基于電磁式慣性作動器的四面固支板前饋補償線性自抗擾振動主動控制

摘 要：針對基于電磁式慣性作動器的四面固支板振動系統(tǒng)中存在的由相位滯后、功率放大器等模擬器件、數(shù)據(jù)采集卡的采樣時間等因素導(dǎo)致的時間延遲，本文提出了一種基于跟蹤微分器（Tracking Differentiator，TD）的前饋補償自抗擾控制方法.首先，利用振動理論和電磁感應(yīng)原理，建立了基于慣性作動器四面固支板的振動模型；其次，利用跟蹤微分器獲得輸入信號的跟蹤信號及其微分信號，以實現(xiàn)相位超前功能，并根據(jù)控制信號與系統(tǒng)輸出同步的原則設(shè)計了擴張狀態(tài)觀測器（Extended State Observer，ESO）來估計系統(tǒng)狀態(tài)和總干擾.最后，搭建了一套基于NI PCIe采集系統(tǒng)的振動控制平臺，驗證所提出的振動主動控制策略的控制性能.開展了傳統(tǒng)三階-線性自抗擾控制、預(yù)測估計器的線性自抗擾控制和所提的振動控制策略的對比試驗，結(jié)果表明了所提的基于TD的前饋補償自抗擾控制器具有最佳的抗擾和振動抑制性能.

關(guān)鍵詞：電磁式慣性作動器; 四面固支板; 跟蹤微分器; 擴張狀態(tài)觀測器; 前饋補償自抗擾控制

中圖分類號：TP273

文獻標志碼： A

Feed-forward compensated linear active disturbance rejection vibration control of an all-clamped plate based on an electromagnetic inertial actuator

JI Zhong-qi， LI Sheng-quan*， LI Juan， ZHANG Lu-jin， TONG Xin-wei

（College of Electrical， Energy and Power Engineering， Yangzhou University， Yangzhou" 225127， China）

Abstract：Considering the time delay caused by phase hysteresis，analog devices such as power amplifiers，and sampling time of data acquisition cards in the all-clamped plate vibration system based on electromagnetic inertial actuators，a feed-forward compensated active disturbance rejection control method is proposed with tracking differentiator （TD）.First，the vibration model of the all-clamped plate with inertial actuator is established by the vibration analysis method and the principle of electromagnetic induction.Second，the tracking differential is used to obtain the tracking signal of the input signal and the differential signal of the tracking signal to realize the phase leading function，since the extended state observer （ESO） is designed to estimate the system state and total disturbances according to the principle of synchronization of the control signal with the system output.Finally，a set of vibration control platform based on NI PCIe acquisition system is built to verify the control performance of the proposed vibration active control strategy.Comparative experiments of traditional third-order-LADRC controller，LADRC based on predictive estimator and the proposed vibration control strategy are carried out.The results show that the proposed TD-based feed-forward compensated active disturbance rejection controller has the best anti-disturbance ability and vibration suppression performances.

Key words：electromagnetic inertial actuator; all-clamped plate; tracking differentiator; extended state observer; feed-forward compensated linear active disturbance rejection control

0 引言

許多工業(yè)過程都可以描述為帶有時滯環(huán)節(jié)的系統(tǒng)，且由于時滯現(xiàn)象的存在，整個控制系統(tǒng)的性能往往難以令人滿意［1］.系統(tǒng)時延會引起控制作用滯后，進而導(dǎo)致控制系統(tǒng)過渡時間變長以及出現(xiàn)超調(diào)等現(xiàn)象，對被控系統(tǒng)的穩(wěn)定性和動態(tài)品質(zhì)產(chǎn)生嚴重影響 ［2，3］.

