R3中一類帶有凹凸非線性項的Schr?dinger-Kirchhoff方程的無窮多解

摘 要：研究一類帶有凹凸非線性項的Schr?dinger-Kirchhoff方程，其中位勢函數(shù)不必滿足強制性條件，凹項滿足次線性增長性條件，并且凸項在無窮遠處滿足超三次線性增長性條件和在原點處滿足超線性增長性條件。利用Bartsch的噴泉定理證明了對任意的μ∈R，凹凸非線性項的Schr?dinger-Kirchhoff方程都存在無窮多個高能量解，豐富和推廣了已有的結論。

關鍵詞：Schr?dinger-Kirchhoff方程；凹凸非線性項；噴泉定理；無窮多解

中圖分類號：O176.3" " 文獻標識碼：A" " "文章編號：1674-0033（2024）04-0018-07

引用格式：趙莉，葉一蔚.R3中一類帶有凹凸非線性項的Schr?dinger-Kirchhoff方程的無窮多解[J].商洛學院學報，2024，38（4）：18-24.

Infinitely Many Solutions for Schr?dinger-Kirchhoff

Equation with Concave-convex

Nonlinearities in [R3 ]

ZHAO Li， YE Yi-wei

（College of Mathematical Science， Chongqing Normal University， Shapingba" 401331， Chongqing）

Abstract： A class of Schr?dinger-Kirchhoff type equations with concave-convex nonlinearity in abstract form is studied， where the potential is not coercive， the concave term is of sublinear growth， the convex term satisfies the 3-superlinear growth condition at infinity and the superlinear growth condition at the origin. By Fountain theorem， we prove that， for all" μ∈R， the Schr?dinger-Kirchhoff type equations with concave-convex nonlinearity possesses infinitely many high-energy solutions， which improves and generalizes some known results in the literature.

Key words： Schr?dinger-Kirchhoff equation; concave-convex nonlinearities; Fountain Theorem; infinitely many solutions

非線性橢圓方程是一類重要的非線性微分方程，它可以描述和解釋自然界中普遍存在的各種穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象，在幾何學、電磁學、流體力學和彈性力學等學科中都有著廣泛應用，如處于平衡穩(wěn)定狀態(tài)的薄膜和處于穩(wěn)定狀態(tài)的熱流、真空中的靜電場等。其中，作為物理學基本方程之一的Kirchhoff型方程就是從彈性力學中抽象出來的一類典型的帶有非局部項的非線性橢圓方程，它是研究彈性弦自由振動的波方程。Kirchhoff[1]給出了Kirchhoff型方程的動態(tài)模型：

ρ-

+

dx=0，

其中，L表示弦的長度，h表示橫截面的面積，E表示材料的Young-模量，ρ表示密度并且P0表示初始張力。該方程考慮了橫向振動產生的弦的長度變化，推廣了經典的D′Alembert波方程。Kirchhoff方程具有較好的物理意義，受到了研究者們的關注。

本文研究的問題：

-M（|▽u

|△u+V（x）u=μg（x，u）+f（x，u）， x∈R3

u∈H1（R3）

（1）

其中，M∈C（[0，+∞），R）是一個Kirchhoff型函數(shù)，V∈C（R3，R+），g∈C（R3×R，R）且f∈C（R3×R，R）。取M（t）=a+bt（a，bgt;0），式（1）通常寫成如下形式的方程：

-（a+b|▽u|2dx）△u+V（x）u=k（x，u）， x∈R3

（2）

式（2）就是熟知的Schr?dinger-Kirchhoff型方程，該方程已有研究。當μ=0時，Wu等[2]利用截斷法證明了μ充分小時式（2）存在一個正解。Li等[3]使用全局緊性引理得到了式（2）的正基態(tài)解的存在性。Jin等[4]通過噴泉定理證明了式（2）的無窮多徑向解的存在性。當μgt;0時，邵正梅[5]應用山路定理研究了一類有界區(qū)域上Kirchhoff方程的解的存在性和多重性。Chen等[6]使用Nehari流形和纖維映射證明了一類有界區(qū)域上Kirchhoff方程不同正解的存在性。Chen等[7]研究了一類帶有凹凸非線性項的Kirchhoff型問題的帶有正能量的變號解的存在性。Cao等[8]基于Nehari流形、Ekeland變分原理和Lagrange乘子法，證明式（2）在R3上至少存在不同的兩個正解。當μ足夠小時，μg（x，u）實際上是一個擾動項，即非線性項k（x，u）=f（x，u）+h（x），則式（1）轉化為如下非齊次Schr?dinger-Kirchhoff型問題：

