基于三維點(diǎn)云的曲軸同軸度誤差測量方法研究＊

竇亞萍 鄭 述 楊治飛 任慧茹 顧旭輝 隋文濤

（①山東理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，山東 淄博 255000；②淄博市特種設(shè)備檢驗(yàn)研究院，山東 淄博 255025）

曲軸作為柴油機(jī)和發(fā)動機(jī)的重要組成部件，是主要的動力來源，可以將活塞、連桿的直線運(yùn)動輸出為轉(zhuǎn)矩，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)動力的傳輸[1]。作為動力機(jī)械關(guān)鍵零件中最難以保證加工質(zhì)量的部分，其連桿軸頸、主軸頸等關(guān)鍵位置的圓度、同軸度和平行度與其他形位和尺寸誤差對發(fā)動機(jī)的壽命、噪聲和振動等方面有直接影響[2]，因而對曲軸軸頸形狀誤差的檢測顯得尤為重要。

針對軸頸同軸度的非接觸精確測量，國內(nèi)外學(xué)者、企業(yè)提出一系列支撐理論。Wang L 等[3]提出一種在同軸度測量桿上以單個激光位移傳感器（LDS）對小直徑串聯(lián)孔進(jìn)行快速同軸度測量的方法，不需要事先測定測量桿的旋轉(zhuǎn)角度，在隨機(jī)旋轉(zhuǎn)一定次數(shù)后根據(jù)LDS 的測量值直接計(jì)算串聯(lián)孔的同軸度。他們還提出了同軸度測量桿的數(shù)學(xué)模型，可通過改變LDS 的安裝位置進(jìn)而實(shí)現(xiàn)不同尺寸和數(shù)量的串聯(lián)孔的同軸度測量。Optoquick 是意大利MARPROSS公司最新的曲軸光學(xué)測量方案，應(yīng)用智能圖像處理可以實(shí)現(xiàn)同步檢測工件不同參數(shù)，可容納長度達(dá)1 200 mm 和直徑達(dá)200 mm 的工件，長度不確定度最大為10 μm[4]。宋志化等[5]在同軸度測量問題上搭建了應(yīng)用波分復(fù)用器的激光測量裝置，通過波分復(fù)用器把發(fā)射的信標(biāo)光和接收的信號光相結(jié)合，構(gòu)成一個可以同時進(jìn)行發(fā)射和接收信號光的模塊，與平行光管共同構(gòu)成同軸度檢測系統(tǒng)。該裝置測試簡單可行，易于搭建。

本文提出一種基于激光掃描儀獲取單拐曲軸三維點(diǎn)云的同軸度誤差的非接觸測量方法，采集得到三維點(diǎn)云數(shù)據(jù)后，計(jì)算獲取軸頸最優(yōu)切片，以Pratt-RLTS 法得到各個點(diǎn)云切片的圓心，可在1 min 內(nèi)完成同軸度的測量，為生產(chǎn)企業(yè)的同軸度快速準(zhǔn)確檢測提供了一個可行方案，同時可以為未來出現(xiàn)更高精度的激光掃描儀后的同軸度測量方案提供參考。本文主要的研究對象為單拐曲軸，如圖1 所示，主要針對的檢測兩端軸頸分別為D1、D2。

圖1 單拐曲軸示意圖

1 點(diǎn)云切片的獲取

在獲取單拐曲軸兩端軸頸的點(diǎn)云切片前，需要對采集到的點(diǎn)云數(shù)據(jù)做去噪、降采樣等預(yù)處理[6-7]，以去除無關(guān)背景和噪聲點(diǎn)對后續(xù)處理結(jié)果的影響，同時實(shí)現(xiàn)大數(shù)據(jù)點(diǎn)云的降采樣以提高運(yùn)算效率。背景區(qū)域利用平面擬合獲取區(qū)域點(diǎn)云，并將其去除。對于無效噪點(diǎn)，本文計(jì)算了點(diǎn)云與曲軸模型之間的絕對距離，結(jié)合條件濾波完成點(diǎn)云去噪。

在本文的同軸度計(jì)算中需要獲取兩端軸頸的多個截面，即在點(diǎn)云數(shù)據(jù)中，尋找兩組等間距切片點(diǎn)云。如圖2a 所示，在D1、D2處合適位置處選定一個點(diǎn)沿垂直于z軸方向切割，之后每間隔4 mm 截取一個點(diǎn)云切片。然而在獲取點(diǎn)云過程中，由于實(shí)驗(yàn)條件受限，采集到的曲軸點(diǎn)云主軸線會與世界坐標(biāo)系存在一定偏差。如圖2b 所示，曲軸點(diǎn)云數(shù)據(jù)的坐標(biāo)系o"x"y"z"與世界坐標(biāo)系oxyz之間存在一定角度偏差，當(dāng)在點(diǎn)o處沿x軸進(jìn)行切割時，所得點(diǎn)云切片Cn與理想點(diǎn)云切片Ci相比繞當(dāng)前圓柱面斜切了一條橢圓形點(diǎn)云帶，這會使得后續(xù)圓心擬合結(jié)果產(chǎn)生很大的誤差。

