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    從九省聯(lián)考第11題談抽象函數(shù)教學(xué)策略

    2024-01-01 00:00:00
    關(guān)鍵詞:教學(xué)策略

    [摘 要]抽象函數(shù)是高中數(shù)學(xué)函數(shù)知識(shí)中的一條重要分支,也是高考的重點(diǎn)考查內(nèi)容,解決有關(guān)抽象函數(shù)的問(wèn)題需要具備數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。對(duì)于抽象函數(shù)問(wèn)題,學(xué)生常常感到無(wú)從下手,文章針對(duì)學(xué)生的解題難點(diǎn),從2024年九省聯(lián)考數(shù)學(xué)試題第11題入手,從教材處理、性質(zhì)總結(jié)、解法歸納等角度探討抽象函數(shù)的教學(xué)策略。

    [關(guān)鍵詞]九省聯(lián)考;抽象函數(shù);教學(xué)策略

    [中圖分類(lèi)號(hào)]" " G633.6" " " " [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]" " A" " " " [文章編號(hào)]" " 1674-6058(2024)17-0001-03

    2024年1月舉行的九省聯(lián)考,對(duì)往后的高考備考產(chǎn)生了巨大的影響。在九省聯(lián)考中,數(shù)學(xué)試題的結(jié)構(gòu)和賦分發(fā)生了巨大的變化,試題內(nèi)容的設(shè)置與考法和以往相比也有很大的不同,雖然以往容易的題更為簡(jiǎn)單,但難題更難了,如解答題最后一題涉及費(fèi)馬小定理與初等數(shù)論。第11題為多選題的壓軸題,考查內(nèi)容為抽象函數(shù),很多考生無(wú)從下手,這道題設(shè)置巧妙、返璞歸真,著重考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。

    一、真題呈現(xiàn)

    [題1](2024年九省聯(lián)考數(shù)學(xué)試題第11題)已知函數(shù)[f(x)]的定義域?yàn)閇R],若[f(x+y)+f(x)f(y)=4xy],且[f12≠0],則( )。

    A. [f-12=0]

    B. [f12=-2]

    C.函數(shù)[fx-12]是偶函數(shù)

    D. 函數(shù)[fx+12]是減函數(shù)

    方法1:賦值法

    解:令[x=12],[y=0],則有[f12+f12·f(0)=f121+f(0)=0],又[f12≠0],故[f(0)=-1];

    令[x=12],[y=-12],則有[f12-12+f12f-12=4×12×-12],即[f(0)+f12f-12=-1],由[f(0)=-1],可得[f12f-12=0],又[f12≠0],故[f-12=0];

    令[y=-12],則有[fx-12+fxf-12=4x×-12],即[fx-12=-2x],故函數(shù)[fx-12]是奇函數(shù)。

    有[fx+1-12=-2(x+1)=-2x-2], 即[fx+12=-2x-2],∴函數(shù)[fx+12]為減函數(shù),由[fx-12=-2x],令[x=1],有[f12=-2×1=-2]。故選項(xiàng)ABD正確。

    解后反思:本題避開(kāi)了抽象函數(shù)試題中常見(jiàn)的奇偶性、周期性問(wèn)題,返璞歸真地考查了學(xué)生對(duì)函數(shù)符號(hào)語(yǔ)言的理解。由A、B兩個(gè)選項(xiàng)可聯(lián)想到本題的關(guān)鍵解法——賦值法,令[x=12],[y=0],代入題目所給的抽象函數(shù)關(guān)系式中,結(jié)合題意可得[f(0)=-1],由此打開(kāi)解題突破口。

    方法2:構(gòu)造函數(shù)法

    解:由[f(x+y)+f(x)f(y)=4xy]可知[f(x)]解析式中應(yīng)該沒(méi)有指數(shù)、對(duì)數(shù)以及三角函數(shù)的結(jié)構(gòu),那么[f(x)]應(yīng)該是多項(xiàng)式,再由[f(x)f(y)]以及[4xy]可猜想[f(x)]應(yīng)該是一次函數(shù)。

