套管中彎曲型Lamb波頻散特征的理論和實(shí)驗(yàn)分析

摘要：通過建立鉆井液、套管和水泥等多層介質(zhì)模型，理論模擬和實(shí)驗(yàn)測(cè)量相結(jié)合研究彎曲型Lamb波在套后耦合不同速度水泥時(shí)的頻散、衰減以及全波波形。理論模擬結(jié)果發(fā)現(xiàn)若測(cè)量頻段彎曲型Lamb波的相速度與水泥縱波速度相交，彎曲型Lamb波的頻散曲線在相交的頻率點(diǎn)會(huì)出現(xiàn)速度躍變，頻散曲線不再連續(xù)，且斷點(diǎn)前后其衰減值差異大，接收到的直達(dá)彎曲型Lamb波也展現(xiàn)出兩個(gè)緊湊的波包。實(shí)驗(yàn)結(jié)果也印證了頻散曲線不連續(xù)的現(xiàn)象，實(shí)驗(yàn)測(cè)量波形提取的頻散曲線與解析計(jì)算的頻散曲線吻合。此現(xiàn)象為直接從頻散曲線斷點(diǎn)獲取水泥的縱波速度以及區(qū)分套后耦合水泥的類型提供了可能。

關(guān)鍵詞：彎曲型Lamb波； 頻散曲線； 衰減曲線； 斷點(diǎn)

中圖分類號(hào)：P 631.9"" 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

引用格式：陳雪蓮，程鳳，韓旺，等.套管中彎曲型Lamb波頻散特征的理論和實(shí)驗(yàn)分析［J］.中國(guó)石油大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2024，48（5）：70-76.

CHEN Xuelian， CHENG Feng， HAN Wang， et al. Theoretical and experimental study on flexural-wave dispersion characteristics in cased wells［J］. Journal of China University of Petroleum （Edition of Natural Science）， 2024，48（5）：70-76.

Theoretical and experimental study on flexural-wave dispersion

characteristics in cased wells

CHEN Xuelian1， CHENG Feng1， HAN Wang1， TANG Xiaoming1，2

（1.School of Geosciences in China University of Petroleum（East China）， Qingdao 266580， China；

2.State Key Laboratory of Deep Oil and Gas， China University of Petroleum（East China）， Qingdao 266580， China）

Abstract：A multilayer medium model， incorporating drilling fluid， casing and cement， was established to study the response characteristics of flexural Lamb wave logging through theoretical calculations and experimental measurements. The theoretical

simulations reveal that the dispersion curve of the flexural Lamb wave splits into two branches： a low-frequency branch and a high-frequency branch when the cement P-wave velocity intersects the dispersion curves of flexural wave within the logging frequency band. The direct flexural Lamb wave received also shows two compact wave packets. Experimental results further confirm this discontinuity in the dispersion curve， with the experimentally extracted curve aligning closely" with analytical calculations. This phenomenon allows for direct determination of the cements P-wave velocity from the breakpoint of the dispersion curve， facilitating the identification of post-coupling cement types.

Keywords： flexural Lamb wave; dispersion curve; attenuation curve; break point

隨著國(guó)內(nèi)外油田對(duì)水泥封隔性能的評(píng)價(jià)需求越來越高，超聲Lamb波測(cè)井，也即套后掃描成像（imaging behind casing， IBC），越來越受到人們的重視，其通過超聲反射成像測(cè)量套管的共振模式，一發(fā)雙收聲系實(shí)現(xiàn)套管中彎曲型Lamb波的衰減測(cè)量。彎曲型Lamb波測(cè)量模式是目前研究的熱點(diǎn)，Zeroug等［1-5］的研究中均描述了發(fā)射換能器斜入射到套管內(nèi)壁在套管中激發(fā)彎曲型Lamb波（類似板中的零階反對(duì)稱模態(tài)）的現(xiàn)象，沿著套管傳播的彎曲型Lamb波，還會(huì)向套管兩側(cè)輻射速度比其低的波。彎曲型Lamb波的相速度隨著頻率的增加逐漸增大，最后趨于套管表面瑞利波的相速度。在套管后耦合水泥時(shí)，F(xiàn)roelich等［6］將水泥分為了慢速水泥和快速水泥，若測(cè)量頻段彎曲型Lamb波的相速度高于水泥的縱波速度，則稱為慢速水泥，若低于水泥的縱波速度則稱為快速水泥。但在實(shí)際測(cè)量頻段彎曲型Lamb波的相速度往往會(huì)與套后水泥的縱波速度相交，在低于相交的頻率點(diǎn)的頻段其相速度低于水泥的縱波速度，此時(shí)僅滿足泄漏水泥橫波，在高于交點(diǎn)頻率的頻段可向水泥環(huán)泄漏縱波和橫波，因此會(huì)使得彎曲型Lamb波在整個(gè)測(cè)量頻段的響應(yīng)特征變得復(fù)雜［6-7］。尤其在水泥的縱波速度為2400～2900 m/s時(shí)，現(xiàn)有儀器測(cè)量頻段（200～250 kHz）的低頻段彎曲型Lamb波的相速度低于水泥的縱波速度，此時(shí)僅向水泥中輻射橫波，高頻段彎曲型Lamb波的相速度高于水泥的縱波速度可同時(shí)向水泥中輻射縱波和橫波，高頻和低頻段不同的響應(yīng)特征使得Lamb波測(cè)井接收到的直達(dá)的彎曲型Lamb波出現(xiàn)兩個(gè)波包。Gkortasa等［8］將波形中的第二個(gè)波包稱為“clinging P”波，認(rèn)為其能量主要集中在套管與水泥界面。筆者針對(duì)這一現(xiàn)象進(jìn)行理論計(jì)算和實(shí)驗(yàn)測(cè)量，對(duì)比分析套后耦合不同速度的水泥時(shí)彎曲型Lamb波測(cè)井的響應(yīng)特征，并考察套管與水泥環(huán)界面出現(xiàn)微環(huán)時(shí)彎曲型Lamb波的變化規(guī)律，對(duì)比分析計(jì)算的頻散曲線與從實(shí)驗(yàn)測(cè)量波形中提取的頻散曲線，探討彎曲型Lamb波頻散曲線不連續(xù)的現(xiàn)象。

