G-布朗運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)的隨機(jī)微分方程的全局漸近穩(wěn)定性

劉存霞

(煙臺(tái)大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,山東 煙臺(tái) 264005)

PENG[1-3]建立了有關(guān)G-期望,G-布朗運(yùn)動(dòng)的基礎(chǔ)理論和相應(yīng)的隨機(jī)計(jì)算,這里G是相應(yīng)非線性熱方程的無(wú)窮小生成元。由于在不確定性問(wèn)題,風(fēng)險(xiǎn)度量以及金融產(chǎn)品定價(jià)等方面具有豐富的應(yīng)用潛力,眾多學(xué)者對(duì)G-期望、G-布朗運(yùn)動(dòng)理論開(kāi)展了大量研究[4-6]。

在系數(shù)滿足全局 Lipschitz 假設(shè)下,PENG[1]首先給出了如下由d維G-布朗運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)的n維隨機(jī)微分方程(G-SDE)解的存在唯一性定理:

(1)

其中:x(0)=x0∈n為初值,B是一個(gè)d維G-布朗運(yùn)動(dòng),〈B,B〉=(〈Bi,Bj〉)i,j=1,…,d為B的交互變差,系數(shù)f(·,·),hij(·,·),gj(·,·):[0,T]×n→n(特別地,本文中采用 Einstein 記號(hào))。由此,G-布朗運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)的隨機(jī)微分方程解的存在唯一性及相關(guān)穩(wěn)定性問(wèn)題也迅速成為研究的熱點(diǎn)。例如,GAO[7]進(jìn)一步研究了上述G-SDE解的軌道性質(zhì)及相應(yīng)于初值的同胚性問(wèn)題,文獻(xiàn)[8]研究了G-SDE解的指數(shù)穩(wěn)定性問(wèn)題,文獻(xiàn)[9]和[10]分別給出了脈沖G-SDE解的指數(shù)穩(wěn)定性和p-階矩穩(wěn)定的充分條件,文獻(xiàn)[11]討論了時(shí)滯G-SDE解的漸近有界和 穩(wěn)定性問(wèn)題。此外,為克服全局 Lipschitz 假設(shè)的局限性,文獻(xiàn)[12]通過(guò)引入一個(gè)Lyapunov 條件,在系數(shù)滿足局部 Lipschitz 條件的假設(shè)下給出了解的全局解的存在唯一性,同時(shí)討論了平凡解的p階矩指數(shù)穩(wěn)定和漸近穩(wěn)定等問(wèn)題。文獻(xiàn)[13-14]引入了一致漸近穩(wěn)定函數(shù) (UASF) 來(lái)研究線性時(shí)變和時(shí)滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性問(wèn)題,文獻(xiàn)[15]基于UASF 改進(jìn)了若干由有色噪聲驅(qū)動(dòng)的非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性定理。與已有結(jié)果來(lái)比較,UASF 的引入減弱了構(gòu)造 Lyapunov 函數(shù)時(shí)的若干約束。

受以上工作啟發(fā),本文研究G-SDE平凡解的穩(wěn)定性問(wèn)題,通過(guò) UASF 給出了G-SDE(1)的平凡解擬必然意義下全局漸近穩(wěn)定的一個(gè)充分條件,并通過(guò)例子予以驗(yàn)證。

1 預(yù)備知識(shí)

ρ(ω1,ω2):=

Bt(ω)=ωt為典范過(guò)程。

對(duì)t∈[0,∞),定義以下記號(hào):

·B(Ω):Ω的 Borelσ-域。

·Ωt={ω.∧t:ω∈Ω},Ft:=B(Ωt)。

·L0(Ω):實(shí)值B(Ω)-可測(cè)函數(shù)空間。

·L0(Ωt):實(shí)值B(Ωt)-可測(cè)函數(shù)空間。

·Bb(Ω):L0(Ω)中的有界元;Bb(Ωt):=Bb(Ω)∩L0(Ωt)。

·Cb(Ω):Bb(Ω)中的連續(xù)元;Cb(Ωt):=Cb(Ω)∩L0(Ωt)。

·Cb,lip(d×n):d×n中的有界Lipschitz 函數(shù)全體。

·Lip(Ω):={φ(Bt1,…,Btn):n≥1,0≤t1<…

·Lip(Ωt):=Lip(Ω)∩L0(Ωt)。

ξ=φ(Bt1,Bt2-Bt1,…,Btn-Btn-1),

0≤t1

定義

[ξ]:=u1(0,0),

這里u1(0,0)∈且滿足對(duì)k=n,…,1,uk:=uk(t,x;x1,…,xk-1)是(t,x)的函數(shù)且以(x1,…,xk-1)∈d×(k-1)為參數(shù),uk為以下定義于[tk-1,tk)×d上的G-熱方程的粘性解:

此時(shí),在G-期望[·]下典范過(guò)程(Bt)t≥0是一個(gè)G-布朗運(yùn)動(dòng)[3]?？紤]下述簡(jiǎn)單過(guò)程集:

?N∈,0=t0<…

ξi∈Bb(Ωti),i=0,…,N-1},

‖η‖p:=[

其中EP是關(guān)于概率測(cè)度P的線性期望,B(Ω)是Ω的 Borelσ-域。對(duì)于P,相關(guān)的容度定義為(A):=supP∈PP(A),A∈B(Ω)

定義1如果(A)=0,則稱集A∈B(Ω)為極集。如果一個(gè)性質(zhì)在一個(gè)極集之外成立,那么它就被稱為擬必然成立(簡(jiǎn)記為:q.s.)。

