基于坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的分?jǐn)?shù)軌道角動(dòng)量探測(cè)

胡曉楠，方心遠(yuǎn)

（1.上海理工大學(xué) 光子芯片研究院，上海 200093；2.上海理工大學(xué) 光電信息與計(jì)算機(jī)工程學(xué)院，上海 200093）

引言

渦旋光束是攜帶每個(gè)光子的軌道角動(dòng)量為l?的特殊光束，包含螺旋相位因子exp（ilθ）。其中l(wèi)是取任意實(shí)數(shù)的拓?fù)潆姾桑?是空間方位角，?是約化普朗克常數(shù)（等于普朗克常數(shù)h/2π）[1-2]。值得注意的是軌道角動(dòng)量（orbital angular momentum，OAM）的無(wú)窮物理維度使其具有廣泛的應(yīng)用領(lǐng)域，比如光通信、量子糾纏、光操縱等[3-5]。作為一類特殊的結(jié)構(gòu)光，OAM 光束的產(chǎn)生[6-7]和探測(cè)都十分重要。OAM 探測(cè)方法根據(jù)物理機(jī)制可分為衍射和干涉，表面等離子體激元和軌道光電流效應(yīng)[8-11]。對(duì)于衍射探測(cè)方法，包括設(shè)計(jì)特定的叉形光柵，振幅型的三角形孔徑，以及全電介質(zhì)超表面等[12-14]。應(yīng)當(dāng)指出的是，與衍射探測(cè)有關(guān)的方法無(wú)法實(shí)現(xiàn)高效率、高維度的探測(cè)。

近幾年，有研究者通過(guò)把不同階OAM 光束的相位頻率變化從極坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換到直角坐標(biāo)系中，實(shí)現(xiàn)OAM 模式的高效探測(cè)，這種方法被稱為坐標(biāo)轉(zhuǎn)換。格拉斯哥大學(xué)的研究人員最先提出這個(gè)想法，通過(guò)兩個(gè)級(jí)聯(lián)的衍射光學(xué)元件，實(shí)現(xiàn)了混合OAM 狀態(tài)的分離[15]。但是由于坐標(biāo)轉(zhuǎn)換時(shí)僅僅利用了一圈角向相位梯度，導(dǎo)致可區(qū)分OAM 狀態(tài)分辨率很差（例如，拓?fù)浜上嗖? 的OAM 光束在最后的成像面重疊嚴(yán)重，無(wú)法區(qū)分）。為了解決這個(gè)問(wèn)題，羅切斯特大學(xué)課題組在衍射元件外，額外加入Fan-out 光柵以及相位校準(zhǔn)元件，提高了不同OAM 光束在直角坐標(biāo)系下的頻率差別[16]。中山大學(xué)余思遠(yuǎn)教授課題組采用螺旋線方式進(jìn)行相位取樣，僅用兩個(gè)衍射相位元件完成了高分辨率的OAM 區(qū)分任務(wù)[17]。坐標(biāo)轉(zhuǎn)換方法能夠?qū)崿F(xiàn)一次性高效率探測(cè)，然而，以上所有工作只能用于整數(shù)OAM模式的探測(cè)。

分?jǐn)?shù)OAM 模式是具有復(fù)雜波前分布的渦旋光束，其螺旋相位因子與整數(shù)OAM 模式一樣均可表示為exp（ilθ），但其中拓?fù)潆姾蒷的值為分?jǐn)?shù)。因?yàn)槠洳ㄇ胺植疾皇且怨潭ǖ?～2π 為周期，所以具有更多的正交維度（任意兩個(gè)分?jǐn)?shù)拓?fù)浜芍抵顬檎麛?shù)即相互正交）及更強(qiáng)的編解碼能力。另外，整體光斑呈現(xiàn)出有缺口的環(huán)形形狀，使得能量不再成均勻?qū)ΨQ分布。如此復(fù)雜的波前分布特征使其在光操縱、光通信、光學(xué)成像、量子光學(xué)等領(lǐng)域應(yīng)用十分廣泛[18-21]。目前分?jǐn)?shù)OAM 模式的探測(cè)方法包括設(shè)計(jì)特定的衍射光柵，卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等[22-23]。但是，使用這些方法探測(cè)分?jǐn)?shù)OAM 模式同樣會(huì)出現(xiàn)效率低、模式少和系統(tǒng)操作復(fù)雜等問(wèn)題。本文提出基于坐標(biāo)轉(zhuǎn)換結(jié)合逆向設(shè)計(jì)的方法，實(shí)現(xiàn)了分?jǐn)?shù)OAM 模式的探測(cè)。采用OAM 模式從-1～1 間隔為0.1 的光束，經(jīng)扇形轉(zhuǎn)換，及對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)換和逆向設(shè)計(jì)結(jié)合生成的疊加相位的調(diào)制，完成分?jǐn)?shù)OAM 模式的探測(cè)，且光學(xué)系統(tǒng)的衍射效率保持在83%。此外，發(fā)現(xiàn)兩束復(fù)用的分?jǐn)?shù)OAM 模式能被系統(tǒng)探測(cè)的最小拓?fù)浜砷g隔為0.6。

