手性回音壁微腔的有限元仿真

張維元,俞驍翀

(北京師范大學(xué) 物理學(xué)系,北京 100875)

光學(xué)微腔能夠同時(shí)在空間和頻率維度上約束光場,將諧振光子長時(shí)間局限在微納尺度,并多次作用于模式范圍內(nèi)的物質(zhì),極大增強(qiáng)了光與物質(zhì)相互作用,是基礎(chǔ)光物理和光子學(xué)應(yīng)用研究的重要平臺(tái)[1].其中,基于全內(nèi)反射約束光場的回音壁微腔具有超高的品質(zhì)因子和很小的模式體積,備受研究者們關(guān)注,在微型激光器[2-5]、微腔非線性光學(xué)與光頻梳[6-7]、集成光子學(xué)回路[8-9]和高靈敏光學(xué)傳感[10-15]等領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用.

光學(xué)微腔中的回音壁模式滿足矢量波動(dòng)方程以及電磁場邊界條件.除了二維圓腔、三維球腔等少數(shù)旋轉(zhuǎn)對(duì)稱規(guī)則幾何形狀具有簡單的解析解外,人們也發(fā)展了多種近似手段和數(shù)值方法分析介觀微腔中的回音壁模式.一般回音壁模式按偏振可以分為橫電(TE)模式和橫磁(TM)模式,在結(jié)構(gòu)對(duì)場約束不太大時(shí)大致為線偏振狀態(tài),這也限制了回音壁模式與一些手性物質(zhì)的相互作用時(shí)的可區(qū)分度.

本文考慮在微腔中使用手性材料,以得到相比常規(guī)回音壁模式更為豐富的模式偏振,開拓回音壁模式的偏振調(diào)控自由度,可以更好的進(jìn)行各種基礎(chǔ)光物理和光子學(xué)應(yīng)用.基于麥克斯韋方程組和手性材料唯象本構(gòu)關(guān)系,本文將對(duì)存在手性材料時(shí)的回音壁模式偏振特性進(jìn)行分析,建立并驗(yàn)證適用于有限元方法的手性材料微納結(jié)構(gòu)仿真框架.

1 手性材料中的電磁場

對(duì)于旋光性相對(duì)較弱的常見手性材料,將唯象本構(gòu)關(guān)系中的與旋光性相關(guān)的交叉耦合項(xiàng)作為微擾,已經(jīng)足以計(jì)算出光學(xué)模式以及對(duì)應(yīng)的本征頻率.但是考慮到日益發(fā)展的納米技術(shù),電磁場之間的交叉耦合越來越不適合作為微擾效應(yīng),開發(fā)非微擾的模式求解手段還是非常有必要的.

首先考慮本構(gòu)關(guān)系[16-18]：

(1)

(2)

(3)

在均勻材料區(qū)域中,e±ih分別滿足矢量亥姆霍茲方程：

(4)

獨(dú)立邊界條件可以?。?/p>

(5)

由于電磁場在均勻介質(zhì)中滿足橫波條件,上述矢量亥姆霍茲方程解的形式只能取為

e±ih=

(6)

其中,A±可以取為標(biāo)量亥姆霍茲方程的解乘以一個(gè)簡單矢量場.可以發(fā)現(xiàn),在手性材料存在下,電磁場不可能由單一的線偏振場來描述.以下以波動(dòng)方程的平面波解和柱面波解為例,簡要分析手性材料中的電磁場傳播模式和諧振模式特性.

1.1 平面電磁波

對(duì)于平面電磁波,可以取

(7)

直接得到

電磁場為左右旋圓偏振平面波的疊加.由于兩束圓偏振光具有不同的波速,偏振方向?qū)l(fā)生旋轉(zhuǎn),即產(chǎn)生旋光現(xiàn)象.

1.2 柱面電磁波

對(duì)于軸對(duì)稱結(jié)構(gòu),考慮半徑為R的二維圓腔,其內(nèi)外相對(duì)介電常數(shù)和磁導(dǎo)率分別為ε、μ和ε1、μ1.利用對(duì)稱性,內(nèi)外部分別取為

(9)

其中k和k1分別為腔內(nèi)外的波矢,z方向?yàn)檩S向,其內(nèi)部和外部解分別為

(10)

(11)

對(duì)于常規(guī)材料(κ1= 0),上式變?yōu)槌Ｒ姷亩S圓腔特征方程

(12)

其中J+=J-=J,H+=H-=H.特征方程左側(cè)兩項(xiàng)分別代表不同的偏振模式.

2 手性材料微結(jié)構(gòu)的有限元電磁場仿真

對(duì)于其它更加不規(guī)則的結(jié)構(gòu),上述理論分析可以通過模式分解、邊界元等手段進(jìn)行數(shù)值計(jì)算,但是需要針對(duì)不同的應(yīng)用情形進(jìn)行開發(fā).而有限元等仿真方法則直接通過數(shù)值求解麥克斯韋方程組得到電磁場分布,更具有通用性.以下將通過改寫具有唯象本構(gòu)關(guān)系麥克斯韋方程組,實(shí)現(xiàn)通用的、兼容主流有限元軟件的手性材料仿真框架.使得計(jì)算手性材料存在下的傳播、散射、耦合、本征值問題更加方便.

2.1 有限元仿真框架

通過重新定義電位移和磁場強(qiáng)度矢量

(13)

可以將存在手性材料的麥克斯韋方程組變換為自洽的有源形式

(14)

其中,自由電荷密度

ρe=-i

(15)

電流密度

(16)

在材料交界面處,還將存在由χ突變所引起的邊界電流

(17)

(18)

至此,需要求解的變量均只與電場相關(guān),兼容常規(guī)的波動(dòng)光學(xué)仿真的設(shè)置.

