計數(shù)原理應用中的重復現(xiàn)象

利用計數(shù)原理解決問題時，經(jīng)常出現(xiàn)重復計算、結果增多的現(xiàn)象。下面分析常見的三種重復現(xiàn)象。

一、不分組引起的重復

例1 （2020年全國Ⅱ卷）4名同學到3個小區(qū)參加垃圾分類宣傳活動，每名同學只去1個小區(qū)，每個小區(qū)至少安排1名同學，則不同的安排方法共有____種。

解析：【方案一（錯解）】

利用分步計數(shù)原理，分兩步：

第一步，先從4名同學中選出3名排到3個小區(qū)，有A34=24（種）排法;

第二步，再把剩下的1名同學分到3個小區(qū)中的1個小區(qū)，有C13=3（種）方法。

所以不同的安排方法共有24×3=72（種）。

【方案二（正解）】

利用分步計數(shù)原理，分兩步：

第一步，先取2名同學看作一組，選法有C24=6（種），則其他2名同學分成2組，有1種分法，所以把4名同學分成3組的不同分法有6×1=6（種）;

第二步，把第一步分好的3組同學分配到3個小區(qū)，分法有A33=6（種）。

所以不同的安排方法共有6×6=36（種）。

對比發(fā)現(xiàn)，兩種解決方案的結果不同，恰好是兩倍關系，錯在哪？

先看方案一，把4 名同學分別記為甲、乙、丙、丁，3個小區(qū)記為A、B、C。

第一步，先從4名同學中選出3名安排到3個小區(qū)，不妨設把甲、乙、丙分到了3個小區(qū)，如表1所示。

第二步，再把剩下的1名同學分到3個小區(qū)中的1個小區(qū)，不妨設同學丁分到了小區(qū)A，如表2所示。

這種分法是把甲、丁2人分到了一組，且都到了小區(qū)A。

那么就會出現(xiàn)另一種情況，第一步，先從4名同學中選出3名排到3個小區(qū)，不妨設把丁、乙、丙分到了3個小區(qū)，如表3所示。

第二步，再把剩下的1名同學分到3個小區(qū)中的1個小區(qū)，不妨把同學甲分到了小區(qū)A，如表4所示。

這種分法仍然是把甲、丁這2人分到了一組，且都到了小區(qū)A。這樣就出現(xiàn)了去同一個小區(qū)的2名同學先去、后去順序不同，但實質上去了同一個小區(qū)，屬于一種情況，算式中24×3=72，就出現(xiàn)了重復計算的情況，所以方案一是錯誤的。我們可以通過除法消序得到正確答案：有A3 4C13/A22=36（種）方法。

再看方案二，也分了兩種情況，但是此方法第一步采取的是先把4個同學分成3組，分組沒有順序;第二步再把3組同學排到3個小區(qū)。最終滿足已知條件的方法共有36種。

總結提升：比較兩個方案可以看出來，方案二是正確的，先分組再排列，避免了去同一個小區(qū)的2名同學先后到達引起的重復。

同類題型1：安排3名志愿者完成4項工作，每人至少完成1 項，每項工作由1 人完成，則不同的安排方式共有（ ）。

A.12種 B.18種

C.24種 D.36種

解析：4項工作分成3組，有C24=6（種）方法，安排3名志愿者完成4項工作，每人至少完成1項，每項工作由1人完成，可得6×A33=36（種）方法。選D。

同類題型2：持續(xù)近半月的冷空氣讓某市開啟了“速凍”模式，某社區(qū)招募4名志愿者到5個居民區(qū)進行支援，每個居民區(qū)安排1人，且有1名志愿者被安排到了2個居民區(qū)，則不同的安排方法共有（ ）。

A.60種 B.96種

C.240種 D.480種

解析：由題意，分兩步進行安排：① 將5個居民區(qū)分為4組，其中有2個居民區(qū)由同一名志愿者負責，其余3個居民區(qū)各由1名志愿者負責，分組方法有C25=10（種）;②將4名志愿者安排到分好組的居民區(qū)，有A44=24（種）方法。故不同的安排方法共有10×24=240（種），選C。