    設(shè)[f(x)=kx+b],由[f(x+y)+f(x)f(y)=4xy?] [k(x+y)+b+(kx+b)(ky+b)=4xy],整理得[k2xy+(kb+k)(x+y)+b2+b=4xy?k2=4],[kb+k=0],[b2+b=0],

    由[b2+b=0?b=0]或[b=-1],

    當(dāng)[b=0]時(shí),由[kb+k=0?k=0],則[f(x)=0],與條件[f12≠0]矛盾,則[b=-1],[k=±2],當(dāng)[k=2]時(shí),[f(x)=2x-1],則[f12=0],與條件[f12≠0]矛盾,∴[b=-1],[k=-2],即[f(x)=-2x-1],由此可判斷選項(xiàng)ABD正確。

    解后反思:觀察題目所給抽象函數(shù)的條件關(guān)系可知,由于存在[4xy], 函數(shù)[f(x)]基本上就只能為多項(xiàng)式函數(shù),其他的函數(shù)形式很難出現(xiàn)這樣的項(xiàng)。同時(shí),關(guān)系式的左側(cè)有[f(x)f(y)],顯然這個(gè)多項(xiàng)式函數(shù)應(yīng)該是一次的,否則等號(hào)左右變量的次數(shù)就不一致了?;谝陨显颍覀兛梢岳么ㄏ禂?shù)法求函數(shù)的解析式,然后再進(jìn)一步分析問(wèn)題。

    二、教學(xué)策略

    學(xué)生之所以感覺(jué)抽象函數(shù)問(wèn)題難,主要是因?yàn)閷?duì)函數(shù)性質(zhì)不熟,邏輯推理能力不強(qiáng),解題策略匱乏,等等。針對(duì)這些問(wèn)題,我們?cè)诮虒W(xué)中應(yīng)采取有效的教學(xué)策略。

    (一)追根溯源,用好教材

    不論是舊教材還是新教材,函數(shù)始終是高中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容,而抽象函數(shù)是學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)知識(shí)的一條重要主線。教材中雖然沒(méi)有明確提出抽象函數(shù)的概念,但會(huì)使用抽象函數(shù)對(duì)定義進(jìn)行敘述或在課后習(xí)題中出現(xiàn)與抽象函數(shù)相關(guān)的問(wèn)題。

    新人教A版高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)函數(shù)的部分內(nèi)容如下:

    1.(第77頁(yè))一般地,設(shè)函數(shù)[f(x)]的定義域?yàn)閇D],區(qū)間[I?D]:如果[? x1],[x2∈I],當(dāng)[x1lt;x2]時(shí),都有[f(x1)lt;f(x2)],那么就稱(chēng)函數(shù)[f(x)]在區(qū)間[I]上單調(diào)遞增[1]。

    2.(第81頁(yè)練習(xí)2)設(shè)函數(shù)[f(x)]的定義域?yàn)閇-6,11],如果[f(x)]在區(qū)間[-6,-2]上單調(diào)遞減,在區(qū)間[-2,11]上單調(diào)遞增,畫(huà)出[f(x)]的一個(gè)大致的圖象,從圖象上可以發(fā)現(xiàn)[f(-2)]是函數(shù)[f(x)]的一個(gè)" " " " " " " [2]。

    3.(第87頁(yè)習(xí)題13節(jié)選) 我們知道,函數(shù)[y=fx]的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)圖形的充要條件是函數(shù)[y=f(x)]為奇函數(shù),有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為:函數(shù)[y=f(x)]的圖象關(guān)于點(diǎn)[P(a,b)]成中心對(duì)稱(chēng)圖形的充要條件是函數(shù)[y=f(x+a)-b]為奇函數(shù)。(2)類(lèi)比上述結(jié)論,寫(xiě)出“函數(shù)[y=f(x)]的圖象關(guān)于[y]軸成軸對(duì)稱(chēng)圖形的充要條件是函數(shù)[y=f(x)]為偶函數(shù)”的一個(gè)推廣結(jié)論[3]。

