具有非線性耦合的分?jǐn)?shù)階神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的聚類同步

王 雪，丁小帥，李 劍

（陜西科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與數(shù)據(jù)科學(xué)學(xué)院，陜西 西安 710021）

分?jǐn)?shù)階微積分[1-2]是指階次為分?jǐn)?shù)且與Γ 函數(shù)[3]密切相關(guān)的基本運(yùn)算，因其以加權(quán)形式積累了函數(shù)的全局信息，被廣泛用于描述實(shí)際中具有記憶特性或歷史依賴性的現(xiàn)象和過(guò)程，構(gòu)建更加精確的數(shù)學(xué)模型。目前，分?jǐn)?shù)階微分系統(tǒng)被廣泛應(yīng)用于圖像處理[4]、量子演化[5]、反常擴(kuò)散[6]、黏彈性材料[7]等領(lǐng)域。

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是基于網(wǎng)絡(luò)拓?fù)淅碚搧?lái)模擬人腦神經(jīng)突觸對(duì)復(fù)雜信息進(jìn)行處理的模型，其具有大規(guī)模并行處理、分布式存儲(chǔ)和非線性運(yùn)算等特點(diǎn)，因此具有較強(qiáng)的運(yùn)算能力、容錯(cuò)能力和自組織能力。近年來(lái)，分?jǐn)?shù)階微積分被引進(jìn)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的建模中[8-10]，使得模型的設(shè)計(jì)、表達(dá)和控制能力得到進(jìn)一步的提高。

同步是非線性動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)中的一種合作行為，指的是多個(gè)系統(tǒng)通過(guò)信息交互彼此影響，最終實(shí)現(xiàn)相同狀態(tài)的過(guò)程。根據(jù)不同的表現(xiàn)特征，同步又可分為多種形式，如投影同步[9]、完全同步[10]、聚類同步[11]等。其中，聚類同步指的是將一個(gè)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)分為不同的簇，同簇內(nèi)的節(jié)點(diǎn)互相實(shí)現(xiàn)同步，而不同簇的節(jié)點(diǎn)最終具有不同狀態(tài)的過(guò)程。現(xiàn)實(shí)中，許多網(wǎng)絡(luò)由于特定的目標(biāo)需要按照功能被劃分為不同的類別，因此，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的聚類同步得到了廣泛關(guān)注。

另外，為了實(shí)現(xiàn)同步目標(biāo)，需要選擇適當(dāng)?shù)目刂撇呗?，常?jiàn)的同步方法有脈沖控制[12]、采樣控制[13]、牽引控制[14]、自適應(yīng)控制[15]、事件觸發(fā)控制[16]、反饋控制[17]等。值得一提的是，牽引控制只需對(duì)一部分節(jié)點(diǎn)設(shè)計(jì)控制器就可以實(shí)現(xiàn)整個(gè)網(wǎng)絡(luò)的同步目標(biāo)，具有較小的控制成本。而脈沖控制是一種不連續(xù)控制方法，具有安裝方便、可靠性強(qiáng)和維護(hù)成本低等優(yōu)點(diǎn)?；诖?，很多學(xué)者結(jié)合二者優(yōu)勢(shì)，研究了系統(tǒng)的牽引脈沖控制。文獻(xiàn)[18]和文獻(xiàn)[19]分別研究了基于牽引脈沖控制的復(fù)值神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的同步問(wèn)題和隨機(jī)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的聚類同步問(wèn)題；文獻(xiàn)[20]采用牽引脈沖控制研究了分?jǐn)?shù)階復(fù)雜動(dòng)力網(wǎng)絡(luò)的指數(shù)同步問(wèn)題；文獻(xiàn)[21]通過(guò)牽引脈沖控制實(shí)現(xiàn)了分?jǐn)?shù)階切換神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的聚類同步。但是，借助牽引脈沖控制策略，研究帶非線性耦合項(xiàng)的分?jǐn)?shù)階神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的聚類同步控制問(wèn)題的文獻(xiàn)并不多見(jiàn)。

