軌形上哈密頓向量場的中心擴(kuò)張

研究軌形上的辛向量場和哈密頓向量場，得到軌形上哈密頓向量場李代數(shù)的中心擴(kuò)張，并計(jì)算該中心擴(kuò)張的 2-cocycle.

辛向量場; 哈密頓向量場; 李代數(shù)中心擴(kuò)張; 軌形

O186; O153

A

0841-06

06.014

1 預(yù)備知識(shí)

李代數(shù)的中心擴(kuò)張是構(gòu)建李代數(shù)的有效且強(qiáng)有力的方法，特別是無限維李代數(shù)的例子大多來自于李代數(shù)的中心擴(kuò)張.每個(gè)李代數(shù)的中心擴(kuò)張都對(duì)應(yīng)于一個(gè)李代數(shù)上同調(diào)的度為2的上同調(diào)類，更具體地，每個(gè)李代數(shù)中心擴(kuò)張都對(duì)應(yīng)于一些2-cocycles，這些2-cocycles決定了同一個(gè)上同調(diào)類.在微分幾何中，（無限維）李代數(shù)的例子很多，比如一個(gè)光滑流形M的向量場在Poisson括號(hào)下自然構(gòu)成一個(gè)無窮維李代數(shù)（M），在一個(gè)辛流形（M，ω）上辛向量場和哈密頓（Hamiltonian）向量場都構(gòu)成（M）的李子代數(shù).文獻(xiàn)[1]給出了哈密頓向量場李代數(shù)的中心擴(kuò)張.文獻(xiàn)[2]詳細(xì)介紹了Kostant的結(jié)果，并計(jì)算了哈密頓向量場李代數(shù)的中心[WTHZ]R[WTBX]-擴(kuò)張對(duì)應(yīng)的2-cocycle.

軌形最早由文獻(xiàn)[3]引入.它是光滑流形的自然推廣，局部上同胚于歐氏空間商掉一個(gè)有限群的光滑作用.微分形式和向量場等微分幾何的概念可以自然地推廣到軌形上.本文的目的是研究軌形上光滑向量場的李代數(shù)結(jié)構(gòu)和它上面的哈密頓向量場李代數(shù)的中心擴(kuò)張.

2 軌形的基本概念

本節(jié)介紹軌形[4]的相關(guān)定義、軌形微分形式、de Rham[KG-*1/3]上同調(diào)和軌形向量場，并證明軌形向量場構(gòu)成一個(gè)李代數(shù).在本文中，X表示一個(gè)仿緊的第二可數(shù)Hausdorff空間.

定義 2.1

X上的一個(gè)n維軌形坐標(biāo)卡是一個(gè)三元組（，G，φ），滿足以下條件：

1） 是[WTHZ]R[WTBX]n中的連通開子集;

2） G是一個(gè)有限群，且光滑有效地作用在上;

3） φ：→X是G-不變的連續(xù)映射，誘導(dǎo)了從/G到U=φ（）X的同胚.

給定軌形坐標(biāo)卡（，G，φ），稱（，G，φ）為U的一致化系統(tǒng)，G為局部群.

給定2個(gè)軌形坐標(biāo)卡（i，Gi，φi）和（j，Gj，φj），若光滑嵌入λ：i→j滿足φjλ=φi，則稱λ為2個(gè)軌形坐標(biāo)卡的嵌入，記作λ：（i，Gi，φi）（j，Gj，φj）.一個(gè)軌形坐標(biāo)卡的嵌入λ：ij誘導(dǎo)了局部群的單同態(tài)λ：GiGj[5].

定義 2.2

X上一個(gè)n維軌形圖冊是一族n維軌形坐標(biāo)卡U={（i，Gi，φi）}i∈I，滿足以下條件：

1） {Ui=φ（i）}i∈I為X的開覆蓋;

2） 對(duì)于任意x∈Ui∩Uj，存在一個(gè)坐標(biāo)卡（k，Gk，φk），使得x∈UkUi∩Uj，且有軌形坐標(biāo)卡的嵌入

（i，Gi，φi）λki（k，Gk，φk）λkj

（j，Gj，φj）.

定義 2.3

給定X上的一個(gè)n維軌形圖冊U，則稱X=（X，U）為（n維）軌形.

