基于二維閾值SL0范數(shù)算法的壓縮感知ISAR成像

史潤(rùn)佳,黃一飛,蔣忠進(jìn)

(東南大學(xué) 毫米波國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 江蘇 南京 210096)

0 引 言

逆合成孔徑雷達(dá)(ISAR)成像能提供目標(biāo)的高分辨圖像,在軍事領(lǐng)域具有廣泛的應(yīng)用前景。非合作目標(biāo)的ISAR圖像是重要情報(bào)信息,快速成像甚至實(shí)時(shí)成像具有非同尋常的意義,因此,ISAR成像快速算法一直是研究熱點(diǎn)[1-3]。ISAR成像中的一個(gè)關(guān)鍵步驟就是目標(biāo)強(qiáng)散射點(diǎn)參數(shù)估計(jì)。用于實(shí)現(xiàn)參數(shù)估計(jì)的算法有很多,而壓縮感知類算法是其中非常重要的一類[4]。

平滑l0范數(shù)(SL0)算法是壓縮感知類參數(shù)重構(gòu)算法的一種,由Hosein Mohimani等人于2009年提出[5]。此算法利用單峰函數(shù)組合來近似參數(shù)集的l0范數(shù),比如高斯函數(shù)組合、三角函數(shù)組合和雙曲線函數(shù)組合等,然后通過逐步優(yōu)化來尋求參數(shù)重構(gòu)的最優(yōu)解。平滑l0范數(shù)算法解決了最小l0范數(shù)算法面臨的多項(xiàng)式復(fù)雜程度非確定性(NP)問題,相比于基追蹤(BP)算法[6]、梯度投影稀疏重構(gòu)(GPSR)算法[7]和貪婪算法[8],平滑l0范數(shù)算法具有更快的運(yùn)算速度。

為了改進(jìn)平滑l0范數(shù)算法性能,文獻(xiàn)[9]選取雙曲正切函數(shù)組合來近似l0范數(shù),并且采用修正牛頓法來代替最速下降法,很好地解決了迭代方向上目標(biāo)函數(shù)值出現(xiàn)“鋸齒”現(xiàn)象的問題,在擬合精度上得到了提升。但修正牛頓法對(duì)迭代初始值的選取比較敏感,為解決這一問題,文獻(xiàn)[10]提出先使用最陡下降法計(jì)算出一個(gè)合適的初始值,再利用修正牛頓法獲得最優(yōu)解。除此之外,文獻(xiàn)[11]提出了一種閾值SL0算法,該算法將每次迭代的效率指標(biāo)與設(shè)定閾值相比較,以剔除某些低效的迭代,從而提高了參數(shù)重構(gòu)效率。文獻(xiàn)[12]選用了雙曲正切函數(shù)與高斯函數(shù)的組合來代替單一的高斯函數(shù)組合,此函數(shù)“陡峭性”更強(qiáng),提高了對(duì)離散l0范數(shù)的擬合程度。

近年來,平滑l0范數(shù)算法在雷達(dá)成像領(lǐng)域也得到很多研究和嘗試。Armin Eftekhari等人于2011年提出了用于二維信號(hào)的2D-SL0算法[13],此算法可以直接應(yīng)用于ISAR成像。文獻(xiàn)[14]針對(duì)觀測(cè)模型二維可分離的特點(diǎn),提出了一種修正SL0算法,將ISAR回波信號(hào)二維解耦,從而對(duì)距離向和方位向分開進(jìn)行重構(gòu)。文獻(xiàn)[15]將2D-SL0算法用于基于2D信號(hào)的 3D ISAR成像中,提高了3D圖像的分辨率。文獻(xiàn)[16]利用拉格朗日數(shù)乘法對(duì)ISAR回波信號(hào)進(jìn)行了降噪預(yù)處理,然后采用2D-SL0算法進(jìn)行ISAR成像,改善了成像效果。

本文采用平滑l0范數(shù)算法進(jìn)行ISAR成像研究,并提出一種二維閾值平滑l0范數(shù)快速算法,此處簡(jiǎn)稱2D T-SL0算法。該算法采用一種迭代效率指標(biāo)來評(píng)定內(nèi)循環(huán)迭代的有效性,并剔除迭代效率指標(biāo)偏低的內(nèi)循環(huán)。該快速算法在不影響ISAR成像效果的前提下,能減少大量的無效內(nèi)循環(huán)迭代次數(shù),以縮短ISAR成像時(shí)間。

