中國“數(shù)學(xué)變式”研究20年的變遷

摘 要：變式及變式教學(xué)是中國數(shù)學(xué)教育教學(xué)的特征之一。基于中國知網(wǎng)（CNKI）數(shù)據(jù)庫，借助CiteSpace軟件，以中小學(xué)數(shù)學(xué)變式為主題，分別從發(fā)文作者、發(fā)文機構(gòu)、關(guān)鍵詞對該主題領(lǐng)域的研究主體、研究熱點和趨勢進行可視化分析。從研究主體來看，研究機構(gòu)和研究人員之間的聯(lián)系比較松散，建議加強主體合作，構(gòu)建研究共同體。從研究熱點和趨勢來看，中小學(xué)數(shù)學(xué)變式以幾何為主要變式內(nèi)容，以教學(xué)為變式載體，以學(xué)生思維的提升為變式目的；研究內(nèi)容走向多領(lǐng)域、多課型，應(yīng)立足課堂教學(xué)，滿足學(xué)生需要，同時深挖研究問題，突顯數(shù)學(xué)本質(zhì)；以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向的變式教學(xué)是研究的一大趨勢，應(yīng)優(yōu)化變式（教學(xué)）研究，發(fā)展核心素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)變式；CiteSpace；文獻綜述；可視化圖譜；中小學(xué)

中圖分類號：G633.6;G521"" 文獻標志碼：A""" 文章編號：1673-5072（2024）05-0553-09

“題海戰(zhàn)術(shù)”違背了數(shù)學(xué)教育的本質(zhì)和規(guī)律，長期大量刷題，不僅未能使學(xué)生達到“熟能生巧”，反而使學(xué)生“熟能生厭”，為解決“題海戰(zhàn)術(shù)”所帶來的弊端，“數(shù)學(xué)變式”應(yīng)運而生。數(shù)學(xué)變式可以理解為：從不同方面、不同層次、不同形式上變換數(shù)學(xué)對象的非本質(zhì)特征，進而更好地突出其本質(zhì)特征的教學(xué)形式和策略。變式是中國數(shù)學(xué)教育的重要特色［1］。顧泠沅在主持上海青浦實驗的過程中，系統(tǒng)地開展了變式教學(xué)實驗，并總結(jié)得到了具有中國特色的變式理論［2］。在對我國數(shù)學(xué)課堂教學(xué)進行變式分析以及對“中國學(xué)習(xí)者”悖論進行充分解讀的基礎(chǔ)上，我們可以認為，恰當?shù)厥褂米兪?，會使?shù)學(xué)課堂變得有意義；反之，就會使數(shù)學(xué)課堂變?yōu)楸粍庸噍敽蜋C械訓(xùn)練［3］。變式可以將表象變深刻，將狹隘變寬廣［4］。通過恰當?shù)臄?shù)學(xué)變式能夠提高“三基”（數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、基本技能和基本思想方法）的落實水平［5］，同時能夠加強思維的深度，拓寬思維的廣度，提升思維的靈活度，使學(xué)生對數(shù)學(xué)問題的理解深入到本質(zhì)層面。當前國內(nèi)外對于數(shù)學(xué)變式綜述的相關(guān)研究非常少，而數(shù)學(xué)變式只有基于已有的變式成果和變式經(jīng)驗并且緊密聯(lián)系當下數(shù)學(xué)教育的時代背景，才能更加有效地促進數(shù)學(xué)變式繼續(xù)向前發(fā)展，使數(shù)學(xué)變式更具時代意義。本文運用文獻計量方法，對文獻數(shù)據(jù)進行可視化分析，以探求近20年我國中小學(xué)數(shù)學(xué)變式的研究熱點和未來的研究趨勢，并給出一些結(jié)論與建議，為相關(guān)研究提供一定的參考。

1 數(shù)據(jù)來源與處理

1.1 數(shù)據(jù)來源

本文以中國知網(wǎng)（CNKI）為來源數(shù)據(jù)庫，通過高級檢索功能，以“數(shù)學(xué)變式”為主題，時間區(qū)間設(shè)定為2001—2021年進行文獻檢索，共檢索到1134條相關(guān)期刊文獻，再人工剔除與中小學(xué)教育無關(guān)的期刊文獻，共得到966篇有效的期刊文獻。

1.2 數(shù)據(jù)處理

首先將966篇文獻以Refworks格式導(dǎo)出；再利用CiteSpace（6.1.R2）對導(dǎo)出數(shù)據(jù)進行轉(zhuǎn)換；接著通過可分析數(shù)據(jù)建立新的項目（project），對發(fā)文作者、發(fā)文機構(gòu)、關(guān)鍵詞進行相關(guān)分析。

