零點(diǎn)問(wèn)題取點(diǎn)技巧的教學(xué)探究

［摘 要］零點(diǎn)問(wèn)題的解析常運(yùn)用零點(diǎn)存在定理，涉及關(guān)鍵的取點(diǎn)分析，準(zhǔn)確取點(diǎn)是解題的關(guān)鍵。教師應(yīng)重點(diǎn)指導(dǎo)方法技巧。文章從問(wèn)題出發(fā)，啟發(fā)學(xué)生思考，深入探索零點(diǎn)問(wèn)題的取點(diǎn)技巧，并結(jié)合實(shí)例強(qiáng)化，提出相應(yīng)的教學(xué)建議。

［關(guān)鍵詞］零點(diǎn)問(wèn)題；取點(diǎn)技巧；教學(xué)

［中圖分類號(hào)］" " G633.6" " " " ［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］" " A" " " " ［文章編號(hào)］" " 1674-6058（2024）17-0004-03

利用零點(diǎn)存在定理判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是高考命題考查的熱點(diǎn)，該知識(shí)點(diǎn)也是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)。在使用零點(diǎn)存在定理時(shí)，學(xué)生需要找到函數(shù)值異號(hào)的兩個(gè)點(diǎn)，而準(zhǔn)確取點(diǎn)是解題的關(guān)鍵，具有一定的難度和技巧性。教學(xué)中，教師需要講解方法原理，引導(dǎo)學(xué)生掌握對(duì)應(yīng)技巧，同時(shí)立足問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生感知問(wèn)題，逐步掌握方法技巧。

一、由問(wèn)題引發(fā)的思考

問(wèn)題：已知函數(shù)[f（x）=cosx-xx2]，[x∈（0，+∞）]，試證明函數(shù)[f（x）]在[（0，+∞）]上有且只有一個(gè)零點(diǎn)。

解析：證明函數(shù)[f（x）]在固定區(qū)間上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，基本思路是借助導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)，結(jié)合零點(diǎn)存在定理來(lái)探索。

令[f（x）=cosx-xx2=0]，可得[cosx-x=0]，再令[g（x）=cosx-x]，要證明函數(shù)[f（x）]在[（0，+∞）]上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，即證明[g（x）]在[（0，+∞）]上有且只有一個(gè)零點(diǎn)。

而[g（x）=-sinx-1lt;0]，則函數(shù)[g（x）]在[（0，+∞）]上單調(diào)遞減。進(jìn)一步分析有[gπ6=cosπ6-π6gt;0]，[gπ2=cosπ2-π2lt;0]，則[gπ6·gπ2lt;0]。

根據(jù)零點(diǎn)存在定理可知，函數(shù)[g（x）=cosx-x]在[（0，+∞）]上有且只有一個(gè)零點(diǎn)。

教學(xué)引導(dǎo)：教師在過(guò)程解析后引導(dǎo)學(xué)生重點(diǎn)關(guān)注函數(shù)[g（x）=cosx-x]的判斷方法，顯然是采用特殊值法，即取函數(shù)上的特殊值：[gπ6]和[gπ2]，根據(jù)其異號(hào)判斷對(duì)應(yīng)兩點(diǎn)位于[x]軸的上、下方不同位置，進(jìn)一步結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性完成證明。教學(xué)中教師需要讓學(xué)生進(jìn)一步明晰：準(zhǔn)確取點(diǎn)是函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題的破解關(guān)鍵，需要詳細(xì)總結(jié)方法技巧，在此基礎(chǔ)上構(gòu)建教學(xué)專題，結(jié)合問(wèn)題進(jìn)行取點(diǎn)技巧的探索。

二、取點(diǎn)技巧的初步教學(xué)

（一）教學(xué)指導(dǎo)