二、平均分配引起的重復

例2 （2020年新高考全國Ⅰ卷）6名同學到甲、乙、丙三個場館作志愿者，每名同學只去1個場館，甲場館安排1名，乙場館安排2名，丙場館安排3名，則不同的安排方法共有（ ）。

A.120種 B.90種

C.60種 D.30種

解析：首先從6名同學中選1名去甲場館，方法有C16種;然后從其余5名同學中選2名去乙場館，方法有C25種;最后剩下的3名同學去丙場館。故不同的安排方法共有C16·C25=6×10=60（種）。選C。

根據(jù)此例題，看下面的變式。

【變式一】6名同學分成3組，每組都有2名同學，則不同的分法共有（ ）種。

錯解：先從6人中選出2人作為一組，再從余下的4人中選出2人作為一組，最后余下的2 人作為一組，所以共有C2 6C2 4C22 =90（種）方法。

正解：例2屬于不同元素的不均分問題，直接按要求先選后排，不易出錯;變式一屬于典型的完全平均分配問題，6個人平均分成3組，沒有順序，屬于不同元素均分問題。

這里把6個人設為A、B、C、D 、E、F，按照C2 6C2 4C22=90（種）的結果分析，則（AB，CD ，EF）這種分組方式是90種中的一種情況，但是分組無序。接下來的（AB，EF，CD），（CD ，AB，EF），（CD ，EF，AB），（EF，AB，CD），（EF，CD ，AB）這五種分組方式跟（AB，CD ，EF）一樣，屬于一種分組方式。所以按照C2 6C2 4C22=90（種）的方法寫，結果重復了，重復的情況就是把（AB，CD ，EF）中的AB，CD ，EF 又全排了一遍，即重復了A33次。所以需要在原來的基礎上除以A33，即正確答案：有C2 6C2 4C22/A33=15（種）方法。

再求變式二中不同要求下的方法數(shù)。

【變式二】按以下要求分配6 本不同的書，各有幾種方法？

（1）平均分成3份，每份2本;

（2）平均分配給甲、乙、丙3人，每人2本;

（3）甲、乙、丙3人一人得1本，一人得2本，一人得3本;

（4）分成3份，一份1本，一份2本，一份3本;

（5）甲、乙、丙3人中，一人得4本，另外2人每人得1本;

（6）分成3份，一份4本，另2份每份1本;

（7）甲得1本，乙得1本，丙得4本。

解析：（1）由變式一可知，此題屬于完全平均分配問題，只是分組，所以無序，則不同的方法數(shù)為C2 6C2 4C22/A33=15。

（2）這里是先把6 本書完全平均分成3組，然后再派給不同的3個人，分組無序，但是后來派給3個人有順序，所以不同的方法數(shù)為（C2 6C2 4C22/A33）A33=C2 6C2 4C22=90。

（3）此題不屬于平均分配問題，按正常的先選后排即可，不同的方法數(shù)為C1 6C2 5C3 3A33=360。

（4）由（3）可知，此題不屬于平均分配問題，只需要選，不用排，不同的方法數(shù)為C1 6C2 5C33=60。

（5）此題屬于部分均分問題，先把6本書按照4+1+1的方式分組，分組無序，分組的方法數(shù)為C4 6C1 2C11/A22=C46，再把這3組派給3個人，所以不同的方法數(shù)為C4 6A33=90。

（6）由（5）可知，此處只需要分成3組，所以不同的方法數(shù)為C46=15。

（7）此題屬于部分均分問題，但是題目中要求比較嚴格，甲得1本，乙得1本，丙得4本，3個人所得本數(shù)固定，所以有C1 6C1 5C44=30（種）方法。也可以按照C46（C1 2C11/A22）A22=30 計算，或者按（C1 6C15/A22）A2 2C44=30計算，其結果都是一樣的。