注記 2.4

在一般的文獻(xiàn)中，比如文獻(xiàn)[3-4]，會(huì)遇到軌形圖冊的加細(xì)與等價(jià)的概念.給定2個(gè)軌形圖冊U和U′，若存在一個(gè)映射μ：U→U′滿足U中任意坐標(biāo)卡（i，Gi，φi）能嵌入到μ（i，Gi，φi）中，則稱U為U′的加細(xì)，記作UU′.若2個(gè)軌形圖冊有共同的加細(xì)，則稱它們是等價(jià)的.而軌形一般也定義為一個(gè)拓?fù)淇臻g附帶上一個(gè)軌形圖冊的等價(jià)類.

但是在討論軌形上的微分形式與向量場等概念時(shí)，往往一個(gè)特定的軌形圖冊會(huì)更方便[6].因此，本文將軌形定義為一個(gè)拓?fù)淇臻g外帶一個(gè)軌形圖冊，而非軌形圖冊的等價(jià)類.

接下來介紹軌形上的微分形式和de Rham[KG-*1/3]上同調(diào).

定義 2.5

給定軌形X=（X，U={（i，Gi，φi）}i∈I）.它上面的一個(gè)k-次軌形微分形式ω是由一族光滑流形上的k-次微分形式（ωi）i∈I給出的，其中ωi∈Ωk（i）是i上的k-次微分形式，且滿足條件：

1） 對(duì)每一個(gè)坐標(biāo)卡（i，Gi，φi），ωi是Gi-不變的k-次微分形式;

2） 當(dāng)Ui∩Uj≠時(shí)，對(duì)任意的UkUi∩Uj上的一致化系統(tǒng)和軌形坐標(biāo)卡的嵌入λki：（k，Gk，φk）（i，Gi，φi）與λkj：（k，Gk，φk）（j，Gj，φj），都有λ*kiωi=λ*kjωj.

軌形上的0-次軌形微分形式也稱為光滑函數(shù).因此，一個(gè)光滑函數(shù)對(duì)應(yīng)于一個(gè)底空間X上的連續(xù)函數(shù)，使得它在每個(gè)軌形坐標(biāo)卡上有光滑的提升.X上的光滑函數(shù)的空間Ω0（X）也記作C∞（X）.

記軌形X=（X，U）上的所有k-次軌形微分形式的集合為Ωk（X）.顯然它關(guān)于軌形微分形式的逐點(diǎn)加法與數(shù)乘構(gòu)成了一個(gè)無窮維的實(shí)線性空間，記它們的直和為

Ω*（X）=k∈Z≥0Ωk（X）.

由于光滑流形上的微分形式上的外微分與拉回映射交換，因此，每個(gè)軌形坐標(biāo)卡上的外微分算子誘導(dǎo)了一個(gè)算子：

d：Ωk（X）→Ωk+1（X），

而且也有d2=0.稱（Ω*（X），d）為軌形X的de Rham復(fù)形，并稱它的上同調(diào)為軌形的de Rham上同調(diào)，即（記為）

HkdR（X）=ker d：Ωk（X）→Ωk+1（X）Im d：Ωk-1（X）→Ωk（X）.

特別地，稱d的核中元素為閉形式，像中的元素為恰當(dāng)形式.后文需要辛軌形的定義.

定義 2.6

設(shè)ω=（ωi）∈Ω2（X），若對(duì)于每個(gè)坐標(biāo)卡（i，Gi，φi），ωi是i上閉的非退化2-形式，則稱ω為X上的辛形式;此時(shí)，稱（X，ω）為一個(gè)辛軌形.

接下來介紹軌形上的向量場，并且說明它們構(gòu)成一個(gè)李代數(shù).為了讀者方便，首先回憶李代數(shù)的定義.

定義 2.7

設(shè)V為域F上的線性空間，若V上有一個(gè)二元運(yùn)算V×V→V，（x，y）MT ExtraaA@[x，y]滿足以下條件：

1） 分配律：[av+bz，w]=a[v，w]+b[z，w]，[w，av+bz]=a[w，v]+b[w，z]；

2） 反對(duì)稱性：[v，w]=-[w，v]；

3） Jacobi恒等式：[[v，w]，z]+[[w，z]，v]+[[z，v]，w]=0.

其中，v，w，z∈V，a，b∈F，則稱（V，[，]）為李代數(shù).