1 原理與設(shè)計(jì)

為了實(shí)現(xiàn)對(duì)分?jǐn)?shù)OAM 模式的高效探測(cè)，本文提出使用扇形轉(zhuǎn)換和對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)換結(jié)合逆向設(shè)計(jì)的方法，概念圖如圖1 所示。首先，多束復(fù)用的分?jǐn)?shù)OAM 光束通過(guò)扇形轉(zhuǎn)換后，相位梯度擴(kuò)大n倍；其次，相位梯度擴(kuò)大后的光場(chǎng)經(jīng)過(guò)由對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)換的轉(zhuǎn)換相位和逆向設(shè)計(jì)的補(bǔ)償相位得到的疊加相位的調(diào)制；最后，經(jīng)傅里葉變換透鏡聚焦得到不同的光斑分布。

圖1 分?jǐn)?shù)OAM 模式探測(cè)概念圖Fig. 1 Fractional OAM modes recognition concept map

具體來(lái)說(shuō)，可將圖1 中原理分為三部分，分別是扇形轉(zhuǎn)換、對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)換和逆向設(shè)計(jì)算法。以下將對(duì)每一部分的原理進(jìn)行詳細(xì)描述。

1.1 扇形轉(zhuǎn)換

執(zhí)行光學(xué)信息的扇形轉(zhuǎn)換任務(wù)，需要利用角向坐標(biāo)之間的縮放，將處于第一平面極坐標(biāo)系（r，θ）中的光學(xué)信息映射到第二平面極坐標(biāo)系（ρ，φ），其中r和ρ 分別表示相應(yīng)坐標(biāo)系中的徑向坐標(biāo)，θ 和φ分別表示角向坐標(biāo)。角向坐標(biāo)之間的縮放關(guān)系為[24]

式中：n表示坐標(biāo)角向縮放比例系數(shù)。接著，利用保形映射關(guān)系，得出第二平面徑向坐標(biāo)

式中：a和b是兩個(gè)任意可調(diào)節(jié)參數(shù)。經(jīng)過(guò)式（1）、（2）的變換，完成第一平面中0～2π 相位梯度到第二平面2π/n扇形區(qū)域上的映射。由此得到轉(zhuǎn)換光學(xué)元件的相位分布Ω1

根據(jù)平穩(wěn)相位近似[25]，得出補(bǔ)償光學(xué)元件的相位分布Ω2

式中：f為傅里葉變換透鏡的焦距；k= 2π/λ 為波矢，λ 是光波波長(zhǎng)。進(jìn)一步，利用移位項(xiàng)2π（j-1）/n對(duì)式（3）、（4）分別求和，其中j=1,···,n，得到相位梯度倍增的扇形轉(zhuǎn)換表達(dá)式

式中：ΩM1和ΩM2分別表示轉(zhuǎn)換光學(xué)元件和補(bǔ)償光學(xué)元件的相位分布；arg 為取輻角運(yùn)算；i 為虛數(shù)單位。