2 數(shù)據(jù)可視化及分析

2.1 作者共現(xiàn)分析

依據(jù)發(fā)文作者以及他們在同一篇文獻中出現(xiàn)的合作關(guān)系，基于CiteSpace的作者共現(xiàn)分析，得到了該領(lǐng)域關(guān)于作者及相互之間合作關(guān)系的可視化網(wǎng)絡(luò)圖譜（圖1）。圖譜共有525個節(jié)點，79條連線，網(wǎng)絡(luò)密度僅為0.0006，結(jié)構(gòu)非常松散。大多數(shù)人都是單獨研究，主要作者之間僅形成了以張奠宙和孫旭花為中心的合作群體，此外，李嵐和姜珊珊以及馬曉丹和張春莉之間有一定的合作，但是合作程度并不高。所以，目前該領(lǐng)域的作者合作關(guān)系呈現(xiàn)出“整體分散、局部聯(lián)系、合作程度低”的特點。

發(fā)文量排名前5的作者如表1所示，發(fā)文量最大的是張奠宙（6篇），另外孫旭花發(fā)文4篇，均為核心期刊，且這兩位作者有合作研究，形成了一定的研究群體，所以張奠宙和孫旭花可被認定為該領(lǐng)域較權(quán)威的作者。

2.2 機構(gòu)共現(xiàn)分析

依據(jù)所檢索文獻發(fā)文作者所處的機構(gòu)以及不同研究機構(gòu)在同一篇文獻中出現(xiàn)的合作關(guān)系，基于CiteSpace的研究機構(gòu)共現(xiàn)分析，得到該領(lǐng)域關(guān)于研究機構(gòu)及相互之間合作關(guān)系的可視化網(wǎng)絡(luò)圖譜（圖2）。圖譜共得到493個節(jié)點，68條連線，網(wǎng)絡(luò)密度僅為0.0006，結(jié)構(gòu)非常松散，說明該領(lǐng)域的研究機構(gòu)非常分散，相互之間的聯(lián)系不強。該領(lǐng)域的主要研究機構(gòu)形成了以華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系為中心的研究群體，其他一些研究機構(gòu)有一定的合作，但是合作的次數(shù)比較少，合作程度比較低。同時從總體來看，該領(lǐng)域的研究多集中在各大高校，中學(xué)也有一定的研究基礎(chǔ)。

發(fā)文量排名前5的研究機構(gòu)，如表2所示。在高校方面，華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系（9篇）、北京師范大學(xué)教育學(xué)部（6篇）和數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院（6篇）的發(fā)文量較高；在中小學(xué)方面，延邊第二中學(xué)（6篇）的發(fā)文頻次較高。同時，從最早發(fā)文年份來看，高校對于數(shù)學(xué)變式的研究更早，有更加扎實的研究基礎(chǔ)。

2.3 關(guān)鍵詞分析

關(guān)鍵詞是對文章的高度概括，它能反映一篇文章的主要內(nèi)容。分別對文獻關(guān)鍵詞進行共現(xiàn)、聚類、突現(xiàn)3個方面的可視化分析，可揭示“中小學(xué)數(shù)學(xué)變式”這個領(lǐng)域的研究熱點和研究導(dǎo)向。

2.3.1 關(guān)鍵詞共現(xiàn)分析

依據(jù)所檢索文獻中出現(xiàn)的關(guān)鍵詞以及不同關(guān)鍵詞在一篇文獻中共同出現(xiàn)產(chǎn)生的聯(lián)系，基于CiteSpace的關(guān)鍵詞共現(xiàn)分析，得到該領(lǐng)域關(guān)于主要關(guān)鍵詞以及關(guān)鍵詞之間相互聯(lián)系的可視化的網(wǎng)絡(luò)圖譜。圖譜共得到496個節(jié)點，622條連線，主要節(jié)點及連線如圖3所示。

出現(xiàn)頻次最高的20個關(guān)鍵詞如表3所示，由高到低分別是：變式教學(xué)、數(shù)學(xué)教學(xué)、變式、數(shù)學(xué)、變式訓(xùn)練、初中數(shù)學(xué)、高中數(shù)學(xué)、培養(yǎng)、一題多變、數(shù)學(xué)概念、一題多解、教學(xué)、創(chuàng)新思維、核心素養(yǎng)、思維能力、發(fā)散思維、中學(xué)數(shù)學(xué)、小學(xué)數(shù)學(xué)、反思、創(chuàng)新意識。

關(guān)鍵詞的中心性是量化關(guān)鍵詞地位重要性的一個重要指標，一般來說，當關(guān)鍵詞的中心性0.1時，可以將其視為核心關(guān)鍵詞，表明這個關(guān)鍵詞在該領(lǐng)域中處于比較重要的地位。通過數(shù)據(jù)分析發(fā)現(xiàn)，變式教學(xué)、數(shù)學(xué)教學(xué)、變式、數(shù)學(xué)、變式訓(xùn)練這5個關(guān)鍵詞可視為核心關(guān)鍵詞。

