高中物理“擺線運(yùn)動(dòng)”微專(zhuān)題復(fù)習(xí)實(shí)踐研究

［摘 要］文章深挖微專(zhuān)題的內(nèi)涵和特點(diǎn)，以“擺線運(yùn)動(dòng)”微專(zhuān)題復(fù)習(xí)為例，探索如何從解決問(wèn)題的不同方向入手，有針對(duì)性地引導(dǎo)學(xué)生抓住問(wèn)題的本質(zhì)、培養(yǎng)科學(xué)思維、建立物理模型、提煉方法形成策略，進(jìn)而使學(xué)生領(lǐng)會(huì)物理科學(xué)思維方式，提高解決問(wèn)題能力，從“學(xué)會(huì)”走向“會(huì)學(xué)”。

［關(guān)鍵詞］微專(zhuān)題復(fù)習(xí)；擺線運(yùn)動(dòng)；建模

［中圖分類(lèi)號(hào)］" " G633.7" " " " ［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］" " A" " " " ［文章編號(hào)］" " 1674-6058（2024）17-0041-04

電磁場(chǎng)是高考物理的高頻考點(diǎn)，由于電磁場(chǎng)的模型眾多，學(xué)生建模非常困難，且不易發(fā)現(xiàn)問(wèn)題間的內(nèi)在聯(lián)系，難以建立知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)性，因此電磁場(chǎng)部分的復(fù)習(xí)往往繁雜而低效。設(shè)計(jì)微專(zhuān)題引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)，可幫助學(xué)生建構(gòu)物理模型，把握知識(shí)之間的聯(lián)系，讓學(xué)生能夠在多變的情境中靈活運(yùn)用知識(shí)。本文以“擺線運(yùn)動(dòng)”為例對(duì)電磁場(chǎng)的復(fù)習(xí)進(jìn)行探究，并利用微專(zhuān)題形式，幫助學(xué)生建構(gòu)物理模型，領(lǐng)會(huì)物理科學(xué)思維方式，提高解決問(wèn)題能力，讓學(xué)生從“學(xué)會(huì)”走向“會(huì)學(xué)”。

一、微專(zhuān)題的內(nèi)涵與特點(diǎn)

微專(zhuān)題的“微”，是指以一個(gè)“點(diǎn)”為中心，這個(gè)點(diǎn)可以是學(xué)生難以理解的一個(gè)概念、規(guī)律、模型。微專(zhuān)題教學(xué)聚焦學(xué)生不清楚的知識(shí)點(diǎn)，點(diǎn)對(duì)點(diǎn)地引導(dǎo)學(xué)生梳理知識(shí)，用時(shí)短，針對(duì)性強(qiáng)。

微專(zhuān)題的“專(zhuān)”，指的是對(duì)這個(gè)“微”知識(shí)點(diǎn)，“專(zhuān)”門(mén)進(jìn)行深入細(xì)致、透徹的分析。微專(zhuān)題教學(xué)旨在循序漸進(jìn)、由點(diǎn)及面地引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用科學(xué)思維方法，定性、定量地對(duì)相關(guān)問(wèn)題進(jìn)行科學(xué)推理，從而找出規(guī)律、形成結(jié)論，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)和體會(huì)物理模型在探究自然規(guī)律中的作用[1]。

小切口、針對(duì)性強(qiáng)是微專(zhuān)題教學(xué)的主要特征，確定有價(jià)值的教學(xué)主題是關(guān)鍵。教師可以結(jié)合相關(guān)考點(diǎn)，從學(xué)生的學(xué)情出發(fā)，將復(fù)習(xí)內(nèi)容按主題進(jìn)行逐級(jí)分解，從一級(jí)主題到二級(jí)主題，再到微專(zhuān)題，構(gòu)建邏輯清晰的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，優(yōu)化學(xué)生的物理認(rèn)知結(jié)構(gòu)。例如在電磁場(chǎng)中“帶電粒子在電磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)”就是一級(jí)主題，其二級(jí)主題包括“單電場(chǎng)”“單磁場(chǎng)”“復(fù)合場(chǎng)”“儀器”。在“復(fù)合場(chǎng)”中，“沒(méi)有約束面的疊加場(chǎng)”是其中一個(gè)三級(jí)主題，“擺線運(yùn)動(dòng)”是“沒(méi)有約束面的疊加場(chǎng)”下的一個(gè)微專(zhuān)題。