引理1(G-Markov不等式)[5]設(shè)對(duì)任意p>0,X∈L0(Ω)滿足[|X|P]<∞,則對(duì)任意實(shí)數(shù)a>0有

?xvV(·,X(·))(hvij(·,X(·))+hvji(·,X(·)))+

下面給出一致漸近穩(wěn)定函數(shù)的定義,詳細(xì)內(nèi)容可參見(jiàn)文獻(xiàn)[13]或[14]。

2 主要結(jié)果

首先給出以下定義。

定義4記x(t):=x(t;0,x0)為G-SDE(1)對(duì)應(yīng)初值x(0)=x0∈n的解,若對(duì)任意的∈(0,1),均存在函數(shù)β∈KL使得

{|x(t)|≤β(|x0|,t)}≥1-,?t≥0,

則稱G-SDE (1)的平凡解是擬必然全局漸近穩(wěn)定的。

(A1) 系數(shù)f(·,·),hij(·,·),gj(·,·):[0,T]×n→n關(guān)于變量t均為確定性函數(shù)且對(duì)任意的x,x′∈B0(R):={a:|a|≤R},存在僅依賴于R的正數(shù)CR使得對(duì)任意t∈[0,T],均有

|f(t,x)-f(t,x′)|+‖h(t,x)-h(t,x′)‖+

‖g(t,x)-g(t,x′)‖≤CR|x-x′|,

這里‖·‖表示Hilbert-Schmidt 矩陣范數(shù)。

經(jīng)典的隨機(jī)微分方程中,局部Lipschitz 條件僅能保證最大區(qū)間[0,σ∞)上解的存在唯一性[16],這里

σk=inf{t≥0:|x(t)|≥k},

且設(shè)定infΦ=∞,這一結(jié)論在G-SDE中同樣成立。為獲得局部Lipschitz 條件下G-SDE(1)全局解的存在唯一性,文獻(xiàn)[12]給出了以下 Lyapunov-型條件:

(A2) 存在 Lyapunov 函數(shù)V∈C1,2([0,T]×n;+)以及常數(shù)C>0,使得

且對(duì)任意的(t,x)∈[0,T]×n,有

LV(t,x)≤CV(t,x),

其中L是如下形式的微分算子:

LV=?tV+?xvVfv+G((?xvV·(hvij+

(2)

文獻(xiàn)[12]在條件 (A1),(A2) 下證明了G-SDE(1) 全局解的存在唯一性。為研究系統(tǒng)穩(wěn)定性,引入如下假設(shè):

(A3) 對(duì)任意的t≥0,f(t,0)=0,h(t,0)=0,g(t,0)=0。

顯然,在假設(shè) (A3) 下G-隨機(jī)系統(tǒng) (1) 對(duì)應(yīng)初值x0=0存在平凡解x(t)≡0。

定理1對(duì)G-SDE(1),設(shè)條件 (A1),(A3) 成立且存在函數(shù)V(t,x)∈C1,2([0,∞)×n;+),c1,c2∈K∞以及一個(gè)UASFμ(t)使得

c1(|x|)≤V(t,x)≤c2(|x|),t≥0,

(3)

LV(t,x)≤μ(t)V(t,x),

(4)

則G-SDE(1) 存在唯一解且其平凡解是擬必然全局漸近穩(wěn)定的。

應(yīng)用G-It公式,得

dφ(t,x(t))=

(?tφ(t,x(t))+?xvφ(t,x(t))fv(t,x(t)))dt+

(?xvφ(t,x(t))hvij(t,x(t))+

由引理2,有

φ(t,x(t))-φ(0,x0)=

(5)

其中

即

由局部Lipschitz 條件知,G-SDE(1)存在最大解。進(jìn)一步地,由G-馬爾科夫不等式,采用類(lèi)似文獻(xiàn)[12]中 Theorem 3.19 或文獻(xiàn)[16]中 Theorem 4.5 的證明方法,易得σ∞=∞,q.s.,即G-SDE(1)存在唯一全局解。進(jìn)一步地,由條件(4)得

V(t,x(t))≤e-λt+d0V(0,x0)≤e-λt+d0c2(|x0|)。

記β2(t,|x0|)?e-λt+d0c2(|x0|),由引理1,對(duì)0<<1有

{c1(|x(t)|)≥-1β2(t,|x0|)}≤

{V(t,x(t))≥-1β2(t,|x0|)}≤,

從而

-1β2(t,|x0|))}≥1-,

注:由引理3知,當(dāng)μ(t)=-λ(λ≥0)時(shí)是一個(gè)USAF,易見(jiàn)定理1的結(jié)果在一定程度上推廣了文獻(xiàn)[12]中的相關(guān)結(jié)果。

3 例 子

例1 考慮下述G-SDE:

(6)

這里B(t)是一個(gè)1維G-布朗運(yùn)動(dòng)且

Vx(t,x(t))h(t,x(t))=2sin2tx2(t),

及

G(〈Vx(t,x(t)),2h(t,x(t))〉+

〈Vxx(t,x(t))g(t,x(t)),g(t,x(t))〉)=

從而

LV(t,x(t))=Vt(t,x(t))+Vx(t,x(t))f(t,x(t))+

G(〈Vx(t,x(t)),2h(t,x(t))〉+

〈Vxx(t,x(t))g(t,x(t)),g(t,x(t))〉)≤