測(cè)電源電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻的5種方法

金世慶

(廣西壯族自治區(qū)北海市合浦縣第一中學(xué))

高中物理的電學(xué)實(shí)驗(yàn)是高考必考內(nèi)容,隨著高考的不斷改革,基于問題情境的電學(xué)實(shí)驗(yàn)也不斷推陳出新,但無論課程怎么改,高考怎么變,題型怎么新,電學(xué)實(shí)驗(yàn)都是以考查學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)實(shí)驗(yàn)原理的理解和基本實(shí)驗(yàn)儀器的使用為出發(fā)點(diǎn),以考查學(xué)生物理學(xué)科核心素養(yǎng)為目的.

測(cè)量電源電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻是中學(xué)物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)中的重要內(nèi)容之一,在歷年高考物理試題中,測(cè)量電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻實(shí)驗(yàn)方法一般有伏安法、伏阻法、安阻法.這三種方法都源自閉合電路歐姆定律,通過電路的變化和拓展,又衍生出安安法、伏伏法.這5種方法歸納如表1所示.

表1

1 伏安法

在測(cè)量電源電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻實(shí)驗(yàn)中,典型的伏安法測(cè)量電路如圖1所示(對(duì)于電流表而言,電源內(nèi)阻一般比較小,為減小實(shí)驗(yàn)誤差,相對(duì)電源而言,電流表通常采用外接法).在實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理時(shí),為了減小實(shí)驗(yàn)偶然誤差,我們可以利用圖像法,根據(jù)閉合電路歐姆定律有U＝E－Ir,則用作圖法作U-I圖像,如圖2 所示.觀察U-I圖像可以得出:1)圖像與縱軸交點(diǎn)為E;2)圖像與橫軸交點(diǎn)為;3)圖像的斜率.此法誤差主要來源于電壓表的分流作用,電動(dòng)勢(shì)測(cè)量值比真實(shí)值偏小,內(nèi)阻測(cè)量值比真實(shí)值偏小.

圖1

圖2

例1(2020年天津卷)某實(shí)驗(yàn)小組選用以下器材測(cè)定電池組的電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻,要求測(cè)量結(jié)果盡量準(zhǔn)確.

電壓表(量程0～3V,內(nèi)阻約為3kΩ)

電流表(量程0～0.6A,內(nèi)阻約為1Ω)

滑動(dòng)變阻器(0～20Ω,額定電流1A)

待測(cè)電池組(電動(dòng)勢(shì)約為3V,內(nèi)阻約為1Ω)

開關(guān)、導(dǎo)線若干

(1)該小組連接的實(shí)物電路如圖3所示,經(jīng)仔細(xì)檢查,發(fā)現(xiàn)電路中有一條導(dǎo)線連接不當(dāng),這條導(dǎo)線對(duì)應(yīng)的編號(hào)是_________.

圖3

(2)改正這條導(dǎo)線的連接后開始實(shí)驗(yàn),閉合開關(guān)前,滑動(dòng)變阻器的滑片P應(yīng)置于滑動(dòng)變阻器的________端.(填“a”或者“b”)

(3)實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)調(diào)節(jié)滑動(dòng)變阻器時(shí),電流表讀數(shù)變化明顯,但電壓表讀數(shù)變化不明顯.為了解決這個(gè)問題,在電池組負(fù)極和開關(guān)之間串聯(lián)一個(gè)阻值為5Ω的電阻,之后該小組得到了幾組電壓表讀數(shù)U和對(duì)應(yīng)的電流表讀數(shù)I,并作出U-I圖像,如圖4所示.根據(jù)圖像可知,電池組的電動(dòng)勢(shì)為_________V,內(nèi)阻為_________Ω.(結(jié)果均保留兩位有效數(shù)字)

圖4

(1)與電流表的內(nèi)阻和電壓表的內(nèi)阻相比,電池組的內(nèi)阻較小,故對(duì)于電池組來說,應(yīng)該采用電流表外接法,圖中采用的是電流表內(nèi)接法,故導(dǎo)線5連接不當(dāng),應(yīng)該從電壓表正接線柱接到電流表正接線柱(或電池組正極).