-（a+b|▽u|2dx）△u+V（x）u=f（x，u）+h（x）

（3）

Chen等[9]利用Ekeland變分原理和山路引理研究了式（3）的兩個非平凡解。Cheng[10]在文獻[9]的基礎上減弱非線性項f后依然得到兩個非平凡解，這些結果隨后又被推廣到文獻[11]中的非齊次四階Schr?dinger-Kirchhoff型問題。另外，許思詩等[12]在非線性項f滿足更一般的假設條件下得到了式（3）的兩個非平凡解，推廣了文獻[10]的結論。具體而言，文獻[10]給出如下假設：

（V′） V∈C（RN，R）滿足 infV（x）≥V0gt;0，并且meas（x∈RN：V（x）≤M）lt;∞，?Mgt;0，其中V0是一個常數(shù)，meas表示RN中Lebesgue測度。

（f1′） f∈C（RN×R，R），存在常數(shù)Cgt;0且4lt;plt;2*=，使得|f（x，z）|≤C（1+|z|p-1）。

（f2） =+∞關于x∈RN一致成立，其中F（x，z）=f（x，y）dy。

（f3′） 存在Lgt;0且d∈

0，，使得zf（x，z）-4F（x，z）≥-d|z|2，?|z|≥L，在x∈RN幾乎處處成立。

（f4′） 當|z|→0時，f（x，z）=o（|z|）對x∈RN一致成立。

定理1[10]" 假設h∈L2（RN），h?0，（V′）、（f1′）、（f2）及（f3′）-（f4′）成立，則存在一個正常數(shù)h0，當‖h‖lt;h0時，式（3）至少有兩個不同的解，其中一個是正能量解，一個是負能量解。

文獻[1-12]中考慮的是具體的Kirchhoff函數(shù)M（t）=a+bt（a，bgt;0），本文考慮抽象形式的Kirchhoff函數(shù)M（t），且在文獻[10]的基礎上考慮相應減弱位勢函數(shù)V和非線性項f的約束條件，在μ∈R的條件下研究一類帶有凹凸非線性項的Schr?dinger-Kirchhoff型式（1）的無窮多解的存在性，豐富和推廣文獻[10]的結論。