2.2 二維圓腔仿真

利用COMSOL軟件的波動(dòng)光學(xué)模塊,在二維軸對(duì)稱模型下,對(duì)圓腔進(jìn)行了仿真.圓腔半徑R=10 μm,內(nèi)外部折射率分別為1.445和1,方位角模式數(shù)m=50,內(nèi)外部手性b=b1同步變化.仿真結(jié)果如圖1所示.其中,本征頻率在手性反號(hào)時(shí)不發(fā)生變化(圖1a).這可以從兩方面進(jìn)行解釋：從對(duì)稱性角度,手性反號(hào)等價(jià)于進(jìn)行了一次鏡像操作,模式也變?yōu)槠溏R像;從特征方程角度,等價(jià)于公式(11)中的正負(fù)腳標(biāo)發(fā)生交換,并不改變特征方程.這說明鏡像對(duì)稱的常規(guī)微腔僅通過簡單觀察模式的諧振頻率移動(dòng)來進(jìn)行手性物質(zhì)的區(qū)分是不可行的.而當(dāng)模式存在對(duì)稱破缺時(shí),如果微腔存在垂直于旋轉(zhuǎn)軸的反映面,也無法從本征頻率區(qū)分手性的符號(hào).將仿真得到的模式場分布與直接求解波動(dòng)方程得到的精確解進(jìn)行了比較(圖1b-d),發(fā)現(xiàn)兩者完全重合,證明上述仿真方法的可靠性.

圖1 圓腔模式的場分布及旋光性依賴.

引入手性材料后,腔模偏振特性如圖2所示.定義手性參數(shù)P=(|Er+iEz|2-|Er-iEz|2)/2(|Er|2+|Ez|2)來表征模式中左右旋圓偏振光的比例,結(jié)果顯示了與旋光參數(shù)間的強(qiáng)烈依賴.在初始無旋光的情形下,腔內(nèi)模式為線偏振的TE模和TM模.當(dāng)腔體材料具有旋光性時(shí),腔內(nèi)的電場逐漸由線偏振變?yōu)闄E圓偏振,并最終成圓偏振.其中原TM模式的偏振波動(dòng)較大是因?yàn)榕c其他模式交叉耦合所致,使它具備了一些周圍模式的偏振特性.

圖2 (a) 微腔邊界處TE模式的手性隨旋光參數(shù)的變化,插圖為b=-0.1和0.1時(shí)的電場偏振態(tài)(b) 微腔邊界處TM模式的手性隨旋光參數(shù)的變化,插圖為b=0.05和0.1時(shí)的電場偏振態(tài)

當(dāng)微腔內(nèi)外材料的手性不再同步變化時(shí),內(nèi)部或者外部手性變化才有可能導(dǎo)致不對(duì)稱的模式移動(dòng).圖3比較了內(nèi)部手性從零變到非零(b=0.2)時(shí),腔模諧振頻率對(duì)外部介質(zhì)手性的響應(yīng),以及外部手性從零變到非零(b1=0.2)時(shí),腔模諧振頻率對(duì)內(nèi)部介質(zhì)手性的響應(yīng).當(dāng)內(nèi)部或外部介質(zhì)具有旋光性時(shí),腔模諧振頻率確實(shí)產(chǎn)生了非對(duì)稱的手性響應(yīng).這使得我們有望通過檢測模式的諧振頻率來測量介質(zhì)的旋光性,并進(jìn)而對(duì)其成分進(jìn)行確定.特別地,初始的TE和TM模式的響應(yīng)是相反的,這更加有助于提高靈敏度并補(bǔ)償環(huán)境擾動(dòng).

圖3 在內(nèi)外部材料手性不同步變化時(shí),TM和TE模式與旋光性的依賴關(guān)系,其中虛線為TM模式,實(shí)線為TE模式.

圖4 三類常見微結(jié)構(gòu)中手性誘導(dǎo)的模式分布變化,上圖為無旋光性,下圖為有旋光性.

2.3 對(duì)其它旋光性微納結(jié)構(gòu)的仿真

對(duì)于其他手性材料微納結(jié)構(gòu),前述的有限元仿真框架均能夠進(jìn)行有效的計(jì)算.在圖4中,展示了由手性材料組成的橢圓微腔(圖4(a))、圓柱波導(dǎo)(圖4(b))以及內(nèi)部存在手性溶液的三維微泡腔(圖4(c))的模式電場分布(下圖),并與無手性的常規(guī)微納結(jié)構(gòu)(上圖)進(jìn)行了對(duì)比,可以明顯發(fā)現(xiàn)手性材料對(duì)模式偏振的影響.例如在手性圓柱波導(dǎo)中,基模的場分布是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱的,明顯表現(xiàn)出了圓偏振模式的特征.

3 小結(jié)

本文基于麥克斯韋方程組和手性材料的唯象本構(gòu)關(guān)系建立了兼容有限元仿方法的旋光性仿真框架,并使用COMSOL軟件的波動(dòng)光學(xué)模塊對(duì)其進(jìn)行了驗(yàn)證,成功得到了二維、三維下多種光學(xué)微納結(jié)構(gòu)在加入旋光性后的模式場分布.這為手性材料微納結(jié)構(gòu)中模式非微擾分析以及針對(duì)手性檢測的微納光學(xué)器件的設(shè)計(jì)提供的有力的工具.