二、“擺線運(yùn)動(dòng)”微專(zhuān)題教學(xué)實(shí)踐

“擺線運(yùn)動(dòng)”微專(zhuān)題教學(xué)的思路是首先建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，提出擺線運(yùn)動(dòng)的定義；其次引導(dǎo)學(xué)生將數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)換為物理模型，分析物理模型的特點(diǎn)和規(guī)律；最后精選6道例題，通過(guò)建構(gòu)模型、變式訓(xùn)練等方法，使學(xué)生能夠?qū)χR(shí)進(jìn)行歸納總結(jié)，并學(xué)會(huì)舉一反三，將同一類(lèi)問(wèn)題聯(lián)系起來(lái)，提煉解決問(wèn)題的方法。

“擺線運(yùn)動(dòng)”微專(zhuān)題教學(xué)的程序圖如圖1所示。

（一）從數(shù)學(xué)角度精準(zhǔn)建模

首先，提出擺線運(yùn)動(dòng)的定義：如圖2，一個(gè)圓沿一直線緩慢地滾動(dòng)，則圓上一固定點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的軌跡稱(chēng)為擺線，這種運(yùn)動(dòng)稱(chēng)為擺線運(yùn)動(dòng)。

其次，從數(shù)學(xué)角度推出擺線運(yùn)動(dòng)的軌跡方程：

[x=a（θ-sinθ）]

[y=a（1-cosθ）]

通過(guò)數(shù)學(xué)方法總結(jié)出擺線的性質(zhì)：

（1）拱高：2a

（2）拱寬：[2πa]

（二）從物理角度精準(zhǔn)建模

1.從“分解運(yùn)動(dòng)”角度進(jìn)行物理建模

對(duì)比數(shù)學(xué)對(duì)擺線運(yùn)動(dòng)的定義，用運(yùn)動(dòng)分解的思路把擺線運(yùn)動(dòng)分解為勻速直線運(yùn)動(dòng)和勻速圓周運(yùn)動(dòng)來(lái)進(jìn)行分析，建立物理模型，強(qiáng)調(diào)“配速法”的運(yùn)用。下面以2018年蚌埠的一道模擬題來(lái)介紹“配速法”。

［例1］如圖3所示，[xOy]坐標(biāo)平面在豎直面內(nèi)，[x ]軸沿水平方向，[y]軸正方向豎直向上，在圖示空間內(nèi)有垂直于[xOy]平面的水平勻強(qiáng)磁場(chǎng)。一帶電小球從[O]點(diǎn)由靜止釋放，運(yùn)動(dòng)軌跡如圖中曲線。關(guān)于帶電小球的運(yùn)動(dòng)，下列說(shuō)法中正確的是（ ） 。

A. [OAB]的軌跡為半圓

B.小球運(yùn)動(dòng)至最低點(diǎn) [A] 時(shí)速度最大，且沿水平方向

C.小球在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中機(jī)械能增加

D.小球在 [A] 點(diǎn)時(shí)受到的洛倫茲力與重力大小相等

解析：帶電小球在“沒(méi)有約束面的疊加場(chǎng)”中運(yùn)動(dòng)只受重力和洛倫茲力，且初速度為零，在這種情況下，可把速度分解成等大、反向的兩個(gè)速度[v1]和[v2（v1=v2）]，如果磁場(chǎng)垂直[xOy]平面向里，小球帶正電，它在[O]點(diǎn)的受力情況如圖4所示，即小球的運(yùn)動(dòng)可以看成是以速度[v1]做勻速直線運(yùn)動(dòng)和以速度[v2]做半徑為[a]的勻速圓周運(yùn)動(dòng)的兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)，那實(shí)際的合運(yùn)動(dòng)就是“擺線運(yùn)動(dòng)”，分別滿足[qv1B=mg]，[qv2B=mv22a]。