在振動主動控制領(lǐng)域，由于相位滯后、信號的采集和傳輸、控制器的計算、作動器與傳感器的異位配置等都會產(chǎn)生時滯，使得控制穩(wěn)定性變差和控制效果降低［4］.如何在保證控制效果的前提下解決振動主動控制中的時滯問題，顯得尤為重要.文獻［5］在傳統(tǒng)線性自抗擾的基礎(chǔ)上，在ESO的信號輸入端增加一個延遲模塊，使控制信號u進入擴張狀態(tài)觀測器之前延遲與時滯相同的時間，這樣就使得進入ESO的信號u和y得到了同步.而這種同步從觀測器環(huán)路中去除時延，因此其閉環(huán)帶寬比較有限.文獻［6］針對傳感片與作動片對位粘貼而產(chǎn)生的局部應(yīng)變效應(yīng)對振動主動的控制效果產(chǎn)生影響，設(shè)計了基于局部應(yīng)變補償?shù)母倪M冪次趨近律滑?？刂扑惴?，該方法可以有效地解決局部應(yīng)變效應(yīng)產(chǎn)生的影響.文獻［7］將結(jié)構(gòu)振動系統(tǒng)時延等效為一階慣性環(huán)節(jié)，然后通過等效的系統(tǒng)模型設(shè)計了四階自抗擾控制器解決系統(tǒng)時延和干擾等問題，進而提高整個系統(tǒng)振動控制性能.但由于設(shè)計時人為地提高了被控對象的階次，導(dǎo)致ADRC可調(diào)參數(shù)增多.

本文主要針對電磁式慣性作動器的四面固支板振動系統(tǒng)實驗中無法避免的時延環(huán)節(jié)，提出了一種基于跟蹤微分器的前饋補償自抗擾控制器.該方法是從史密斯預(yù)估的原理出發(fā)，并結(jié)合自抗擾控制器設(shè)計，不需要精確的數(shù)學(xué)模型，不僅解決了ESO和閉環(huán)系統(tǒng)的帶寬限制問題，也實現(xiàn)了輸入至ESO的控制輸入和控制輸出的同步.改進后的控制器設(shè)計能夠解決時延產(chǎn)生的穩(wěn)定范圍縮減和閉環(huán)系統(tǒng)帶寬范圍縮小等問題，從而提高系統(tǒng)的抗擾和抑振性能.最后，通過搭建的智能結(jié)構(gòu)振動控制實驗系統(tǒng)，開展了試驗驗證，結(jié)果表明了所提方法的有效性和優(yōu)越性.

1 振動系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型

慣性作動器是由慣性元件、阻尼元件、彈性元件和電磁感應(yīng)線圈及底板進行連接組成的器件，如圖1中虛線框所示.其結(jié)構(gòu)簡單，不需要復(fù)雜的固定方式，驅(qū)動電壓小，可控性能好［8］.將慣性作動器粘貼在四面固支板上，分析系統(tǒng)模型時，固支板粘貼處與慣性質(zhì)量底板的位移、速度以及加速度相同.根據(jù)圖1所示系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，可建立如下系統(tǒng)的運動方程：

max··a+ca（a-）+ka（xa-x）=-BLi

（1）

m1x··1+（ca+c1）1-caa+（k1+ka）x1-kaxa=BLi+f

（2）

Ledidt+Rei+BL（1-a）=u

（3）

式（1）～（3）中：m1、c1、k1分別是四面固支板的質(zhì)量、阻尼系數(shù)、剛度系數(shù)；ma、ca、ka分別是慣性作動器的質(zhì)量、阻尼系數(shù)、剛度系數(shù)；x1、1和x··1分別是四面固支板的位移、速度和加速度；xa、a和x··a分別是慣性作動器的位移、速度和加速度；B和L分別是慣性作動器的磁感應(yīng)強度和線圈長度，i和u是慣性作動器的線圈電流和激勵交流電壓，Le和Re分別為慣性作動器的電感和電阻，f是系統(tǒng)受到的未知外部干擾.式（3）經(jīng)過拉氏變換可得：