本文選取波長(zhǎng)為633nm，像素個(gè)數(shù)為512×512，像素大小為12.5 μm，以及l(fā)= 2 的拉蓋爾高斯（Laguerre-Gaussian，LG）光束和束腰半徑w0為1 mm 的參數(shù)模擬了光束通過(guò)扇形轉(zhuǎn)換的結(jié)果。此外，扇形轉(zhuǎn)換的相位平面設(shè)計(jì)參數(shù)為n=3，a= 1 mm，b=1 mm，f= 200 mm，模擬結(jié)果如圖2 所示。圖2（a）中，第一行和第二行分別為模擬得到的扇形轉(zhuǎn)換的轉(zhuǎn)化相位和補(bǔ)償相位。圖2（b）中，第一行為輸入LG 光束的光強(qiáng)和相位分布，通過(guò)扇形轉(zhuǎn)換后，得到輸出光場(chǎng)的光強(qiáng)和相位分布如第二行所示。另外，選取了l=-11～-1 的OAM 模式與得到的輸出光場(chǎng)分別疊加，取遠(yuǎn)場(chǎng)結(jié)果中心相同區(qū)域的強(qiáng)度值，繪制如圖2（c）所示的歸一化強(qiáng)度柱形圖。證明了輸出光場(chǎng)的OAM 模式為l= 6，與原理上l=2 的LG光束經(jīng)過(guò)扇形轉(zhuǎn)換后相位梯度乘3 倍的結(jié)果一致。

1.2 對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)換

根據(jù)文獻(xiàn)[15]可知，執(zhí)行光學(xué)信息的對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)換任務(wù)，需要將處于第一平面笛卡爾坐標(biāo)系（x，y）中的光學(xué)信息映射到第二平面笛卡爾坐標(biāo)系（u，v），其中x和u分別表示相應(yīng)坐標(biāo)系中的橫坐標(biāo)，y和v分別表示縱坐標(biāo)。兩者坐標(biāo)轉(zhuǎn)換關(guān)系為

式中c和d是兩個(gè)任意可調(diào)節(jié)參數(shù)。由此得到轉(zhuǎn)換光學(xué)元件的相位分布Ω3

依據(jù)平穩(wěn)相位近似，得到補(bǔ)償光學(xué)元件的相位分布Ω4

為了更直觀的理解對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)換的作用，本部分選取與上述圖2 中一致的參數(shù)，并根據(jù)式（7）、（8），對(duì)l= -2 和l= 3 的兩種OAM 模式的LG 相干光束的對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)換進(jìn)行模擬，得到圖3 所示結(jié)果。其中式（6）中參數(shù)c= 0.85 mm，d= 2 mm。

圖3 LG（l = -2、3）相干光束的對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)換圖Fig. 3 Logarithmic conversion diagram of LG（l = -2、3）coherent beams

圖3（a）第一行和第二行分別為對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)換的轉(zhuǎn)換相位和補(bǔ)償相位。圖3（b）第一行為模擬輸入光場(chǎng)，通過(guò)對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)換后，得到放大10 倍的輸出光場(chǎng)的光強(qiáng)和相位分布如第二行所示。理論上光斑的橫向位置t隨拓?fù)潆姾蒷的函數(shù)變化，關(guān)系式為

圖3（b）中白色虛線處的歸一化強(qiáng)度曲線如圖3（c）所示。根據(jù)模擬結(jié)果，當(dāng)輸入兩束相干的LG 光束時(shí)，縮放前OAM 模式探測(cè)的光斑橫向間距Δt為112.5 μm，而根據(jù)式（9）所得理論間距Δt為118.5 μm?？芍M和理論幾乎一致，證明對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)換的準(zhǔn)確性。

1.3 逆向設(shè)計(jì)

為了簡(jiǎn)化光學(xué)系統(tǒng)的復(fù)雜程度，本文省略了對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)換的補(bǔ)償相位光學(xué)元件，并用逆向設(shè)計(jì)的方法（本文為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法）在對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)換的轉(zhuǎn)換相位層上進(jìn)行補(bǔ)償設(shè)計(jì)，即在已知輸入光場(chǎng)和輸出光場(chǎng)的條件下，逆向設(shè)計(jì)出滿足特定要求的光學(xué)系統(tǒng)。接下來(lái)，對(duì)具體細(xì)節(jié)進(jìn)行詳細(xì)描述。

在保證使用的基本參數(shù)與上述一致的情況下，選擇兩束LG（l= -2、3）光束作為網(wǎng)絡(luò)的輸入光場(chǎng)，一層相位變量層作為未知的調(diào)制信息，學(xué)習(xí)率設(shè)置為0.01。接著，把補(bǔ)償后的結(jié)果作為輸出光場(chǎng)，經(jīng)過(guò)對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)換方法調(diào)制的結(jié)果作為目標(biāo)光場(chǎng)。計(jì)算輸出光場(chǎng)和目標(biāo)光場(chǎng)的光強(qiáng)分布的均方誤差，作為損失函數(shù)。通過(guò)網(wǎng)絡(luò)的不斷迭代優(yōu)化，降低損失函數(shù)的數(shù)值，更新變量相位層，最終經(jīng)過(guò)6 000 次迭代得到預(yù)期結(jié)果。本文使用型號(hào)為Intel（R）Xeon（R）W-2133 CPU @ 3.60 GHz 和 NVIDIA CUDA 11.4， 以及配置Python（3.8.13）和TensorFlow（2.6.0）的計(jì)算機(jī)做運(yùn)算。模擬結(jié)果如圖4 所示。