從分運(yùn)動(dòng)的角度看，其勻速圓周運(yùn)動(dòng)的圓心在做勻速直線運(yùn)動(dòng)，半徑不變。當(dāng)小球勻速圓周運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)[A]時(shí)，速度[v1]和[v2]同向，合運(yùn)動(dòng)的速度是最大的，受力情況如圖5所示；從合運(yùn)動(dòng)的角度看，此時(shí)有" [qv1B+qv2B-mg=m（v1+v2）2r]，解得[r=4a]，并且由擺線運(yùn)動(dòng)的性質(zhì)可知拱高[yA=2a]，即[r=2yA]，所以有些題目會(huì)直接告知此曲線（擺線）在最低點(diǎn)的曲率半徑為該點(diǎn)到[x]軸距離的2倍。

這是最簡(jiǎn)單、最基本的情況，所以為了加深學(xué)生對(duì)擺線運(yùn)動(dòng)模型的理解，教師可以創(chuàng)設(shè)帶電小球在“沒(méi)有約束面的疊加場(chǎng)”中運(yùn)動(dòng)只受重力和洛倫茲力，但有水平初速度的情境，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分類(lèi)討論。

［例2］如圖6所示，一個(gè)帶正電的小球沿光滑絕緣的桌面向右運(yùn)動(dòng)，速度方向垂直于一個(gè)水平向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，試討論小球運(yùn)動(dòng)的情況。

解析：將小球的速度分解為向右的速度[v01]和另一個(gè)速度[v02]，其中[v01]滿足[qv01B=mg]。由于[v0]大小的具體值未知，因此存在以下三種可能：

（1）[v0=v01=mgqB]，則[v02=0]，小球直接做水平向右的勻速直線運(yùn)動(dòng)。

（2）[v0gt;v01=mgqB] ，則[v02]向右，[v01]引起向右的勻速直線運(yùn)動(dòng)，[v02]引起逆時(shí)針的勻速圓周運(yùn)動(dòng)。

這里又有三種情況：

①[v02lt;v01]，則在最高點(diǎn)，合速度向右，軌跡如圖7所示。

②[v02=v01]，則在最高點(diǎn)，合速度為 0，軌跡如圖8所示。

③[v02gt;v01]，則在最高點(diǎn)，合速度向左，軌跡如圖9所示。

這三種情況小球在最低點(diǎn)的速度都是最大的。

（3）[v0lt;v01=mgqB]，則v02向左，且[v02lt;v01]，[v01]引起向右的勻速直線運(yùn)動(dòng)，[v02]引起逆時(shí)針的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，這種情況是在最低點(diǎn)速度最大，軌跡如圖10所示。

以上兩道例題的配速是在一條直線上，即把合速度分解為兩個(gè)在一條直線上的分速度。而2013年福建省高考理綜卷第22題第（3）問(wèn)的配速是不在一條直線上的。下面筆者對(duì)該題進(jìn)行改編，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)“配速法”。

［例3］如圖11所示，空間存在一范圍足夠大的垂直于[xOy]平面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)和沿[y]軸正向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為[B]，電場(chǎng)強(qiáng)度大小為[E]。讓質(zhì)量為[m]，電量為[q（qgt;0）]的粒子從[O]點(diǎn)以初速度[v0]沿[y]軸正向發(fā)射。不計(jì)重力和粒子間的影響，求該粒子運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的最大速度值[vm]。