2個(gè)李代數(shù)之間的線性映射f：（V，[，]）→（W，[，]）若保持李括號(hào)，即f（[a，b]）=[f（a），f（b）]，則稱f為李代數(shù)同態(tài)，若更進(jìn)一步，f為線性同構(gòu)，則稱f為李代數(shù)同構(gòu).

軌形向量場的定義與微分形式的定義類似.

定義 2.8

軌形X=（X，U={（i，Gi，φi）}i∈I）上的一個(gè)（軌形）向量場v=（vi）i∈I（或簡記為v=（vi））是一族向量場，滿足：

1） 每個(gè)vi是i上的Gi-不變的向量場;

2） 對(duì)任意的軌形坐標(biāo)卡的嵌入λij：ij都有dλij（vi）=vj|λij（i），即vi與vj是λij-相關(guān)聯(lián)的.

記所有這樣的軌形向量場的集合為（X），它關(guān)于加法與數(shù)乘構(gòu)成實(shí)線性空間.定義2個(gè)軌形向量場v=（vi），w=（wi）∈（X）的Poisson括號(hào)如下：

[v，w]：=（[vi，wi]），

（1）

其中，[vi，wi]為光滑流形上光滑向量場的Poisson括號(hào).注意到光滑流形的光滑向量場的Poisson括號(hào)與切映射是相容的[7]，即對(duì)任意的軌形坐標(biāo)卡的嵌入λij：ij，都有

[dλij（vi），dλij（wi）]=dλij（[vi，wi]）.

因此，軌形向量場的Poisson括號(hào)（1）式是良定義的.簡單驗(yàn)證，即可發(fā)現(xiàn)如下結(jié)論.

引理 2.9

（X）帶上Possion括號(hào)（1）式后是一個(gè)實(shí)李代數(shù).

和光滑流形情形類似，軌形微分形式也可以和軌形向量場做配合，而一個(gè)軌形微分k-形式也由它與任意k個(gè)軌形向量場的配合的值決定.類似于（1）式可以定義軌形微分形式沿著軌形向量場的李導(dǎo)數(shù)和軌形微分形式關(guān)于軌形向量場的如下縮并.

定義 2.10

給定k-次軌形微分形式ω=（ωi）∈Ωk（X）和軌形向量場v=（vi）∈（X），定義ω沿著v的李導(dǎo)數(shù)為

Lvω：=（Lviωi）.

定義 2.11

給定軌形微分形式ω=（ωi）∈Ωk（X）和軌形向量場v，vi∈（X），i=1，2，…，k-1.定義ω關(guān)于v的縮并為如下給出的軌形微分形式

（ιvω）（v1，v2，…，vk-1）=ω（v，v1，…，vk-1）.

它們滿足如下的性質(zhì).

引理 2.12

軌形微分形式關(guān)于軌形向量場的李導(dǎo)數(shù)與縮并都是良定義的，且它們以及軌形向量場的Poisson括號(hào)和軌形微分形式的外微分滿足如下關(guān)系：

dLv-Lvd=0， Lvω=dιvω+ιvdω， ι[v，w]=Lvιw-ιwLv，

其中，v，w∈（X），ω∈Ωk（X）.

證明

關(guān)于良定義性，只需要注意到李導(dǎo)數(shù)、縮并與切映射的相容性即可.如此上述幾個(gè)等式的驗(yàn)證就變成局部上每個(gè)軌形坐標(biāo)卡上的驗(yàn)證，即流形情形的驗(yàn)證.這是顯然成立的.

同樣地，對(duì)于軌形微分形式的外微分有如下的與光滑流形情形一致的公式：

dω（v0，…，vn）=∑0≤i≤n（-1）ivi（ω（v0，…，v^i，…，vn））+

∑0≤ilt;j≤n（-1）i+jω（[vi，vj]，v0，…，v^i，…，v^j，…，vn），

（2）

其中“·^”表示刪去這個(gè)變量.

3 軌形上哈密頓向量場李代數(shù)的中心擴(kuò)張

本節(jié)討論本文的主要結(jié)果，即軌形上的哈密頓向量場的中心擴(kuò)張.固定一個(gè)n維軌形X=（X，U={（i，Gi，φi）}i∈I）和它上面的一個(gè)閉的2-形式ω=（ωi）∈Ω2（X）.

定義 3.1

稱軌形向量場v∈（X）為辛向量場，若Lvω=（Lviωi）=0.記Symp（X）={v|Lvω=0}為所有辛向量場的集合.

