正方形方陣

馬濟敏

方陣是古代軍隊作戰(zhàn)時采用的一種隊形，即軍隊在野外開闊地上排列成正方形的一種陣式。方陣平面呈“回”字形，這反映出遠(yuǎn)古觀念中的一種政治地理結(jié)構(gòu)，來源于“天圓地方”的宇宙觀。

在數(shù)學(xué)上，我們把若干人或物排列成正方形的隊列，根據(jù)排列規(guī)律引出的計算問題就叫作方陣問題。如下圖：

從上圖可以看出，方陣相鄰兩邊的物體個數(shù)相差2，相鄰兩層的物體數(shù)量相差8。利用正方形的面積計算公式，實心方陣中物體總數(shù)=大邊長×大邊長；空心方陣中物體總數(shù)=大實心方陣數(shù)-小實心方陣數(shù)。如上圖實心方陣的圓片數(shù)量是6×6=36（個）；空心方陣的圓片數(shù)量是8×8-4×4=48（個）。

例1：五年級的學(xué)生排成了一個正方形方陣，最外一層一共有36人，這個正方形方陣一共有多少人？

思路點睛：題中的“最外一層”包括4條邊，如果用36÷4=9，再用9×9=81來計算，就錯了。因為兩邊相交的地方，即方陣的四個頂點，少算了一次，所以正方形的邊長應(yīng)該是9+1=10。那么這個正方形方陣一共有10×10=100（人）。如下圖：

例2：一個3層的空心方陣，最外一層每邊有14人，那么這個方陣一共有多少人？

思路點睛：我們已經(jīng)知道，方陣每向里面一層，每邊人數(shù)就減少2人，總數(shù)減少8人，所以最外一層是（14-1）×4=52（人），第二層是52-8=44（人），第三層是44-8=36（人），把這三層的人數(shù)加起來，得到52+44+36=132（人）。即這個方陣一共有132人。