解析：[v0]沿[y]軸正向，與電場(chǎng)方向相同，把[v0]分解為一個(gè)速度[v1]，使其大小滿足 [qv1B=qE]，洛倫茲力的方向和電場(chǎng)力相反，則[v1]的方向應(yīng)沿[x]軸正方向。如圖12所示，[v2]的大小滿足下列關(guān)系：[v2=v20+v21]，[tanθ=v0v1]，在最高點(diǎn)速度是最大的，其最大值[vmax=v1+v2=EB+v20+EB2]。

例2、例3是改變了初速度的條件，可以再進(jìn)一步拓展，改變粒子的受力，使其運(yùn)動(dòng)情況變?yōu)槭艿诫妶?chǎng)力、重力和洛倫茲力的“擺線運(yùn)動(dòng)”。

［例4］如圖13所示，某空間內(nèi)存在電場(chǎng)強(qiáng)度大小[E=100 V/m]、方向水平向左的勻強(qiáng)電場(chǎng)和磁感應(yīng)強(qiáng)度大小[B=100 T]，方向垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。一質(zhì)量[m=0.1 kg]、帶電量[q=0.01] C的小球從[O]點(diǎn)由靜止釋放，到達(dá)點(diǎn)[O′]時(shí)速率恰好為零。求：

（1）小球運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的最大速率；

（2）小球運(yùn)動(dòng)過(guò)程中距離[OO′]的最大距離；

（3）[OO′]的長(zhǎng)度及方向。

解析：（1）小球同時(shí)受到電場(chǎng)力、重力和洛倫茲力，其中電場(chǎng)力和重力的合力可以用等效重力代替：[mg=（mg）2+（qE）2=2]（N），[tanθ=qEmg=1]，[θ=45°]，如圖14所示。在初速度為零的情況下，可把速度分解成等大、反向的兩個(gè)速度[v1]和[v2（v1=v2=v）]，如圖15所示，其中[v1=v]滿足 [qvB=mg]，解得[v=2]（m/s），[v2= v]滿足 [qvB=mv2a]，解得[a=mvqB=210]（m）。當(dāng)小球圓周運(yùn)動(dòng)到物理意義上的最低點(diǎn)時(shí)，速度[v1]和[v2]同向，合運(yùn)動(dòng)的速度是最大的，如圖16所示，有[vmax=2v=22]（m/s）。

（2）小球運(yùn)動(dòng)過(guò)程中距離[OO′]的最大距離：[ymax=2a=25]（m）。

（3）[OO′]的長(zhǎng)度：[OO=vT=2πmvqB=25π]（m），方向：[θ=45°]。

這部分的教學(xué)設(shè)計(jì)思路：通過(guò)4道例題，從“只受一個(gè)恒力和洛倫茲力，初速度為零”，到“只受一個(gè)恒力和洛倫茲力，初速度與恒力垂直”，再到“只受一個(gè)恒力和洛倫茲力，初速度與恒力平行”，最后到“受兩個(gè)恒力和洛倫茲力，初速度為零”，由淺入深，層層遞進(jìn)，幫助學(xué)生把“擺線運(yùn)動(dòng)”的分解方法——“配速法”的模型建構(gòu)起來(lái)。

2.從“合運(yùn)動(dòng)”角度進(jìn)行物理建模

“擺線運(yùn)動(dòng)”除了可用分解運(yùn)動(dòng)的思路，根據(jù)牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)知識(shí)去求解，還可以用動(dòng)量定理和動(dòng)能定理去求解。因?yàn)槁鍌惼澚Φ拇笮∨c速度有關(guān)，所以洛倫茲力的沖量是非常有特點(diǎn)的。下面筆者通過(guò)兩道例題來(lái)介紹解決“擺線運(yùn)動(dòng)”問(wèn)題的第二種模型。

［例5］在磁感應(yīng)強(qiáng)度為[B]的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，一質(zhì)量為[m]、帶正電[q]的小球在[O]點(diǎn)靜止釋放，小球的運(yùn)動(dòng)曲線如圖17所示，重力加速度為[g]。求：

