具有高階擾動的Oregonator模型的平穩(wěn)分布研究

河燕梅, 文香丹

( 延邊大學(xué) 理學(xué)院, 吉林 延吉 133002 )

0 引言

化學(xué)振蕩反應(yīng)是在開放體系中進行的一類遠離平衡的反應(yīng).由于化學(xué)振蕩現(xiàn)象廣泛存在于化工生產(chǎn)、食品檢測和環(huán)境保護等多個領(lǐng)域,因此其受到學(xué)者們的廣泛關(guān)注.1974年,Field等[1]基于FKN機制[2]和質(zhì)量作用定律[3],針對均勻溶液中的振蕩化學(xué)反應(yīng)提出了如下Oregonator模型:

(1)

(2)

由于化學(xué)反應(yīng)與溫度、壓力、pH值等因素密切相關(guān),因此用隨機微分方程來建立化學(xué)反應(yīng)模型可更好地反映實際現(xiàn)象.2020年,Yang等[5]研究了一種具有線性擾動的Oregonator模型,證明了該系統(tǒng)存在唯一正解,并在此基礎(chǔ)上探討了系統(tǒng)的動力學(xué)行為.文獻[6-7]的作者研究表明,利用非線性擾動隨機微分方程可更好地分析系統(tǒng)的動力學(xué)行為.文獻[8-11]的作者研究了具有高階擾動的種群模型和傳染病模型.受上述文獻啟發(fā),本文建立了如下一種具有高階擾動(又稱為非線性擾動)的Oregonator模型:

(3)

(4)

1 相關(guān)引理

引理1(Has’minskii定理)[12]假設(shè)存在一個具有正則邊界Γ的有界開區(qū)域U?Rl(Rl表示l維歐幾里得空間),且其具有以下性質(zhì):

(A1)在區(qū)域U及其一些鄰域內(nèi),擴散矩陣A(x)的最小特征值是非零的.

2 解的平穩(wěn)分布及其證明

首先證明系統(tǒng)(4)是否存在全局正解.為此,首先給出以下定理.

證明由于定理1的證明與文獻[5]中的定理2.1類似,故本文在此省略.

證明為了證明定理2,需首先驗證引理1中的條件(A1)和(A2)成立.由系統(tǒng)(4)的漂移項可知,其擴散矩陣為:

由于矩陣A是正定的,因此顯然可知條件(A1)成立.

(5)

(6)

L(z)=b(x-z).

(7)

(8)

定義V2=-lny,V3=-lnz.于是對V2和V3分別應(yīng)用It公式進行計算可得:

(9)

(10)

(11)

(12)

3 數(shù)值模擬

本文利用Milstein高階方法[14]對系統(tǒng)(4)的離散形式進行數(shù)值模擬.由文獻[14]可知,系統(tǒng)(4)的離散形式為:

其中:時間增量Δt>0,ωij(i=1,2,3)是服從N(0,1)分布的高斯隨機變量.在系統(tǒng)(4)中,假設(shè)時間單位為min,反應(yīng)物的濃度為mol/(L·min),初始值為(x(0),y(0),z(0))=(0.8,0.3,0.5),步長Δt= 0.1,其他參數(shù)值依據(jù)文獻[7]分別取a=7.727,q= 0.08375,θ=1,b= 0.161.為了研究不同白噪聲強度對系統(tǒng)(4)動力學(xué)行為的影響,本文取4組不同的白噪聲強度對其平穩(wěn)分布的存在性進行數(shù)值模擬.

圖1 白噪聲取σ11= 0.025、σ12= 0.0075、σ21= 0.03、σ22= 0.0025、σ31= 0.0125、σ32= 0.002時系統(tǒng)(4)存在的平穩(wěn)分布(左圖為系統(tǒng)(4)的解,右圖為系統(tǒng)(4)的密度函數(shù))

圖2 白噪聲取σ11= 0.05、σ12= 0.015、σ21= 0.06、σ22= 0.005、σ31= 0.025、σ32= 0.004時系統(tǒng)(4)存在的平穩(wěn)分布(左圖為系統(tǒng)(4)的解,右圖為系統(tǒng)(4)的密度函數(shù))

圖3 白噪聲取σ11= 0.1、σ12= 0.03、σ21= 0.12、σ22= 0.01、σ31= 0.05、σ32= 0.008時系統(tǒng)(4)存在的平穩(wěn)分布(左圖是系統(tǒng)(4)的解,右圖是系統(tǒng)(4)的密度函數(shù))

圖4 白噪聲取σ11= 0.15、σ12= 0.045、σ21= 0.18、σ22= 0.015、σ31= 0.075、σ32= 0.012時系統(tǒng)(4)存在的平穩(wěn)分布(左圖是系統(tǒng)(4)的解,右圖是系統(tǒng)(4)的密度函數(shù))

由圖1—圖4可以看出,白噪聲強度越小,系統(tǒng)解的振蕩幅度越小.另外,本文以3)中的白噪聲為例,給出了3個系統(tǒng)(非線性系統(tǒng)(4)與其相對應(yīng)的確定性系統(tǒng)(2)、線性系統(tǒng)(13))解的運行圖.由圖5中的(a)和(c)可以看出,系統(tǒng)(4)的解在系統(tǒng)(2)解的附近振蕩;由圖5中的(b)和(c)可以看出,系統(tǒng)(4)的解的振蕩幅度大于線性擾動系統(tǒng)(13)的振蕩幅度.上述結(jié)果表明,非線性擾動系統(tǒng)(4)的解大幅偏離了原系統(tǒng)的平衡狀態(tài).

(13)

圖5 白噪聲取σ11= 0.1、σ12= 0.03、σ21= 0.12、σ22= 0.01、σ31= 0.05、σ32= 0.008時不同系統(tǒng)的解((a)為系統(tǒng)(2)的解,(b)為與系統(tǒng)(2)相對應(yīng)的線性擾動系統(tǒng)(13)的解,(c)為與系統(tǒng)(2)相對應(yīng)的非線性擾動系統(tǒng)(4)的解)

4 結(jié)論