關(guān)于辛向量場有如下的簡單刻畫.對(duì)于給定閉的2-形式ω可以定義線性映射

I：（X）→Ω1（X），v=（vi）MT ExtraaA@ιvω=（ιviωi）.

（3）

命題 3.2

軌形向量場v為辛向量場當(dāng)且僅當(dāng)I（v）為閉的1-形式.

證明

因?yàn)棣厥情]的，由引理2.12有Lvω=（Lviωi）=（ιvidωi+dιviωi）=（dιviωi）=dI（v）.若Lvω=0，則dI（v）=0，所以I（v）為閉的1-形式;若I（v）為閉的1-形式，則Lvω=dI（v）=0.證畢.

若v=（vi）為辛向量場，則對(duì)每個(gè)軌形坐標(biāo)卡（i，Gi，φi）∈U，ιviωi為i[WTHZ]R[WTBX]n上閉的Gi-不變1-形式.可以問是否存在光滑函數(shù)f=（fi）∈C∞（X），使得dfi=ιviωi，即ιvω是恰當(dāng)?shù)?

定義 3.3

軌形向量場v稱為哈密頓向量場，若存在軌形上的光滑函數(shù)f=（fi）∈C∞（X），使得在每個(gè)坐標(biāo)卡上dfi=ιviωi，即df=ιvω.

[JP2]記HX={v|存在f∈C∞（X），使得ιvω=df}為所有哈密頓向量場的集合，顯然HXSymp（X）.[JP]

對(duì)于每個(gè)v∈Symp（X），ιvω是一個(gè)閉形式，因此，決定了一個(gè)上同調(diào)類[ιvω]∈H1dR（X）.如此得到一個(gè)線性映射：

t：Symp（X）→H1dR（X）， vMT ExtraaA@[I（v）].

賦予H1dR（X）平凡李代數(shù)結(jié)構(gòu)，即李括號(hào)為0.本文的第一個(gè)主要結(jié)論如下.

引理 3.4

1） Symp（X）是（X）的李子代數(shù)，HX為Symp（X）的李子代數(shù)，且有如下的李代數(shù)正合序列

0HXiSymp（X）tH1dR（X）.

（4）

2） 若ω是辛形式，則上面的正合序列可以擴(kuò)充為

0HXiSymp（X）tH1dR（X）0.[JY]（5）

證明

1） 首先說明Symp（X）（X）是李子代數(shù).因此，只需要說明Symp（X）關(guān)于（X）上的Poisson括號(hào)是封閉的，即驗(yàn)證對(duì)于任意的v，w∈Symp（X）都有[v，w]∈Symp（X）.利用引理2.12和辛向量場的定義，做如下的計(jì)算：

L[v，w]ω=（L[vi，wi]ωi）

=（dι[vi，wi]ωi）=

（d（Lviιwiωi-ιwiLviωi））=

（dLviιwiωi）=dLvιwω

=Lvdιwω=Lv（dI（w））=0，

所以Symp（X）為（X）的李子代數(shù).

接下來證明HX為Symp（X）的李子代數(shù)，即證明它關(guān)于軌形向量場的Poisson括號(hào)也封閉.設(shè)v，w∈HX，I（v）=（ιviωi）=df=（dfi），I（w）=（ιwiωi）=dg=（dgi），則

I（[v，w]）=（ι[vi，wi]ωi）

=（Lviιwiωi-ιwiLviωi）=

（Lvidgi）=Lv（dg）=dLvdg+Lvd（dg）=d（v（g））=d{f，g}，

（6）

所以[v，w]∈HX，即HX為Symp（X）的李子代數(shù).（4）式在HX處正合.

接下來說明（4）式在Symp（X）正合.首先說明t是李代數(shù)同態(tài)，由前面的計(jì)算，根據(jù)命題3.2，對(duì)于辛向量場v，w∈Symp（X）有

I（[v，w]）=（ι[vi，wi]ωi）

=（Lviιwiωi-ιwiLviωi）

=（Lviιwiωi）=

（dιviιwiωi+ιvidιwiωi）=（dιviιwiωi）+ιvdI（w）=

（dιviιwiωi）=（dωi（wi，vi））=dω（w，v）.

因此，[I（[v，w]）]=0，所以t是李代數(shù)同態(tài).

