斜率為定值的弦中點(diǎn)軌跡方程問題

王玉慶

【摘要】斜率為定值的弦中點(diǎn)軌跡方程問題是圓錐曲線軌跡方程中一類經(jīng)典的題型，常借助根與系數(shù)的關(guān)系、點(diǎn)差法、坐標(biāo)轉(zhuǎn)換法來(lái)解答.

【關(guān)鍵詞】圓錐曲線；斜率為定值的弦中點(diǎn)

考查圓錐曲線中點(diǎn)軌跡方程的題型有很多種，本文以一道題為例，單獨(dú)討論斜率為定值的弦中點(diǎn)軌跡方程問題的三種常用方法.

題目? 已知橢圓x22+y2=1的弦AB所在的直線的斜率是2，求AB中點(diǎn)M的軌跡方程.

方法1? 借助根與系數(shù)的關(guān)系

在解析幾何中直線和曲線相交于兩點(diǎn)是最經(jīng)典的題型，主要考查二次方程韋達(dá)定理的應(yīng)用，其中韋達(dá)定理描述的是在一元n次方程中根與系數(shù)的關(guān)系[1].

解? 設(shè)弦所在的直線為y=2x+b，

由y=2x+b，x22+y2=1，

消去y，得到9x2+8bx+2b2－2=0，

Δ=8b2－4×9×2b2－2>0，

即b2<9，所以－3<b<3，

設(shè)點(diǎn)Ax1，y1，Bx2，y2，弦AB的中點(diǎn)M（x，y），

則x1+x2=－8b9，所以x=x1+x29，

所以弦中點(diǎn)坐標(biāo)滿足x=－4b9，y=2x+b，

消去參數(shù)b，得到中點(diǎn)M的軌跡方程為x+4y=0－43.

評(píng)析? 已知直線的斜率是2，很容易設(shè)出直線方程y=2x+b，然后聯(lián)立直線方程和圓錐曲線方程，消去y，得到關(guān)于x的一元二次方程，再借助韋達(dá)定理和中點(diǎn)特征，即可求解.該題目借助根與系數(shù)的關(guān)系主要考查韋達(dá)定理的應(yīng)用，一般解題框架是：

（1）將直線方程代入曲線方程；

（2）分析主要目標(biāo)，合理轉(zhuǎn)化；

（3）代入韋達(dá)定理，整體求解.

方法2? 點(diǎn)差法

點(diǎn)差法是設(shè)出兩端點(diǎn)坐標(biāo)，并分別代入圓錐曲線得到兩個(gè)方程后相減，得到弦中點(diǎn)坐標(biāo)與弦所在直線斜率的關(guān)系，然后再求解.它的特點(diǎn)是巧代斜率，回避運(yùn)算量較大的韋達(dá)定理[2].

解? 設(shè)點(diǎn)Ax1，y1，Bx2，y2，弦AB中點(diǎn)Mx，y，

則x212+y21=1，①

x222+y22=1，②

①-②得x212+y21－y22=0，

即y1－y2x1－x2·y1+y2x1+x2=－12，③

因?yàn)閤1+x2=2x，y1+y2=2y，且y1－y2x1－x2=2，

所以③式可化為2·y2，即x+4y=0.

解方程組x+4y=0，x22+y2=1，

得到直線x+4y=0和橢圓x22+y2=1的交點(diǎn)為－43，43，

所以所求點(diǎn)M的軌跡方程是

x+4y=0－43.

評(píng)析? 設(shè)端點(diǎn)Ax1，y1，Bx2，y2和中點(diǎn)Mx，y，將A，B坐標(biāo)代入曲線方程，并將得到的兩個(gè)方程相減得到關(guān)于x1，y1，x2，y2的斜率表達(dá)式；再借助中點(diǎn)具有的特性，實(shí)現(xiàn)消去參數(shù)x1，y1，x2，y2，最終得到中點(diǎn)軌跡方程.

方法3? 坐標(biāo)轉(zhuǎn)換法

坐標(biāo)轉(zhuǎn)換法是從一種坐標(biāo)系統(tǒng)變換到另一種坐標(biāo)系統(tǒng)的過程.它的主要思想是將中點(diǎn)坐標(biāo)Mx，y轉(zhuǎn)移到已知圓錐曲線上，考慮基本方法是引入?yún)?shù)t，u，設(shè)弦的端點(diǎn)Ax+t，y+u，Bx－t，y－u，這樣，弦AB的中點(diǎn)Mx，y就轉(zhuǎn)移到圓錐曲線上，將A，B的坐標(biāo)代入已知曲線方程中，得到關(guān)于t，u，x，y的關(guān)系式，再依據(jù)弦的已知性質(zhì)，消去t，u就得到所求軌跡方程[3].

解? 弦AB的端點(diǎn)Ax+t，y+u，B（x－t，y－u），則弦AB的中點(diǎn)Mx，y，且KAB=ut，

因?yàn)锳x+t，y+u，Bx－t，y－u在橢圓曲線上，

所以x+t22+y+u2=1，①x－t22+y－u2=1，②

②-①整理得到u2y，又KAB=2，所以x+4y=0.

因?yàn)辄c(diǎn)M只能在橢圓內(nèi)部，直線x+4y=0與橢圓相交于－43，43，

所以所求點(diǎn)M的軌跡方程是x+4y=0－43.

評(píng)析? 設(shè)弦兩端點(diǎn)坐標(biāo)Ax+t，y+u，Bx－t，y－u，則中點(diǎn)Mx，y即轉(zhuǎn)換到橢圓曲線上；將端點(diǎn)坐標(biāo)代入已知橢圓方程中，兩式相減整理得到u2y，再借助已知斜率求解得到方程；最后結(jié)合中點(diǎn)只能在橢圓內(nèi)部，得到交點(diǎn)坐標(biāo)，最終整理得到完善的軌跡方程.

結(jié)語(yǔ)

雖然求解已知斜率動(dòng)弦中點(diǎn)的軌跡方程難度較大，但是仔細(xì)分析已知條件，找到合適的方法，卻可以大大簡(jiǎn)化運(yùn)算量，提高解題速度.

參考文獻(xiàn)：

[1]韋興洲.圓錐曲線切點(diǎn)弦中點(diǎn)的軌跡方程＼.中學(xué)數(shù)學(xué)，2016（03）：66-67.

[2]俞世平.弦的中點(diǎn)軌跡方程＼.中學(xué)生數(shù)學(xué)，2020（17）：7-8.

[3]超龍.巧用參數(shù)法，求圓錐曲線弦中點(diǎn)的軌跡方程＼.語(yǔ)數(shù)外學(xué)習(xí)（高中版上旬），2020（12）：39.