1" 預備知識

記號：H1（R3）是通常的Sobolev空間，其上的范數(shù)為‖u‖=

（|▽u|2+u2）dx

。Ls（R3）（1≤slt;+∞）表示通常的Lebesgue空間，其上的范數(shù)為|u|s=

|u|sdx

。Ci（i∈ ）表示不同的正常數(shù)。

假設以下條件成立：

（V） V∈C（R3，R+）滿足infV（x）gt;0，并且存在常數(shù)r0gt;0，使得：

meas{x∈R3∶|x-y|lt;r0，V（x）≤d}=0，?dgt;0，其中，meas表示R3中Lebesgue測度。

（M1） M∈C（[0，+∞），R），并且存在m0gt;0，使得M（t）≥m0，?t∈[0，+∞）。

（M2） 存在常數(shù)σ1，σ2gt;0，使得M（t）t+σ1t≤≤σ2（t2+t），?t≥0，其中=M（s）ds。

（g1） 存在常數(shù)1lt;q1lt;q2lt;2及函數(shù)hi∈L（R3，R+）（i=1，2），使得

|g（x，z）|≤h1（x）|z|+h2（x）|z|，?（x，z）∈R3×R。

（g2） g（x，-z）=-g（x，z），?（x，z）∈R3×R。

（f1） f∈C（R3×R，R）存在常數(shù)2lt;plt;2*=6，C0gt;0，使得：

|f（x，z）|≤C0（|z|+|z|p-1），?（x，z）∈R3×R。

（f2） =+∞關于x∈R3一致成立，其中F（x，z）=f（x，y）dy。

（f3） 存在Lgt;0，C1≥0，使得zf（x，z）-4F（x，z）≥

-C1|z|2，?（x，|z|）∈R3×[L，+∞）。

（f4） f（x，-z）=-f（x，z），?（x，z）∈R3×R。

（f5） 存在常數(shù)θgt;4，C1′gt;0，使得zf（x，z）-θF（x，z）≥

-C1′|z|2，?（x，z）∈R3×R。

（f6） 存在常數(shù)θgt;4，L′gt;0，使得zf（x，z）≥θF（x，z），?（x，|z|）∈R3×[L′，+∞）。

（f7） 對?s∈[0，1]，?θ≥1，s.t.θ （x，z）≥ （x，sz），?（x，z）∈R3×R，

其中， （x，z）=zf（x，z）-4F（x，z）。

定義：

E∶={u∈H1（R3）∶（|▽u|2+V（x）u2）dxlt;+∞}，

則E在如下定義的內積和范數(shù)下是一個Hilbert空間：

〈u，v〉=[∫]R3（▽u·▽v+V（x）uv）dx，

‖u‖=〈u，u〉=

（|▽u|2+V（x）u2）dx）

。

在條件（V）下，空間嵌入E→Ls（R3）（2≤s≤6）是連續(xù)的，從而對任意的s∈[2，6]，存在常數(shù) sgt;0，使得：

|u|s≤ s‖u‖，?u∈E。（4）

引理1[13]" 在（V）的條件下，空間嵌入E→Ls（R3）（2≤slt;6）是緊的。

定義泛函J：E→R，

J（u）=（|▽u|）+V（x）u2dx-

μG（x，u）dx-F（x，u）dx，

其中，G（x，z）=g（x，y）dy。由條件（g1）、（ f1）和引理1，泛函J∈C1（E，R），并且

〈J′（u），v〉=M（|▽u|）▽u·▽vdx+V（x）uvdx-μg（x，u）vdx- f（x，u）vdx，

?u，v∈E。眾所周知泛函J的臨界點恰為式（1）的弱解。

定義1[14]" 設X是Banach空間，稱J∈C1（E，R）在c∈R滿足（PS）條件（即（PS）c條件），如果滿足J（un）→c，J′（un）→0的任意序列{un}?X都有收斂子列。稱J滿足（PS）條件，如果對任意c∈R，J都滿足（PS）c條件。

引理2" 假設條件（V）、（g1）、（f1）-（f3）及（M1）-（M2）成立，則J滿足（PS）條件。

證明：設{un}?E滿足J（un）→c，J′（un）→0，‖un‖→+∞。令vn=，則‖vn‖=1，利用E的自反性和引理1，則通過取子列，不妨設

vn?v在E中弱收斂，

vn→v在Ls（R3）（2≤slt;6）

vn（x）→v（x） a.e.x∈R3。強收斂，

情形1" v≠0。令Ω={x∈R3∶v（x）≠0}，則meas（Ω）gt;0，并且對x∈Ω，有|un（x）|→

+∞（n→∞）。由（f2）得：存在常數(shù)r1gt;0，使得：

F（x，z）≥0，?x∈R3，|z|≥r1。

令Ωn（a，b）={x∈R3∶a≤|un（x）|lt;b}（0≤alt;b），則當n充分大時，Ω?Ωn（r1，+∞）。由（f1）可得：|f（x，z）z|≤C0（|z|2+|z|p）≤C0（1+r1p-2）|z|2，對所有的x∈R3，|z|≤r1都成立，從而

|F（x，z）|≤

f（x，sz）zds≤

C2|z|2，?（x，|z|）∈R3×[0，r1]（5）

其中，C2=C0（1+r1p-2）。結合式（4）和式（5）、條件（f2）和Fatou引理，有

[lim][n→∞][ ]F（x，un）dx=

[lim][n→∞][ ][F（x，un）dx+F（x，un）dx]≥

-[lim][n→∞][ ]|un|2dx+[lim][n→∞][ ]|vn|4dx≥

-[lim][n→∞][ ]+[lim][n→∞][ ][χ（x）]|vn|4dx≥

-[lim][n→∞][ ]+[lim][n→∞][ ][χ（x）]|vn|4dx=+∞。

另一方面，結合條件（g2）、式（4）及H?lder不等式，有

G（x，un）dx≤

|un|

+

|un

|dx≤

|h||un|+|h||un|≤C3‖un‖+C4‖un‖

（6）

其中，C3= |h1|，C4= |h2|。注意到q，q∈（1，2），有

=0。

注意到J（un）=c+o（1），且由條件（M2）可得：

≤

[ （|▽un|）+V（x）udx-][ ]

[μG（x，un）dx-J（un） ≤]

