基于扭轉(zhuǎn)-滑移耦合約束的梁橋抗傾覆滑移整體穩(wěn)定分析

童上航, 肖汝誠(chéng), 莊冬利, 孫 斌

(同濟(jì)大學(xué) 橋梁工程系, 上海 200092)

0 引 言

梁橋傾覆倒塌事故屢有發(fā)生,造成了嚴(yán)重的生命財(cái)產(chǎn)損失．車(chē)輛超載是引起梁橋傾覆的直接原因,據(jù)筆者不完全統(tǒng)計(jì),近年來(lái)我國(guó)因車(chē)輛超載而倒塌的橋梁見(jiàn)表1,這些事故中的橋梁均為獨(dú)柱墩連續(xù)梁橋,并且事故車(chē)輛都是靠邊緣行駛導(dǎo)致傾覆扭矩過(guò)大,梁體發(fā)生滑移傾覆而落地．

為防止此類(lèi)事故發(fā)生,眾多學(xué)者致力于提高梁橋抗傾覆的整體穩(wěn)定性能,并取得了一定成果．然而梁橋傾覆滑移機(jī)理尚未明確,計(jì)算方法仍不完善．目前梁橋傾覆計(jì)算方法主要分為剛體法、變形體法和精細(xì)化有限元法．剛體法將上部結(jié)構(gòu)視為剛體,支座視為理想點(diǎn)支撐,選取荷載側(cè)梁橋最外側(cè)兩支座的連線作為傾覆軸,驗(yàn)算抗力矩和傾覆力矩大小[1]．剛體法忽略了梁體變形和支座變形,會(huì)高估梁橋的抗傾覆能力[2]．變形體法認(rèn)為梁橋會(huì)發(fā)生小變形,利用支反力驗(yàn)算抗傾覆能力．比如美國(guó)橋梁規(guī)范(AASHTO, 2007)通過(guò)控制最小支反力來(lái)保證不發(fā)生傾覆[3];國(guó)內(nèi)交通運(yùn)輸部2018版新規(guī)范(JTG 3362—2018)將傾覆劃分為兩個(gè)特征狀態(tài),第一個(gè)狀態(tài)控制支反力,第二個(gè)狀態(tài)采用安全系數(shù)法[4]．彭衛(wèi)兵等[5]基于變形體法提出了考慮支座尺寸影響的實(shí)用計(jì)算方法．然而,變形體法不能精確考慮梁橋大位移引起的幾何非線性問(wèn)題和支座與上部結(jié)構(gòu)復(fù)雜相互作用引起的約束非線性問(wèn)題．一些學(xué)者采取精細(xì)化有限元法模擬了傾覆過(guò)程[6-9],但精細(xì)化有限元建模復(fù)雜,計(jì)算成本高,不適合工程應(yīng)用．可見(jiàn)上述三種計(jì)算方法各有不足,因此,建立一種兼顧分析精度和計(jì)算效率的改進(jìn)方法顯得尤為重要．