圖2 點(diǎn)云切片

針對曲軸主軸線偏移問題，本文截取了D1、D2端軸頸點(diǎn)云集，利用主成分分析（PCA）獲取軸頸主軸線的方向向量，將其旋轉(zhuǎn)至z軸，并根據(jù)自適應(yīng)切片算法[8]等間距獲取點(diǎn)云切片。

2 擬合截面圓心

2.1 經(jīng)典代數(shù)圓擬合

截面圓心點(diǎn)擬合的準(zhǔn)確與否，決定了后續(xù)軸線擬合的準(zhǔn)確性與同軸度計(jì)算的可信度。K?sa 方法是最為常見的圓擬合方法，計(jì)算效率快且方法簡單。本文的檢測對象較為小巧，待測軸頸直徑僅有30 mm。此時應(yīng)用K?sa 方法易產(chǎn)生較大誤差。Pratt 方法是對K?sa 方法的改進(jìn)。對于此類較大曲率圓擬合問題，Pratt 方法有明顯優(yōu)勢[9]。

Pratt 方法是一種代數(shù)擬合圓法，用來描述圓的代數(shù)方程為

將式（1）改寫為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：

為確保最終結(jié)果為圓，即(a,b,c,d)的值與任一標(biāo)量相乘的值均不會對圓的方程產(chǎn)生影響，假定a為1。在進(jìn)行圓擬合時，K?sa 方法通過計(jì)算線性目標(biāo)函數(shù)的最小值來找到擬合圓，Pratt 方法為了消除大曲率圓半徑的影響，將F0除以4R2，得式（4）。

應(yīng)用代數(shù)圓參數(shù)(a,b,c,d)對圓心、半徑進(jìn)行估計(jì)，可以將F1改寫為

根據(jù)約束條件式（3），可以將目標(biāo)函數(shù)描述為

用矩陣表示該擬合算法，將目標(biāo)函數(shù)F1改寫為

該式中的約束條件則變?yōu)?/p>

為方便求解約束最小化問題，本文引入Lagrange 乘子η，將式（7）轉(zhuǎn)換為無約束最小化函數(shù)，并以奇異值分解的方式對其進(jìn)行求解，最終尋找使F最小的η。

2.2 改進(jìn)的Pratt-RLTS 擬合方法

本文所研究的單拐曲軸兩端軸頸存在花鍵和小型孔洞，這些部件會導(dǎo)致在使用激光掃描儀掃描點(diǎn)云數(shù)據(jù)時產(chǎn)生不利于圓擬合的噪聲點(diǎn)。如圖3 所示，圖3a 和圖4b 已對點(diǎn)云進(jìn)行統(tǒng)計(jì)濾波降噪與降采樣工作，但花鍵、孔洞處仍存在位置相對集中的噪聲點(diǎn)，這將使得代數(shù)圓擬合所計(jì)算出的圓心位置結(jié)果出現(xiàn)較大偏差。此時，經(jīng)典的Pratt 圓擬合方法已無法滿足使用需要。

圖3 含噪點(diǎn)的軸頸點(diǎn)云

圖4 同軸度誤差模型

針對以上問題，本文在Pratt 方法的基礎(chǔ)上引入最小截平方（LTS）[10]的概念，提出了Pratt_RLTS圓擬合法。首先，根據(jù)前文中獲取的截面法向量將點(diǎn)云切片旋轉(zhuǎn)至垂直于z軸，把三維圓擬合轉(zhuǎn)換為二維圓擬合，之后以三點(diǎn)定圓的原則，隨機(jī)選擇3個點(diǎn)p0進(jìn)行初始Pratt 圓擬合，得到初始圓心(x0,y0)和半徑R0，計(jì)算各點(diǎn)與初始圓之間距離作為殘差值ei

利用LTS 中對各點(diǎn)處的殘差平方進(jìn)行排序，通過去除較高的殘差平方，最小化p個最小殘差平方的和以消除異常值對結(jié)果的影響，進(jìn)而保證結(jié)果的穩(wěn)定性。其優(yōu)化問題為

