動(dòng)圓恒過(guò)兩類定點(diǎn)問(wèn)題的探究

顏士橋

(江蘇省淮安市新馬高級(jí)中學(xué),江蘇 淮安 211700)

圓錐曲線中的定點(diǎn)問(wèn)題是高考的一個(gè)難點(diǎn),其中動(dòng)圓過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題是典型代表. 筆者經(jīng)過(guò)問(wèn)題的梳理與探究,發(fā)現(xiàn)圓錐曲線中的動(dòng)圓恒過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題可以歸納為兩大類,下文對(duì)問(wèn)題展開(kāi)探究.

1 過(guò)定點(diǎn)O1(-b,0),O2(b,0)

圖1 命題1圖

故以線段MN為直徑的圓恒過(guò)兩定點(diǎn)O1(-b,0),O2(b,0).

圖2 命題2圖

圖3 命題3圖

圖4 命題4圖

圖5 命題5圖

證明設(shè)A(x0,y0),B(-x0,y0),C(x1,y1),則直線AC,BC的方程分別為

令x=0分別解得

所以，節(jié)日前夜的李打油有些恍惚，甚至，有點(diǎn)像交代后事。先是鼓勵(lì)我父親好好養(yǎng)傷，接著奉勸我快快解決個(gè)人問(wèn)題，問(wèn)我扎根村小是否心堅(jiān)。我朝他瞥瞥康復(fù)中的父親。他說(shuō)那就好，我來(lái)當(dāng)花博士吧。他介紹的是錦江中心小學(xué)的校長(zhǎng)，李打油說(shuō)他統(tǒng)計(jì)過(guò)，每次鎮(zhèn)教育辦開(kāi)會(huì)我至少偷窺人家三十次以上。其實(shí)不止。我因?yàn)樗鵁釔?ài)開(kāi)會(huì)。我倆后來(lái)在李打油的撮合下終于走進(jìn)婚姻殿堂。這是后話，不說(shuō)了。說(shuō)說(shuō)六一那天。

又A(x0,y0),C(x1,y1)在雙曲線上,有

故圓與x軸交于兩定點(diǎn)O1(-b,0),O2(b,0).

2 其中一個(gè)定點(diǎn)是焦點(diǎn)F

圖6 命題6圖

證明設(shè)B(x1,y1),C(x2,y2),直線BC的方程為x=ky+c,代入雙曲線方程并化簡(jiǎn)得(k2b2-a2)y2+2kcb2y+b4=0.

由韋達(dá)定理得

①

x1x2=(ky1+c)(ky2+c)=k2y1y2+kc(y1+y2)+c2

②

x1+x2=(ky1+c)+(ky2+c)=k(y1+y2)+2c

③

則以線段MN為直徑的圓的方程為

令y=0得

①②③代入,化簡(jiǎn)得

圖7 命題7圖

則以線段PQ為直徑的圓的方程為

令y=0得

想學(xué)好高中數(shù)學(xué)并非易事,需要我們有動(dòng)手運(yùn)算、動(dòng)腦思考的意識(shí)和敢于探究、不怕困難的精神.“圓錐曲線”是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)難點(diǎn),其中的定點(diǎn)問(wèn)題和定值問(wèn)題更是讓很多高中生頭疼.其實(shí)教師在教學(xué)中,可適當(dāng)?shù)乩镁W(wǎng)絡(luò)畫板、幾何畫板和GGB等軟件給學(xué)生展示動(dòng)圓的運(yùn)動(dòng)過(guò)程,這樣就可以形象地看出,當(dāng)圓在運(yùn)動(dòng)時(shí),它恒過(guò)x軸上的兩個(gè)定點(diǎn).這樣做可激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,讓學(xué)生覺(jué)得數(shù)學(xué)不僅不是那么的無(wú)趣,而且還挺好玩,這同時(shí)也為問(wèn)題的證明提供了方向和可行性的思路.