（|▽un|+|▽un|）+

V（x）udx-μG（x，un）dx-J（un） ≤

‖un‖4+‖un‖2-

μG（x，un）dx-J（un） ≤，

矛盾。

情形2" v=0。由條件（g1）和H?lder不等式，有

g（

x，u）

u-G（x，un）dx≤

g（

x，u）

u+G（x，un）dx≤

+|h1（x）||un|

+

+|h2（x）||un|

dx≤

+|h1||un|+

+|h2||un|≤

C5‖un‖+C6‖un‖，

其中，C5=

+ |h1|，C6=

+ |h2|。注意到q，q∈（1，2），有

=

g（x，un）un-G（x，un）dx=0。 （7）

由（f1）可得：

|f（x，z）z|≤C0（|z|2+|z|p）≤C0（1+LP-2）|z|2（8）

對所有的x∈R3，|z|≤L成立，從而

|F（x，z）|≤C0（1+LP-2）|z|2（9）

結合式（8）和式（9），有

|zf（x，z）-4F（x，z）|≤C7|z|2，?（x，|z|）∈R3×[0，L]，

其中C7=3C0（1+LP-2）。因此，由（f3）可得：

zf（x，z）-4F（x，z）≥-C8|z|2，?（x，z）∈R3×R，

其中C8=C1+C7，則

f（x，un）un-F（x，un）dx≥

-|vn|2dx=0（10）

由（M2）可得：

≥J（un）-

〈J'（un），un〉=

[（|▽un|）-M（|▽un|）|▽un|+

V（x）udx+μ

g（x，un）un-G（x，un）dx+

f（x，un）un-F（x，un）dx]≥[|▽un|+

V（x）udx+μ

g（x，un）un-G（x，un）dx+

f（x，un）un-F（x，un）dx]≥+

g（x，un）un-G（x，un）dx+

f（x，un）un-F（x，un）dx（11）

結合式（7）、式（10）～式（11），令n→∞，有0≥，矛盾。故{un}有界，則通過取子列，不妨設

un?u在E中弱收斂，

un→u在LS（R3）（2≤slt;6）強收斂，

un（x）→u（x） a.e.x∈R3。

由（M1）可得：

〈J'（un）-J'（u），un-u〉=M（|▽un|）|▽（un-u）|dx+

M（|▽un|

）-M（|▽u|

）▽u·▽（un-u）dx+

V（x）（un-u）2dx-μg（x，un）-g（x，u）（un-u）dx-

f（x，un）-f（x，u）（un-u）dx≥minm0，1‖un-u‖2+

M（|▽un|

）-M（|▽u|

）▽u·▽（un-u）dx-

μg（x，un）-g（x，u）（un-u）dx-

f（x，un）-f（x，u）（un-u）dx（12）

由于un?u在E中弱收斂，有

〈J'（un）-J'（u），un-u〉→0（13）

設hu（w）=▽u·▽wdx，?w∈E，顯然hu是線性的；且hu（w）≤|▽u||▽w|dx≤‖u‖‖w‖，則hu有界，從而hu∈E*。根據(jù)弱收斂的定義，當n→∞時，hu（un-u）=▽u·▽（un-u）dx→0。由{un}的有界性和M（t）的連續(xù)性，有

[lim][n→∞]（M（|▽un|）-M（|▽u|））▽u·▽（un-u）dx=0

（14）

由條件（g1）和H?lder不等式可得：當n→∞時，

g（x，un）（un-u）dx≤g（x，un）||un-udx≤

（|h1（x）||un|+|h2（x）||un|）|un-u|dx≤

|h1|

|un

|+|h2|

|un

||u-u|→0，

同理可得

g（x，u）（un-u）dx→0。因此，

（g（x，un）-g（x，u））（un-u）dx=0（15）

由H?lder不等式和條件（f1）可得：當n→∞時，

f （x，un）（un-u）dx≤f（x，un）‖un-udx≤

C0（|un|+|un|p-1）|un-u|dx≤

C0（|un|2|un-u|2+|un||un-u|p）→0，

同理可得

f（x，u）（un-u）dx→0。因此，

（f（x，un）-f（x，u）（un-u）dx=0（16）

結合式（12）～式（16），有‖un-u‖=0，故un→u在E中強收斂。

設E為可分的Banach空間，則存在{xn}?E，{fn}?E*，使得：

1）〈fn，xm〉=δ，其中，當n=m時，δ=1，當n≠m時，δ=0。

2）span{xn：n∈ }=E。

3）span{fn：n∈ }=E。

令

Xj=span{xj}，Yk=Xj，Zk=Xj （17）

則有如下引理。

引理3[15]" 在（V）的假設下，對任意的s∈[2，6），有β=|u|s→0 （k→∞）。

引理4[16]（噴泉定理）" 設E為Banach空間，Yk，Zk按式（17）定義，J∈C1（E，R）且J（-u）=J（u），?u∈E。若對任意的k∈ ，存在常數(shù)ρkgt;rkgt;0，使得：