式中：m為待估計(jì)的參量個數(shù)。而對于本文曲軸點(diǎn)云數(shù)據(jù)，無關(guān)噪點(diǎn)占比一般不超過50%，為保證本方法不會達(dá)到崩潰點(diǎn)，因此選定p的數(shù)值為0.5n。

隨機(jī)選擇p0有一定概率會抽取到無關(guān)噪點(diǎn)，進(jìn)而造成圓心擬合偏差。因此，本文在處理算法中增加了迭代的過程。通過對以上過程進(jìn)行多次計(jì)算，并獲取每次迭代結(jié)果的殘差平方和RSSj：

式中：迭代次數(shù)In根據(jù)多次測試經(jīng)驗(yàn)，選定其數(shù)值為10。之后對RSSj再次進(jìn)行排序，進(jìn)而獲取整體殘差平方值最小的選點(diǎn)組合，并根據(jù)該組合的圓心和半徑作為最終的圓擬合結(jié)果。

3 同軸度誤差評定

對于軸類零件，同軸度表示為軸體中心線與基準(zhǔn)軸線之間的重合程度，其公差帶根據(jù)國家標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定，是以基準(zhǔn)軸線為中心、以公差值為直徑的三維圓柱區(qū)域[11]。以圖4 為例，被測圓柱體D的理想軸線為l，根據(jù)D實(shí)際表面構(gòu)建出真實(shí)軸線l2，以最小包容區(qū)域法尋找其最小包容圓柱區(qū)域d。其中，d的中心線與基準(zhǔn)軸線l1同軸，Φd即D的同軸度誤差，接觸點(diǎn)a為l2上距離l1的最大值點(diǎn)，l21與l22為D兩端面測定的圓心。

在評價單拐曲軸兩端待測軸頸的同軸度時，由于分別作為基準(zhǔn)和被測的兩個圓柱長度較短且二者之間相距較遠(yuǎn)，因此會產(chǎn)生一個較大的放大誤差[12]，如圖5 所示。任意截取出兩端軸頸長度32 mm 的圓柱，左側(cè)圓柱的第一個截面間隔右側(cè)圓柱第一個截面的距離為115 mm。若此處以左側(cè)圓柱作為基準(zhǔn)圓柱，右側(cè)圓柱作為被測圓柱，假設(shè)測量軸線在基準(zhǔn)圓柱第二截面與基準(zhǔn)軸線產(chǎn)生5 μm 的測量誤差，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例的性質(zhì)，在測量軸線抵達(dá)被測圓柱第一截面時，誤差值約為18 μm，而在到達(dá)第二截面后便放大至約23 μm，最終測量誤差被放大了約4.6 倍。為避免測量放大誤差對同軸度誤差測量的影響，本文采取兩端軸頸的公共軸線作為同軸度的基準(zhǔn)軸線，即分別獲取兩端軸頸多個截面的圓心，根據(jù)最小包容圓柱規(guī)則獲取公共基準(zhǔn)軸線，最終以截面圓心至公共基準(zhǔn)線的最大距離的兩倍作為同軸度的誤差值。

圖5 大間距同軸度測量放大誤差

同軸度基準(zhǔn)軸線目前公認(rèn)最佳的擬合方法為最小包容區(qū)域法。然而這種方法的實(shí)現(xiàn)難度較大，因此基準(zhǔn)軸線一般通過最小二乘法近似表示，或是通過應(yīng)用優(yōu)化算法不斷迭代逼近。本文此處選擇對其采用最小二乘法進(jìn)行計(jì)算。對于空間直線的最小二乘擬合法，需要最小化點(diǎn)云中各點(diǎn)到基準(zhǔn)軸線之間的距離平方和。設(shè)基準(zhǔn)軸線的方向向量為V(u,v,w)，且過點(diǎn)P(x0,y0,z0)，則空間直線的方程為

式（13）可以改寫為

其矩陣形式為

4 實(shí)驗(yàn)分析

4.1 圓擬合仿真驗(yàn)證

為驗(yàn)證本文方法對于單拐曲軸軸頸圓擬合的可行性，創(chuàng)建20 組圓心為(0,0)、半徑為15 mm 的樣本點(diǎn)云圓，每組點(diǎn)云中包含100 個數(shù)據(jù)點(diǎn)。為盡可能還原真實(shí)曲軸軸頸上花鍵和孔洞處的無關(guān)噪點(diǎn)，特設(shè)立在任一范圍內(nèi)增加20% 的聚集異常值，如圖6 所示。