2.3.2 關(guān)鍵詞聚類分析

在關(guān)鍵詞共現(xiàn)分析的基礎(chǔ)上，依據(jù)檢索文獻中關(guān)鍵詞相互之間緊密聯(lián)系的程度，基于CiteSpace的關(guān)鍵詞聚類分析，得到該領(lǐng)域關(guān)于研究類塊和結(jié)構(gòu)特征的可視化的網(wǎng)絡(luò)圖譜，其中，每個聚類的標簽是根據(jù)LLR（Log-likelihood Ratio）排序算法得出的排序最高的關(guān)鍵詞，結(jié)果如圖4所示。從聚類的結(jié)果中選擇前12種聚類，分別是：#0變式訓(xùn)練、#1小學(xué)數(shù)學(xué)、#2變式教學(xué)、#3變式、#4數(shù)學(xué)教學(xué)、#5創(chuàng)新思維、#6一題多變、#7圓錐曲線、#8反思、#9數(shù)學(xué)、#10發(fā)散思維、#11學(xué)生自主。該圖的參數(shù)聚類模塊值（Q）=0.8365gt;0.3，說明關(guān)鍵詞聚類結(jié)構(gòu)顯著，聚類平均輪廓值（S）=0.9589gt;0.7，說明聚類是令人信服的。所以，這12個聚類能夠真實的反映該領(lǐng)域的主題分布情況。

2.3.3 研究熱點分析

根據(jù)關(guān)鍵詞共現(xiàn)和聚類以及相關(guān)文獻的分析，對“中小學(xué)數(shù)學(xué)變式”領(lǐng)域的研究熱點進行一定的歸納和總結(jié)。

1）以幾何為內(nèi)容的變式研究

幾何領(lǐng)域的內(nèi)容由于具有很強的抽象性，需要學(xué)生強大的空間想象能力，所以易成為教學(xué)難點。著名的上海青浦實驗對于變式教學(xué)的研究也是來源于幾何概念的教學(xué)。如果僅用標準圖形進行教學(xué)，學(xué)生很難認識其本質(zhì)，而通過一系列的變式圖形可以將標準圖形一般化，從而產(chǎn)生更好的學(xué)習(xí)效果，特別是對于復(fù)雜幾何問題的解決效果尤為顯著［6］。近些年對于幾何領(lǐng)域的變式研究成果非常豐富，李?。?］以思維品質(zhì)為落腳點，從情境、題型、解法和過程4個維度對教材中的一道立體幾何問題進行了變式研究。朱建良［8］從一道幾何作圖題出發(fā)，對如何通過變式揭示作圖的本質(zhì)進行了研究。陳炳泉［9］通過將教材中的幾道拋物線題目鏈接高考試題的方式，對教科書中題目的變式進行了研究。梁海藝和吳躍忠［10］從集合的觀點出發(fā)，提出了一種頗有數(shù)學(xué)學(xué)科特點的幾何變式問題的制作方法。

從學(xué)習(xí)幾何概念來看，以幾何為內(nèi)容的變式應(yīng)“加強聯(lián)系，注重對比”。幾何新概念應(yīng)從學(xué)生已知的舊概念或已有經(jīng)驗變式而來，并且要注重幾何概念和幾何圖形的對應(yīng)與聯(lián)系，對于概念和非概念示例、原型概念圖形和非原型概念圖形應(yīng)注重比較。

從解決幾何問題來看，以幾何為內(nèi)容的變式應(yīng)立足教材，鏈接考題。教材和考題中的幾何圖形的變式應(yīng)依圖發(fā)揮，達到深度變式，培養(yǎng)學(xué)生的模型意識。對于簡單的幾何圖形，通過“正向變式”增添或改變數(shù)學(xué)元素的方式，使簡單圖形走向復(fù)雜，使其變得更具數(shù)學(xué)味道和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)價值；對于復(fù)雜的幾何圖形，應(yīng)該追根溯源，通過“逆向變式”將復(fù)雜圖形一步步簡單化、模型化，使變式的最終落腳點在基本圖形或數(shù)學(xué)模型上；對于復(fù)雜程度一般的幾何圖形，通過雙向變式，使變式既走向圖形的“來路”，也走向圖形的“去處”。通過變式學(xué)習(xí)，使學(xué)生形成對幾何圖形的模型化、結(jié)構(gòu)化，進而提升學(xué)生解決新問題的能力。