(2)閉合開關(guān)前,應(yīng)該使滑動(dòng)變阻器連入電路的阻值最大,故滑動(dòng)變阻器的滑片P應(yīng)置于滑動(dòng)變阻器的a端.

(3)在電池組負(fù)極和開關(guān)之間串聯(lián)一個(gè)阻值為R＝5Ω 的電阻,設(shè)電池組的電動(dòng)勢(shì)為E,內(nèi)阻為r,根據(jù)閉合電路歐姆定律有E＝U＋I(xiàn)(R＋r),變形得U＝－I(R＋r)＋E,結(jié)合圖像可知E＝2.9V,R＋r＝＝5.80Ω,則r＝0.80Ω.

利用伏安法測(cè)電源電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻,首先要正確選擇電流表的內(nèi)外接法(相對(duì)電源);其次要根據(jù)數(shù)據(jù)描點(diǎn)畫出圖像;再次要根據(jù)圖像縱截距的信息確定電動(dòng)勢(shì)大小和圖像斜率信息求出電動(dòng)勢(shì)的內(nèi)阻.本題利用電流表外接法(相對(duì)電源)誤差較小,在圖像法處理數(shù)據(jù)時(shí)縱坐標(biāo)可以不從零開始,則圖線和橫軸的交點(diǎn)不再是短路電流,電源的內(nèi)阻不能用r＝確定,應(yīng)根據(jù)求解.我們應(yīng)該注意到,有時(shí)要利用電流表內(nèi)接法(相對(duì)于電源)測(cè)量電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻,如采用水果做電源時(shí),往往內(nèi)阻較大,這時(shí)采用內(nèi)接法(相對(duì)電源)進(jìn)行測(cè)量誤差較小,圖像數(shù)據(jù)處理和電流表外接法(相對(duì)電源)一樣.而內(nèi)接法(相對(duì)電源)誤差主要來源于電流表分壓,電動(dòng)勢(shì)測(cè)量值與真實(shí)值相等,內(nèi)阻測(cè)量值比真實(shí)值偏大.

2 伏阻法

圖5

圖6

例2(2021年全國(guó)乙卷)一實(shí)驗(yàn)小組利用圖7-甲所示的電路測(cè)量一電池的電動(dòng)勢(shì)E(約1.5V)和內(nèi)阻r(小于2Ω),圖中電壓表量程為1V,內(nèi)阻RV＝380.0Ω;定值電阻R0＝20.0Ω;電阻箱R最大阻值為999.9Ω;S為開關(guān),按電路圖連接電路,完成下列填空.

圖7

(1)為保護(hù)電壓表,閉合開關(guān)前,電阻箱接入電路的電阻值可以選_________Ω(填“5.0”或“15.0”).

(2)閉合開關(guān),多次調(diào)節(jié)電阻箱,記錄下阻值R和電壓表的相應(yīng)讀數(shù)U.

(3)根據(jù)圖7-甲所示電路,用R、R0、RV、E和r表示,得＝________.

(5)通過圖7-乙可得E＝________V(保留2位小數(shù)),r＝________Ω(保留1位小數(shù)).

(6)若將圖7-甲中的電壓表當(dāng)成理想電表,得到的電源電動(dòng)勢(shì)為E′,由此產(chǎn)生的誤差為×100%＝________%.

(1)為了避免電壓表被燒壞,接通電路時(shí)電壓表兩端的電壓不能比電壓表滿偏電壓大,當(dāng)電壓表滿偏時(shí)有,而,代入數(shù)據(jù)解得R＋r＝9.5Ω,故R＞7.5Ω,因此電阻箱接入電路的電阻值選15.0Ω.

(3)由閉合電路的歐姆定律可得

化簡(jiǎn)可得

(5)由上面公式可得

代入可得E≈1.55V,r≈1.0Ω.

