勻強(qiáng)電場中電場強(qiáng)度的求解方法

文| 毛 雄

勻強(qiáng)電場中電場強(qiáng)度的求解是高中物理重要的知識，也是電學(xué)中的難點之一。文章介紹了在勻強(qiáng)電場中求電場強(qiáng)度的兩種基本方法：等勢面法和分解電場法。教師通過具體的例子說明了這兩種解題方法的優(yōu)點和缺點，使學(xué)生在遇到相關(guān)求電場強(qiáng)度問題時能快速解決。

勻強(qiáng)電場（Uniform Electric Field）是一種特殊的電場，其特點是場強(qiáng)在各個方向上都是相同的，且大小不隨空間位置變化。在這種電場中，電勢、電場強(qiáng)度和電場線具有以下特性：首先，在勻強(qiáng)電場中，電勢與距離的關(guān)系是一次函數(shù)，即U=Ed，其中U 是電勢，E 是電場強(qiáng)度，d 是沿電場線方向的距離。這意味著在勻強(qiáng)電場中，電勢的變化率是恒定的。其次，勻強(qiáng)電場中的電場強(qiáng)度處處相同，用公式表示為E=F/q，其中F 是電場力，q 是電荷量。在勻強(qiáng)電場中，電場強(qiáng)度與電場力及電荷量無關(guān)，僅與電場的均勻程度有關(guān)。此外，在勻強(qiáng)電場中，電場線是相互平行的直線，且間距相同。這些直線代表了電場的方向和強(qiáng)度，線密度越大的地方電場強(qiáng)度越大。需要注意的是，電場線是為了形象化電場而假想的，實際上并不存在。勻強(qiáng)電場的基本概念和特性為我們分析和計算電場提供了便利。在求解勻強(qiáng)電場問題時，我們可以利用這些特性直接得到電場強(qiáng)度、電勢等信息，從而簡化計算過程。

等勢面法和分解電場法是兩種常用的求勻強(qiáng)電場強(qiáng)度的方法，它們可以幫助我們更好地理解和解決實際問題。以下是這兩種方法的簡要介紹：

等勢面是指電勢相同的各個點組成的面。在勻強(qiáng)電場中，等勢面是一組相互平行的平面。通過找到這些等勢面，我們可以更方便地分析和計算電場強(qiáng)度。等勢面法的基本步驟：在已知電場強(qiáng)度的情況下，計算不同位置的電勢；利用等勢面的特性（即電勢相同的點組成的面）找到這些等勢面；利用等勢面的分布，分析電場的性質(zhì)和電場強(qiáng)度的變化。

分解電場法是將電場分解為多個簡單的部分，分別計算這些部分的電場強(qiáng)度，最后將它們疊加得到總電場強(qiáng)度。這種方法可以幫助我們簡化復(fù)雜的電場問題。分解電場法的基本步驟：將復(fù)雜的電場分解為多個簡單的部分，如點電荷、線電荷、面電荷等；分別計算這些簡單部分的電場強(qiáng)度；將這些電場強(qiáng)度按照矢量疊加原則進(jìn)行疊加，得到總電場強(qiáng)度。

在實際應(yīng)用中，我們可以根據(jù)問題的具體情況選擇合適的方法。等勢面法更適用于分析電場的分布和電勢的變化，而分解電場法更適用于分解復(fù)雜的電場問題。綜合運用這兩種方法，我們可以更準(zhǔn)確地求解勻強(qiáng)電場中的電場強(qiáng)度。

在高中物理中，我們知道電場線和等勢面是相互垂直的。因為勻強(qiáng)電場的電場線是間隔均勻的直線，所以等勢面也就是與電場線垂直的間隔均勻的直線。在中學(xué)階段，我們在求勻強(qiáng)電場中電場的大小和方向時，常用的方法就是找等勢面，根據(jù)等勢面來求電場的大小和方向。

例1.一勻強(qiáng)電場平行于紙面，不知道電場的方向，用儀器沿互成60°角的OA、OB 兩個方向探測，得知該靜電場中各點電勢φ 與到O 點距離的函數(shù)關(guān)系（如圖1 所示）。

圖1

下列說法中有關(guān)該電場的電場強(qiáng)度E 的說法中，正確的是（）

A.E=400V/m，沿AO 方向

B.E=200V/m，沿BO 方向

解法1：利用等勢面法

如圖2 所示，設(shè)OC=25cm，OF=20cm，D 點電勢與C 點電勢相等，則，由圖1 可知，φF=80V，φC=50V，由以上各式解得OD=12.5cm，由幾何知識可知CD⊥OA，CD 為等勢線，由電場線與等勢線垂直及沿電場線方向電勢越來越低可知，電場方向沿AO 方向，電場強(qiáng)度A 正確，B、C、D 錯誤。

