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    滾動軸承徑向游隙可靠性設(shè)計

    2024-01-08 00:53:08李軍星寧世杰
    工程設(shè)計學報 2023年6期
    關(guān)鍵詞:指數(shù)分布游隙置信區(qū)間

    李軍星,寧世杰,邱 明

    (1. 河南科技大學 機電工程學院,河南 洛陽 471003; 2. 高端軸承河南省協(xié)同創(chuàng)新中心,河南 洛陽 471003)

    滾動軸承是一種精密機械元件,在機械行業(yè)應(yīng)用廣泛。其性能和可靠性會直接影響機械設(shè)備的工作性能、壽命及運行安全。影響滾動軸承壽命和可靠性的一個關(guān)鍵因素是其徑向游隙:若徑向游隙過小,會使軸承的摩擦力矩增大,進而產(chǎn)生摩擦熱,易引發(fā)軸承發(fā)熱而損壞;若徑向游隙過大,則會造成設(shè)備在運行過程中振動較大,從而導致軸承的使用壽命縮短。以往大多是根據(jù)軸承徑向游隙公差帶或者工程經(jīng)驗來確定軸承徑向游隙的合理區(qū)間,導致誤差非常大。因此,滾動軸承徑向游隙的可靠性設(shè)計一直是機械設(shè)計領(lǐng)域研究的重點和難點。

    已有很多學者開展了滾動軸承徑向游隙優(yōu)化設(shè)計研究。如:李皓川等[1]在極變換的基礎(chǔ)上提出了一種選點的方法,結(jié)合稀疏響應(yīng)面,對滾動軸承工作游隙極限狀態(tài)函數(shù)進行擬合,并基于有限元方法計算出工作游隙;鄭牧等[2]對軸承安裝后的徑向游隙減小量進行了分析和計算,推導了軸承的原始徑向游隙;邱明等[3-4]分析了軸承徑向游隙的變化對軸承剛度及疲勞壽命的影響,指出徑向游隙是影響軸承力學性能的關(guān)鍵指標;沈宇涵等[5]分析了圓柱滾子軸承徑向游隙對徑向剛度的影響;胡北等[6]考慮了軸承溫升、徑向載荷等因素的影響,分析并計算了軸承徑向游隙。然而,以上研究大多是通過修正經(jīng)驗公式或仿真分析來確定滾動軸承徑向游隙的合理范圍,缺乏對滾動軸承整個部件可靠性的考慮。

    針對產(chǎn)品的可靠性設(shè)計,應(yīng)力-強度干涉模型在工程實際中已得到廣泛應(yīng)用。如:Zhang等[7]研究了應(yīng)力分布與強度分布之間的關(guān)系,引入條件可靠度的概念,建立了在單應(yīng)力和多應(yīng)力作用下的系統(tǒng)可靠性模型;Ali等[8]討論了形狀參數(shù)不同時應(yīng)力和強度分別服從廣義Weibull分布以及對數(shù)正態(tài)分布時的應(yīng)力-強度干涉模型,并對系統(tǒng)可靠性進行了評估;Wang等[9]建立了在應(yīng)力和強度服從一定分布時可靠度的極大似然估計模型,并確定了可靠度置信區(qū)間;楊曉蔚[10]運用應(yīng)力-強度干涉理論,在軸承壽命分布為Weibull分布的前提下,建立了評估可靠壽命的Weibull失效概率密度函數(shù)表達式和可靠度函數(shù)表達式;張先超等[11]推導了基于應(yīng)力-強度干涉理論的可靠度計算公式,并提出了當應(yīng)力和強度分別同時服從單參數(shù)和雙參數(shù)指數(shù)分布時的可靠度估計方法;伊梟劍等[12]提出了基于應(yīng)力-強度干涉模型的可靠性設(shè)計方法,將火工品感度參數(shù)和外界刺激參數(shù)引入應(yīng)力-強度干涉模型,來評估火工品的可靠性。

    本文提出了一種基于應(yīng)力-強度干涉模型的滾動軸承可靠性設(shè)計方法。首先,將軸承原始徑向游隙和失效徑向游隙看作隨機變量,構(gòu)建軸承二維隨機干涉模型;其次,針對工程中常用的軸承原始徑向游隙和失效徑向游隙分布模型,推導了滾動軸承可靠性評估解析式和徑向游隙置信區(qū)間;最后,結(jié)合工程實例及現(xiàn)行國家標準,驗證本文方法的有效性和適用性。