    教師對(duì)這一部分內(nèi)容應(yīng)該給予足夠重視,用以深化學(xué)生對(duì)抽象函數(shù)的理解。首先,在介紹抽象函數(shù)之前,確保學(xué)生對(duì)函數(shù)的基本概念有充分的理解,包括函數(shù)的定義、表示方法(如表達(dá)式、圖象等)、性質(zhì)和分類(lèi),讓學(xué)生通過(guò)復(fù)習(xí)和鞏固這些函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí),為理解抽象函數(shù)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。其次,借助實(shí)際問(wèn)題來(lái)引入抽象函數(shù)的概念,幫助學(xué)生理解抽象函數(shù)的應(yīng)用價(jià)值和意義。教師可選擇一些生活中的例子,如溫度與時(shí)間的關(guān)系、汽車(chē)行駛距離與油耗的關(guān)系等,引導(dǎo)學(xué)生從中抽象出函數(shù)模型,理解函數(shù)的本質(zhì)是研究變量之間的關(guān)系。

    在教學(xué)中,教師還應(yīng)該強(qiáng)調(diào)抽象函數(shù)的符號(hào)語(yǔ)言(如[f(x)]、[g(x)] 等),讓學(xué)生明白這些符號(hào)代表的是一種對(duì)應(yīng)關(guān)系,而不是具體的數(shù)值。教師可列舉具體的函數(shù)例子(如一次函數(shù)、二次函數(shù)等)來(lái)幫助學(xué)生理解抽象函數(shù)的概念,使學(xué)生通過(guò)比較了解抽象函數(shù)與具體函數(shù)的共同點(diǎn)與不同點(diǎn),逐步建立起對(duì)抽象函數(shù)的認(rèn)知框架。

    在答題訓(xùn)練中,教師可以設(shè)計(jì)一些開(kāi)放性問(wèn)題,引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)探究式學(xué)習(xí)來(lái)深入理解抽象函數(shù)的本質(zhì)、探索抽象函數(shù)的性質(zhì)。通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生探索抽象函數(shù)的性質(zhì),如周期性、奇偶性、單調(diào)性等,培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和推理能力。

    (二)及時(shí)總結(jié)常用性質(zhì)、結(jié)論

    函數(shù)的很多性質(zhì)都是運(yùn)用抽象函數(shù)進(jìn)行表達(dá)的,例如:

    1.軸對(duì)稱(chēng)

    (1)函數(shù)[y=f(x)]關(guān)于直線[x=a]對(duì)稱(chēng)[?f(x+a)=f(a-x)?f(x)=f(2a-x)?f(-x)=f(2a+x)]

    (2)函數(shù)[y=f(x)]關(guān)于直線[x=a+b2]對(duì)稱(chēng)[?f(x+a)=f(b-x)?f(a-x)=f(x+b)]

    2.中心對(duì)稱(chēng)

    (1)函數(shù)[y=f(x)]關(guān)于點(diǎn)[(a,0)]對(duì)稱(chēng)[?f(x)=-f(2a-x)?f(x+a)=-f(a-x)]

    (2)函數(shù)[y=f(x)]關(guān)于點(diǎn)[(a,b)]對(duì)稱(chēng)[?f(-x)+f(2a+x)=2b]

    3.函數(shù)的奇偶性和對(duì)稱(chēng)性的關(guān)系

    (1)若[f(x+a)]為奇函數(shù),則[f(x)]關(guān)于[(a,0)]對(duì)稱(chēng)

    (2)若[f(x+a)]為偶函數(shù),則[f(x)]關(guān)于[x=a]對(duì)稱(chēng)

    (3)若[f(ωx+φ)]為奇函數(shù),則[f(x)]關(guān)于[(φ,0)]對(duì)稱(chēng)

    (4)若[f(ωx+φ)]為偶函數(shù),則[f(x)]關(guān)于[x=φ]對(duì)稱(chēng)