(6)如果電壓表為理想電壓表,則有

伏阻法的本質(zhì)是伏安法的拓展,作何種圖像需要根據(jù)具體實(shí)驗(yàn)情境而定.解決伏阻法問題的關(guān)鍵是明確用什么圖像進(jìn)行數(shù)據(jù)分析:若是圖像就按照電壓倒數(shù)和電阻關(guān)系分析;若是圖像就按照電壓與電壓阻值比關(guān)系分析.在圖像化簡(jiǎn)時(shí)需要基于閉合電路歐姆定律的規(guī)律出發(fā),通過函數(shù)變形和圖像數(shù)形結(jié)合,根據(jù)圖像的截距、斜率等關(guān)系解決問題.

3 安阻法

安阻法是用電流表和變阻箱測(cè)量電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻的方法,由E＝I(R＋r)可得,只要能得到I、R的兩組數(shù)據(jù),列出關(guān)于E、r的兩個(gè)方程就能解出E和r.用到的器材有電池、開關(guān)、電阻箱、電流表,電路如圖8 所示.圖像法處理數(shù)據(jù)分兩種情況:

圖8

1)根據(jù)閉合電路歐姆定律有E＝I(R＋r),可得,可作圖像,如圖9-甲所示,圖像的斜率,縱軸截距為;

圖9

2)根據(jù)閉合電路歐姆定律有E＝I(R＋r),可得,可作圖像,如圖9-乙所示,圖像的斜率k＝E,縱軸截距為－r.安阻法實(shí)驗(yàn)的系統(tǒng)誤差來源于電流表的分壓作用,此方法測(cè)量電動(dòng)勢(shì)沒有影響,內(nèi)阻測(cè)量值比實(shí)際值偏大.

例3某物理興趣小組設(shè)計(jì)了如圖10-甲所示的電路來測(cè)量電源的電動(dòng)勢(shì)E和內(nèi)阻r,以及某未知電阻的阻值Rx,其中電流表的量程為0～0.6A,內(nèi)阻為R0(已知).

圖10

(1)在閉合電路前,應(yīng)將電阻箱R的阻值調(diào)到_________(填“最大”或“最小”).

(2)實(shí)驗(yàn)的主要步驟如下:

①閉合S1、S2,多次調(diào)節(jié)電阻箱,并記錄其阻值及所對(duì)應(yīng)的電流表的讀數(shù);

②保持S1閉合,斷開S2,多次調(diào)節(jié)電阻箱,并記錄其阻值及所對(duì)應(yīng)的電流表的讀數(shù);某一次電流表的讀數(shù)如圖10-乙所示,電流表的讀數(shù)為_________A;

(3)若兩條直線的斜率均為k,兩直線的縱截距分別為b1、b2.由圖像以及題中的已知條件可知,電源的電動(dòng)勢(shì)E＝________,內(nèi)阻r＝_________,未知電阻Rx＝_________.

(1)為了保證閉合開關(guān)后,電路中電流最小,電阻箱開始時(shí)應(yīng)調(diào)到最大.

(2)電流表的量程為0～0.6A,最小一格的刻度為0.02A,所以電流表的讀數(shù)為0.48A.

(3)閉合S1、S2時(shí),根據(jù)閉合電路歐姆定律有

變形得

所以電源的電動(dòng)勢(shì)

內(nèi)阻

閉合S1、斷開S2時(shí),根據(jù)閉合電路歐姆定律有

化簡(jiǎn)得

求得

以上例題基本思路是利用數(shù)學(xué)圖像方法解決問題,解題思路:一審題意;二找關(guān)系;三化方程;四看圖像;五求解,即根據(jù)題意找到實(shí)驗(yàn)電路的原理關(guān)系,再由閉合電路歐姆定律推導(dǎo)出一次函數(shù)方程式,根據(jù)函數(shù)方程式對(duì)比題目所給的圖像,再由圖像斜率、截距等信息求出電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻.需要說明的是,在利用安阻法解決問題時(shí),要把閉合電路歐姆定律原始式E＝I(R＋r)轉(zhuǎn)化成圖像還是圖像,需要根據(jù)題目中的問題情境而定.