    1 滾動軸承徑向游隙可靠性設(shè)計模型

    研究發(fā)現(xiàn),滾動軸承游隙與軸承的多種失效模式密切相關(guān),是影響軸承可靠性的重要因素[13]。根據(jù)大量試驗可知,由于在生產(chǎn)過程中加工、裝配等因素的影響,軸承原始徑向游隙呈隨機分布,而造成軸承失效的失效徑向游隙也因工作環(huán)境的影響而呈隨機分布。因此,本文引入應(yīng)力-強度干涉模型。此處應(yīng)力和強度的概念是廣義的,應(yīng)力指影響零件性能和功能的各種環(huán)境因素,強度指零件抵抗應(yīng)力的因素。軸承的原始徑向游隙會影響軸承所受應(yīng)力的分布,而失效徑向游隙是軸承抵抗應(yīng)力所導致的,因而,將原始徑向游隙X看作應(yīng)力因素,失效徑向游隙Y看作強度因素,則軸承的可靠度R可以定義為[14]:

    式中:P為概率值,f(x)為應(yīng)力的概率密度函數(shù),g(y)為強度的概率密度函數(shù)。

    在給定軸承徑向游隙X時,可通過式(1)對軸承進行可靠性評估。

    此外,由于工程中更關(guān)注軸承原始徑向游隙的設(shè)計,則根據(jù)式(1),可以設(shè)計出在給定可靠度R下軸承原始徑向游隙XR:

    同時,考慮到軸承原始徑向游隙的估計精確程度取決于樣本容量的大小,僅用點估計是不夠的,因此給出軸承原始徑向游隙的置信區(qū)間:

    式中:下標l和u分別表示各參數(shù)值的下限與上限。

    由此,可以對軸承的原始徑向游隙進行設(shè)計,使得該軸承的可靠性達到要求。

    2 滾動軸承徑向游隙可靠性設(shè)計方法

    軸承原始徑向游隙和失效徑向游隙都是服從一定分布的隨機變量,可以通過試驗數(shù)據(jù)擬合得到,一般服從正態(tài)分布和對數(shù)正態(tài)分布的較多。本文分別討論軸承原始徑向游隙和失效徑向游隙同時服從正態(tài)分布、對數(shù)正態(tài)分布、指數(shù)分布和Weibull分布(分別表示為正態(tài)分布-正態(tài)分布、對數(shù)正態(tài)分布-對數(shù)正態(tài)分布、指數(shù)分布-指數(shù)分布、Weibull 分布-Weibull 分布)時滾動軸承可靠性設(shè)計方法。

    2.1 正態(tài)分布-正態(tài)分布

    假設(shè)原始徑向游隙X服從正態(tài)分布,失效徑向游隙Y服從正態(tài)分布,其中μx、σx分別為X的均值和標準差,μy、σy分別為Y的均值和標準差,則X、Y的概率密度函數(shù)分別為:

    令Z=Y-X,根據(jù)正態(tài)分布的加法定理可知,Z服從正態(tài)分布,且:

    則式(1)可變換為:

    令u=(z-μz)/σz,得到原始徑向游隙和失效徑向游隙均服從正態(tài)分布時軸承的可靠度為:

    式中:Φ(?)為標準正態(tài)分布函數(shù)。

    根據(jù)式(1)可以得到在給定可靠度R下軸承的可靠度指標為:

    因此,當軸承可靠度為R時可以設(shè)計出軸承原始徑向游隙:

    在實際中,均值和方差是通過樣本統(tǒng)計分析獲得的,其精度由樣本容量決定,且僅用點估計是不夠的,因此進一步設(shè)計軸承原始徑向游隙的置信區(qū)間。

    由于μx、μy、σx、σy也是隨機變量,根據(jù)隨機變量參數(shù)區(qū)間估計理論和區(qū)間數(shù)擴張原理,考慮了隨機變量參數(shù)估計區(qū)間后,式(8)可改寫為[15]:

    由數(shù)理統(tǒng)計理論可知:

    則在置信度為1-α下,μx的下限和上限為:

    式中:Zα/2為標準正態(tài)分布的百分位點。

    將式(13)代入式(8),可得:

    當樣本數(shù)量nx、ny足夠大時,可近似認為σx=Sx,σy=Sy,其中Sx、Sy分別為X、Y的樣本標準差。將Sx、Sy代入式(13),可得軸承可靠度指標ZR的區(qū)間。

    當樣本數(shù)量nx、ny不是很大時,(μy-μx)的下限和上限為:

    式中:v為自由度。

    取v為整數(shù),則風險系數(shù)α′[15]為:

    根據(jù)概率論與數(shù)理統(tǒng)計,可得:

    進而可得:

    將式(15)和(19)代入式(8)[15],可得ZR的下限和上限為:

    由式(8)、(9)、(11)、(20)可得當可靠度為R時μx的下限和上限為:

    2.2 對數(shù)正態(tài)分布-對數(shù)正態(tài)分布

    假設(shè)原始徑向游隙X服從對數(shù)正態(tài)分布,失效徑向游隙Y服從對數(shù)正態(tài)分布,其中μx、σx分別為X的對數(shù)均值和對數(shù)標準差,μy、σy分別為Y的對數(shù)均值和對數(shù)標準差,則X、Y的概率密度函數(shù)分別為:

    根據(jù)式(1)可得:

    式中:Z=lnY- lnX。

    根據(jù)正態(tài)分布的加法定理可知,Z服從對數(shù)正態(tài)分布,且:

    由于X和Y均服從對數(shù)正態(tài)分布,其對數(shù)形式服從正態(tài)分布,推導過程與2.1 節(jié)一致,這里不再贅述,只給出最終的原始徑向游隙估計區(qū)間。

    由(21)式易知,當可靠度為R時μx的下限和上限為:

    2.3 指數(shù)分布-指數(shù)分布

    假設(shè)原始徑向游隙X服從指數(shù)分布E(μx),失效徑向游隙Y服從指數(shù)分布E(μy),其中μx、μy均為服從指數(shù)分布的一個參數(shù),則X、Y的概率密度函數(shù)分別為:

    在沒有給出μx和μy確切數(shù)值的情況下,需要根據(jù)樣本數(shù)據(jù)對R進行估計,這里采取極大似然估計法。根據(jù)極大似然估計的不變性[16],可以得到μx、μy的 估 計 值,則 可 靠 度R的 估 計值為:

    根據(jù)式(1)可得[10]:

    則:

    設(shè)x1,x1, …,xm和y1,y2, …,yn分別來自樣本總體X和Y,則μx和μy的函數(shù)分別為:

    由文獻[17]可得μx和μy的極大似然估計分別為:

    則:

    對式(35)作變換,可以得到原始徑向游隙和失效徑向游隙均服從指數(shù)分布時軸承的可靠性設(shè)計方法,表示為:

    而對于服從指數(shù)分布參數(shù)的區(qū)間估計,可參考文獻[18]進行。

    2.4 Weibull分布-Weibull分布

    假設(shè)原始徑向游隙X服從Weibull 分布W(ηx,mx),失 效 徑 向 游 隙Y服 從Weibull 分 布W(ηy,my),其中ηx、ηy、mx、my分別為分布的比例參數(shù)和形狀參數(shù),則X、Y的概率密度函數(shù)分別為:

    式中:

    式中:

    將式(43)變換為:

    將式(40)、(42)代入式(44),可得到原始徑向游隙和失效徑向游隙均服從Weibull分布時軸承的可靠性設(shè)計方法,表示為:

    可以將Weibull 分布與指數(shù)分布進行變換,因此,對于服從Weibull分布參數(shù)的區(qū)間估計與指數(shù)分布類似,但前者更復雜,也可參考文獻[18]進行。

    3 工程實例

    為了驗證本文方法的有效性和適用性,以16004 深溝球軸承為例,進行其可靠性分析。軸承內(nèi)圈直徑d=20 mm,外圈直徑D=42 mm,寬度w=8 mm。

    采用軸承徑向游隙測量儀測試滾動軸承的徑向游隙。共采集10組,每組測試3次后取平均值。測試現(xiàn)場如圖1所示,測試結(jié)果如表1所示。

    圖1 滾動軸承徑向游隙測試現(xiàn)場Fig.1 Test site of radial clearance of rolling bearing

    表1 滾動軸承徑向游隙測試結(jié)果Table 1 Test results of radial clearance of rolling bearing 單位:μm

    當樣本數(shù)據(jù)服從Weibull 分布時,參數(shù)估計的精度受樣本數(shù)量的影響較大。一般來說,當樣本數(shù)量較少時,參數(shù)估計很可能不準確,故分別做出原始徑向游隙和失效徑向游隙服從正態(tài)分布、對數(shù)正態(tài)分布、指數(shù)分布時的Q-Q圖,進行定性檢驗。原始徑向游隙和失效徑向游隙的Q-Q圖分別如圖2和圖3所示。由圖可知,原始徑向游隙和失效徑向游隙的數(shù)據(jù)同時服從正態(tài)分布時的擬合效果比其他分布的效果好。