（1）小球運(yùn)動(dòng)到任意位置[P（x，y）]處的速率[v]；

（2）小球在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中第一次下降的最大距離[ym]和此時(shí)的曲率半徑[r]；

（3）當(dāng)在上述磁場(chǎng)中加一豎直向上、場(chǎng)強(qiáng)為[EEgt;mgq]的勻強(qiáng)電場(chǎng)時(shí)，小球從[O]點(diǎn)靜止釋放后獲得的最大速率[v′m]、上升的最大距離[y′m]和此時(shí)的曲率半徑[r]。

解析：（1）帶電小球只受重力和洛倫茲力，而洛倫茲力不做功，只有重力做功，所以根據(jù)動(dòng)能定理有[mgy=12mv2-0]，解得[v=2gy]。

（2）如果第一次下到最低點(diǎn)，則根據(jù)動(dòng)能定理有：

[mgym=12mv2m-0]

每一瞬間的受力如圖18所示，根據(jù)動(dòng)量定理，水平方向有：

[qvyB·Δt=m·Δvx]，

可以用微積分的思路求解，即[qB（vy1Δt1+vy2Δt2+vy3Δt3+…）=m（Δvx1+Δvx2+Δvx3+???）]或者[qvyB·Δt=m·Δvx]，直到小球下到最低點(diǎn)，[vyΔt=ym]，[Δvx=vm-0]，所以有[qBym=mvm-0]，

聯(lián)立解得[ym=2m2gq2B2]，[vm=2mgqB]，

根據(jù)牛頓第二定律，在最低點(diǎn)有[qvmB-mg=mv2mr]，解得[r=4m2gq2B2=2ym]。

（3）如果加一個(gè)豎直向上、場(chǎng)強(qiáng)為[EEgt;mgq]的勻強(qiáng)電場(chǎng)，則往上運(yùn)動(dòng)，同理，根據(jù)動(dòng)能定理有[（qE-mg）y′m=12mv2m-0]，根據(jù)水平方向動(dòng)量定理有[qBy′m=mv′m-0] ，聯(lián)立解得[y′m=2m（qE-mg）q2B2]，[v′m=2（qE-mg）qB]。根據(jù)牛頓第二定律，在最高點(diǎn)有：[qv′mB-（qE-mg）=mv2mr]，解得[r=4m（qE-mg）q2B2=2y′m]。

這道題的最大特點(diǎn)是雖然帶電小球受重力和洛倫茲力的作用，洛倫茲力的大小和方向都在變化，但是水平方向只有洛倫茲力的分力，洛倫茲力在水平方向上的沖量改變了水平方向的動(dòng)量，而該水平方向的沖量大小卻和豎直方向位移有關(guān)，即給出了豎直位移與水平速度的關(guān)系。2008年江蘇卷高考題和這道題的區(qū)別在于它直接給出了“此曲線在最低點(diǎn)的曲率半徑為該點(diǎn)到[x]軸距離的2倍”這個(gè)條件，即[r=2ym]，不需要列水平方向的動(dòng)量定理，就將整個(gè)問(wèn)題簡(jiǎn)化了。我們還可以進(jìn)一步拓展，研究[v0≠0]且末態(tài)不是最低點(diǎn)或者最高點(diǎn)的情況。

［例6］如圖19所示，空間中存在豎直向下的勻強(qiáng)電場(chǎng)和垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，不計(jì)重力，電荷量為[q]、質(zhì)量為[m]的帶正電的粒子在疊加場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)。當(dāng)經(jīng)過(guò)[P]點(diǎn)時(shí)速度為[v0]，與水平方向成[α]角，當(dāng)經(jīng)過(guò)[Q]點(diǎn)時(shí)速度為[v]，與水平方向成[β]角，[P]、[Q]兩點(diǎn)豎直距離為[y]，求粒子經(jīng)過(guò)[Q]點(diǎn)時(shí)的曲率半徑。