最后說明ker t=Im i.首先由t與i的定義可知，對(duì)于任意的哈密頓向量場v，如果ιvω=df，f∈C∞（X），那么t（i（v））=[ιvω]=[df]=0∈H1dR（X），即Im iker t.現(xiàn)在假設(shè)v∈Symp（X）使得t（v）=0，即[ιvω]=0.那么由軌形de Rham上同調(diào)的定義，存在光滑函數(shù)f∈C∞（X）=Ω0（X）使得ιvω=df.因此，v∈i（HX）=Im i，ker t=Im i.所以（4）式是正合列.

2） 此時(shí)只需驗(yàn)證Symp（X）tH1dR（X）→0的正合性，即證t為滿射.假設(shè)[α]∈H1dR（X）由閉形式α∈Ω1（X）代表.注意到當(dāng)ω是辛形式時(shí)，I：（X）→Ω1（X）為同構(gòu)，有唯一的光滑向量場v=（vi）∈（X），使得I（v）=α，dI（v）=dα=0，v為辛向量場，t為滿射.證畢.

但是在一般情況下，當(dāng)ω只是閉而非辛形式時(shí)，并不是所有光滑函數(shù)f∈C∞（X）都存在光滑向量場v∈（X）使得df=I（v）.

定義 3.5

若軌形X上的光滑函數(shù)f滿足df∈Im I，則稱它為哈密頓函數(shù).記C∞（X/K）為所有哈密頓函數(shù)的集合.

下面賦予這個(gè)集合一個(gè)李代數(shù)結(jié)構(gòu)，并討論它與HX的關(guān)系.

定理 3.6

1） 在C∞（X/K）上賦予如下的李括號(hào)：

{f，g}=v（g），

（7）

其中v∈（X）滿足I（v）=df，則C∞（X/K）是李代數(shù).

2） [JP2]常值函數(shù)構(gòu)成了C∞（X/K）的中心李子代數(shù)[WTHZ]R[WTBX]C∞（X/K），因此，有商李代數(shù)C∞（X/K）/[WTHZ]R[WTBX]，以及李代數(shù)的中心擴(kuò)張[JP]

[JP3]0[WTHZ]R[WTBX]C∞（X/K）C∞（X/K）/[WTHZ]R[WTBX]0.[JP]（8）

3） 若X是連通的，則有李代數(shù)正合序列

0ker IαHXβC∞（X/K）/[WTHZ]R[WTBX]0，

（9）

其中映射I：（X）→Ω1（X）由（3）式給出，即I（v）=ιvω，α為含入映射，β為vMT ExtraaA@[f]，其中f滿足df=I（v）.

證明

1） 首先說明李括號(hào)（7）式是良定義的，即證明2個(gè)哈密頓函數(shù)f，g∈C∞（X/K）的李括號(hào){f，g}還是哈密頓函數(shù).為此假設(shè)有軌形向量場v1，v2∈（X）滿足I（v1）=ιv1ω=df，I（v2）=ιv2ω=dg，則按定義{f，g}=v1（g）.注意到此時(shí)的v1和v2是哈密頓向量場.下面尋找向量場v{f，g}，使得它滿足ιv{f，g}ω=d{f，g}.若它存在，則它滿足

ιv{f，g}ω

=d{f，g}=dv1（g）=d（ιv1dg）=d（ιv1ιv2ω）=

Lv1ιv2ω-ιv1dιv2ω=Lv1ιv2ω=

Lv1ιv2ω-ιv2Lv1ω=ι[v1，v2]ω.

可以取v{f，g}=[v1，v2].這說明{f，g}是哈密頓函數(shù)，且李括號(hào)（7）式是良定義的.接下來說明它給出的C∞（X/K）上一個(gè)李代數(shù)結(jié)構(gòu).

顯然李括號(hào)（7）式是雙線性的，只需證此李括號(hào)（7）式是反對(duì)稱的且滿足Jacobi恒等式.為此首先給出李括號(hào)（7）式的另一個(gè)表達(dá).用上一段的符號(hào)，有

{f，g}=v1（g）=ιv1dg=ιv1ιv2ω=ω（v2，v1），

（10）

同理{g，f}=ω（v1，v2）.由于ω是反對(duì)稱的，所以{f，g}=-{g，f}.接下來考慮Jacobi恒等式.