    圖2 滾動軸承原始徑向游隙的Q-Q圖Fig.2 Q-Q diagram of original radial clearance of rolling bearing

    圖3 滾動軸承失效徑向游隙的Q-Q圖Fig.3 Q-Q diagram of failed radial clearance of rolling bearing

    接下來采用非參數(shù)檢驗(單樣本柯爾莫戈洛夫-斯米諾夫檢驗)進行定量檢驗。假設(shè)樣本數(shù)據(jù)服從原假設(shè),顯著性水平為0.05,當樣本呈顯著性即p>0.05 時,認為原假設(shè)成立。檢驗結(jié)果如表2所示。

    表2 滾動軸承徑向游隙非參數(shù)檢驗結(jié)果Table 2 Non-parametric test results of radial clearance of rolling bearing

    由表2可知,原假設(shè)為正態(tài)分布和對數(shù)正態(tài)分布時,原始徑向游隙和失效徑向游隙樣本數(shù)據(jù)的p值均大于0.05,故接受原假設(shè),認為原始徑向游隙和失效徑向游隙均服從正態(tài)分布和對數(shù)正態(tài)分布。

    當樣本數(shù)據(jù)均服從正態(tài)分布時,結(jié)合試驗數(shù)據(jù),計算后可得:

    進一步進行軸承徑向游隙可靠性設(shè)計。分別選取工程中常用的可靠度0.95和0.999,對軸承原始徑向游隙置信區(qū)間進行設(shè)計。

    通過式(16)計算可得t分布中自由度v=16.877,取整后v=16。

    當R=0.95 時,由式(17)可得α′=0.394 5。查表得tα/2(16) = 0.917 6。

    同理,有:

    將上述數(shù)據(jù)代入式(21),可得R=0.95時軸承原始徑向游隙的置信區(qū)間為:

    當R=0.999 時,由式(17)可得α′=0.055 78,查表得tα′/2(16) = 1.926 8。

    同理,有:

    將上述數(shù)據(jù)代入式(21),可得R=0.999 時軸承原始徑向游隙的置信區(qū)間為:

    當樣本數(shù)據(jù)均服從對數(shù)正態(tài)分布時,計算步驟與正態(tài)分布類似,計算過程不再贅述。

    軸承可靠度為:

    R=0.95時軸承原始徑向游隙的置信區(qū)間為:

    R=0.999時軸承原始徑向游隙的置信區(qū)間為:

    綜上可知:當樣本數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布時,滾動軸承的可靠度為0.898 5;當樣本數(shù)據(jù)服從對數(shù)正態(tài)分布時,可靠度為0.903 2。不同分布下原始徑向游隙置信區(qū)間如表3所示。由圖2可知,樣本數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布的擬合效果比對數(shù)正態(tài)分布好,結(jié)合表3可知樣本數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布時算得的游隙置信區(qū)間更為可靠。

    表3 不同樣本數(shù)據(jù)分布下滾動軸承原始徑向游隙置信區(qū)間Table 3 Confidence interval of original radial clearance of rolling bearing under different distributions of sample data

    根據(jù)GB/T 4604—2006可知[19],16004深溝球軸承徑向游隙的參考范圍為[5,20] μm,由此可知算得的徑向游隙符合國家標準。此外,采用本文方法可以設(shè)計出任意可靠度下的滾動軸承徑向游隙置信區(qū)間,且結(jié)果更加合理可靠。

    4 結(jié) 論

    1)提出了一種基于應(yīng)力-強度干涉模型的軸承徑向游隙可靠性設(shè)計方法。將軸承原始徑向游隙和失效徑向游隙看作隨機變量,構(gòu)建了軸承二維隨機干涉模型,從而實現(xiàn)了滾動軸承徑向游隙的可靠設(shè)計。

    2)針對工程中常用的服從正態(tài)分布、對數(shù)正態(tài)分布、指數(shù)分布和Weibull分布的徑向游隙樣本數(shù)據(jù),分別推導了求解滾動軸承可靠性和徑向游隙置信區(qū)間的解析式,為滾動軸承可靠性設(shè)計和評估提供了理論依據(jù)。

    3)將所求得的16004深溝球軸承徑向游隙置信區(qū)間與現(xiàn)行國家標準對比,結(jié)果驗證了本文方法的有效性和適用性。

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