配和合理利用所造成［5-6］。因此，跨地域最優(yōu)是對水資源合理開發(fā)和提高利用效率的重要方向。當下對于小范圍地域水資源配置已有許多學者給出自己的解決方案，而面對跨地域廣、多水源多目標的水資源配置問題的論文還相對較少；因此本文針對此類問題提出一種雙層多目標規(guī)劃模型，為解決跨地域水資源配置問題提供一種新思路。

1 研究區(qū)概況

本文主要針對多供水地多需水地遠距離供水問題進行方法研究和分析。為方便計算，在下文中假設(shè)一種2 供水地5 需水地的情況用以計算分析，其中以2個水庫作為供水地進行供水（降雨量與地下水量均不納入考慮范圍），同時將5 個需水地分別拆分為工業(yè)、農(nóng)業(yè)、日常生活以及生態(tài)需水量4 個方面作為直接供水對象，各需水地與供水地之間的距離也各不相等，跨度不一，符合實際情況。

2 研究方法

2.1 研究方法及思路

多目標規(guī)劃模型是一種以多個目標變量為基礎(chǔ)的最優(yōu)化模型，其主要用于求解多個目標函數(shù)的優(yōu)化問題，能夠有效的解決復雜系統(tǒng)中多個目標之間的沖突問題。

雙層規(guī)劃模型是一種上下2 層遞階關(guān)系結(jié)構(gòu)的數(shù)學模型，在交通運輸、資源分配、工程設(shè)計等方面均得到了很好的應用成果［7］，由于可持續(xù)發(fā)展已成為社會經(jīng)濟發(fā)展的一個基本原則，水資源優(yōu)化配置必須在此原則的基礎(chǔ)上對各方面因素進行全局考慮，確保整體綜合效益最大化［8］。

本文將選取由雙層系統(tǒng)衍生出的雙層多目標規(guī)劃建立模型，其中雙層規(guī)劃中上層目標函數(shù)可由政策確定，下層目標函數(shù)可由多目標規(guī)劃建立，得到一個可隨時調(diào)整效益?zhèn)戎氐碾p層多目標規(guī)劃模型。將傳輸、生態(tài)、環(huán)境、社會、經(jīng)濟5 個效益目標作為下層目標函數(shù)，并以供需水地的水資源配置政策及就近原則作為上層決策原則，將需水地的用水戶分為4 個方面，其他方面不計入考慮。

由于上層目標是根據(jù)需水地相關(guān)政策完成決策作用，因此無法得出上層目標函數(shù)的數(shù)學表達式，而下層的目標函數(shù)可以由供水量表示出其具體數(shù)學表達式，為了減少求解模型的工作量，可以先將下層的目標函數(shù)通過遺傳算法求出最優(yōu)解集，即各地的供水量，再讓這些解提供給上層政策作出具體配置水量，經(jīng)此，便能解決多供水地給多個需水地的具體水量配置問題，同時也解決了實際實施配置水量的可行性問題。

最后，通過該模型給出3 種不同要求下的方案：（1）生態(tài)環(huán)境型：為達到生態(tài)環(huán)境效益目標最高的水資源配置。（2）經(jīng)濟型：為達到經(jīng)濟效益目標最高的水資源配置。（3）綜合型：同時考慮生態(tài)環(huán)境效益與經(jīng)濟效益的水資源配置。

2.2 跨地域最優(yōu)水資源雙層規(guī)劃模型

分別將供水層和需水層作為雙層模型中的上層和下層，下層以包括傳輸效益目標在內(nèi)的五個效益目標作為目標函數(shù)，將水源地的可供水量和需水地各用戶需水量作為主要約束條件；上層以供需水地的水資源配置政策及就近原則作為上層決策原則，把下層目標函數(shù)計算得出的水配置總量作為調(diào)用各水源地供水量的約束條件。通過上下兩層之間的相互牽制，形成一個可行性強、選擇面廣、配置靈活的跨地域最優(yōu)水資源雙層規(guī)劃模型。下面是具體說明及相關(guān)的數(shù)學表達式。