總結提升：平均分配問題分為兩種：一是完全均分，二是不完全均分。如果僅僅是分組，那么只需要利用除法就可以消序，均分成n 組，就除以An n（n∈N* ）。

同類題型：我國是由56個民族組成的統(tǒng)一的多民族國家，每個民族都有自己獨特的民俗風情。某校高二年級的歷史研學課，歷史老師準備帶8個班去湖南的鳳凰古城、常德桃花源、通道皇都侗寨、永順老司城、芙蓉古鎮(zhèn)進行歷史與民俗風情研學。要求每個景點至少有1個班去，且每個景點至多有2個班去，則不同的分法種數(shù)是____。

解析：由題意可知，這5個景點中有3個景點各有2個班去，有2個景點各有1個班去。先分組，將8個班分成5組，有C2 8C2 6C2 4C12/A3 3A22=420（種）分法;再排列，將5組分別排到5個景點中去，有A55=120（種）排法。所以不同的分法種數(shù)是420×120=50 400。

三、相同元素的分配引起的重復

例3 有10個運動員名額，分給7個班，每班至少一個，有多少種分配方案？

錯解：先發(fā)給7個班級各1個名額，然后把余下的3個名額分給7個班中的3個班，每個班都有可能得到，故有C7 1073 種方案。

此法錯誤的原因是：沒有搞清楚運動員名額屬于相同元素，不用區(qū)分。

正解：（方法一） 利用分類計數(shù)原理，先把10個名額分成7組，共有三類：4+1+1+1+1+1+1;3+2+1+1+1+1+1;2+2+2+1+1+1+1。

因為名額屬于相同元素，但是班級不同，所以滿足題意的方法數(shù)為C17+A27+C37=7+42+35=84（種）。

（方法二，隔板法） 10 個相同名額用“1”表示，列為一排，相鄰兩個“1”之間就會產生9個空，然后插入6個板子把它們隔開，這樣就把10個名額分成7份，有C69=84（種）方法。故有10個運動員名額，分給7個班，每班至少一個，有84種分配方案。

總結提升：上面的兩種方法，第一種屬于常規(guī)方法，第二種屬于模型轉換，顯然第二種簡單，所以最好用隔板法處理相同元素的分配問題。

同類題型1：10個相同的球裝到5個不同的盒中，每盒至少一個，有多少種裝法？

解析：把10個球排成一行，中間產生了9個空位，要把球分成5份，需要拿4個隔板放到9個空位中的4個中去，共有C49=126（種）方法。

同 類題型2：已知x+y+z+w =100，求這個方程的自然數(shù)解的組數(shù)。

解析：把104個火柴桿排成一排，那么這104個火柴之間有103個空，在這103個空里面任意選3個空分別插入一個擋板，這樣3個擋板就把104根火柴分成4堆。不妨把從左到右4堆火柴的個數(shù)分別記為a，b，c，d，那么每一種擋板的放置方法對應一組a、b、c、d 的數(shù)值，且a+b+c+d=104，而擋板的放置方法有C3 103=176 851（種）。

所以方程a+b+c+d=104有176 851組正整數(shù)解。而此題求的是自然數(shù)解，若a+b+c+d =104，則（a-1）+ （b-1）+（c-1）+（d-1）=100。

令a-1=x，b-1=y，c-1=z，d-1=w ，則每一組a、b、c、d 的值對應一組x、y、z、w 的值，且x+y+z+w =100。

因此，x+y+z+w =100這個方程的自然數(shù)解的組數(shù)是176 851。

在處理計數(shù)原理應用中的問題時，為了避免這些重復現(xiàn)象，我們需要認真審題，做到三條：（1）搞清楚所給問題屬于相同元素的分配問題還是不同元素的分配問題;（2）屬于平均分配問題還是非平均分配問題;（3）利用分類計數(shù)原理還是利用分步計數(shù)原理。根據(jù)題目的不同要求選擇不同的處理方案。

（責任編輯 徐利杰）