1 理論計(jì)算和結(jié)果分析

彎曲型Lamb波測(cè)量模式的發(fā)射探頭輻射的聲束斜入射到套管內(nèi)壁，作用于套管很小的區(qū)域，且工作頻段主要集中在180～270 kHz，在理論計(jì)算彎曲型Lamb波的測(cè)井響應(yīng)時(shí)建立了水、套管、水泥等二維多層平界面模型；另外Lamb波儀器測(cè)量時(shí)近接收探頭距離發(fā)射探頭的距離為25 cm，遠(yuǎn)接收探頭和近接收探頭的間距是10 cm，在發(fā)射和接收器之間的測(cè)量范圍內(nèi)套管和地層之間的多次反射波的個(gè)數(shù)有限［5］，在計(jì)算彎曲型Lamb波的頻散曲線時(shí)可不考慮地層的影響，同時(shí)為了消除來自水泥外側(cè)的反射波對(duì)分析彎曲型Lamb波波包的影響，多層平行介質(zhì)模型中水泥設(shè)置為無限厚，如圖1（R為接收器，T為發(fā)射器）所示，各層介質(zhì)的聲學(xué)參數(shù)見表1。發(fā)射探頭在水中輻射有限寬脈沖入射到套管內(nèi)壁時(shí)接收探頭記錄的聲壓［9］可表示為

P（z，t）=12πRp（kz，ω）A（kz，ω）exp（i（-kfxx+kzz-ωt））dωdkz.（1）

其中

kfx=ω2/v2f-k2z.

式中，Rp為套管內(nèi)壁的反射系數(shù)；w為圓頻率；kz為z方向的波數(shù)；kfx為井內(nèi)流體沿x方向的波數(shù)；vf為井內(nèi)流體速度;A為聲源輻射的空間和時(shí)間都有限的脈沖函數(shù)。A在頻率和波數(shù)域的表達(dá)式［10］為

A（kz，ω）=πωbexp-（ω-ω0）24ω2b-（kz-kz0）24k2b.（2）

式中，ω0為中心頻率；kz0決定了波的傳播方向；ωb為頻帶寬度；kb為角譜寬度。ωb和kb分別決定了激發(fā)脈沖在時(shí)間域和空間域的寬度，在計(jì)算時(shí)ω0、ωb和kb分別取250 kHz、90 kHz和40 m-1。通過計(jì)算反射系數(shù)Rp時(shí)得到的特征方程可計(jì)算彎曲型Lamb波的頻散和衰減［7］。