一些學(xué)者已嘗試建立改進(jìn)方法來(lái)計(jì)算部分支座失效后梁橋的平衡狀態(tài),例如Shi等[10]將等效慣性矩應(yīng)用于Euler-Bernoulli梁并假定支座不發(fā)生滑移,建立了一種簡(jiǎn)化模型去分析梁體與支座脫空后的平衡狀態(tài)．事實(shí)上,支座滑移是梁橋整體失穩(wěn)破壞的控制條件之一,并且支座摩擦因數(shù)直接關(guān)系到主梁的抗滑移能力[11-13]．由此可知,建立改進(jìn)方法應(yīng)明確支座與上部結(jié)構(gòu)的相互作用機(jī)理,著重考慮支座脫空滑移對(duì)梁橋整體失穩(wěn)的影響．鑒于此,本文提出了一種基于曲梁?jiǎn)卧紤]扭轉(zhuǎn)-滑移耦合約束的梁橋整體穩(wěn)定性分析方法,該方法可計(jì)算各種支座失效情況下的梁橋平衡狀態(tài),并準(zhǔn)確判斷梁橋整體失穩(wěn)模式．具體來(lái)說(shuō),本文工作如下:推導(dǎo)了七自由度曲梁?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠染仃?建立了各種支座失效情況下的支座約束方程,并將支座約束方程引入有限元總方程參與求解．將梁橋整體失穩(wěn)分為傾覆和滑移兩種情況,提出了以各支座受力狀態(tài)判斷梁橋整體是否失穩(wěn)的計(jì)算流程,并編制了相應(yīng)的計(jì)算程序．以簡(jiǎn)支超靜定曲梁為例,對(duì)比解析解、ANSYS中含翹曲自由度的Beam 188單元計(jì)算結(jié)果和本文所提出七自由度曲梁?jiǎn)卧挠?jì)算結(jié)果,檢驗(yàn)了本文所提出曲梁?jiǎn)卧木龋盟岢龇椒ㄔu(píng)估了某匝道橋事故案例,分析了在不同荷載放大率下的支反力大小變化及支座失效情況,還原了失穩(wěn)發(fā)展歷程．通過(guò)對(duì)比本文所提出方法和傳統(tǒng)桿系有限元模型的支反力結(jié)果,驗(yàn)證了本文方法能更精確地模擬各種支座失效情況下的梁橋平衡狀態(tài)．

1 曲梁?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠染仃?/h2>

文獻(xiàn)[14]推導(dǎo)了包含豎向撓度和扭轉(zhuǎn)角的曲梁?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠染仃?本文所提出的支座約束方程中包含梁的橫向位移,而曲梁縱向位移與橫向位移的剛度是相互耦合的．因此本文在文獻(xiàn)[14]的基礎(chǔ)上引入橫向位移和縱向位移,推導(dǎo)了七自由度曲梁?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠染仃嚕?/p>

在曲梁的剪切中心軸線上建立直角流動(dòng)坐標(biāo)系,其中z軸沿軸線切線方向,x軸指向軸線曲率中心,y軸垂直xOz平面向下．u,v,w分別為x,y,z方向的位移,φ為截面扭轉(zhuǎn)角．截面內(nèi)力分量和流動(dòng)坐標(biāo)系如圖1所示．設(shè)梁的截面面積為A,彈性模量為E,剪切模量為G,繞x軸的慣性矩為Ix,繞y軸的慣性矩為Iy,扭轉(zhuǎn)慣性矩為Id,扇形慣性矩為Iω．

圖1 曲梁截面內(nèi)力分量與流動(dòng)坐標(biāo)系Fig. 1 The internal force components and the co-rotational coordinate system of the curved beam

曲梁?jiǎn)卧粋€(gè)結(jié)點(diǎn)有七個(gè)自由度,包括縱向位移w、橫向位移u及其導(dǎo)數(shù)u′(對(duì)縱坐標(biāo)z的導(dǎo)數(shù))、豎向位移v及其導(dǎo)數(shù)v′、扭轉(zhuǎn)角φ及其導(dǎo)數(shù)φ′．設(shè)單元長(zhǎng)度為2λ,曲率半徑為R,如圖2所示．

圖2 七自由度曲梁?jiǎn)卧狥ig. 2 The curved beam element with 7 degrees of freedom

令自然坐標(biāo)ξ=z/λ,縱向位移w采用線性位移模式,橫向位移u、豎向位移v和扭轉(zhuǎn)角φ都采用三次位移模式:

(1)

以上位移模式結(jié)合結(jié)點(diǎn)位移δi=[wiuiu′iviv′iφiφ′i]T和δj=[wjuju′jvjv′jφjφ′j]T,可解得a0,a1,b0,b1,b2,b3,c0,c1,c2,c3,d0,d1,d2,d3等系數(shù)．將這些系數(shù)代回方程(1),可推導(dǎo)出單元形函數(shù)矩陣N:

(2)

其中形函數(shù)

曲梁的幾何方程、截面內(nèi)力與變形的關(guān)系如下[14-16]:

(3)

(4)

其中N為截面軸力,My和Mx分別是沿y方向和沿x方向的彎矩,Td為自由扭轉(zhuǎn)矩,Tω為約束扭轉(zhuǎn)矩,B為雙力矩．將式(2)、(3)代入式(4),解得廣義應(yīng)力與結(jié)點(diǎn)位移δ的關(guān)系:

[NMyMxTdBTω]T=DBδ,

(5)

其中彈性矩陣D為

廣義應(yīng)變矩陣B為

B=

其中N′1表示N1對(duì)z求導(dǎo)．

由虛功原理和變分原理可解得曲梁?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠染仃嚍?/p>

(6)

當(dāng)曲梁?jiǎn)卧陌霃节呌跓o(wú)窮大時(shí),其單元?jiǎng)偠染仃嚤阃嘶癁橹绷旱膯卧獎(jiǎng)偠染仃嚕?/p>

記外力集中荷載為F=[PxPyPzMxMyMz]T,分布荷載為f=[qxqyqzmxmymz]T,所有外力荷載分量的正方向與流動(dòng)坐標(biāo)系正方向一致,可得單元結(jié)點(diǎn)荷載為

(7)

其中

N′3表示N3對(duì)z求導(dǎo)．

2 支座約束方程與梁橋失穩(wěn)判斷

當(dāng)忽略支座尺寸對(duì)梁橋傾覆的影響時(shí),支座視為一個(gè)點(diǎn)支撐上部結(jié)構(gòu):對(duì)于單支座墩,其失效模式可分為脫空和滑移;對(duì)于雙支座墩,其失效模式可分為單側(cè)脫空不滑移、單側(cè)脫空且滑移和雙支座都脫空．本文提出的迭代求解思路是先計(jì)算所有支座未失效情況下的有限元解,然后檢查每個(gè)支座處的支反力和扭轉(zhuǎn)角．如果支反力受拉,則支座脫空,去除該支座;如果扭轉(zhuǎn)角大于摩擦角,則支座發(fā)生滑移,應(yīng)引入扭轉(zhuǎn)-滑移耦合約束方程．然后求解改變支座約束條件后的有限元總方程．

2.1 支座約束

2.1.1 支座未脫空且未滑移

對(duì)于單支座墩,梁橋橫向位移和豎向位移都被支座限制,因此約束條件為

(8)

而對(duì)于雙支座墩,不僅約束橫向位移和豎向位移,還會(huì)約束梁的扭轉(zhuǎn)以及曲梁平面內(nèi)彎曲,即

(9)

2.1.2 單墩支座脫空和雙支座墩完全脫空

支座未脫空未滑移時(shí),為實(shí)現(xiàn)約束方程(8)、(9),可采用對(duì)角元素改1法[17],并將結(jié)點(diǎn)載荷列陣相應(yīng)元素改為0．支座僅承壓,如果支座支反力計(jì)算結(jié)果為受拉,說(shuō)明支座發(fā)生脫空,應(yīng)去除該位置的支座約束條件．直接在總剛度矩陣和結(jié)點(diǎn)載荷列陣中還原相應(yīng)的元素即可．

2.1.3 需要引入約束方程的支座失效情況

需引入約束方程的失效情況包括單墩支座滑移、雙支座墩單側(cè)脫空不滑移和雙支座墩單側(cè)脫空且滑移．以單墩支座發(fā)生滑移為例,當(dāng)梁橋在單墩支座結(jié)點(diǎn)處的扭轉(zhuǎn)角大于摩擦角時(shí),梁橋在該支座處會(huì)發(fā)生滑移．設(shè)支座給梁橋底面法向力為N,摩擦力為f,忽略摩擦力在縱橋向的分量,摩擦因數(shù)為μ,梁橋截面剪心到底面的距離為hb,剪心OSC在截面內(nèi)的位移r=(u,v)．為方便在有限元求解方程中引入扭轉(zhuǎn)-滑移耦合約束,規(guī)定Px為支座反力沿x方向的分量,Py為沿y方向的分量,mz為支座反力給發(fā)生位移后剪心位置的扭矩,Px,Py和mz將作為待求量參與有限元總方程求解,如圖3所示．

① 扭轉(zhuǎn)角大于0(即與流動(dòng)坐標(biāo)系正方向一致)

梁橋在支座處結(jié)點(diǎn)的橫向位移u,豎向位移v,扭轉(zhuǎn)角φ滿足幾何約束條件為

g1=utanφ-v+hb(1-secφ)=0,

(10)