解析：從[P]到[Q]的過(guò)程，根據(jù)動(dòng)能定理有[qEy=12mv2-12mv20]，解得[v=2qEym+v20]，

根據(jù)水平方向動(dòng)量定理有：[qBy=mvcosβ-mv0cosα]，

解得[cosβ=（qBy+mv0cosα）12qEmy+m2v20]，

如圖20所示建立直角坐標(biāo)系，在[Q]點(diǎn)根據(jù)牛頓第二定律有[qvB-qEcosβ=mv2ρ]，

解得[ρ=mv2qvB-qEcosβ=]

[mv2qvB-qE（qBy+mv0cosα）12qEmy+m2v20。]

例6研究的是[v0≠0]且末態(tài)不是最低點(diǎn)或者最高點(diǎn)的情況。因?yàn)椴皇翘厥馕恢?、特殊狀態(tài)，所以更具有普遍性和代表意義?；旧暇褪且粋€(gè)動(dòng)能定理、一個(gè)水平方向動(dòng)量定理和一個(gè)對(duì)應(yīng)圓周運(yùn)動(dòng)的牛頓第二定律就能夠解決問(wèn)題。

（三）提煉方法，形成策略

通過(guò)上述分析，可得出解決“擺線運(yùn)動(dòng)”問(wèn)題的兩種基本方法：一是用“分解運(yùn)動(dòng)”的思路，把“擺線運(yùn)動(dòng)”分解為“勻速直線運(yùn)動(dòng)”和“勻速圓周運(yùn)動(dòng)”來(lái)求解特殊位置的相關(guān)參量，如最大速度、下降或上升的最大距離（拱高）及該位置的曲率半徑、擺線的寬度（拱寬）；二是用“動(dòng)量定理和動(dòng)能定理”的思路求解特殊位置、特殊狀態(tài)的相關(guān)參量，或者是非特殊位置、非特殊狀態(tài)的相關(guān)參量。例5就可以用兩種方法求解。這樣一來(lái)，學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)更加完整，問(wèn)題分析更加細(xì)致，模型建構(gòu)更加全面，規(guī)律和方法的運(yùn)用更加靈活，有效提升了學(xué)生運(yùn)用知識(shí)解決物理問(wèn)題的能力，培養(yǎng)了學(xué)生的科學(xué)思維能力。

綜上可知，電磁場(chǎng)這部分內(nèi)容知識(shí)點(diǎn)、情景模型非常多，教師可將其分成20～30個(gè)微專(zhuān)題來(lái)進(jìn)行教學(xué)，每個(gè)微專(zhuān)題主題明確，短小精悍，環(huán)環(huán)相扣，循序漸進(jìn)，由淺入深，由“點(diǎn)”到“面”；注重對(duì)物理知識(shí)、規(guī)律和模型的歸納、總結(jié)和提升，重視引導(dǎo)學(xué)生在生產(chǎn)、生活情境中運(yùn)用物理知識(shí)解決問(wèn)題；強(qiáng)調(diào)從現(xiàn)象到本質(zhì)的分析過(guò)程，讓學(xué)生完成自我學(xué)習(xí)和模型建構(gòu)，并進(jìn)行復(fù)習(xí)反思，自主歸納學(xué)習(xí)思想和解決問(wèn)題的方法，從而培養(yǎng)學(xué)生的解決問(wèn)題能力，提升學(xué)生的物理學(xué)科核心素養(yǎng)。

［" "參" "考" "文" "獻(xiàn)" "］

[1]" 冷玉蘭.基于核心素養(yǎng)的高中物理微情境小專(zhuān)題教學(xué)探究[D].成都：四川師范大學(xué)，2020.

[2]" 李春蘭，董喬生，張建國(guó).建構(gòu)主義知識(shí)觀視角下反思性學(xué)習(xí)的困境與突破[J].教學(xué)與管理，2020（9）：14-16.

（責(zé)任編輯 黃春香）