4 安安法

安安法是利用兩個(gè)電流表的測(cè)量結(jié)果,由測(cè)量數(shù)據(jù)關(guān)系,根據(jù)閉合電路歐姆定律,求出電源電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻的方法.測(cè)量電路如圖11-甲所示,閉合開關(guān)S時(shí),兩電流表的示數(shù)分別為I1、I2,調(diào)節(jié)變阻器改變R,測(cè)得幾組不同的電流值,獲得實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù).由E＝(I1＋I(xiàn)2)r＋I(xiàn)2R0,變形得,I1為電流表A1的示數(shù),I2為電流表A2的示數(shù),作出I2-(I1＋I(xiàn)2)圖像,知圖像的縱截距為,斜率的絕對(duì)值為,如圖11-乙所示.當(dāng)然也可以先算出路端電壓U＝I2R0和總電流I＝I1＋I(xiàn)2,再畫出U-I圖像,根據(jù)伏安法的原理求解.安安法誤差來源于電流表A2的分流作用,測(cè)量結(jié)果有E測(cè)＜E真,r測(cè)＜r真.

圖11

例4在測(cè)量一節(jié)干電池的電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻的實(shí)驗(yàn)中,備有下列器材:

A.待測(cè)干電池(電動(dòng)勢(shì)約1.5V,內(nèi)阻小于1Ω)

B.電流表A1(量程0～3mA,內(nèi)阻Rg1＝10Ω)

C.電流表A2(量程0～0.6A,內(nèi)阻Rg2＝0.1Ω)

D.滑動(dòng)變阻器R1(0～20Ω,10A)

E.滑動(dòng)變阻器R2(0～200Ω,1A)

F.定值電阻R0(990Ω)

G.開關(guān)和導(dǎo)線若干

(1)某同學(xué)發(fā)現(xiàn)上述器材中雖然沒有電壓表,但給出了兩個(gè)電流表,于是他設(shè)計(jì)了如圖12所示的甲、乙兩個(gè)參考實(shí)驗(yàn)電路,其中合理的是________圖所示的電路;在該電路中,為了操作方便且能準(zhǔn)確地進(jìn)行測(cè)量,滑動(dòng)變阻器應(yīng)選_________(填寫器材前的字母代號(hào)).

圖12

(2)如圖13所示,為該同學(xué)根據(jù)(1)中選出的合理的實(shí)驗(yàn)電路,利用測(cè)出的數(shù)據(jù)繪出的I1-I2圖像,I1為電流表A1的示數(shù),I2為電流表A2的示數(shù),且I2的數(shù)值遠(yuǎn)大于I1的數(shù)值,則由圖像可得被測(cè)干電池的電動(dòng)勢(shì)E＝_________V,內(nèi)阻r＝_________Ω.

圖13

(1)因?yàn)轭}中沒有給出電壓表,所以需要用一個(gè)定值電阻和電流表串聯(lián),根據(jù)題意改裝成電壓表.根據(jù)歐姆定律,若將電流表A1與定值電阻串聯(lián),則有U＝I1R0＝0.003×(990＋10)V＝3V,與電源電動(dòng)勢(shì)接近,故應(yīng)將電流表A1與定值電阻串聯(lián)使用,故合理的是圖12-乙.電源電動(dòng)勢(shì)約為1.5V,內(nèi)阻小于1Ω,為方便實(shí)驗(yàn)操作且能準(zhǔn)確地進(jìn)行測(cè)量,滑動(dòng)變阻器應(yīng)選D.

(2)由電路圖可知,在閉合電路中,由于I2遠(yuǎn)大于I1,則干路中電流近似等于I2,電源電動(dòng)勢(shì)

則

由圖13縱軸截距可知,電源電動(dòng)勢(shì)為E＝1.49 V.圖像斜率

電源內(nèi)阻為

安安法基本思路是找變量關(guān)系,利用函數(shù)I1-I2圖像關(guān)系式分析問題,再結(jié)合圖像分析和推導(dǎo)出數(shù)學(xué)函數(shù)表達(dá)式.安安法實(shí)際上也可以看成伏安法,可以把其中一個(gè)電流表與定值電阻串聯(lián)改裝成電壓表,而圖像的縱坐標(biāo)應(yīng)該是改裝后的電壓表讀數(shù).為了避免同學(xué)們思維混亂,我們可以把安安法作為一次函數(shù)關(guān)系求解,利用一次函數(shù)關(guān)系與圖像相結(jié)合,讓同學(xué)們從數(shù)學(xué)上理解含義,效果更好.采用安安法的實(shí)驗(yàn)方案可以利用圖像法處理數(shù)據(jù),根據(jù)電表改裝原理,將縱坐標(biāo)直接改為對(duì)應(yīng)電壓,再利用伏安法圖像的斜率和截距求解電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻.