2.2.1 雙層規(guī)劃模型約束條件

2.2.1.1 需水層約束條件

（1）可供水量約束：第i個水源供給k地區(qū)j用水戶的水量之和不能超過水源i的可供水量。

式中I、J分別表示水源總數(shù)、用水戶總數(shù)；所有水量單位為m3。

（2）需水量約束：k地區(qū)j用水戶的供水量在該地區(qū)j用水戶的最小需水量和最大需水量之間。

（3）變量非負約束：

2.2.1.2 供水層約束條件：

式（4）中為i水源地向k地區(qū)的總供水量，式(5)中為表1 中應分配給k地區(qū)j用水戶的權(quán)重，K為需水地數(shù)量。

表1 各城市各用水戶年需水量 m3

2.2.2 雙層規(guī)劃模型目標函數(shù)

2.2.2.1 需水層目標函數(shù)

（1）社會效益目標

社會效益目標是在綜合考慮經(jīng)濟和社會等因素的基礎(chǔ)上，通過合理的管理與利用，從而最大化的對社會的利益和福利產(chǎn)生積極影響。由于不同地區(qū)的缺水情況會在不同程度上影響著社會穩(wěn)定與該地區(qū)的經(jīng)濟發(fā)展，而其缺水量是由該地區(qū)的供水總量和用水戶的需水總量和所決定的，其中每個用水戶的需水量均包括生活、生產(chǎn)、生態(tài)用水3 個方面，因此本文將缺水量最小作為社會效益最優(yōu)的標志［9］，其目標函數(shù)為：

式中：為k地區(qū)j用水戶的平均需水量(單位: m3)。

（2）經(jīng)濟效益目標

經(jīng)濟效益目標是通過提高資源利用率和合理定價與稅費機制等手段實現(xiàn)經(jīng)濟效益的最大化。本文以單方供水產(chǎn)生的經(jīng)濟效益達到最大作為其經(jīng)濟效益目標，先得出某一地區(qū)某一用水戶的供水量與各水源地對應的供水凈效益系數(shù)乘積之和，再將其同該用水戶的權(quán)重系數(shù)與基尼系數(shù)的乘積作為其經(jīng)濟效益，總經(jīng)濟效益則為所有用水戶的經(jīng)濟效益之和，其目標函數(shù)為：

式中：指供水效益系數(shù)，由k地區(qū)j用水戶需水量與生產(chǎn)值的比值決定，表示k地區(qū)j用水戶從i水源地單位取水量的效益（元/m3）；指供水費用系數(shù)，表示k地區(qū)j用水戶從i水源地單位取水量的費用（元/m3）；指第k個指標的權(quán)重系數(shù)，表示k個不同指標對用水量分配公平性影響的重要程度；指第k個指標的基尼系數(shù)。

（3）生態(tài)效益目標

考慮到在進行水資源配置時，由不同水源向不同地區(qū)進行供水的過程中，其生態(tài)環(huán)境存在著不同程度的生態(tài)用水需求，因此將區(qū)域生態(tài)環(huán)境供水量與需水量的比值作為研究區(qū)域水資源配置的生態(tài)效益目標，其目標函數(shù)為：

式中：為i水源地向k地區(qū)生態(tài)環(huán)境方面的供水量，為k地區(qū)的生態(tài)需水量(單位: m3)。

（4）環(huán)境效益目標

環(huán)境效益與日常生活息息相關(guān)，其中生活污水、工業(yè)污水和農(nóng)業(yè)污水在一定程度上破壞環(huán)境，降低環(huán)境效益，因此，將各地區(qū)各用水戶的最終污水排放量之和最小作為環(huán)境效益目標，其中最終污水排放量表示為各地區(qū)各用水戶的供水量、污水排放率與污水殘余率三者之積，具體目標函數(shù)為：

式中：為k地區(qū)j用戶的污水排放率；指k地區(qū)j用水戶的污水處理率。

（5）傳輸效益目標

傳輸效益目標是通過合理的資源調(diào)度與傳輸安排，在不同地區(qū)之間實現(xiàn)資源有效傳輸與利用和綜合利益最大化。傳輸效益由運輸總量和地域跨度共同決定，由于本文討論的供需水地點地理跨度大，總輸水量多，使水源地與各地區(qū)間的水資源運輸成本不可忽略處理，若將同一地區(qū)不同用水戶之間的運輸成本忽略且保證各地區(qū)運輸一立方水的成本均相同，則有：當2 個地區(qū)總供水量相同時，與同一水源地距離越遠則傳輸成本越高；同理，當2 個地區(qū)與同一水源地距離相同時，總供水量越大時其傳輸成本越高。因此，先計算出各個地區(qū)所有用水戶的總供水量與不同水源地相隔距離的乘積，再將各地區(qū)的乘積之和作為傳輸效益目標，其目標函數(shù)為：