1 ISAR成像模型

在很短的相干累積時(shí)間內(nèi),ISAR成像基本原理可等效為圖1所示的二維轉(zhuǎn)臺(tái)模型。由于目標(biāo)尺寸遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于目標(biāo)到雷達(dá)的距離,所以在對(duì)回波數(shù)據(jù)完成運(yùn)動(dòng)補(bǔ)償及相位校正以后,目標(biāo)上任意一個(gè)散射點(diǎn)σ(u,v)到雷達(dá)的距離可近似為

圖1 ISAR成像二維轉(zhuǎn)臺(tái)模型

R(t)≈R0+usinθ+vcosθ

(1)

式中:u和v是散射點(diǎn)的坐標(biāo);R0是雷達(dá)到目標(biāo)中心的距離;θ是目標(biāo)轉(zhuǎn)動(dòng)的角度。

使用理想點(diǎn)散射中心模型,目標(biāo)的譜域后向散射場(chǎng)可表示為

(2)

式中:f是入射頻率;σd是散射點(diǎn)散射系數(shù);D是散射點(diǎn)數(shù)目。

式(2)中,exp(-j4πfR0/c)為常數(shù)項(xiàng),不影響各個(gè)散射中心之間的相位差,可將其省略。將雷達(dá)向目標(biāo)發(fā)射信號(hào)的方位角離散為M個(gè)角點(diǎn),第m個(gè)角點(diǎn)為θm,m=1,2,…,M。每個(gè)角點(diǎn)發(fā)射N個(gè)頻率步進(jìn)的脈沖,第n個(gè)頻點(diǎn)為fn,n=1,2,…,N。由此,經(jīng)推導(dǎo)可得第m個(gè)方位角的第n個(gè)頻點(diǎn)的散射場(chǎng)

(3)

將二維成像場(chǎng)景離散成P行Q列。為使散射中心不發(fā)生越距離單元徙動(dòng),目標(biāo)與雷達(dá)之間的相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)角度一般很小,因此可以認(rèn)為sinθm≈θm,cosθm≈1。由于在ISAR成像中,雷達(dá)脈沖帶寬相對(duì)于中心頻率很小,則可認(rèn)為在頻率變化時(shí),波長(zhǎng)近似不變。經(jīng)過推導(dǎo)可得散射場(chǎng)表達(dá)式

(4)

將式(4)表示為矩陣形式,可得

Y=AXBT

(5)

式中:Y∈M×N,為回波信號(hào)的觀測(cè)矩陣;X∈P×Q,為散射系數(shù)矩陣;A∈M×P,B∈N×Q,分別為方位向和距離向的感知矩陣,將其展開,則

(6)

(7)

2 壓縮感知參數(shù)重構(gòu)算法

2.1 常規(guī)2D-SL0算法

二維離散場(chǎng)景的網(wǎng)格點(diǎn)數(shù)P×Q遠(yuǎn)大于散射中心個(gè)數(shù)D,因此散射中心具有明顯的稀疏性,可以利用壓縮感知的參數(shù)重構(gòu)算法,從觀測(cè)信號(hào)中重構(gòu)出各個(gè)散射中心的幅度參數(shù),從而構(gòu)建ISAR圖像。

常規(guī)2D-SL0算法是一種壓縮感知類參數(shù)重構(gòu)算法,該算法用高斯函數(shù)組合來近似散射系數(shù)矩陣X的l0范數(shù),得到連續(xù)可微的目標(biāo)函數(shù),避免了非連續(xù)函數(shù)最小化的NP難問題。該算法要解決的是一個(gè)優(yōu)化問題,其優(yōu)化目標(biāo)為

(8)

式中:L(X)被用于近似散射系數(shù)矩陣X的l0范數(shù),可表示為

L(X)=PQ-Fσ(X)=

(9)

常規(guī)2D-SL0算法需要內(nèi)外兩層循環(huán)。外循環(huán)里,預(yù)設(shè)K個(gè)σ值,并逐步減小σ值,使函數(shù)Fσ(X)的波形由光滑趨向于起伏;內(nèi)循環(huán)里,使用最陡下降法求當(dāng)前σ值下能使Fσ(X)增大的X值,但一共只迭代L次,以免陷入局部最優(yōu)。當(dāng)σ值趨于最小的時(shí)候,X收斂到全局最優(yōu)值。