I（s）=U（s）-BL［X1（s）-Xa（s）］sRe·ReLes+Re

（4）

式（4）中：I（s）、U（s）分別是慣性作動器線圈電流i和激勵交流電壓u的象函數(shù)；X1（s）、Xa（s）對應(yīng)四面固支板位移x1和慣性作動器位移xa的象函數(shù).由于慣性作動器的線圈電感極小，所以在低頻段中存在lims→0ReLes+Re≈1，將其帶入式（4）可得出電流與電壓的關(guān)系：

I（s）=U（s）-［BL（X1（s）-Xa（s）］sRe

（5）

由此得到主動振動控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)：

X1（s）U（s）=BLRe·1m1s2+（c1+ca-B2L2/Re）s+（k1+ka）+fd

（6）

將系統(tǒng)內(nèi)外總干擾定義為：

fd=Re［caXa（s）+kaXa（s）］-B2L2XaReU（s）s+fU（s）

（7）

式（7）中：Re［caXa（s）+kaXa（s）］-B2L2XaReU（s）s是系統(tǒng)結(jié)構(gòu)中慣性作動器建模誤差的內(nèi)部干擾，fU（s）等效為外部激振器的等效干擾.式（6）等效的二階方程如下：

x··1=-c1+ca-B2L2/Rem11-k1+kam1x1+BLRem1u+f′d

（8）

式（8）中：f′d為與fd相關(guān)的新的總擾動量.進而，基于慣性作動器的四面固支板系統(tǒng)進一步表示為：

x··1=f（1，x1，f′d）+BLRem1u

（9）

2 基于慣性作動器的四面固支板時延補償線性自抗擾振動控制器設(shè)計

2.1 自抗擾振動控制器設(shè)計

選取狀態(tài)變量a1=x1、a2=1，則可將式（9）轉(zhuǎn)化成狀態(tài)方程：

1=a2

2=f（x1，1，f′d）+（b-b0）u

x1=a1+b0u

（10）

式（10）中：b=BLRem1為控制器增益，b0為b的估計值，f（x1，1，f′d）+（b-b0）u為系統(tǒng)總干擾.令a3=f（x1，1，f′d）+（b-b0），假設(shè)擴張的狀態(tài)量a3可微，則h=d［f（x1，1，f′d）+（b-b0）u］/dt，系統(tǒng)可描述為：

1=a2

2=a3+b0u

3=h

x1=a1

（11）

則式（11）對應(yīng)的擴張狀態(tài)觀測器可描述為：

e=z1-x1

1=z2-β1g1（e）

2=z3-β2g2（e）+b0u

3=-β3g3（e）

（12）

式（12）中：β1、β2、β3構(gòu)成觀測器增益矩陣，根據(jù)帶寬法配置可分別取值為3ω0、3ω02、ω30.這里為了方便試驗驗證，將g1（e）、g2（e）、g3（e）設(shè)計為線性函數(shù)，且滿足g1（e）=g2（e）=g3（e）=e=z1-x1.進而反饋控制器的系數(shù)結(jié)合線性狀態(tài)誤差反饋控制設(shè)計如下：

u0=-kpz1-kdz2

（13）

式（13）中：z1、z2表示線性擴張狀態(tài)觀測器的觀測器狀態(tài)，kp、kd分別為比例增益和微分增益.因此控制器的整體設(shè)計為：

u=u0-z3b0=-kpz1-kdz2-z3b0

（14）

2.2 前饋補償?shù)木€性自抗擾振動控制器設(shè)計

Smith預(yù)估控制本質(zhì)上是一種基于模型的純滯后補償控制，通過引入一個和被控對象并聯(lián)的補償器對滯后時間進行消除或削弱［9］，如圖2所示.