上述簡(jiǎn)單地呈現(xiàn)了利用“特殊值”法取點(diǎn)的過(guò)程，這里的“取點(diǎn)”并不是“瞎猜胡蒙”，而是基于一定的理論分析，所取的點(diǎn)均為三角函數(shù)的特殊位置，便于計(jì)算。教學(xué)中教師需要引導(dǎo)學(xué)生明晰該方法的兩大關(guān)鍵：一是特殊位置點(diǎn)，考慮區(qū)間的端點(diǎn)以及特殊值點(diǎn)，當(dāng)解析式中含有指數(shù)、對(duì)數(shù)或三角函數(shù)時(shí)，考慮取其中的參數(shù)無(wú)關(guān)點(diǎn)；二是含參點(diǎn)，取點(diǎn)的基本原則為將解析式中的含參項(xiàng)去參為常數(shù)，若無(wú)法實(shí)現(xiàn)，則先簡(jiǎn)化其中的含參項(xiàng)，再配合不含參項(xiàng)變式調(diào)整。

（二）解題指導(dǎo)

［例1］當(dāng)[0lt;alt;1e]時(shí)，試討論函數(shù)[f（x）=lnx-ax]的零點(diǎn)個(gè)數(shù)。

過(guò)程指導(dǎo)：先判斷函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合零點(diǎn)存在定理得出零點(diǎn)個(gè)數(shù)，其中第二步需要進(jìn)行取點(diǎn)判斷。

先對(duì)函數(shù)[f（x）]求導(dǎo)，即[f（x）=1x-a]，[x∈（0，+∞）]，分析可知函數(shù)[f（x）]在[0，1a]上單調(diào)遞增，在[1a，+∞]上單調(diào)遞減。而[f1a=-1-lnagt;1-1=0]，當(dāng)[x→0]時(shí)，[f（x）→-∞]；當(dāng)[x→+∞]時(shí)，[f（x）→-∞]，從而可判斷函數(shù)單調(diào)區(qū)間上的分界點(diǎn)，顯然就是在[0，1a]和[1a，+∞]上進(jìn)行取點(diǎn)。

再對(duì)函數(shù)取點(diǎn)分析：分析可知[1agt;e]，易知[1∈0，1a]， [f1=-alt;0]，而[f1agt;0]，因此函數(shù)[f（x）]在[0，1a]上有一個(gè)零點(diǎn)。

下一步需要在[1a，+∞]上找到滿足函數(shù)值小于零的點(diǎn)，因?yàn)閇1agt;e]，所以可以考慮[1a]加一個(gè)正數(shù)或乘一個(gè)大于1的數(shù)，但不便于后續(xù)運(yùn)算。考慮到[1agt;1]，故[1a2gt;1agt;1]，而[f1a2=-2-1alt;-2-elt;0]，顯然在[1a，+∞]上有一個(gè)零點(diǎn)，從而可得出結(jié)論：函數(shù)在定義域上有兩個(gè)零點(diǎn)。

解后思考：采用特殊值法進(jìn)行取點(diǎn)分析，為簡(jiǎn)化含參[ax]項(xiàng)，故取點(diǎn)的出發(fā)點(diǎn)為[f1a]，根據(jù)題目要求來(lái)確定與[f1a]異號(hào)的點(diǎn)，從而確定了探索方向。運(yùn)用特殊值法取點(diǎn)分析時(shí)，應(yīng)關(guān)注區(qū)間的端點(diǎn)以及適當(dāng)放縮后的特殊點(diǎn)。

三、取點(diǎn)技巧的深入教學(xué)

（一）教學(xué)指導(dǎo)

在對(duì)零點(diǎn)問(wèn)題進(jìn)行取點(diǎn)時(shí)，還可以采用內(nèi)點(diǎn)效應(yīng)。教學(xué)中教師需要引導(dǎo)學(xué)生明晰內(nèi)點(diǎn)效應(yīng)的概念，再結(jié)合實(shí)例進(jìn)行指導(dǎo)。