圖2顯示了圖1所示的三層平行界面模型下彎曲型Lamb波測(cè)量模式記錄的全波波形，最下面一道波形是套管內(nèi)外均是水時(shí)的自由套管模型下的計(jì)算結(jié)果，依次向上水泥的縱波速度從2300 m/s逐漸增加到3253 m/s，源距固定為38 cm，隨著水泥聲阻抗的增加彎曲型Lamb波的幅度先逐漸降低，在水泥的縱波速度超過2700 m/s后幅度又逐漸增強(qiáng)，幅度的變化體現(xiàn)了彎曲型Lamb波的衰減隨著水泥聲阻抗的增加先增大后減小的變化趨勢(shì)，在水泥的縱波速度為2600～2800 m/s時(shí)，全波波形中出現(xiàn)了兩個(gè)波包，Gkortsas等［8］將第二個(gè)波包定義為Clinging-P波，在水泥縱波速度大于計(jì)算頻段彎曲型Lamb波的相速度時(shí)出現(xiàn)，在水泥縱波速度等于2700 m/s時(shí)，第二個(gè)波包的特征最明顯。從圖3所示的不同水泥縱波速度下的頻散和衰減曲線可知，以水泥縱波速度為界限，彎曲型Lamb波的頻散曲線被分成了兩個(gè)“模態(tài)”，低頻段彎曲型Lamb波的相速度接近水泥縱波速度時(shí)，其群速度較低，高頻段模態(tài)在相速度接近水泥縱波速度時(shí)群速度較高，因此若工作頻段全波中出現(xiàn)的兩個(gè)波包可分別視為頻散曲線截

斷點(diǎn)前后的兩個(gè)模態(tài)，首先到達(dá)的是高頻模態(tài)，低頻模態(tài)滯后于高頻模態(tài)。在水泥縱波速度較低，低頻模態(tài)距離聲源中心頻率較遠(yuǎn)，頻譜能量覆蓋少，因此低頻模態(tài)能量較弱，隨著水泥縱波速度的增加，頻散曲線的間斷點(diǎn)向高頻方向移動(dòng)，逐漸接近中心頻率，低頻模式的能量逐漸增強(qiáng)。在套管厚度或速度發(fā)生變化時(shí)，頻散曲線出現(xiàn)的斷點(diǎn)位置會(huì)發(fā)生改變，隨著套管厚度的增加，斷點(diǎn)位置會(huì)向低頻移動(dòng)，出現(xiàn)圖2所示的波形特征，需要滿足頻散曲線的斷點(diǎn)位置在聲源的主頻附近。

圖3（e）給出了高頻分支和低頻分支模態(tài)的衰減特征，可知與高頻模態(tài)的相比，低頻分支的群速度低、衰減小，以套后耦合縱波速度2700 m/s的水泥為例，圖4顯示了源距從20 cm增加到38 cm時(shí)全波的變化特征，隨著源距的增加，兩個(gè)模態(tài)的到時(shí)差異越來越大，全波波形中逐漸呈現(xiàn)出兩個(gè)波包，由于低頻模態(tài)的衰減相對(duì)較小，兩個(gè)波包的相對(duì)幅度差異越來越小。圖5（a）和（b）分別為套后耦合縱波速度3253 m/s和縱波速度2700 m/s水泥時(shí)的聲場(chǎng)快照。對(duì)比可見：套后耦合速度高的水泥時(shí)僅泄漏橫波，且波包緊湊；套后耦合縱波速度2700 m/s的水泥時(shí)波包持續(xù)時(shí)間較長(zhǎng)，高頻和低頻模態(tài)的兩個(gè)波包在套管中并存，一邊沿著套管傳播，一邊向兩側(cè)介質(zhì)中泄漏聲波能量，隨著傳播時(shí)間的增加，波包逐漸分離。圖5（c）是套管后耦合縱波速度2700 m/s水泥且套管與水泥環(huán)之間存在微環(huán)時(shí)的聲場(chǎng)快照，微環(huán)厚度是0.01 mm，與圖5（b）相比彎曲型Lamb波的低頻模態(tài)（第二個(gè)波包）的幅度在源距超過30 cm時(shí)明顯大于高頻模態(tài)（第一個(gè)波包）的幅度，這與微環(huán)存在時(shí)高頻模態(tài)的衰減較大，低頻模態(tài)的衰減明顯降低有關(guān)，見圖6（a）和（b）所示的波形和衰減曲線，隨著套管與水泥環(huán)之間流體環(huán)厚度的增加，套后水泥對(duì)彎曲型Lamb波傳播特征的影響越來越低［11］。

2 彎曲型Lamb波的實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果

在設(shè)計(jì)彎曲型Lamb波實(shí)驗(yàn)測(cè)量方案時(shí)［12-13］，參考理論計(jì)算模型中對(duì)頻散曲線影響較大的水泥參數(shù)，選擇了縱波速度約為

2700 m/s的水泥配方，用鋼板模擬套管，鋼板厚度分別為9和10 mm。鋼板和換能器均置于水槽中，發(fā)射探頭輻射的聲束斜入射到鋼板上，入射角為33°，在鋼板中主要激發(fā)彎曲型Lamb波，激勵(lì)脈沖的中心頻率為250 kHz。