因此,常規(guī)2D-SL0算法需要預(yù)先設(shè)置外循環(huán)次數(shù)K和內(nèi)循環(huán)次數(shù)L。在任一輪內(nèi)循環(huán)里,不論參數(shù)優(yōu)化的收斂效果如何,內(nèi)循環(huán)次數(shù)都是設(shè)定的L次,這樣僵化的迭代策略會(huì)導(dǎo)致效率低下。仿真結(jié)果表明,在某些輪內(nèi)循環(huán)里,參數(shù)估計(jì)值只在前面若干次內(nèi)循環(huán)里得到持續(xù)優(yōu)化,在后續(xù)內(nèi)循環(huán)里變化極其緩慢,甚至不變,此時(shí)的內(nèi)循環(huán)屬于無效迭代。因此,并不是每一輪內(nèi)循環(huán)(即每一次外循環(huán))都有運(yùn)行L次迭代的必要。

2.2 2D T-SL0快速算法

在本文提出的2D T-SL0算法里,針對(duì)某個(gè)既定的σ值,或者某次既定的外循環(huán),存在函數(shù)gσ(xp,q)為

(10)

將式(10)求導(dǎo)可得

(11)

在該次外循環(huán)里,設(shè)定L次內(nèi)循環(huán),且根據(jù)拉格朗日中值定理,得到

(12)

(13)

(14)

將式(14)寫成矩陣形式,有

(15)

式中:“·”為點(diǎn)乘,即兩個(gè)矩陣元素對(duì)應(yīng)相乘,矩陣D(l-1)可表示為

(16)

對(duì)式(15)兩邊取l2范數(shù),可得

(17)

然后有

(18)

(19)

此處定義誤差統(tǒng)計(jì)量為

(20)

然后有

(21)

以及

(22)

E(l-1)=‖ΔX(l)‖2/c(l)

(23)

為了描述迭代效率,此處定義誤差統(tǒng)計(jì)量E的相對(duì)變化率為

(24)

(25)

式中:I為從第一輪內(nèi)循環(huán)開始,有效進(jìn)行過的總迭代次數(shù),即實(shí)際迭代次數(shù),所以I會(huì)隨著迭代的增加而變化。

2.3 ISAR成像步驟

2D T-SL0算法的具體實(shí)現(xiàn)步驟如下:

圖2 2D T-SL0算法流程

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

本文對(duì)2D T-SL0算法進(jìn)行了軟件編程和ISAR成像測(cè)試,使用了仿真數(shù)據(jù)和實(shí)測(cè)數(shù)據(jù),與常規(guī)2D-SL0算法、距離-多普勒(R-D)算法、旋轉(zhuǎn)不變參數(shù)估計(jì)(ESPRIT)算法在計(jì)算時(shí)間與成像效果方面進(jìn)行了比較。

仿真實(shí)驗(yàn)使用的目標(biāo)模型為P-51飛機(jī),其CAD模型如圖3所示。電磁仿真的基本參數(shù)如下:發(fā)射信號(hào)中心頻率為10 GHz,帶寬為0.5 GHz,步進(jìn)頻采樣,采樣頻點(diǎn)為64;俯仰角固定為75°;方位角范圍為[-1.432 4°,1.432 4°],采樣64個(gè)角點(diǎn)。仿真得到的回波二維譜矩陣的尺寸為64×64,對(duì)應(yīng)的徑向和橫向分辨率均為0.3 m。實(shí)驗(yàn)使用主頻3.20 Hz的中央處理器、64位Windows10操作系統(tǒng)。

圖3 P-51飛機(jī)模型

為了驗(yàn)證2D T-SL0算法在剔除無效內(nèi)循環(huán)迭代方面的效果,本實(shí)驗(yàn)首先統(tǒng)計(jì)并給出了2D T-SL0算法與常規(guī)2D-SL0算法的參數(shù)更新步長(zhǎng)收斂對(duì)比結(jié)果,如圖4所示,其橫軸是實(shí)際迭代次數(shù)。由于在梯度下降法中,梯度趨于0即步長(zhǎng)趨于0時(shí)達(dá)到收斂,故可用步長(zhǎng)值隨實(shí)際迭代次數(shù)的變化模擬算法的收斂效果。從圖4可以看出,2D T-SL0算法中步長(zhǎng)值下降更快,達(dá)到收斂前所使用的迭代次數(shù)明顯少于常規(guī)2D-SL0算法。