本文針對(duì)具有不確定參數(shù)的非線性耦合分?jǐn)?shù)階神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，研究其在牽引脈沖控制作用下與驅(qū)動(dòng)節(jié)點(diǎn)實(shí)現(xiàn)聚類同步的問(wèn)題。選擇基于平均脈沖區(qū)間的牽引脈沖控制策略，給出分?jǐn)?shù)階神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)聚類同步的充分條件。

1 預(yù)備知識(shí)

1.1 符號(hào)說(shuō)明

C、R、Z+和R+表示復(fù)數(shù)集、實(shí)數(shù)集、正整數(shù)集和正實(shí)數(shù)集；Rn表示n 維實(shí)數(shù)列向量，Rn×m表示n × m維實(shí)數(shù)矩陣；In表示n 維單位矩陣；‖·‖表示矩陣或向量的2-范數(shù)；對(duì)于矩陣K，KT表示其轉(zhuǎn)置矩陣，λmax（K）表示其最大特征值，K >0 或K <0 表示K為正定矩陣或負(fù)定矩陣，KS=（K+KT）/2；定義A=（N，E，R）表示圖論，其中N={1，…，N}表示節(jié)點(diǎn)集，E ?N × N 表示邊緣集，R∈RN×N表示耦合矩陣；A 被分為m 個(gè)聚類，標(biāo)記為C1={1,…，v1}，C2={v1+1，…，v2}，…，Cm={vm-1+1，…，vm}，其中vm=N。

1.2 分?jǐn)?shù)階微積分概述

定義1[22]連續(xù)可微函數(shù)f（·）的α 階Caputo 分?jǐn)?shù)階微分定義為

其中t≥t0，0 <α <1，Γ（·）為Γ 函數(shù)。

定義2[23]對(duì)任意σ∈C，具有雙參數(shù)α，β∈R+的Mittag-Leffler 函數(shù)定義為

當(dāng)β=1 時(shí)成為單參數(shù)的Mittag-Leffler 函數(shù)，其定義為

特別地，當(dāng)α=β=1 時(shí)，其定義為

引理1[24]假設(shè)x（t）∈Rn是可微的函數(shù)向量。若V（t）為區(qū)間[t0，+∞]上的連續(xù)函數(shù)，并且滿足≤φV（t，x（t）），則

成立，其中，0 <α <1，φ <0。

1.3 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型描述

本文考慮一類具有非線性耦合的分?jǐn)?shù)階延遲神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型

其中：0 <α <1；t≥t0；i∈Cp；p=1，2，…，m；xi（t）∈Rn表示第i 個(gè)節(jié)點(diǎn)的狀態(tài)向量；f（xi（t））=（f（xi1（t）），…，f（xin（t）））T∈Rn表示激活函數(shù)；Φ（xj（t））=（Φ（xj1（t）），…，Φ（xjn（t）））T∈Rn表示非線性耦合函數(shù)；Ap=diag{ap1，…，apn} >0 表示第p 聚類的自反饋矩陣；Bp∈Rn×n表示第p 聚類的連接矩陣；ΔAp∈Rn×n和ΔBp∈Rn×n表示不確定系 數(shù)；d表示耦合強(qiáng)度；H=diag{h1，…，hn} >0 表示內(nèi)部耦合矩陣；ΔH∈Rn×n表示不確定內(nèi)部耦合矩陣；R=（rij）∈RN×N表示外部耦合矩陣，其滿足Ip（t）∈Rn表示第p 聚類的外部輸入向量；ui（t）∈Rn表示控制輸入向量。

假設(shè)1對(duì)任意的x，y∈R，存在常數(shù)k≥0使得

假設(shè)2對(duì)任意的x，y∈R，存在常數(shù)β >0，?k>0，函數(shù)ak（x），bk（x）使得

其中k=1，…，n。

注1非線性耦合問(wèn)題廣泛存在于實(shí)際的分?jǐn)?shù)階復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)中。利用適當(dāng)?shù)耐队安呗裕梢詫⒎蔷€性耦合函數(shù)分解為振蕩部分和線性部分βx。

假設(shè)3考慮到參數(shù)的不確定性會(huì)對(duì)分?jǐn)?shù)階神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的聚類同步產(chǎn)生影響，假設(shè)不確定參數(shù)矩陣ΔAp，ΔBp滿足