    這些性質(zhì)能幫助學(xué)生更加清晰地認(rèn)識(shí)到問(wèn)題的本質(zhì),從而明確解題的方向,有條理地分析問(wèn)題,高效地完成計(jì)算。通過(guò)不斷的練習(xí)和總結(jié),學(xué)生逐漸掌握抽象函數(shù)問(wèn)題的解題方法和技巧,形成自己的數(shù)學(xué)思維模式。這種思維模式不僅有助于學(xué)生解決當(dāng)前的抽象函數(shù)問(wèn)題,還可以為學(xué)生未來(lái)學(xué)習(xí)和應(yīng)用更高級(jí)的數(shù)學(xué)概念打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

    在教學(xué)中,教師應(yīng)當(dāng)及時(shí)給學(xué)生總結(jié)這些性質(zhì),并通過(guò)舉例、類(lèi)比等方式,讓學(xué)生在獲得直觀感受的同時(shí),建立起完整的函數(shù)知識(shí)體系。在教學(xué)這些函數(shù)的性質(zhì)時(shí),教師應(yīng)該清晰、系統(tǒng)地講解每一個(gè)性質(zhì),并注重講解函數(shù)性質(zhì)之間的內(nèi)在聯(lián)系,確保學(xué)生能夠全面、準(zhǔn)確地理解函數(shù)的性質(zhì)。教師還可以通過(guò)設(shè)計(jì)具體的練習(xí)題、進(jìn)行案例分析等方式,讓學(xué)生在實(shí)踐中加深對(duì)函數(shù)性質(zhì)的理解。同時(shí),教師要鼓勵(lì)學(xué)生主動(dòng)探索和創(chuàng)新,發(fā)現(xiàn)新的應(yīng)用場(chǎng)景和解題方法,激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新精神和探索欲望。

    (三)及時(shí)歸納主要解題方法

    1.賦值法

    賦值法是研究函數(shù)問(wèn)題的常見(jiàn)方法,也是處理抽象函數(shù)問(wèn)題的重要方法。賦值法可以幫助學(xué)生簡(jiǎn)化問(wèn)題、找出規(guī)律、驗(yàn)證性質(zhì)和確定函數(shù)形式,能起到“投石問(wèn)路”“撥云見(jiàn)日”的作用。常見(jiàn)的賦值法應(yīng)用題型如下:

    (1)“賦值法”求抽象函數(shù)的值

    技巧:根據(jù)題目的具體情況,合理、巧妙地對(duì)某些變量賦予確定的特殊值(如0,1,-1),從而使問(wèn)題得到簡(jiǎn)捷有效的解決[4]。

    [題2]已知函數(shù)[f(x)]對(duì)任意[x,y∈R]都有[f(x+y)=f(x)+f(y)]成立,且[f(2)=4],則[f(-1)=]( )。

    A. [-2] B. 1 C. [12] D. 2

    解:令[x=y=0],則有[f(0+0)=f(0)+f(0)],即[f(0)=0];令[x=y=1],則有[f(1)+f(1)=f(1+1)=f(2)=4],即[f(1)=2];令[x=-1],[y=1],則有[f(-1)+f(1)=f(-1)+1=f(0)=0],所以[f(-1)=-2]。故選A。

    (2)“賦值法”求抽象函數(shù)的解析式

    技巧:求抽象函數(shù)的解析式,首先要對(duì)題設(shè)中的有關(guān)參數(shù)進(jìn)行賦值,得到抽象函數(shù)解析式的某種遞推關(guān)系后,再求抽象函數(shù)的解析式[5]。

    [題3]設(shè)[f(x)]是[R]上的函數(shù),對(duì)于任意的實(shí)數(shù)[x,y]都有[f(x+y)=f(x)+y(2x+1)],且[f(0)=1],求[f(x)]。

    解:由已知條件得[f(0)=1],又[f(x+y)=f(x)+y(2x+1)],令[y=-x],則[f(x-x)=f(x)-x(2x+1)],所以[f(x)=2x2+x+1]。