支反力給剪心的扭矩為

mz=Px(v-hb)-Pyu,

(11)

因此第二個(gè)約束方程為

g2=-mz+Px(v-hb)-Pyu=0．

(12)

摩擦力f和法向力N滿足

(13)

由此可得第三個(gè)約束方程為

g3=Py(sinφ-μcosφ)+Px(cosφ+μsinφ)=0．

(14)

(a) φ>0 (b) φ<0

② 扭轉(zhuǎn)角小于0

同理可得三個(gè)約束方程為

(15)

對(duì)于其他需要引入約束方程的支座失效情況,其推導(dǎo)過(guò)程與單支座墩滑移類(lèi)似．所有的約束方程匯總見(jiàn)表2．

表2 支座約束方程

2.2 梁橋失穩(wěn)判斷

在求解過(guò)程中,先計(jì)算所有支座都有效的位移解,根據(jù)支反力正負(fù)和扭轉(zhuǎn)角大小判斷各支座是否失效(脫空或滑移),然后改變各支座約束條件,在有限元求解總方程中引入支座約束方程重新求解,再檢查各支座的失效模式,如果失效模式發(fā)生改變則修改約束方程,則再次重新求解,直至各支座失效模式不改變?yōu)橹梗詈蟾鶕?jù)各支座的失效情況判斷梁橋是否失穩(wěn)(整個(gè)上部結(jié)構(gòu)滑移或傾覆)．

2.2.1 利用Newton-Raphson迭代法求解含約束條件的有限元方程

對(duì)于支座未滑移未脫空、單支座脫空和雙支座完全脫空這三種支座失效模式,只需修改總剛度矩陣和結(jié)點(diǎn)載荷列陣即可．而對(duì)于單支座滑移、雙支座單側(cè)脫空不滑移和雙支座單側(cè)脫空且滑移,則需要引入約束方程,支反力Px,Py和支反力對(duì)剪心扭矩mz將作為待求量引入結(jié)點(diǎn)位移列陣共同參與求解．當(dāng)有k個(gè)支座需要引入約束方程時(shí),有限元求解總方程為

(16)

其中

利用Newton-Raphson迭代法求解方程(16),即迭代求解

a(k)=a(k-1)-J-1(a(k-1))F(a(k-1)),

(17)

直至增量小于精度ε:

‖J-1(a)F(a)‖<ε,

(18)

其中J(a)為F(a)的Jacobi矩陣,

2.2.2 梁橋失穩(wěn)判斷方法

上部結(jié)構(gòu)可能發(fā)生的失穩(wěn)模式有滑移和傾覆．當(dāng)所有支座都發(fā)生了脫空或滑移時(shí),上部結(jié)構(gòu)將發(fā)生整體滑移．如果沒(méi)發(fā)生整體滑移,但承壓支座僅剩一個(gè)或兩個(gè),那么上部結(jié)構(gòu)將發(fā)生傾覆．實(shí)際工程中支座的容許扭轉(zhuǎn)角較小,摩擦角較小,滑移往往會(huì)先于傾覆發(fā)生．

綜上所述,梁橋失穩(wěn)判斷流程為:

我國(guó)體育教師教育培訓(xùn)主要由職前教育系統(tǒng)和在職培訓(xùn)系統(tǒng)兩大系統(tǒng)組成。體育專(zhuān)業(yè)院校和師范院校的體育院系主要承擔(dān)體育教師的職前教育，各級(jí)各類(lèi)的教育學(xué)院和教師進(jìn)修學(xué)校主要承擔(dān)體育教師的在職培訓(xùn)。目前，我國(guó)高校中體育教師的培養(yǎng)還存在著諸多問(wèn)題，其中“訓(xùn)練”比“教育”重要的思想使得體育教師職前教育的課程體系缺乏“師范性”。而體育教師正要通過(guò)體育教育學(xué)類(lèi)的課程來(lái)學(xué)習(xí)、掌握和運(yùn)用來(lái)實(shí)現(xiàn)其專(zhuān)業(yè)的壟斷性和不可替代性。因此，建立和完善體育教育學(xué)科的課程體系是提高體育教師教育質(zhì)量、保障體育教師專(zhuān)業(yè)地位的重要條件。