式中為i水源地與k地區(qū)之間的直線距離（單位:m）。

（6）綜合效益目標

綜合效益目標函數(shù)是將上述5 個效益進行綜合分析得到的多目標規(guī)劃統(tǒng)一值，將綜合效益目標作為下層目標，其目標函數(shù)為：

式中α1、α2、α3、α4、α5分別表示社會效益、經(jīng)濟效益、生態(tài)效益、環(huán)境效益和傳輸效益的權(quán)重值。

各類效益權(quán)重值采用層次分析法［10］確定，對于生態(tài)環(huán)境型，社會效益、經(jīng)濟效益、生態(tài)效益、環(huán)境效益和傳輸效益的權(quán)重比取4:2:5:5:4；對于經(jīng)濟型，其比值取2:4:1:1:2；對于綜合型，其比值取1:1:1:1:1。經(jīng)線性加權(quán)法轉(zhuǎn)化后的綜合效益目標函數(shù)為：

2.2.2.2 供水層目標函數(shù)

供水層以需水地的水資源配置政策作為上層目標。

2.2.3 雙層規(guī)劃模型求解思路及方法

2.2.3.1 求解問題概述及思路

一般雙層規(guī)劃問題作為NP-head 問題，其求解方法較為困難［11］，但本文雙層規(guī)劃模型的上層（供水層）的目標函數(shù)無法以函數(shù)形式確定，故可以先將下層（需水層）的最優(yōu)解集求出，再根據(jù)需水地的有關(guān)水資源調(diào)度政策確定具體配置情況。

由2.2.2.1 節(jié)的內(nèi)容，下層目標函數(shù)可列為下式

式中α1、α2、α3、α4、α5均為常量，由缺水地相關(guān)政策決定。當缺水地對生態(tài)環(huán)境要求較高時可將α3、α4提高，同理對于更需要經(jīng)濟效益目標的缺水地，可以將α2提高，將其他方面的權(quán)值降低。這樣便能實現(xiàn)上層決定方向，下層決定起點的雙層控制模式。

2.2.3.2 模型求解方法

遺傳算法對求解的問題本身沒有任何要求，也不需要嚴苛的數(shù)學假設(shè)（如連續(xù)可導等），并且具有固有的隱式并行性和更好的全局優(yōu)化能力［12］，適合大規(guī)模復雜問題的優(yōu)化。利用遺傳算法的這些特性，可以很好地求出本文中下層目標函數(shù)最優(yōu)解集。

MATLAB 使用版本為 2020b，求解器選擇gamultiobj——使用遺傳算法的多目標優(yōu)化［13］，求解器算法設(shè)置選項中添加混合優(yōu)化器fgoalattain，提升優(yōu)化效果;交叉函數(shù)選為crossoverarithmetic，其他值均為默認值。

3 雙層規(guī)劃模型驗證

3.1 算例概述及求解

設(shè)有2 個水庫需向5 個城市供水，其中1、2 號水庫現(xiàn)儲水量分別為220、230 億m3。5 個城市的工業(yè)、農(nóng)業(yè)、日常生活以及生態(tài)需水量如表1所示(為省篇幅，具體數(shù)值只取4 位有效數(shù)字，同時不足1 m3的水量取0，表3 同)；對于各個城市的供水效益系數(shù)、用水公平系數(shù)以及2 個水庫到5 個城市的距離如表2 所示。

表2 各城市供水效益系數(shù)、用水公平系數(shù)，水庫與城市之間的距離

表3 C 城最優(yōu)供水方案

將數(shù)據(jù)代入(16)式中求解可得各方案的最優(yōu)供水量(不足1 m3的供水量取0)，由于城市數(shù)量較多，為省篇幅，以下僅列出2 個水庫對于C 城的最優(yōu)供水量:

在不同供水方案下計算最優(yōu)供水效益，結(jié)果如表4。

表4 最優(yōu)供水效益

3.2 算例結(jié)果分析

3.2.1 供水方案角度分析

（1）生態(tài)環(huán)境型方案相較于經(jīng)濟型方案，滿足最小、75%、90% 需水量時總?cè)彼糠謩e低于后者1 380 871 227m3、505 77 6 342 m3、75 296 609 m3的水量。這是因為工農(nóng)業(yè)供水效益系數(shù)較大，同時需水量也較多，使經(jīng)濟型方案總供水量較多，故總?cè)彼枯^少，即社會效益明顯更低，與實際情況相符。