內(nèi)點(diǎn)效應(yīng)的概念：函數(shù)[g（x）]和[h（x）]在區(qū)間（a，b）上，若[g（a）gt;h（a）]，則取任意的[m∈（h（a），g（a））]，則不等式組[g（x）gt;m，h（x）lt;m]有解，且這個(gè)解集中所有的[x]都滿足[g（x）gt;h（x）]；若[g（a）lt;h（a）]，則取任意的[m∈（g（a），h（a））]，則不等式組[h（x）gt;m，g（x）lt;m]有解，且這個(gè)解集中所有的[x]都滿足[g（x）lt;h（x）]。

分析上述概念，顯然利用內(nèi)點(diǎn)效應(yīng)可將一個(gè)不可解的不等式轉(zhuǎn)化為一個(gè)可解的不等式處理；靈活利用內(nèi)點(diǎn)效應(yīng)，可以幫助我們?cè)谑褂昧泓c(diǎn)存在定理判斷根的存在性時(shí)進(jìn)行取點(diǎn)分析。

（二）解題指導(dǎo)

［例2］已知函數(shù)[f（x）=lnx-x+1x-1]，判斷函數(shù)[f（x）]在定義域上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)。

過(guò)程指導(dǎo)：第一步，先引導(dǎo)學(xué)生判斷函數(shù)的單調(diào)性，并初步判斷在區(qū)間上可能的零點(diǎn)個(gè)數(shù)情況。

根據(jù)題意可知，函數(shù)的定義域?yàn)椋?，1）∪（[1，+∞]），理由如下：[f（x）=lnx-x+1x-1=lnx-2x-1-1]，顯然函數(shù)[f（x）]在（0，1）和（[1，+∞]）上單調(diào)遞增，因此每個(gè)區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)最多為1。

第二步，進(jìn)行取點(diǎn)，分步討論函數(shù)在[（0，1）]和[（1，+∞）]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)。

①討論（0，1）上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)。由“[x→0]時(shí)[f（x）→+∞]；[x→1]時(shí)[f（x）→-∞]”可判斷函數(shù)[f（x）]在（0，1）上應(yīng)該有一個(gè)零點(diǎn)。下面再利用內(nèi)點(diǎn)效應(yīng)取點(diǎn)判斷符號(hào)。

[f（x）lt;0?lnxlt;x+1x-1]，令[g（x）=lnx]，[h（x）=x+1x-1]。

當(dāng)[x→0]時(shí)，[g（x）→-∞]，且[h（0）=-1]，分析可知[m]取值的區(qū)間為[（-∞，-1）]，可取[m=-2∈（-∞，-1）]，則不等式組[g（x）lt;-2，h（x）gt;-2?lnxlt;-2，x+1x-1gt;-2?0lt;xlt;1e2]，取[x1=1e2]，則[f1e2=3-e2e2-1lt;0]。

當(dāng)[x→1]時(shí)，[g（1）=0]，[h（x）→-∞]，分析可知[m]取值的區(qū)間為[（-∞，0）]，可取[m=-1∈（-∞，0）]，則不等式組[g（x）gt;-1，h（x）lt;-1?lnxgt;-1，x+1x-1lt;-1?1elt;xlt;1]，取[x2=1e]，則[f1e=-21-egt;0]。

顯然函數(shù)在（0，1）上有一個(gè)零點(diǎn)。

②討論[（1，+∞）]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，參考上述的方法思路。

當(dāng)[x→1]時(shí)，[g（1）=0]，[h（x）→+∞]，故取值區(qū)間為[（0，+∞）]，可取[x3=e]，則[f（e）=1-1+ee-1lt;0]；

當(dāng)[x→+∞]時(shí)，[g（1）=+∞]，[h（x）→1]，故取值區(qū)間為[（0，+∞）]，可取[x4=e2]，則[f（e2）=2-1+e2e2-1=e2-3e2-1gt;0]。