    (3)“賦值法”探究抽象函數(shù)的奇偶性

    技巧:判斷抽象函數(shù)的奇偶性的關(guān)鍵是得到[f(x)]與[f(-x)]的關(guān)系,解題時(shí)要對(duì)有關(guān)變量進(jìn)行賦值,使其最后只保留[f(x)]與[f(-x)]的關(guān)系[6]。

    [題4]設(shè)函數(shù)[f(x)]是增函數(shù),對(duì)于任意[x,y∈R]都有[f(x+y)=f(x)+f(y)]。證明[f(x)]是奇函數(shù)。

    證明:對(duì)于任意[x,y∈R]都有[f(x+y)=f(x)+f(y)],令[x=y=0],則[f(0)=0];再令[y=-x],則[f(x)+f(-x)=f(x-x)=0],所以[f(-x)=-f(x)],所以函數(shù)[f(x)]是奇函數(shù)。

    2.構(gòu)造函數(shù)模型法

    抽象函數(shù)和具體函數(shù)是兩個(gè)相輔相成的概念。抽象函數(shù)強(qiáng)調(diào)的是函數(shù)概念的本質(zhì),具體函數(shù)是抽象函數(shù)概念的實(shí)例化,抽象函數(shù)源自對(duì)具體函數(shù)的深入理解和抽象提煉。在高中數(shù)學(xué)中,許多抽象函數(shù)往往是基于基本函數(shù)(如一次函數(shù)、二次函數(shù)等),通過(guò)抽象化處理而形成的。在面對(duì)這些抽象函數(shù)問(wèn)題時(shí),如果能夠從研究它們的“模型”開(kāi)始,利用題目中給出的抽象函數(shù)性質(zhì),通過(guò)類(lèi)比和猜想,推測(cè)其可能對(duì)應(yīng)的具體函數(shù)類(lèi)型,就能夠?qū)⒊橄髥?wèn)題具體化,將陌生問(wèn)題熟悉化。這樣,常常能幫助我們揭示抽象函數(shù)背后隱藏的重要性質(zhì),找到解題的突破口。

    常見(jiàn)的抽象函數(shù)模型如下:

    (1)若[f(x+y)=f(x)+f(y)+b],則可構(gòu)造[f(x)=kx-b]。特別地,當(dāng)[f(x+y)=f(x)+f(y)]時(shí),可構(gòu)造[f(x)=kx]。

    (2)若[f(x+y)=f(x)+f(y)+2axy-c],則可構(gòu)造[f(x)=ax2+bx+c]。

    (3)若[f(x+y)=f(x)f(y)],則可構(gòu)造[f(x)=ax]([agt;0]且[a≠1])。

    (4)若[f(xy)=f(x)+f(y)(xy≠0)],則可構(gòu)造[f(x)=logax]([agt;0]且[a≠1])。

    (5)若[f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)],則可構(gòu)造[f(x)=cosωx]。

    (6)若[f(x±y)=f(x)±f(y)1?f(x)f(y)],則可構(gòu)造[f(x)=tanωx]。

    抽象函數(shù)的教學(xué)不能見(jiàn)題講題,教師應(yīng)幫助學(xué)生梳理函數(shù)知識(shí)脈絡(luò),建立函數(shù)知識(shí)體系,讓學(xué)生深刻理解函數(shù)符號(hào)的作用和意義。教師應(yīng)以抽象函數(shù)為載體,回歸教材,通過(guò)強(qiáng)化概念教學(xué)、加強(qiáng)具體化訓(xùn)練等幫助學(xué)生破解抽象函數(shù)問(wèn)題,提升他們的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。

    [" "參" "考" "文" "獻(xiàn)" "]

    [1][2][3]" 人民教育出版社,課程教材研究所,中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開(kāi)發(fā)中心.普通高中教科書(shū) 數(shù)學(xué) 必修 第一冊(cè)[M].北京:人民教育出版社,2019.

    [4][5][6]" 馬正清.聚焦抽象函數(shù)問(wèn)題的類(lèi)型與求解方法[J].中學(xué)生數(shù)理化(高一數(shù)學(xué)),2022(10):40-41.

    (責(zé)任編輯 黃春香)

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