圖4 參數(shù)更新步長(zhǎng)變化曲線

在內(nèi)外循環(huán)次數(shù)K和L設(shè)置相同的情況下,由于2D T-SL0算法的實(shí)際迭代次數(shù)要遠(yuǎn)小于常規(guī)2D-SL0算法,所以2D T-SL0算法的ISAR成像速度也快于常規(guī)2D-SL0算法。表1和表2對(duì)比了兩種算法在外循環(huán)分別設(shè)定為30次和50次時(shí),ISAR成像的計(jì)算時(shí)間。從中可見,常規(guī)2D-SL0算法里,隨著設(shè)定內(nèi)外循環(huán)次數(shù)的增加,計(jì)算時(shí)間也相應(yīng)增加。而在2D T-SL0算法里,由于剔除了無效迭代,隨著設(shè)定內(nèi)外循環(huán)次數(shù)的增加,計(jì)算時(shí)間變化很小,且在設(shè)定內(nèi)循環(huán)次數(shù)較大時(shí),計(jì)算時(shí)間明顯低于常規(guī)2D-SL0算法。

表1 外循環(huán)30次的仿真時(shí)間對(duì)比

表2 外循環(huán)50次的仿真時(shí)間對(duì)比

在仿真數(shù)據(jù)的ISAR成像效果方面,實(shí)驗(yàn)比較了四種算法在信噪比分別為0 dB、5 dB、10 dB條件下的成像效果,其結(jié)果如圖5所示。

圖5 基于仿真數(shù)據(jù)的ISAR成像結(jié)果

從圖5可以看出,R-D算法和ESPRIT算法成像的尺寸與回波二維譜矩陣的尺寸相同,都為64×64;而常規(guī)2D-SL0算法與2D T-SL0算法屬于壓縮感知類算法,散射系數(shù)矩陣的尺寸可以大于回波二維譜矩陣,本實(shí)驗(yàn)設(shè)定的散射系數(shù)矩陣X的尺寸為128×128。從ISAR成像效果來看,2D T-SL0算法要好于R-D算法和ESPRIT算法,與常規(guī)2D-SL0算法相當(dāng)。

上述四種算法的成像時(shí)間比較如表3所示。2D T-SL0算法和常規(guī)2D-SL0算法均設(shè)定K=30,L=40。由表3可見,2DT-SL0算法快于常規(guī)2D-SL0算法;R-D算法基于快速傅里葉變換實(shí)現(xiàn),成像時(shí)間最短;ESPRIT算法的成像時(shí)間最長(zhǎng)。

表3 仿真數(shù)據(jù)成像時(shí)間對(duì)比

此外,本實(shí)驗(yàn)還采用實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行了ISAR成像,實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)來自于Yak-42飛機(jī)。發(fā)射信號(hào)的中心頻率為5.52 GHz,帶寬為0.4 GHz,脈沖重復(fù)頻率為400 Hz,徑向分辨率為0.375 m。上述四種算法對(duì)于實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)的ISAR成像結(jié)果如圖6所示。

圖6 基于實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)的ISAR成像結(jié)果

由圖6可知,2D T-SL0算法的成像效果與常規(guī) 2D-SL0算法相當(dāng),但明顯好于傳統(tǒng)的R-D算法和ESPRIT算法。關(guān)于上述四種算法采用實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行ISAR成像的計(jì)算時(shí)間,情況與仿真數(shù)據(jù)類似,此處不再列出。

4 結(jié)束語

本文提出的2D T-SL0算法是一種壓縮感知類參數(shù)重構(gòu)快速算法,可用于ISAR成像。該算法采用迭代效率指標(biāo)來評(píng)估內(nèi)循環(huán)的有效性,以此剔除大量無效內(nèi)循環(huán)迭代,在不影響ISAR成像效果的前提下,大幅減小運(yùn)算量。本文采用仿真數(shù)據(jù)和實(shí)測(cè)數(shù)據(jù),對(duì)比了2D T-SL0算法、常規(guī)2D-SL0算法、傳統(tǒng)的R-D算法和ESPRIT算法的計(jì)算時(shí)間和ISAR成像效果。相較于常規(guī)2D-SL0算法,2D T-SL0算法具有更短的ISAR成像計(jì)算時(shí)間。在ISAR成像效果方面,2D T-SL0算法和常規(guī)2D-SL0算法相當(dāng),但明顯優(yōu)于傳統(tǒng)的R-D算法和ESPRIT算法。