圖4 逆向設(shè)計(jì)下LG（l = -2、3）光束的對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)換圖Fig. 4 Logarithmic conversion diagram of LG（l=-2、3）beam under reverse design

LG 相干光束通過(guò)圖4（a）中轉(zhuǎn)換相位和優(yōu)化補(bǔ)償相位疊加后的相位元件，得到圖4（b）所示的光強(qiáng)和相位分布，其中10×表示光場(chǎng)放大10 倍。如圖4（c）所示，模擬的LG 相干光束探測(cè)的橫向間距Δt為125.0 μm（縮放前）。由此可見，結(jié)合逆向設(shè)計(jì)的方法仍能實(shí)現(xiàn)LG 相干光束的探測(cè)，并且模擬得到的探測(cè)間距與上述理論間距（Δt= 118.5 μm）結(jié)果幾乎一致。另外，定義衍射效率η 來(lái)衡量系統(tǒng)的能量損耗，即光學(xué)系統(tǒng)中輸出光場(chǎng)總能量與輸入光場(chǎng)總能量之比

式中：Eoutput和Einput分別表示輸出和輸入的光電場(chǎng)分布；S表示積分的光場(chǎng)區(qū)域。光學(xué)系統(tǒng)的衍射效率高于80%時(shí)，則認(rèn)為該系統(tǒng)能耗較低、性能較好。對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)換和對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)換的轉(zhuǎn)換相位疊加逆向設(shè)計(jì)的補(bǔ)償相位這兩種方法模擬得到的衍射效率分別為99%和89%，可見通過(guò)逆向設(shè)計(jì)補(bǔ)償?shù)霓D(zhuǎn)換相位仍然能滿足高衍射效率的要求。

綜上所述，本文將對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)換的補(bǔ)償相位省略，利用逆向設(shè)計(jì)進(jìn)行補(bǔ)償?shù)姆椒?，?shí)現(xiàn)了l=-2、3 的相干LG 光束的探測(cè)。與僅用坐標(biāo)轉(zhuǎn)換方法相比，得到的衍射效率較高，橫向間距幾乎一致的結(jié)果，驗(yàn)證了逆向設(shè)計(jì)對(duì)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的可行性。

2 討 論

經(jīng)上述分析，本文選定坐標(biāo)轉(zhuǎn)換與逆向設(shè)計(jì)結(jié)合的新方式，實(shí)現(xiàn)分?jǐn)?shù)OAM 模式的探測(cè)。模擬選取了n= 5，a= 2 mm，b= 10 μm，c=0.8 mm，d= 2 mm，w0= 2 mm，f= 200 mm 的參數(shù)，得到結(jié)果如圖5 所示。

圖5 逆向設(shè)計(jì)下的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換圖Fig. 5 Coordinate transformation diagram under reverse design

圖5（a）給出了本文設(shè)計(jì)的整體流程圖。首先輸入光場(chǎng)自由空間傳播經(jīng)過(guò)扇形轉(zhuǎn)換得到一個(gè)復(fù)場(chǎng)。然后該復(fù)場(chǎng)分兩路在自由空間衍射傳播，一路經(jīng)過(guò)對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)換調(diào)制得到目標(biāo)光場(chǎng)，另一路經(jīng)過(guò)轉(zhuǎn)換相位和一層變量相位的共同調(diào)制得到預(yù)期光場(chǎng)。接著將目標(biāo)光場(chǎng)與預(yù)期光場(chǎng)之間的光強(qiáng)做均方誤差計(jì)算，得到網(wǎng)絡(luò)的損失函數(shù)。最后通過(guò)隨機(jī)梯度下降方法，在不斷的更新迭代中優(yōu)化網(wǎng)絡(luò)參數(shù)，以得到預(yù)期的結(jié)果。