5 伏伏法

伏伏法是利用兩個(gè)電壓表測(cè)電源電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻的方法,電路圖如圖14所示,由閉合電路歐姆定律得,改變滑動(dòng)變阻器R的阻值,測(cè)幾組不同的U、U1值,獲得實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù).畫出U-U1圖像,如圖15所示,根據(jù),得,可知U-U1圖像縱截距為電源電動(dòng)勢(shì)E,斜率的絕對(duì)值為.

圖14

圖15

例5為測(cè)量一電源的電動(dòng)勢(shì)及內(nèi)阻,某小組設(shè)計(jì)了如下實(shí)驗(yàn)方案.

(1)先利用多用電表直流電壓擋位粗測(cè)電源的電動(dòng)勢(shì).如圖16-甲所示,1號(hào)接線柱應(yīng)接________表筆(填“紅”或“黑”).選用“直流電壓5V”擋時(shí),表盤如圖16-乙所示,讀出該電源的電動(dòng)勢(shì)為________V.

圖16

(2)設(shè)計(jì)如圖17 所示電路,若實(shí)驗(yàn)中電壓表V1讀數(shù)為U1,電壓表V2讀數(shù)為U2,電表為理想電表,R0為定值電阻.改變滑動(dòng)變阻器R的阻值得到多組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù).作出如圖18所示圖像為直線,且與縱軸的截距等于b,斜率的絕對(duì)值為k,則電源電動(dòng)勢(shì)E＝_________,電源內(nèi)阻r＝_________(用題目中的已知量表示).

圖17

圖18

(3)若考慮電表內(nèi)阻,則(2)中電源電動(dòng)勢(shì)的測(cè)量值_________真實(shí)值(填“＞”“＜”或“＝”).

(1)先利用多用電表直流電壓擋位粗測(cè)電源的電動(dòng)勢(shì).因?yàn)椤凹t進(jìn)黑出”,則如圖16-甲中的1號(hào)接線柱應(yīng)接紅表筆.選用“直流電壓5V”擋時(shí),表盤如圖16-乙所示,讀出該電源的電動(dòng)勢(shì)為2.90V.

(2)根據(jù)電路有

由圖像可知E＝b,即r＝kR0.

(3)分析誤差,若考慮電表內(nèi)阻,則有

則E＝b,即電動(dòng)勢(shì)的測(cè)量值等于真實(shí)值.

伏伏法也是伏安法的一種變形,此方法可以看成為一個(gè)電壓表(電壓表V1)并聯(lián)一個(gè)定值電阻R0改裝為電流表,再根據(jù)閉合電路歐姆定律推導(dǎo)出一次函數(shù)關(guān)系式,利用一次函數(shù)圖像的截距、斜率等信息求電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻.基本思路是:一審題意;二找關(guān)系;三化方程;四看圖像;五求解.

測(cè)電源電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻是高中物理中的重要實(shí)驗(yàn),其測(cè)量方法很多.常見的還有等效法、補(bǔ)償法、綜合法等方法,但是不管命題如何變,總是萬變不離其宗,只要我們?cè)诳偨Y(jié)和歸納時(shí)以伏安法為基本測(cè)量方法,以培養(yǎng)科學(xué)思維能力和發(fā)展學(xué)科核心素養(yǎng)為目的,讓學(xué)生將思維訓(xùn)練貫穿整個(gè)實(shí)驗(yàn)過程,真正動(dòng)手實(shí)驗(yàn),探究方法,重視數(shù)據(jù)分析,就能以此強(qiáng)化物理學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng).

(完)