圖6 樣本點(diǎn)云

以最小二乘法（LSC）、最小區(qū)域法（MZC）、隨機(jī)抽樣一致算法（RANSAC）以及Pratt_RLTS 法對樣本點(diǎn)云集進(jìn)行圓擬合對比驗(yàn)證。由圖7 中各方法的結(jié)果可知，在圓心橫縱坐標(biāo)的穩(wěn)定性方面，LSC 與MZC 效果最差，波動較大，且與圓心標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)相差較遠(yuǎn)；RANSAC 與本文所提出的Pratt_RLTS法在多組數(shù)據(jù)穩(wěn)定性上較為相近，但本文方法更接近于標(biāo)準(zhǔn)圓心，對于后期單拐曲軸的同軸度誤差檢測更有幫助。

圖7 圓擬合穩(wěn)定性測試

4.2 同軸度誤差測量

本實(shí)驗(yàn)研究所采用的激光掃描儀為Faro Design ScanArm，測量范圍2.5 m，最小點(diǎn)間距40 μm，同時配備Geomagic?Wrap 軟件，以實(shí)現(xiàn)單拐曲軸的表面三維掃描點(diǎn)云數(shù)據(jù)的采集工作。掃描工作過程中曲軸擺放在實(shí)驗(yàn)室桌面上，手持激光掃描儀對曲軸點(diǎn)云進(jìn)行采集，如圖8 所示。

圖8 點(diǎn)云掃描工作

在實(shí)驗(yàn)過程中共獲取了10 組曲軸點(diǎn)云，之后按照前文所提到的圓擬合方法依次對點(diǎn)云進(jìn)行處理。為驗(yàn)證本文同軸度測量的準(zhǔn)確性，采用海克斯康公司的三坐標(biāo)測量機(jī)（CMM）INNOVA PERFORMANCE進(jìn)行對比實(shí)驗(yàn)，如圖9 所示。該儀器坐標(biāo)定位精度較高（大于10 μm），分別對曲軸D1、D2端軸頸的多個截面進(jìn)行了同軸度與圓度測量。應(yīng)用CMM 進(jìn)行多次圓度測量后，得到曲軸D1、D2端軸頸的截面圓半徑分別為14.978 6 mm 和14.977 4 mm。以D2端軸頸處的普通切片點(diǎn)云Ct1、帶有花鍵噪點(diǎn)的切片點(diǎn)云Ct2以及帶有孔洞噪點(diǎn)的切片點(diǎn)云Ct3數(shù)據(jù)為例，4 種圓擬合方法與CMM 檢測結(jié)果之間絕對誤差值的均值見表1。

表1 軸頸圓擬合與CMM 檢測結(jié)果對比μm

圖9 三坐標(biāo)測量機(jī)檢測同軸度

從表1 中可以看出，4 種對于普通切片點(diǎn)云Ct1的處理結(jié)果區(qū)別并不明顯，其擬合程度的優(yōu)劣在處理帶有花鍵噪點(diǎn)的切片點(diǎn)云Ct2以及帶有孔洞噪點(diǎn)的切片點(diǎn)云Ct3有了明顯區(qū)別。因?yàn)榛ㄦI以及孔洞噪點(diǎn)的影響，LSC 與MZC 所擬合圓的半徑與CMM 檢測結(jié)果有很大的偏差，最小絕對誤差均值仍有8.3 μm；而本文方法Pratt_RLTS 的擬合結(jié)果較好，最大絕對誤差均值不超過4.8 μm。

對曲軸點(diǎn)云進(jìn)行同軸度檢測，圖10 所示為本文方法與CMM 檢測的10 組同軸度誤差，最大差值僅有5.7 μm，兩組數(shù)據(jù)之間絕對誤差的均值為3.9 μm，證明了同軸度誤差光學(xué)視覺評定方法有較高的準(zhǔn)確度，可應(yīng)用于曲軸同軸度的評定。

圖10 同軸度誤差值

5 結(jié)語

本文為解決曲軸同軸度的快速、準(zhǔn)確檢測，采用了激光掃描儀的檢測方案。在對切片進(jìn)行圓擬合時提出了Pratt_RLTS 圓擬合法，在Pratt 方法的基礎(chǔ)上引入最小截平方的概念，并對最小截平方進(jìn)行排序以排除噪聲點(diǎn)，優(yōu)化圓擬合結(jié)果。通過對存有花鍵及孔洞噪點(diǎn)的切片點(diǎn)云的實(shí)驗(yàn)證明，該擬合方法相較于CMM 檢測結(jié)果的絕對誤差均值不超過4.8 μm，有較高的準(zhǔn)確度。后續(xù)對曲軸兩端軸頸同軸度誤差進(jìn)行檢測，與CMM 檢測結(jié)果相比最大絕對誤差僅有5.7 μm，差值平均在3.9 μm，證明了本文檢測方案的可行性與準(zhǔn)確度。