1) 假定所有支座有效,求解第一次有限元方程

Kδ=P．

2) 根據(jù)各支座的扭轉(zhuǎn)角和支反力判斷各支座的失效模式．對(duì)于單支座墩,如果支反力受拉,則支座脫空;如果支反力受壓但扭轉(zhuǎn)角大于摩擦角,則支座發(fā)生滑移．對(duì)于雙支座墩,如果兩個(gè)支座的支反力都受拉,則兩個(gè)支座都脫空;如果只有一個(gè)支座受壓,則是單側(cè)支座脫空,然后根據(jù)扭轉(zhuǎn)角是否大于摩擦角判斷是否發(fā)生滑移．

3) 如果所有支座都發(fā)生脫空或滑移,則上部結(jié)構(gòu)發(fā)生滑移,退出計(jì)算．

4) 如果承壓的支座只剩一個(gè)或兩個(gè),則上部結(jié)構(gòu)發(fā)生傾覆,退出計(jì)算．

5) 如果上部結(jié)構(gòu)未發(fā)生滑移或傾覆,則判斷與上一次求解相比支座失效模式是否發(fā)生改變:如果未發(fā)生改變則退出計(jì)算,梁橋未發(fā)生整體失穩(wěn);反之則根據(jù)支座失效模式修改支座約束方程G和總剛矩陣Keq,利用Newton-Raphson迭代法求解有限元方程

然后返回步驟2)．

3 算 例 分 析

3.1 簡(jiǎn)支超靜定曲梁分析

為檢驗(yàn)曲梁?jiǎn)卧木?以簡(jiǎn)支超靜定曲梁為例,對(duì)比理論解析解、ANSYS中含翹曲自由度的Beam 188單元計(jì)算結(jié)果和七自由度曲梁?jiǎn)卧?jì)算結(jié)果．在均布豎向荷載和均布扭矩作用下,簡(jiǎn)支超靜定曲梁的扭轉(zhuǎn)角φ和豎向撓度v解析解為[14]

(19)

表3 各參數(shù)取值

圖4 撓度的理論結(jié)果與有限元結(jié)果比較

3.2 某匝道橋事故分析

某匝道橋發(fā)生倒塌,事故發(fā)生時(shí)有3輛重約110 t的貨車(chē)行駛在曲梁靠外側(cè)(近傾覆側(cè)),1輛較輕的車(chē)在靠?jī)?nèi)側(cè)(計(jì)算中忽略)．倒塌曲梁段長(zhǎng)75 m,曲線半徑220 m,平面布置和箱梁橫斷面如圖6、7所示．單墩支座摩擦因數(shù)取0.3[18],聯(lián)端雙支座摩擦因數(shù)取0.01,主梁材料為C50混凝土．

圖6 平面布置圖(單位: m)

定義荷載放大率為施加汽車(chē)荷載的比例系數(shù)．車(chē)輛荷載的荷載放大率從0.1開(kāi)始逐漸增大,計(jì)算所有支座的豎向支反力,如圖8所示．當(dāng)荷載放大率為0.45時(shí),聯(lián)端內(nèi)側(cè)支座P1-2和P4-2發(fā)生脫空;放大率為0.55時(shí),聯(lián)端外側(cè)支座P1-1和P4-1發(fā)生滑移;放大率達(dá)到0.93時(shí),箱梁最大扭轉(zhuǎn)角16.8°,已超過(guò)單墩支座摩擦角,單墩支座P2和P3發(fā)生滑移,此時(shí)所有未脫空支座都發(fā)生滑移,箱梁在支座處受到的水平力指向外側(cè),箱梁整體往外側(cè)滑移,還沒(méi)有達(dá)到事故車(chē)輛荷載大小就已經(jīng)倒塌．因此,在事故車(chē)輛荷載作用下,聯(lián)端內(nèi)側(cè)支座發(fā)生了脫空,并且其他所有支座發(fā)生了滑移,箱梁整體發(fā)生滑移然后沿P2和P3連線傾覆,扭轉(zhuǎn)角發(fā)散．由式(15)第三個(gè)約束方程可知,墩柱頂受到的水平力會(huì)隨著扭轉(zhuǎn)角發(fā)散急劇增大,墩柱底彎矩過(guò)大發(fā)生強(qiáng)度破壞,事故現(xiàn)場(chǎng)P2和P3墩柱也確實(shí)發(fā)生墩底破壞而倒塌[8]．