其中k1>0，k2>0。

注2在實(shí)際應(yīng)用中，由于系統(tǒng)建模誤差、外界干擾和參數(shù)波動(dòng)等因素的影響，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的參數(shù)可能存在偏差，從而導(dǎo)致參數(shù)的不確定性。

假設(shè)4耦合矩陣R 可寫(xiě)成分塊形式

本文所考慮的誤差系統(tǒng)可描述為

其中i∈Cp，p=1，…，m。定義映射ψ：{1，2，…，N}→{1，2，…，m}，則式（7）還可表示為ei（t）=xi（t）-SCφ（i）（t），其中，ψ（i）=p，p=1，…，m，i=1，…，N。

定義3[25]如果存在p，q=1，…，m，滿足

其中i∈Cp，p≠q，則稱分?jǐn)?shù)階神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（5）與（6）是聚類同步的。特別地，當(dāng)p=1 時(shí)，v1=N，聚類同步退化為完全同步。

對(duì)于未添加控制的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（5），同一聚類中節(jié)點(diǎn)的軌跡往往不同，這意味著聚類所含節(jié)點(diǎn)軌跡與目標(biāo)軌跡（6）存在偏差，因此，需要對(duì)原網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)適當(dāng)?shù)目刂破鳎詫?shí)現(xiàn)同步目標(biāo)。我們選擇牽引脈沖控制策略，在同一聚類的部分節(jié)點(diǎn)上添加脈沖控制。

設(shè)計(jì)一個(gè)統(tǒng)一的脈沖控制器

引入脈沖控制器（10），則系統(tǒng)（5）與系統(tǒng)（6）的誤差系統(tǒng)描述為

引理2[21]對(duì)于任意μ >0，X，Y∈Rn，P∈Rn×n使得

2 主要結(jié)論

在本節(jié)中討論一類具有非線性耦合的分?jǐn)?shù)階神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在牽引脈沖控制下實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)（5）和系統(tǒng)（6）的聚類同步。

其中：Θ=diag（θ1，θ2，…，θn）；

（5）在牽引脈沖控制下與系統(tǒng)（6）是聚類同步的。

證明：構(gòu)造Lyapunov 函數(shù)

當(dāng)t∈[tn，tn+1]時(shí)，對(duì)式（14）兩邊求α 階分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)可得

根據(jù)假設(shè)1、假設(shè)3 和引理2 有

由式（18）—（21）得

下面討論耦合節(jié)點(diǎn)情況，根據(jù)假設(shè)2、假設(shè)3、引理2、引理3 和引理4 有

其中，

由式（23）和（24）得

根據(jù)式（22）和（25）有

根據(jù)式（13）可推得

由引理1 可得

根據(jù)式（28）和（29）可知，當(dāng)t∈[t0，t1）時(shí)，有

當(dāng)t∈[t1，t2）時(shí)，有

當(dāng)t∈[tn，tn+1）時(shí)，有

由上述分析可知，當(dāng)t≥t0時(shí)，

式（30）可進(jìn)一步表示為

特別地，當(dāng)α=1 時(shí)，系統(tǒng)（5）變?yōu)檎麛?shù)階神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，即

其中：t≥0；i∈Cp；p=1，…，m。

假設(shè)SCp（t）∈Rn表示第p 聚類中孤立節(jié)點(diǎn)的狀態(tài)，其滿足方程

將系統(tǒng)（33）作為響應(yīng)系統(tǒng)，系統(tǒng)（34）作為驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，在脈沖控制器（10）的作用下，系統(tǒng)（33）和系統(tǒng)（34）可得到下面的同步性結(jié)論。

推論1在假設(shè)1、假設(shè)2 和假設(shè)3 成立的前提下，給定常數(shù)μ1>0，μ2>0，β>0，矩陣Θ>0，Υ>0，存在矩陣K >0，G >0，使得式（13）成立，則系統(tǒng)（33）在牽引脈沖控制下與系統(tǒng)（34）是聚類同步的。