（J1） ak≡J（u）≤0;

（J2） bk≡J（u）→+∞ （k→∞）;

（J3） J滿足（PS）條件。

則泛函J有一列趨于+∞的臨界值。

2" 帶有凹凸非線性項的Schr?dinger-Kirchhoff方程的無窮多解

定理2" 假設條件（V）、（M1）-（M2）、（g1）-（g2）及（f1）-（f4）成立，則對?μ∈R，式（1）有一列解{un}滿足J（un）→+∞ （n→+∞）。

證明：給定μ∈R，由條件（g1）和（f4）可知J是偶函數(shù)。

1）取V0=infx∈[R3][ ]V（x），由條件（V）知V0gt;0，并且

|u|≤V（x）u2dx≤‖u‖2，?u∈E

（18）

由于有限維空間Yk上各種范數(shù)等價，則存在Ckgt;0，使得：

‖u‖4≤Ck|u|，?u∈Yk.（19）

由（f2）知，?Rkgt;0， s.t.當|z|≥Rk時，F(xiàn)（x，z）≥σ2Ck|z|4。令Mk=+R+σ2CkR，由（f1）有

F（x，z）≥σ2Ck|z|4-Mk|z|2，?（x，z）∈R3×R

（20）

結合式（6）、式（18）～式（20）及條件（M2），對u∈Yk，有

J（u）≤（|▽u|+|▽u|）+V（x）u2dx-

μG（x，u）dx-F（x，u）dx≤

‖u‖4+‖u‖2+

|μ|（C3‖u‖+C4‖u‖）-σ2Ck|u|+Mk|u|≤

+

‖u‖2+|μ|（C3‖u‖+

C4‖u‖）-‖u‖4。

注意到q1，q2∈（1，2），因此，對充分大的ρkgt;0，有ak≡J（u）≤0。

2）由引理3，β→0（k→∞），則?k0gt;0，s.t.當k≥k0時，

β≤（21）

結合式（6）、式（21）及條件（f1）、（M1）-（M2），則對u∈Zk，‖u‖≥1，有

J（u）≥|▽u|+V（x）u2dx-

μG（x，u）dx-F（x，u）dx≥

C9‖u‖2-|μ|（C3‖u‖+C4‖u‖）-|u|-|u|≥

C9-

（β

）

‖u‖2-|μ|（C3+C4）‖u‖-（β）‖u‖≥

[‖u‖[‖u‖-（β）‖u‖-

|μ|（C3+C4）]。]

其中，C9=。取rk=

，

從而對u∈Zk，‖u‖=rk，有

J（u）≥r

r

-|μ|（C3+C4）（22）

注意到β→0（k→∞），有rk→+∞，并且由式（22）得：

bk≡J（u）→+∞（k→∞）。

根據(jù)噴泉定理，J有一列臨界點{un}使得J（un）→+∞（n→∞）。

注1" 條件（V′）是確保工作空間緊性嵌入的一個經典強制條件，而（V）是Bartsch等[17]提出，易得條件（V）比（V′）更弱。容易驗證（f1′）和（f4′）能推出（f1），（f3）是去掉（f3′）中d的限制所得，因此定理2中位勢函數(shù)V和非線性項f滿足的條件比定理1更弱。

注2" 可以發(fā)現(xiàn)原始的Kirchhoff函數(shù)M（t）=a+bt（a，bgt;0）滿足條件（M1）-（M2）。

另外，容易驗證結合（f2）和（f5）可推出（f3），結合（f2）和（f6）可推出（f3），（f7）可推出（f3）。因此，有以下推論。

推論1" 若將定理1中的（f3）替換為（f5），則定理1的結論仍然成立。

推論2" 若將定理1中的（f3）替換為（f6），則定理1的結論仍然成立。

推論3" 若將定理1中的（f3）替換為（f7），則定理1的結論仍然成立。

3" 結語

本文研究了一類帶有凹凸非線性項的Schr?dinger-Kirchhoff型式（1）無窮多個解的存在性。在位勢函數(shù)V條件比文獻[10]更弱時克服空間嵌入失緊的問題，并考慮在Kirchhoff函數(shù)形式更一般、凹項g（x，u）滿足次線性增長性條件及凸項f（x，u）的增長性條件比文獻[10]更弱且不滿足（AR）超線性條件時，考慮非強制位勢和更一般的凹凸非線性項在較弱的假設條件下，利用Bartsch的噴泉定理證明了無窮多個高能量解的存在性。本研究所得結果豐富和推廣了文獻[9-10]的結論。

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