巧用方法，簡化有理數(shù)運算

有理數(shù)運算是初中代數(shù)中最基本的運 算，同時也是同學(xué)們時常出錯的一個點.不少 同學(xué)在進(jìn)行有理數(shù)運算時，由于方法運用不 當(dāng)，導(dǎo)致解題過程繁瑣，解題效率不高.對此， 筆者歸納了如下幾種運算方法，以期能夠助 力同學(xué)們準(zhǔn)確、快速地解題.

一、分組求和法

分組求和法就是根據(jù)題目特征，利用交 換律、結(jié)合律等各種運算法則，把算式中的項 進(jìn)行合理的分組，如將符號相反的數(shù)、代數(shù)和 為整數(shù)的數(shù)、同分母的數(shù)等，分別分為一組后 再去求和計算.這種方法常用于有理數(shù)的加 減運算中.

例1

分析：這兩題有加有減，且涉及的項數(shù)較 多，若直接運算，顯然難度較大（. 1）仔細(xì)觀察 該算式，不難看出若以相鄰兩項為一組進(jìn)行 計算的話，則可以將它轉(zhuǎn)化為-1-2-3-4- 5-…-100，即-（1+2+3+4+5+…+100），這樣計 算就更加便捷了（. 2）認(rèn)真分析該算式，不難 發(fā)現(xiàn)這樣一個規(guī)律：除了前面三項外，后面的 每四項之和均為零，因此，采用分組求和法即 可快速計算出結(jié)果.

解：

評注：對于某些含有規(guī)律的有理數(shù)加減 運算，若能對算式的各項恰當(dāng)?shù)胤纸M，可以減 少運算量，提高運算速度和效率.

二、字母代換法

字母代換法，是指在進(jìn)行有理數(shù)運算時， 若題中所求的算式中出現(xiàn)相同的部分，則把 相同部分看作一個整體，用新的字母進(jìn)行替 換，這樣就可以使繁難的計算過程變得簡單.

例2

分析：

解法1

解法2

評注：字母代換法的實質(zhì)是“換元”.當(dāng)題目 中出現(xiàn)相同數(shù)字或數(shù)式時，巧用字母代換法， 可以簡化運算過程，降低計算難度和出錯率.

三、裂項相消法

裂項相消法，即把一個數(shù)分裂成兩個或多個數(shù)的和或差，將中間的大部分項都互相抵消，以此達(dá)到簡便運算的目的.當(dāng)同學(xué)們在計算一些復(fù)雜的分?jǐn)?shù)求和問題時，一定要先觀察式子中分子、分母的特點，考慮能不能利用裂項相消法對題目中的各項進(jìn)行裂項，再利用相反數(shù)的意義進(jìn)行計算.

例3

分析：觀察該式子，很容易發(fā)現(xiàn)分子中的6=1+5，10=7+3，14=5+9，…，38=17+21，42=19+23，這樣就可以考慮運用裂項相消法，把分裂成+，分裂成+，分裂成+，…，而=（-），這樣就可以快速解題.

解：

評注：在進(jìn)行多個分?jǐn)?shù)相加減時，同學(xué)們 要留意每項中的分母和分子，若分母以兩個數(shù) 的乘積出現(xiàn)，分子是這兩個數(shù)的和或者差時， 多使用裂項相消法，其常用公式有 a + b ab = 1 a + 1 b ， b a（a + b） = 1 a - 1 a + b ， 1 a（a + 1） = 1 a - 1 a + 1 .

總之，在進(jìn)行有理數(shù)的運算時，不但要熟 練掌握其運算法則和定律，還要細(xì)心觀察算 式的特征，注意根據(jù)算式的結(jié)構(gòu)特征，采取靈 活多變的運算方法.這樣做不但能使問題化 繁為簡，化難為易，使運算過程簡化，而且還 能提高同學(xué)們的思維能力.