圖2

解法2：利用分解電場法

分解電場法基本思路（如圖3）：

圖3

UOa=Ex·x；UOb=Ex·y

Ex=Uoa/x；Ey=Uob/y，方向由高電勢指向低電勢。

例1 采用分解電場法如下解答：

A 中φ-x 圖線的斜率表示電場強(qiáng)度E，結(jié)合圖1可知，Ex=400V/m，Ey=200V/m，沿著電場線方向電勢降低，故x、y 方向上的電場強(qiáng)度方向如圖4 所示，由∠AOB=60°，易知圖中虛線為等勢線，則電場強(qiáng)度沿AO 方向（大小為E=Ex=400V/m）。由排除法可知，A項正確，B、C、D 三項錯誤。

圖4

利用等勢面法和分解電場法并不是對所有解決勻強(qiáng)電場中電場強(qiáng)度的問題都是最簡單的。

例2.如圖5 在xOy 平面內(nèi)有一勻強(qiáng)電場的方向平行于此平面，平面內(nèi)有三個點a、b、c，其中a 點的電勢為10V，b 點的電勢為17V，c 點的電勢為26V。以下說法正確的是（）

圖5

A．此勻強(qiáng)電場的電場強(qiáng)度的大小為2.5V/cm

B．坐標(biāo)原點O 處的電勢為1V

C．有一電子從b 點出發(fā)運動到c 點，電場力做功為9eV

D．電子在a 點的電勢能比在b 點的電勢能低7eV

解析：如圖6 所示，

圖6

對于這道選擇題來說，要想快速且正確地解決這個問題，利用等勢面法的運算量還是比較大，需要先確定d 點的位置，然后再計算cf 的長度，這樣的操作對于學(xué)生來說容易出錯。我們換成分解電場法，從題目中知道場強(qiáng)E 是矢量，是可以沿著兩個垂直的方向分解的，就可以先求出沿x 軸、y 軸兩個方向的分量，最后再用矢量合成的方法求出合場強(qiáng)的大小和方向。

如圖6 所示，根據(jù)a、b、c 三點電勢的大小可以知道O 點電勢就是1V，根據(jù)電場強(qiáng)度的方向由高電勢指向低電勢可知：x 方向的場強(qiáng)沿x 軸負(fù)方向，大小，同理可知y 方向的場強(qiáng)沿y 軸負(fù)方向，大小所以合場強(qiáng)E=2.5V/cm，方向與y 軸負(fù)方向成53°。通過上面的分析可以確定本題的答案為A。

顯而易見，對于此問題我們用分解電場法顯然比等勢面法要簡單且快速。

例3.如圖7 所示，在勻強(qiáng)電場中，三角形ABC為正三角形，三角形的邊長為2 cm，已知UBA=4V，UCA=2V，求場強(qiáng)的大小和方向？

圖7

解析：這道題如果用分解電場的方法進(jìn)行解答，需要把電場分為BA 方向和CA 方向，分別求兩個方向電場的大小，再進(jìn)行矢量合成的話就不正確了。下面我們用等勢面法計算。

如圖8 所示，電勢分別為φA=2V，φB=4V，φC=6V，由勻強(qiáng)電場性質(zhì)可知，AB 中點D 的電勢為2V，連接CD 則為等勢線，BA 垂直于CD，所以BA 為電場線。理由是沿著電場線的方向電勢逐漸降低，因此，場強(qiáng)的方向由B 指向A，大小在這里用等勢面法快速地找到了問題的答案。

圖8

由此可以看出，等勢面法解這道題更簡單。上面用分解電場的方法為什么會出錯呢？

這是因為如果不是按照兩個互相垂直的方向分解電場，這兩個電場會在另一個方向產(chǎn)生電勢差。如BA 和CA 方向分解電場，BA 方向的分量會在CA 方向產(chǎn)生電勢差，同時CA 方向的電場會在BA 方向產(chǎn)生電勢差，這樣我們的表達(dá)式就應(yīng)該表示為：

最后解得EBA=2V/cm，ECA=0，電場的方向由B 指向A。

總結(jié)：等勢面法和分解電場法是我們在解決勻強(qiáng)電場中電場大小和方向問題時經(jīng)常用到的方法，到底用哪種方法更簡單便捷，要具體問題具體分析，選擇簡便靈活的方法，這就需要教師在解決問題的時候，善于歸納總結(jié)，讓教學(xué)和學(xué)習(xí)變得輕松愉快！