Smith預(yù)估器需要系統(tǒng)精確的數(shù)學(xué)模型，但工程實際因為外界環(huán)境等因素和內(nèi)部不確定性導(dǎo)致很難得到系統(tǒng)精確的數(shù)學(xué)模型［10］.因此，對控制信號U（s）進行處理，具體處理過程如式（15）所示：

Y0（s）=Y（s）+Y1（s）=

G（s）e-τsU（s）+G（s）（1-e-τs）U（s）=

G（s）e-τs1+1-e-τse-τsU（s）=G（s）e-τsU（s）eτs

（15）

根據(jù)泰勒級數(shù)展開ex=1+x+12！x2+…+1n！xn+…，取1+τs作為eτs的近似值.因此得到：

Y0（s）=G（s）e-τsU（s）（1+τs）

=G（s）e-τs［U（s）+τsU（s）］

（16）

式（16）中，將U（s）（1+τs）看作一個整體，也就是說，信號Y0（s）可以由U（s）和τsU（s）推導(dǎo)得到（也就是控制信號和它的微分信號）.利用跟蹤微分器（TD）使輸出信號跟蹤輸入信號并且能夠獲得平滑的微分信號.因此，將跟蹤微分器用于獲取信號的預(yù)測值，來實現(xiàn)相位超前功能，具體如圖3所示.

TD模塊的結(jié)構(gòu)算法為［11］：

fh=fhan（u1-u，u2，r1，h1）

u1（k+1）=u1（k）+hu2（k）

u2（k+1）=u2（k）+hfh

（17）

式（17）中：u是控制輸入信號；u1是信號u的跟蹤信號；u2是信號u1的微分信號；r1是速度因子；h1是采樣步長；h是采樣周期；fhan的定義如下［12］：

k=u1+h1u2

α1=r1h12（r1h12+8k）

α2=h1u2+sign（k）（α1-r1h12）/2

sy=［sign（k+r1h12）-sign（k-r1h12）］/2

α=（h1u2+k-α2）sy+α2

sα=［sign（α+r1h12）-sign（α-r1h12）］/2

fhan=-r1［α/r1h12-sign（α）］sα-r1sign（α）

（18）

式（18）中：u1、u2為TD輸入；r1、h1為函數(shù)控制參量；k是斜率為-1/h1的直線；sign（）為符號函數(shù)；sy、sα是為減少高頻振蕩設(shè)置的函數(shù)；α1、α2、α是和sα有關(guān)的參數(shù).相位超前環(huán)節(jié)可參照式（19）設(shè)計為：

（t）=u（t）+τu·（t）

（19）

改進后的系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程為：

1=a2

2=a3+b0

3=h

x1=a1

（20）

則據(jù)式（20）設(shè)計對應(yīng)的線性擴張狀態(tài)觀測器如下：

e=z1-x1

1=z2-β1（z1-x1）

2=z3-β2（z1-x1）+b0

3=-β3（z1-x1）

（21）

進而，系統(tǒng)控制器設(shè)計如下：

u（t）=-k1z1-k2z2-z3b0

（22）

結(jié)合對控制信號的改進，前饋補償自抗擾控制框圖如圖4所示.其中，NI PCIe-6343為具有D/A和A/D 功能的數(shù)據(jù)采集卡.超前的控制信號通過數(shù)模轉(zhuǎn)換后進入功率放大器，放大后的電壓信號驅(qū)動慣性作動器給四面固支板施加控制力.加速度計采集控制后的信號，經(jīng)過恒流源適調(diào)器進行調(diào)理，再通過模數(shù)轉(zhuǎn)換器回到simulink，顯示實時控制效果.

3 實驗驗證

3.1 實驗平臺介紹

本次振動主動控制實驗是基于智能結(jié)構(gòu)振動分析、測量和控制實驗平臺展開，如圖5所示.以交通運輸工具中常用的板殼結(jié)構(gòu)為原型，搭建典型的四面固支板機械結(jié)構(gòu).首先將鋁合金板安裝在由亞克力板制成的矩形盒頂部開口側(cè)的剛性框架上，通過螺栓將板和框架的四端連接在一起達到夾緊固支的條件.由信號發(fā)生器產(chǎn)生正弦波模擬外部干擾信號經(jīng)過功率放大器施加給HEV-20激振器在板近邊緣處激振板產(chǎn)生振動.將慣性作動器粘貼到四面固支板的最大應(yīng)變位置.利用同位配置的原則，將CA-YD-160型壓電集成電路加速度傳感器貼在板的指定位置，由恒流源適調(diào)器連接傳感器，采集的信號將經(jīng)過調(diào)理電路，再經(jīng)過積分器輸入至Simulink里的desktop real-time環(huán)境下的AnalogInput模塊里，實時仿真產(chǎn)生控制量之后由AnalogOutput模塊經(jīng)NI PCIe-6343采集卡和功率放大器對慣性作動器產(chǎn)生實際的電壓控制信號，完成對四面固支板振動的抑制［13］.實驗平臺的主要硬件參數(shù)如表1所示.