為了說(shuō)明使用逆向設(shè)計(jì)優(yōu)化的系統(tǒng)比未使用優(yōu)化的系統(tǒng)的分?jǐn)?shù)OAM 模式探測(cè)能力更好，給出間隔為0.1 的OAM 模式經(jīng)過(guò)扇形轉(zhuǎn)換相位（見圖5（b）），再分別經(jīng)由優(yōu)化前后的相位（見圖5（c））第一行為優(yōu)化相位，第二行為未優(yōu)化相位調(diào)制，得到如圖5（d）所示的衍射光斑分布?？梢姡褂媚嫦蛟O(shè)計(jì)優(yōu)化的相位后，得到了區(qū)分明顯的光強(qiáng)分布。相反，未經(jīng)優(yōu)化的相位只能得到強(qiáng)度分布不易區(qū)分的結(jié)果。證實(shí)了本文使用的方法可以實(shí)現(xiàn)拓?fù)浜蓴?shù)范圍在-1～1 之間，間隔為0.1 的21 階OAM 模式探測(cè)，并且保持了高達(dá)83%的衍射效率。

為了證明該方法并不局限于21 階數(shù)分?jǐn)?shù)OAM 模式探測(cè)，本文使用同樣方式再一次進(jìn)行模擬。圖5（e）中，從左到右依次表示輸入拓?fù)浜蓴?shù)從l= -2 開始，間隔依次增加0.1 的41 階OAM 模式探測(cè)結(jié)果的光強(qiáng)分布，并且衍射效率仍保持81%。

另外，為了進(jìn)一步驗(yàn)證本文分?jǐn)?shù)OAM 模式探測(cè)方法的可行性，圖6 給出了拓?fù)浜蓴?shù)變換范圍從Δl= 0.4 到Δl= 0.9 的OAM 模式探測(cè)光強(qiáng)分布曲線。定義探測(cè)效率為圖中陰影區(qū)域中的強(qiáng)度分?jǐn)?shù)[26]，具體指的是兩波峰交點(diǎn)處到其中一波峰的距離的兩倍，所指定的區(qū)域強(qiáng)度與其一光斑總強(qiáng)度之比，探測(cè)效率代表兩束光斑能否被分開的程度，探測(cè)效率越低，說(shuō)明兩光斑越不容易被區(qū)分開，反之亦然。不失一般性，認(rèn)為探測(cè)效率至少達(dá)到60%，兩束光斑才能被分開。如圖6所示，Δl= 0.4 到Δl= 0.9 的OAM 模式探測(cè)效率從48.09%增加到84.63%，且兩束光斑至少能被分開的間隔為Δl= 0.6，此時(shí)對(duì)應(yīng)的探測(cè)效率為62.91%（見圖6（c））。

圖6 兩種不同模式間隔的分?jǐn)?shù)OAM 模式通過(guò)系統(tǒng)后光斑的強(qiáng)度曲線Fig. 6 The intensity curve of the facula after the fractional OAM mode with two different mode intervals passes through the system

3 結(jié)論

本文提出了一種采用逆向設(shè)計(jì)結(jié)合坐標(biāo)轉(zhuǎn)換實(shí)現(xiàn)不同分?jǐn)?shù)OAM 模式探測(cè)的方法。分?jǐn)?shù)OAM 模式通過(guò)扇形轉(zhuǎn)換成倍增加相位梯度，再經(jīng)由對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)換的轉(zhuǎn)換相位補(bǔ)償逆向設(shè)計(jì)的特定相位，最終實(shí)現(xiàn)了最小間隔為0.1 的分?jǐn)?shù)OAM 模式探測(cè)。同時(shí)，還確保了系統(tǒng)整體的衍射效率高達(dá)83%。此外，兩束復(fù)用的OAM 光束間隔至少為Δl= 0.6 時(shí)，通過(guò)系統(tǒng)得到的光斑才能被分開。另外，相信在未來(lái)對(duì)逆向設(shè)計(jì)和坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的更深入研究過(guò)程中，可以設(shè)計(jì)出更高維度、更高性能的光學(xué)系統(tǒng)，實(shí)現(xiàn)對(duì)OAM 模式階數(shù)的充分利用。未來(lái)能在OAM 光通信的大容量和高效率方面展現(xiàn)出優(yōu)異的應(yīng)用前景，為OAM 光計(jì)算提供更多邏輯信息復(fù)用探測(cè)的可能，并為以后經(jīng)典光學(xué)和量子光學(xué)領(lǐng)域的發(fā)展做出貢獻(xiàn)。