圖8 不同荷載放大率下各支座的豎向支反力Fig. 8 The vertical support reaction of each bearing under different load amplification ratios

規(guī)范方法基于傳統(tǒng)的桿系模型驗(yàn)算抗傾覆能力[4],但傳統(tǒng)桿系模型假定所有支座有效,不能模擬上部結(jié)構(gòu)與支座的復(fù)雜相互作用,而本文所提出的方法可以模擬支座脫空和支座滑移帶來(lái)的影響．根據(jù)圖8,選取荷載放大率為0.1,0.5和0.8三種工況,分別對(duì)應(yīng)所有支座有效、聯(lián)端內(nèi)側(cè)支座脫空和聯(lián)端外側(cè)支座滑移三種情況,對(duì)比本文方法和傳統(tǒng)模型的豎向支反力計(jì)算結(jié)果,如圖9所示．在0.1倍車(chē)載作用下,兩者的豎向支反力最大相差2.80%;在0.5倍車(chē)載作用下,本文方法判斷出聯(lián)端內(nèi)側(cè)支座P1-2和P4-2發(fā)生脫空,支反力為0,而傳統(tǒng)模型算得支座P1-2和P4-2承受拉力;在0.8倍車(chē)載作用下,本文方法結(jié)果中的各支反力與傳統(tǒng)模型相比都有顯著差異,可見(jiàn)支座脫空滑移對(duì)支反力影響較大．傳統(tǒng)模型不能準(zhǔn)確計(jì)算上部結(jié)構(gòu)與支座的相互作用,無(wú)法模擬實(shí)際事故中支座脫空和支座摩擦滑移的現(xiàn)象,而本文提出的模型克服了其不足之處,能夠更精確地模擬各種支座失效情況下的梁橋平衡狀態(tài)．從計(jì)算效率來(lái)看,以0.1倍車(chē)載工況為例,本文方法計(jì)算耗時(shí)0.11 s(采用MATLAB計(jì)算),傳統(tǒng)桿系模型耗時(shí)0.52 s(采用MIDAS/Civil計(jì)算),可以預(yù)計(jì)本文方法對(duì)于更復(fù)雜的梁橋結(jié)構(gòu)具有更高的計(jì)算效率．

圖9 所提出計(jì)算模型與傳統(tǒng)模型的豎向支反力對(duì)比Fig. 9 Comparison of the vertical support reactions given by the proposed model with the traditional model

4 結(jié) 論

1) 本文對(duì)比了簡(jiǎn)支超靜定曲梁的解析解、Beam 188單元有限元解和本文所提出七自由度曲梁?jiǎn)卧挠邢拊猓畯奈灰频挠?jì)算結(jié)果來(lái)看,本文所提出的曲梁?jiǎn)卧菳eam 188單元更接近解析解,驗(yàn)證了曲梁?jiǎn)卧母呔刃裕?/p>

2) 本文分析了某匝道橋倒塌事故．在不同荷載放大率條件下通過(guò)計(jì)算各支座的支反力大小和判斷各支座失效情況,還原了該匝道橋失穩(wěn)發(fā)展歷程:在事故車(chē)輛荷載作用下,聯(lián)端內(nèi)側(cè)支座脫空,其他所有支座發(fā)生滑移,因此該梁橋先發(fā)生滑移然后傾覆落地．通過(guò)對(duì)比分析本文方法與傳統(tǒng)桿系有限元模型在所有支座有效、聯(lián)端內(nèi)側(cè)支座脫空和聯(lián)端外側(cè)支座滑移三種情況下的計(jì)算結(jié)果,驗(yàn)證了本文方法能更精確地模擬各種支座失效情況下的梁橋平衡狀態(tài)．