3.2 系統(tǒng)延遲時間τ測量

激振四面固支板使用的信號是其一階模態(tài)的共振頻率48.5 Hz，因此在測量本套實驗系統(tǒng)的延遲時間常數(shù)τ時，令fN=48.5 Hz，繪制采集的輸入輸出信號，并采用式（23）的正弦函數(shù)來逼近所采集到的振動系統(tǒng)輸入和輸出數(shù)據(jù)，同時將式（23）中的xu作為橫坐標，yu作為縱坐標，繪制出Lissajou圖形［14］.

xu=5sin（2πfNt）

yu=sin（2πfNt+φ）

（23）

當(dāng)相位差φ=2.41 rad，頻率fN=48.5 Hz時，延遲時間常數(shù)τ=1 000h2πfN=7.92 ms，通過圖6中擬合信號和實際信號的吻合程度，可以證明當(dāng)系統(tǒng)的延遲時間常數(shù)τ=7.92 ms時，數(shù)值可靠且準確性高.

3.3 振動控制效果

在之前實驗中，利用掃頻策略，信號發(fā)生器發(fā)出范圍為10～500 Hz的頻率信號激勵固支板結(jié)構(gòu)，當(dāng)掃描頻率和固支板固有頻率一致時，二者產(chǎn)生共振，此時通過激光多普勒測振儀進行信號采集信號并反饋至模態(tài)分析儀進行模態(tài)分析處理，得到固支板前三階模態(tài)振型，對比固支板MATLAB仿真模態(tài)振型圖與激光測振儀實驗?zāi)B(tài)振型圖，進一步驗證了所選振型函數(shù)的準確性［15］.

在已有四面固支板共振頻率的基礎(chǔ)上，利用實驗室的器材針對基于慣性作動器的四面固支板系統(tǒng)整體進行掃頻激勵，通過開環(huán)系統(tǒng)掃頻激勵結(jié)果圖和實際結(jié)果的快速傅立葉分析，可以看出在頻率48.5 Hz和120 Hz處，激振效果最明顯，因此單模態(tài)實驗下選擇48.5 Hz作為激勵信號頻率.

而在本次振動控制實驗中，由于我們對固支板邊界的螺絲進一步夾緊固定，且改變了激振器的位置，對結(jié)構(gòu)的固有頻率產(chǎn)生了細微影響，通過掃頻激勵和對結(jié)果的快速傅立葉分析，可以看出在頻率48.6 Hz和120 Hz處，激振效果最明顯，因此單模態(tài)實驗下選擇48.6 Hz作為激勵信號頻率，多模態(tài)實驗同時選擇48.6 Hz和120 Hz作為激勵信號頻率.

已知基于慣性作動器的四面固支板系統(tǒng)的延遲時間常數(shù)為7.92 ms，單模態(tài)實驗下分別在系統(tǒng)中加入傳統(tǒng)三階LADRC，基于預(yù)測估計器的LADRC（PLADRC）和本文所提的前饋補償線性自抗擾控制（FFC-LADRC）進行控制實驗.調(diào)節(jié)控制器參數(shù)，選取抑振效果最好的臨界狀態(tài)，采集到控制前后的振幅對比如圖7所示.在未加控制之前，四面固支板結(jié)構(gòu)的振幅為5 V，加入普通三階LADRC控制之后，振幅縮減為1.19 V，幅值減少了 76.2%；加入PLADRC之后，振幅縮減為1.38 V，幅值減少了 72.4%；在加入了FFC-LADRC之后，振幅縮減為0.8 V，幅值減少了 84%.很顯然，LADRC振動抑制效果要優(yōu)于PLADRC控制，因為PLADRC雖然補償了時延但引入了微分，在進行微分計算時放大了傳感器噪聲，影響了控制效果；而本文所提的FFC- LADRC振動抑制效果要優(yōu)于LADRC.三種不同振動控制器的具體參數(shù)值如表2所示.