假設(shè)有第3個(gè)哈密頓函數(shù)h以及哈密頓向量場v3使得I（v3）=dh，則由（10）式有

{{f，g}，h}=ω（v3，[v1，v2]）.

又因?yàn)?/p>

{{f，g}，h}=-{h，{f，g}}=-v3（{f，g}）=-v3（ω（v2，v1））=v3（ω（v1，v2）），

所以ω（v3，[v1，v2]）=v3（ω（v1，v2））.因?yàn)棣厥情]形式，由（2）式有

0=dω（v1，v2，v3）=

v1（ω（v2，v3））-v2（ω（v1，v3））+v3（ω（v1，v2））-

ω（[v1，v2]，v3）+ω（[v1，v3]，v2）-ω（[v2，v3]，v1）=

v1（ω（v2，v3））+v2（ω（v3，v1））+v3（ω（v1，v2））+

ω（v3，[v1，v2]）+ω（v2，[v3，v1]）+ω（v1，[v2，v3]），

所以

{{f，g}，h}+{{g，h}，f}+{{h，f}，g}=12dω（v1，v2，v3）=0.

這說明李括號(hào)（7）式滿足Jacobi恒等式.因此C∞（X/K）賦予李括號(hào)（7）式之后是一個(gè)李代數(shù).

2） 這里[WTHZ]R[WTBX]表示X上的常值光滑函數(shù)的集合.常值函數(shù)顯然都是哈密頓函數(shù)，且對(duì)應(yīng)的哈密頓向量場可以都取為0.因此，C∞（X/K）的李括號(hào)在[WTHZ]R[WTBX]上的限制為0，[WTHZ]R[WTBX]是它的中心李子代數(shù).有商李代數(shù)C∞（X/K）/[WTHZ]R[WTBX]，它上面的李括號(hào)為

{[f]，[g]}：=[{f，g}]，

其中f∈[f]，g∈[g].短正合列（8）式是一個(gè)C∞（X/K）/[WTHZ]R[WTBX]的中心擴(kuò)張.

3） 最后證明（9）式是李代數(shù)的正合列.首先ker I中的元素都是哈密頓向量場，實(shí)際上它們都可以對(duì)應(yīng)哈密頓函數(shù)0.映射α定義為含入映射，所以是李代數(shù)單同態(tài).其次說明映射β是良定義的.假設(shè)對(duì)于給定的哈密頓向量場v∈（X）有2個(gè)哈密頓函數(shù)f，g∈C∞（X/K）使得df=dg=I（v）.則在每個(gè)坐標(biāo)卡（i，Gi，φi）上，f與g的提升滿足fi-gi=常數(shù)，記為ci.由于f與g的提升關(guān)于坐標(biāo)卡的嵌入相容，所以對(duì)于任意的坐標(biāo)卡嵌入λij：ij，等式λ*ijcj=ci都成立.{ci}i∈I給出了一個(gè)整體定義的常值函數(shù)，記為c，因此，f-g=c，[f]=[g]，β（v）=[f]是良定義的.而且若I（v1）=df，I（v2）=dg，那么由（6）式可知β（[v1，v2]）=[{f，g}]={[f]，[g]}.β是李代數(shù)同態(tài).

最后說明（9）式是正合列.由哈密頓函數(shù)的定義可知β是滿射.要證明（9）式的正合性，只需證Im α=ker β.由定義可知ker βIm α.現(xiàn)在假設(shè)v∈Im α=ker I，則I（v）=0=d0，β（α（v））=[0]=0，即Im αker β.所以ker" β=Im α.證畢.

假設(shè)X連通，則當(dāng)ω為辛形式時(shí)，映射I為同構(gòu)，ker I=0，且由（9）式有C∞（X/K）/[WTHZ]R[WTBX]HX.另外，還有C∞（X/K）=C∞（X）.此時(shí)（8）式可作如下改進(jìn).

推論 3.7

假設(shè)X連通，ω為辛形式，則有李代數(shù)短正合列

0[WTHZ]R[WTBX]C∞（X）HX0.

（11）

這是辛流形情形哈密頓向量場李代數(shù)的中心擴(kuò)張的辛軌形情形的推廣.接下來討論當(dāng)ω不為辛形式時(shí)（即ω不是非退化的2-形式）的情況.

設(shè)X連通，令

X：={（v，f）|v∈HX，且I（v）=df}HX×C∞（X）.