在測(cè)量套后耦合水泥的實(shí)驗(yàn)之前，首先測(cè)量了鋼板兩側(cè)均為水時(shí)的實(shí)驗(yàn)，鋼板兩側(cè)對(duì)稱放置了接收器，測(cè)量示意圖如圖7所示，兩側(cè)接收器的壓電晶片的法線方向均與鋼板法線方向之間的夾角為33°。圖8（a）和（b）是9 mm鋼板兩側(cè)均為水時(shí)接收到的泄漏波，圖8（a）的接收器陣列與發(fā)射探頭在鋼板的同一側(cè)，圖8（b）的接收器陣列在鋼板的另外一側(cè)，與圖8（a）的接收器對(duì)稱放置。彎曲型Lamb波在鋼板中主要以彎曲振動(dòng)為主，鋼板兩側(cè)對(duì)稱接收的聲壓波形相位正好相反（圖中黑色箭頭），從鋼板兩側(cè)記錄的聲壓波形驗(yàn)證了在鋼板中激發(fā)的是彎曲型Lamb波［14］；且隨著源距的增加，由于彎曲型Lamb波的群速度明顯大于相速度，接收到的初始波包的相位循環(huán)變化（圖中紅色箭頭），這也決定了在提取彎曲型Lamb波的衰減時(shí)需要做希爾伯特變換，利用波包的峰值計(jì)算衰減較可靠。通過對(duì)與發(fā)射器在同一側(cè)的接收器接收到的波列做頻率慢度相關(guān)分析，得到的頻率慢速相關(guān)圖如圖8（c）所示，在套后是水時(shí)整個(gè)測(cè)量頻段頻散曲線是連續(xù)的，從接收波列提取的頻散曲線與理論計(jì)算的頻散曲線（圖中的藍(lán)色實(shí)線）吻合。

圖9（a）和（b）顯示了9 mm鋼板后耦合水泥時(shí)接收的波列圖和從波列提取的頻散曲線，水泥的縱波速度為2655 m/s，實(shí)驗(yàn)室制作的水泥厚度有限，從波列圖中可觀測(cè)到來自水泥環(huán)外側(cè)的多次反射波，包括縱波反射波、縱波和橫波轉(zhuǎn)換波以及橫波反射波等多次波。從圖9（a）接收的直達(dá)彎曲型Lamb波中可觀測(cè)到兩個(gè)波包的疊加，隨著源距從15 cm增加到33 cm，虛線標(biāo)注的第二個(gè)波包幅度相對(duì)于第一個(gè)波包有增大的趨勢(shì)。對(duì)接收波列做頻散分析可明顯觀測(cè)到從接收波列提取的頻散曲線在水泥縱波速度的位置出現(xiàn)了斷點(diǎn)，頻散特征與實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ蛥?shù)下理論計(jì)算的頻散曲線（圖中的藍(lán)色實(shí)線）吻合。隨著鋼板厚度增加到10 mm，見圖9（c）和（d）接收的波列和提取的頻散曲線，在鋼板后耦合了水泥后頻散曲線也出現(xiàn)了斷點(diǎn)，圖中的藍(lán)色實(shí)線是根據(jù)實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ蛥?shù)下理論計(jì)算的頻散曲線，在鋼板厚度從9 mm增加到10 mm時(shí)斷點(diǎn)位置稍向低頻率方向移動(dòng)。

3 結(jié) 論

（1） 套管中彎曲型Lamb波的頻散曲線在水泥縱波速度的位置不再連續(xù)，低于斷點(diǎn)位置的頻段，彎曲型Lamb波的相速度低于水泥縱波速度，其群速度在截止頻率附近較低，衰減??；高于斷點(diǎn)位置的頻段其相速度高于水泥的縱波速度，其群速度在斷點(diǎn)附近較高，衰減大。

（2） 接收到的彎曲型Lamb波波形中兩個(gè)波包可看作是測(cè)量頻段中高、低頻段不同響應(yīng)特征的兩種模態(tài)的疊加，若套管與水泥環(huán)之間出現(xiàn)微環(huán)（厚度小于0.1 mm），低頻模態(tài)衰減明顯降低使得波包幅度增大明顯。

（3）在實(shí)驗(yàn)室制作了水泥縱波速度約2655 m/s的套管井模型，對(duì)實(shí)驗(yàn)測(cè)量的陣列波形做頻散分析，提取的頻散曲線與理論計(jì)算結(jié)果吻合，觀測(cè)到了在水泥縱波速度位置，彎曲型Lamb波的相速度出現(xiàn)斷點(diǎn)，在斷點(diǎn)兩側(cè)高頻模式的相速度高于低頻模式。

（4）彎曲型Lamb波的頻散曲線不連續(xù)，斷點(diǎn)位置的相速度即為水泥的縱波速度，這也為準(zhǔn)確反演水泥縱波速度提供了可能。

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（編輯 修榮榮）