顯然函數(shù)在[（1，+∞）]上有一個(gè)零點(diǎn)。

綜上可知，函數(shù)[f（x）]在定義域內(nèi)有2個(gè)零點(diǎn)。

解后思考：從上述的取點(diǎn)分析過(guò)程來(lái)看，內(nèi)點(diǎn)效應(yīng)起到了關(guān)鍵的“中介”作用，將常規(guī)的“猜點(diǎn)”轉(zhuǎn)化為有跡可循的分析推導(dǎo)過(guò)程，通過(guò)轉(zhuǎn)化生成簡(jiǎn)單的不等式再求解，確保準(zhǔn)確取點(diǎn)。另外，對(duì)于零點(diǎn)問(wèn)題，若可以將其轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題，且函數(shù)為“一定一動(dòng)”，也可以先初步判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)和位置，再進(jìn)行取點(diǎn)分析。

四、取點(diǎn)技巧的拓展教學(xué)

（一）教學(xué)指導(dǎo)

零點(diǎn)問(wèn)題的“取點(diǎn)”技巧，除上述兩種外，還有一種特殊的方法技巧，即融合了放縮思想的“放縮取點(diǎn)”法。其原理易懂，即無(wú)法直接取點(diǎn)時(shí)可以對(duì)函數(shù)適當(dāng)放縮，將其放縮成一個(gè)易解方程的函數(shù)，使用時(shí)需注意論證在規(guī)定的定義域。

放縮法取點(diǎn)的關(guān)鍵有兩個(gè)：一是明晰放縮對(duì)象；二是根據(jù)增減的速率合理選取放縮的方法，基本原則為不改變函數(shù)的變化趨勢(shì)。

教學(xué)中教師需要指導(dǎo)學(xué)生掌握放縮取點(diǎn)的方法技巧，常用的有以下三種：

①根據(jù)函數(shù)的有界性來(lái)放縮，把握定義域范圍下函數(shù)的取值范圍。

②根據(jù)曲線情形來(lái)放縮，實(shí)則為“化曲為曲”，即當(dāng)函數(shù)圖象為曲線時(shí)，不可將其放縮為直線。常見(jiàn)的放縮不等式有[exgt;x2]，[ex=ex22gt;x22=x24]，[exgt;-1x（xlt;0）]，[lnxlt;x]。具體選擇哪種，需靈活依題而定。

③根據(jù)切線放縮，將指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)放縮為一次函數(shù)，即“化曲為直”。常見(jiàn)的放縮不等式有[ex≥x+1]，[ex≥ex]，[lnxlt;x-1]，[lnx≤xelt;xk（0lt;klt;e）]。

（二）解題指導(dǎo)

［例3］已知函數(shù)[f（x）=ae2x+（a-2）ex-x]，試回答下列問(wèn)題：

（1）討論函數(shù)[f（x）]的單調(diào)性；

（2）如果函數(shù)[f（x）]有兩個(gè)零點(diǎn)，試求[a]的取值范圍。

過(guò)程指導(dǎo)：第（1）問(wèn)為單調(diào)性討論，實(shí)則也是為了便于第（2）問(wèn)的零點(diǎn)討論。通過(guò)求導(dǎo)即可確定結(jié)論：若[a≤0]，則[f（x）lt;0]，所以[f（x）]在（-∞，+∞）單調(diào)遞減；若[agt;0]，則[f（x）]在[（-∞，-lna）]上單調(diào)遞減，在[（-lna，+∞）]上單調(diào)遞增。

對(duì)第（2）問(wèn)進(jìn)行取點(diǎn)指導(dǎo)，同樣需要考慮[a]的取值范圍。

當(dāng)[a≤0]時(shí)，可知[f（x）]至多有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)[agt;0]時(shí)，則當(dāng)[x=-lna]時(shí)，[f（x）]取得最小值，且最小值為[f（-lna）=1-1a+lna]。如果函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則需[1-1a+lnalt;0]，可得[0lt;alt;1]。