由定理3.6的1）的證明可知，X是乘積李代數(shù)HX×C∞（X）的李子代數(shù).它上面的李括號(hào)為：[（v，f），（w，g）]=（[v，w]，{f，g}），其中，I（v）=df，I（w）=dg.

定理 3.8

1） 有正合序列

0[WTHZ]R[WTBX]λXρHX0，[JY]（12）

其中，λ：cMT ExtraaA@（0，c），ρ：（v，f）MT ExtraaA@v.

2） 當(dāng)ω為辛形式時(shí)，XC∞（X），（12）式即是（11）式.

證明

2）是由于此時(shí)I：（X）→Ω1（X）是同構(gòu).下面只考慮1）.首先由定義可知λ為單射，ρ為滿射，所以只需證Im λ=ker ρ.若（v，f）∈ker ρ，即v=0，則由0=I（v）=df，可以得出f為常數(shù)，所以ker ρImλ;反過來任意常值函數(shù)c∈[WTHZ]R[WTBX]有ρ（λ（c））=ρ（0，c）=0，Im λker" ρ.證畢.

最后計(jì)算HX的中心[WTHZ]R[WTBX]-擴(kuò)張（12）式對(duì)應(yīng)的HX的度為2的以[WTHZ]R[WTBX]為系數(shù)的李代數(shù)上同調(diào)的上同調(diào)類的一個(gè)代表元，即一個(gè)2-cocycle.首先回顧一下一般的李代數(shù)中心擴(kuò)張的2-cocycle的計(jì)算.任給一個(gè)李代數(shù)中心擴(kuò)張

0ABpC0，

任取截面s：C→B使得ps=idC，則映射

c：C×C→A， c（c1，c2）：=[s（c1），s（c2）]-s（[c1，c2]）

即叫做此李代數(shù)擴(kuò)張的2-cocycle.當(dāng)c≡0時(shí)，s為同態(tài)，這時(shí)候此李代數(shù)中心擴(kuò)張是可分裂的.一般的李代數(shù)中心擴(kuò)張的等價(jià)分類則是一一對(duì)應(yīng)于H2（C，A）.此2-cocycle c則是相應(yīng)的上同調(diào)類的代表元.

定理 3.9

假設(shè)X是連通的.任取x∈X，以及它在軌形坐標(biāo)卡（i，Gi，φi）中的一個(gè)提升∈i，則中心擴(kuò)張（12）式的2-cocycle為

c（v1，v2）=-ω（v1，v2）.

證明

取截面s：HX→X為s（v）=（v，f），其中df=I（v），f（x）=0.這樣的f是唯一的，s是一個(gè)映射.它顯然是ρ：X→HX的截面，即ρs=idHX.

則對(duì)于哈密頓向量場v1，v2∈HX和它們所對(duì)應(yīng)的滿足dfi=I（vi）且fi（x）=0，i=0，1的哈密頓函數(shù)f1，f2，有

c（v1，v2）

=[s（v1），s（v2）]-s（[v1，v2]）=

[（v1，f1），（v2，f2）]-（[v1，v2]，g）=

（[v1，v2]，{f1，f2}）-（[v1，v2]，g）=

（0，{f1，f2}-g），

其中，dg=I（[v1，v2]），且g（x）=0.又因?yàn)橛桑?）式有d{f1，f2}=ι[v1，v2]ω=I（[v1，v2]），所以dg=d{f1，f2}，則{f1，f2}-g恒為常數(shù)，且等于它在x的取值.有[JP2]（{f1，f2}-g）|x={f1，f2}x=ω（v2，v1）=[JP]-ω（v1，v2）.證畢.

參考文獻(xiàn)

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[JP3]Central Extension of the Lie Algebra of Hamiltonian Vector Fields over Orbifolds[JP]

HUANG Kaihe， CHEN Hongyu， DU Chengyong

（School of Mathematical Sciences， Sichuan Normal University， Chengdu 610066， Sichuan）

The symplectic vector fields and hamiltonian vector fields over orbifolds are studied. A central extension of the Lie algebra of hamiltonian vector fields is obtained， and the corresponding 2-cocycle is calculated.

symplectic vector fields; hamiltonian vector fields; central extension of Lie algebras; orbifolds

2020 MSC：57R18; 17B66

（編輯 鄭月蓉）