（2）對于同一個供水要求，生態(tài)環(huán)境型方案的生態(tài)效益、環(huán)境效益明顯優(yōu)于經(jīng)濟型方案，同時其經(jīng)濟效益明顯劣于經(jīng)濟型方案。這在供水要求最低時尤為顯著，在只滿足最小需水量時，生態(tài)環(huán)境型方案的生態(tài)供需水量之比約為6.86，而經(jīng)濟型方案的生態(tài)供需水量之比僅為3.00；在污水排放量上，經(jīng)濟型方案比生態(tài)環(huán)境型方案多排放了1 125 028 230 m3的污水量；在盈利值上，經(jīng)濟型方案比生態(tài)環(huán)境型方案多盈利44 374 368 501 元。同時，綜合型方案的三種效益指標均有著最優(yōu)的總效益值，是最均衡的解決方案。

（3）當需水量要求逐漸變高時，供水量隨之變大，使傳輸水量無法避免地變大。由（1）、（2）可知，經(jīng)濟型方案的總需水量最大，因此在同一供水要求條件下，經(jīng)濟型方案的傳輸效益最高；此外，由于給工業(yè)的供水量增加，故經(jīng)濟型方案的污水量也相對更高，即環(huán)境效益值更高，當供水要求提高時，各方案的環(huán)境效益值也隨之提高，與實際情況相符。

（4）在大部分供水方案下，均有出現(xiàn)部分地區(qū)個別用水戶僅由一個水庫供水(另一個水庫供水量為0)，同時2號水庫總供水量比1號水庫總供水量多的情況。這是因為2 號水庫離各城市的總距離較近，故總供水量更大。說明在求解最優(yōu)供水方案時，距離也是算法考慮的因素，這側(cè)面反映了算法與模型的可行性。

3.2.2 供水效益角度分析

（1）從上述5 種效益圖（圖1 至圖5）縱向觀察可知，對于任意一種供水方案，其需水量要求越高時：①缺水量越小，社會效益越好；②盈利值越大，經(jīng)濟效益越好；③水量供需比越大，生態(tài)效益越好；④最終污水量越大，環(huán)境效益越差；⑤供水量與供水距離的乘積越大，傳輸效益越差。上述結(jié)果表明，模型求解后的結(jié)果與實際情況相符，有一定的可行性。

圖1 社會效益

圖2 經(jīng)濟效益

圖3 生態(tài)效益

圖4 環(huán)境效益

圖5 傳輸效益

（2）當需水量要求越高時，3 種供水方案的各項效益值差距越小，該現(xiàn)象在社會效益和環(huán)境效益時表現(xiàn)尤為明顯。這表明，當供水地可用供水量越少時，選用經(jīng)濟型方案時與選用生態(tài)環(huán)境型方案時的各項效益值差距將越大。因此對該地區(qū)變化（生態(tài)環(huán)境變好/經(jīng)濟盈利值變高）也將更為明顯，此時選用綜合型方案方為最優(yōu)方案。

（3）觀察綜合型方案產(chǎn)生的效益發(fā)現(xiàn)，在任意需水量下，其社會、經(jīng)濟、生態(tài)以及環(huán)境效益值均位于另外2 種方案所產(chǎn)生的效益值之間，而傳輸效益值例外，采用生態(tài)環(huán)境型方案與經(jīng)濟型方案所產(chǎn)生的傳輸效益值均比綜合型方案的高。因此，選用綜合型方案將為上層決策節(jié)省一定的傳輸成本，實用性更強，從而達到跨地域最優(yōu)水資源分配的目標。

3 結(jié)論

本文針對跨地域水資源配置存在時空分布不均，傳輸距離相差較大導致傳輸成本較高的問題，提出了一種上層目標函數(shù)由政策確定、下層目標函數(shù)由含有傳輸效益目標的多目標規(guī)劃建立的雙層多目標模型，并通過遺傳算法得到最優(yōu)配置方案。從算例結(jié)果分析中驗證了模型的合理性、實用性和通用性；觀察表2、表3 數(shù)據(jù)，存在個別用水戶由某一水庫供給的水量為零的情況，這表明模型在演算時綜合考慮了傳輸效益目標的影響，使得綜合效益趨于最優(yōu)解，即本文提出的雙層多目標模型能夠解決水資源跨地域配置最優(yōu)問題，實現(xiàn)水資源的有效傳輸與利用，降低成本，達到綜合效益最大化。因此本模型能為跨地域水資源配置問題的解決提供一定的思路。