當(dāng)t≥t0時(shí)，有

當(dāng)t→∞時(shí)，有V（t）→0。因此，在脈沖控制器（10）的作用下，系統(tǒng)（33）和系統(tǒng)（34）是聚類同步的。

證畢。

當(dāng)p=1 時(shí)，v1=N，則系統(tǒng)（5）變?yōu)?/p>

假設(shè)S（t）∈Rn表示孤立節(jié)點(diǎn)的狀態(tài)，其滿足方程

將系統(tǒng)（35）作為響應(yīng)系統(tǒng)，系統(tǒng)（36）作為驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，在脈沖控制器（10）的作用下，系統(tǒng)（35）和系統(tǒng)（36）可得到下面的同步性結(jié)論。

推論2在假設(shè)1、假設(shè)2 和假設(shè)3 成立的前提下，給定常數(shù)μ1>0，μ2>0，0 <α <1，β >0，矩陣Θ >0，Υ >0，存在矩陣K >0，G >0 使得式（13）成立，則系統(tǒng)（35）在牽引脈沖控制下與系統(tǒng)（36）是同步的。

證明：類似于定理1 的證明，故略去。

3 數(shù)值仿真

考慮具有非線性耦合的分?jǐn)?shù)階神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)為

假設(shè)系統(tǒng)（37）中各簇的孤立節(jié)點(diǎn)狀態(tài)為

則由定理1 可知，系統(tǒng)（37）和系統(tǒng)（38）在脈沖控制器（10）下是聚類同步的。

給定初值φ=（1.5，-6，6，-3，1.5，-5，-6.5，-2.3，6，2，-5.3，6.5，-2.4，1，-5.3，-5.8，-3，6.5，2.5，-6.5，5.8，-3.4，0.7，-4.6，-6.8，-2.7，5.8）T。在脈沖控制器（10）的作用下，系統(tǒng)（37）的狀態(tài)軌跡如圖1 所示，系統(tǒng)（37）和系統(tǒng)（38）的誤差范數(shù)‖e（t）‖的演化如圖2 所示，由此易得系統(tǒng)（37）和系統(tǒng)（38）是聚類同步的。

圖1 在控制器（10）的作用下系統(tǒng)（37）的狀態(tài)軌跡（i=1，2，…，9）Fig.1 State trajectories of system（37）under controller（10）（i=1，2，…，9）

圖2 系統(tǒng)（37）和系統(tǒng)（38）的誤差范數(shù)‖e（t）‖的演化Fig.2 Evolution of error norm ‖e（t）‖ of system（37）and system（38）

當(dāng)α=1 時(shí)，系統(tǒng)（37）退化為系統(tǒng)（33），定理1中的條件（13）仍適用于系統(tǒng)（33）。在脈沖控制器（10）下，系統(tǒng)（33）的狀態(tài)軌跡如圖3 所示，系統(tǒng)（33）和系統(tǒng)（34）的誤差范數(shù)‖e（t）‖的演化如圖4所示，由此易得系統(tǒng)（33）和系統(tǒng)（34）是聚類同步的。

圖3 在控制器（10）的作用下系統(tǒng)（33）的狀態(tài)軌跡（i=1，2，…，9）Fig.3 State trajectories of system（33）under controller（10）（i=1，2，…，9）

圖4 系統(tǒng)（33）和系統(tǒng)（34）的誤差范數(shù)‖e（t）‖的演化Fig.4 Evolution of error norm ‖e（t）‖ of system（33）and system（34）

4 結(jié)束語(yǔ)

本文針對(duì)具有不確定參數(shù)的非線性耦合分?jǐn)?shù)階神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，設(shè)計(jì)了基于平均脈沖區(qū)間的牽引脈沖控制器對(duì)部分節(jié)點(diǎn)進(jìn)行控制，實(shí)現(xiàn)了網(wǎng)絡(luò)的聚類同步。此外，構(gòu)造合適的Lyapunov 函數(shù)，并利用不等式放縮技巧，建立了保守性較小的聚類同步準(zhǔn)則。仿真實(shí)驗(yàn)表明了脈沖控制器的有效性，同時(shí)也驗(yàn)證了理論結(jié)果的正確性。