一類拐角問題賞析

許國偉

【摘? 要】? 以拐角為背景的數(shù)學(xué)實(shí)際應(yīng)用性問題，解法雖異曲同工，卻頗有新意，本文結(jié)合兩則典例賞析，以拓寬學(xué)生思維路徑，培養(yǎng)學(xué)生的“求同存異”思維.

【關(guān)鍵詞】? 高中數(shù)學(xué)；拐角；解題技巧

拐角，日常生活中隨處可見，于是以拐角為背景的數(shù)學(xué)實(shí)際應(yīng)用性問題應(yīng)運(yùn)而生，解法雖異曲同工，卻頗有新意，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思維的“求同存異”.本文介紹兩例，與大家共賞.

例1? ?東水西調(diào)水利工程，把東部的水資源調(diào)配到西部缺水地區(qū)，充分解決了西部地區(qū)的用水問題，同時(shí)，也加快了我國西部地區(qū)的工農(nóng)業(yè)發(fā)展.在輸水管道的鋪設(shè)過程中，有一段直線形水管的鋪設(shè)必須要經(jīng)過一段平行峽谷，勘探人員在峽內(nèi)恰好發(fā)現(xiàn)一處四分之一圓柱狀的圓弧拐角，用測(cè)量?jī)x器得到此橫截圓面的圓心為，半徑且為米，而運(yùn)輸人員利用運(yùn)輸工具按照水平橫向來移動(dòng)直線形水管，無法回避這一圓弧的拐角，必須從寬度是米的峽谷中拐入寬度是米的另一個(gè)峽谷.示意圖如圖1，而位于峽谷懸崖壁上的兩個(gè)點(diǎn)與的連線段剛好與該圓弧的拐角相切，且點(diǎn)為（點(diǎn)，，在同一水平面內(nèi)），若要使得直線形輸水管能夠順利地通過圓弧拐角，其長(zhǎng)度不能超過______米.

解析? 設(shè)，其中，

延長(zhǎng)OM，交AB于D，過B做SB垂線，交DO于G，延長(zhǎng)ON，交AB于E，

過A做SA垂線，交NO于F，如圖2所示.

在Rt中，，，

則，即，

在中，，，

則，即，

在中， ，，

所以，

又，

所以，

所以=，

因?yàn)椋?/p>

其中，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，

所以

= ，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以若要使得直線形輸氣管能夠順利地通過圓弧拐角，其長(zhǎng)度不能超過75米.故答案為75.

點(diǎn)評(píng)? 本題本質(zhì)上是平面幾何背景下的三角函數(shù)最值問題，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意，得到AB長(zhǎng)度的表達(dá)式，難點(diǎn)在于需利用湊“1”法，將表達(dá)式化簡(jiǎn)成齊次式，結(jié)合基本不等式求解，考查計(jì)算化簡(jiǎn)的能力，屬中檔題.在解答過程中反復(fù)進(jìn)行三角變換并應(yīng)用基本不等式，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)解題的靈活性，值得我們好好回味！

例2? 圖3是某一“”型水渠的俯視圖，水渠南北走向與東西走向的軸截面都是矩形，已知南北走向的渠道的寬度是4米，東西走向的渠道寬度是米（從拐角處，就是圖中兩點(diǎn)處開始）．假如渠道內(nèi)的水面始終一直保持無高度差的水平位置．

（1）在水平面內(nèi)，一條直線過點(diǎn)A且與水渠的內(nèi)壁相交于，兩點(diǎn)，若該直線與水渠的一邊的夾角是，請(qǐng)把線段的長(zhǎng)度用自變量為的函數(shù)來表示；

（2）如果從南面順著水流漂來一根7m長(zhǎng)筆直的竹竿，它始終漂在水平面上（粗細(xì)不計(jì)），試問：該竹竿可否從拐角處出發(fā)，不會(huì)被卡住，一直漂到東西走向的水渠中？請(qǐng)說明理由．

解析? （1），

，

所以，

即．

（2）設(shè)，，

由，

令，得，

且當(dāng)，；

當(dāng)，，

故在區(qū)間上遞減，在區(qū)間上遞增，

于是當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值，該值也是最小值．

當(dāng)時(shí)，，

，

所以，

故該竹竿能順利通過拐角處的最大長(zhǎng)度是m．

因?yàn)?，所以這根竹竿能從拐角處一直漂向東西向的水渠．

點(diǎn)評(píng)? 本例的重點(diǎn)依然是建立三角函數(shù)式，求解過程與例1相比，求三角函數(shù)最值方法是利用導(dǎo)數(shù)來解決，體現(xiàn)了導(dǎo)數(shù)在三角函數(shù)最值問題中獨(dú)特的作用.

結(jié)語

上述兩個(gè)例題屬于同一種類型，都是體現(xiàn)了三角函數(shù)的最值問題在實(shí)際生活中的應(yīng)用，而最終解決問題的方法不同，例1采用的是三角函數(shù)性質(zhì)和基本不等式，而例2則采用的導(dǎo)數(shù)法，從兩個(gè)例子的解析可以看出，拐角問題最終都可以歸結(jié)為三角函數(shù)最值問題，但如何求最值，必須具體問題具體分析.