同時對三種采用不同控制器的系統(tǒng)輸出信號進行快速傅里葉變換（fast Fourier transform，F(xiàn)FT），結(jié)果如圖8和圖9所示.在48.6 Hz處，加入LADRC，采集的信號共振幅值由12.169 2 dB降至-0.843 1 dB；加入PLADRC，采集的信號共振幅值由12.169 2 dB降至-1.040 4 dB；加入FFC-LADRC，采集的信號共振幅值由12.169 2 dB降至-2.473 5 dB.進一步說明了本文設(shè)計的前饋補償自抗擾控制器很強的抑振能力.

將本文的方法推廣到多模態(tài)振動進行實驗驗證.由于系統(tǒng)存在多個模態(tài)，每個模態(tài)對應(yīng)的共振頻率也不同，同時對慣性作動器與板結(jié)構(gòu)施加一階模態(tài)共振頻率48.6 Hz和二階模態(tài)共振頻率120 Hz兩個頻率的正弦激勵，驗證不同控制器在多模態(tài)下的控制效果，兩個頻率的振幅如圖10和圖11所示.根據(jù)實驗結(jié)果可知，加入PLADRC控制后，第一種模態(tài)的振幅從5.2 V下降到3.7 V，第二種模態(tài)的幅值從4.2 V下降到2.6 V；加入LADRC控制后，第一種模態(tài)的振幅從5.2 V下降到3 V，第二種模態(tài)的幅值從4.2 V下降到1.8 V；而加入FFC-LADRC控制后，第一種模態(tài)的振幅從5.2 V下降到2.8 V，第二種模態(tài)的幅值從4.2 V下降到2 V.因此，對于多模態(tài)振動，所提出的控制方法也具有良好的振動抑制性能.但由于慣性作動器自身物理構(gòu)造的限制使得其輸出值不能夠任意增加，輸入幅值過大會導(dǎo)致慣性作動器的控制效果達到飽和狀態(tài).因此，要保證輸入幅值在慣性作動器的工作行程范圍之內(nèi)，在行程范圍之內(nèi)，不同幅值對結(jié)果不產(chǎn)生影響.

進一步將振動控制效果進行FFT，從圖12中可以看出，雖然給定外部激勵只有48.6 Hz和120 Hz，但實際激勵出了48.6 Hz的二倍頻97 Hz、三倍頻145.6 Hz，且FFC-LADRC都能很好抑制圖中各頻率的干擾.

4 結(jié)論

本文設(shè)計了一種基于跟蹤微分器（TD）的前饋補償線性自抗擾控制器（FFC-LADRC）來消除時延對振動控制效果的影響.在控制信號輸入到振動系統(tǒng)和ESO前，設(shè)計一個前饋補償環(huán)節(jié)，并在新的控制信號進入ESO之前，加入與系統(tǒng)時延相同的延遲量，保證ESO的兩個輸入量在時間上保持同步，從而獲得準確的系統(tǒng)狀態(tài)和總干擾的估計.改進后的控制器設(shè)計容易，能夠解決時延產(chǎn)生的穩(wěn)定范圍縮減與閉環(huán)系統(tǒng)帶寬范圍縮小的問題，從而提高系統(tǒng)的抗擾和抑振性能.然后，通過與LADRC以及PLADRC進行比較，分析得出了該控制方案的優(yōu)越性.最后將本文的方法推廣到多模態(tài)的理論進行了實驗驗證，結(jié)果顯示所提的FFC-LADRC能夠很好抑制不同頻率的干擾.

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