分析函數(shù)的變化趨勢(shì)，可知：當(dāng)[x→+∞]時(shí)，[f（x）→+∞]；當(dāng)[x→-∞]時(shí)，[f（x）→+∞]。顯然只需要在[（-∞，-lna）]和[（-lna，+∞）]內(nèi)取點(diǎn)，即可滿足函數(shù)值大于零。

因?yàn)閇-2∈（-∞，-lna）]，且[f（-2）=ae-4+（a-2）e-2+2gt;-2e-2+2gt;0]，所以[f（x）]在[（-∞，-lna）]內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)。

又因?yàn)閇f（x）=ae2x+（a-2）ex-xgt;ae2x+（a-2）ex-ex=ex（aex+a-3）]，令[aex+a-3=0]，可得[x=ln3a-1gt;ln1a=-lna]，從而可判斷[fln3a-1gt;0]。

綜上，[a]的取值范圍為（0，1）。

解后思考：上述取點(diǎn)過(guò)程采用了放縮法，且是根據(jù)切線來(lái)進(jìn)行的放縮，將函數(shù)放縮為常規(guī)的一次函數(shù)，實(shí)現(xiàn)“化曲為直”，進(jìn)而完成取點(diǎn)，確定零點(diǎn)情況。教學(xué)中教師需要指導(dǎo)學(xué)生明晰每一種放縮法的實(shí)質(zhì)，以及對(duì)應(yīng)的放縮原則，避免無(wú)效放縮或錯(cuò)誤放縮。

五、教學(xué)指導(dǎo)建議

導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題是高中數(shù)學(xué)的重難點(diǎn)問(wèn)題，對(duì)學(xué)生的運(yùn)算能力、知識(shí)運(yùn)用能力以及邏輯推理能力有著較高的要求。導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題的解析過(guò)程較為繁復(fù)，涉及眾多步驟，教師若僅關(guān)注其基本思路的講解，而忽視關(guān)鍵的細(xì)節(jié)、方法講解，則不利于學(xué)生學(xué)習(xí)，也難以顯著提升學(xué)生的能力。教師應(yīng)將重點(diǎn)放在零點(diǎn)分析的每一個(gè)過(guò)程中，尤其是取點(diǎn)技巧的講解，可結(jié)合實(shí)例指導(dǎo)學(xué)生掌握取點(diǎn)技巧。

在具體教學(xué)中建議按照如下流程來(lái)開展：技巧釋義→示例指導(dǎo)→解后思考→自主練習(xí)。在“技巧釋義”環(huán)節(jié)，重點(diǎn)講解方法技巧的含義、使用過(guò)程、適用問(wèn)題，并深入探究其本質(zhì)；“示例指導(dǎo)”環(huán)節(jié)，注意結(jié)合針對(duì)性問(wèn)題，講解使用過(guò)程，包括分析思路、邏輯推理過(guò)程等；“解后思考”環(huán)節(jié)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步反思解題過(guò)程，深化探索，讓學(xué)生明晰每一步的分析思路；“自主練習(xí)”環(huán)節(jié)，讓學(xué)生獨(dú)立思考解題，從而鍛煉學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力。

總之，對(duì)于高中數(shù)學(xué)的重難點(diǎn)綜合性問(wèn)題，復(fù)習(xí)教學(xué)的設(shè)計(jì)要精細(xì)到具體的過(guò)程，針對(duì)解題步驟來(lái)開展教學(xué)指導(dǎo)，讓學(xué)生掌握解題方法、積累解題經(jīng)驗(yàn)。

［" "參" "考" "文" "獻(xiàn)" "］

[1]" 張文妍.淺析啟發(fā)式教學(xué)在高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中的實(shí)施[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2023（6）：75-77.

[2]" 管良梁.例談證明函數(shù)零點(diǎn)唯一性問(wèn)題的有效策略[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2023（3）：81-82.

[3]" 劉目勇.對(duì)導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題中“找點(diǎn)”的解題探索[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2023（12）：23-25.

（責(zé)任編輯 黃春香）