從培養(yǎng)幾何素養(yǎng)來看，以幾何為內(nèi)容的變式應(yīng)兼顧可視化和操作化?？梢暬膸缀巫兪绞侵竿ㄟ^試卷、課件、圖片等直接向?qū)W生呈現(xiàn)可視化的變式內(nèi)容。僅在這種幾何變式下，學(xué)生只能被動地接受已有變式內(nèi)容和變式經(jīng)驗。而操作化的幾何變式強調(diào)學(xué)生自主探究變式的過程以及自我變式經(jīng)驗的獲得。圖形化交互資源整合了做的經(jīng)驗和看的經(jīng)驗，有利于學(xué)生幾何內(nèi)容的學(xué)習(xí)，同時也有利于培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念，提升學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣［11］?；趫D形交互資源來展開幾何變式，學(xué)生不僅能夠獲得直接的變式結(jié)果，而且能夠體驗整個變式過程，獲得直接的變式經(jīng)驗，這樣更有利于學(xué)生將幾何知識和經(jīng)驗內(nèi)化為潛在的幾何素養(yǎng)。

2）以教學(xué)為載體的變式研究

變式教學(xué)是中小學(xué)數(shù)學(xué)變式研究的集中體現(xiàn)，且大多是圍繞具體的數(shù)學(xué)問題來展開，例如：對一些教材的例題、習(xí)題的變式［12-14］，對典型的中高考題的變式［15-20］。對于數(shù)學(xué)問題的變式設(shè)計，要有利于形成一題多變、一題多解、多題一解，同時要注重對比性問題變式的設(shè)計［21］。

此外，在數(shù)學(xué)概念課中，通過運用正反兩方面的變式，促進對數(shù)學(xué)概念的深度理解［22］；在拓展概念外延和構(gòu)建概念體系的過程中，通過概念的變式，有利于牢固掌握概念，同時能夠從“標準”和“非標準”兩方面來理解概念［23］。在小學(xué)數(shù)學(xué)的概念課中，通過概念多元表征的變式，可以使學(xué)生深層次地理解概念的內(nèi)涵和本質(zhì)，同時促進學(xué)生抽象能力的發(fā)展［24］。從具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容出發(fā)，例如：以“基本不等式”為教學(xué)內(nèi)容，設(shè)計變式情境、變式問題、解法變式、語言變式、圖形變式等過程來展開變式教學(xué)［25］；以“概率與統(tǒng)計”為內(nèi)容，從概念性變式、過程性變式、解題型變式3個角度來實施變式教學(xué)［26］。

變式教學(xué)可以理解為“變式的教”和“變式的學(xué)”兩方面。當前的變式教學(xué)大多聚焦在“變式的教”，教師對中小學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容展開變式，在數(shù)學(xué)課堂中向?qū)W生呈現(xiàn)變式問題，學(xué)生再解決變式問題，通過教師“變式的教”，學(xué)生能夠?qū)W會相關(guān)的變式內(nèi)容。雖然變式教學(xué)的目的之一是要使學(xué)生學(xué)會具體的變式內(nèi)容，但是學(xué)生變式思想的形成對于變式教學(xué)更為重要。變式思想的形成一定是在學(xué)生“變式的學(xué)”中潛移默化形成的，其有利于學(xué)生從“學(xué)變式”走向“會變式”。要想使學(xué)生在數(shù)學(xué)變式課堂教學(xué)中達到“變式的學(xué)”，“變式空間”的建立非常重要，“變式空間”是“變式的教”和“變式的學(xué)”中間的一個過渡區(qū)域，其為學(xué)生在變式教學(xué)中提供了思考變式的空間以及參與變式的機會，而教師是“變式空間”建立的主角，應(yīng)學(xué)會為變式留白，這就需要教師注重教學(xué)法的變式以及具有變式留白特征的教學(xué)法的運用。

3）以思維為目的的變式研究

變式不僅是為了讓學(xué)生更加熟練的掌握數(shù)學(xué)知識、技能和方法，更要促進學(xué)生思維能力的提升。過于標準的數(shù)學(xué)變式容易使學(xué)生的思維固化，而非標準的數(shù)學(xué)變式，能夠發(fā)散學(xué)生的思維，擺脫固有思維的困境［27］。從不同的角度進行變式，可以促進思維整體性的發(fā)展。對問題情境、解題方法進行變式，能夠有效提升學(xué)生的抽象思維和發(fā)散思維的能力［28］。對幾何圖形進行變式，在“變”中尋找“不變”的本質(zhì)，促進形象思維的發(fā)展［29］。通過比較變式，促進邏輯思維能力的發(fā)展；通過正反變式，促進辯證思維能力的發(fā)展；通過遞進變式，促進創(chuàng)新思維能力的發(fā)展［30］。

在當前大單元整體教學(xué)的背景下，中小學(xué)數(shù)學(xué)強調(diào)結(jié)構(gòu)化課程內(nèi)容和結(jié)構(gòu)化數(shù)學(xué)思維。通過結(jié)構(gòu)化課程內(nèi)容的學(xué)習(xí)能夠有效促進對學(xué)生結(jié)構(gòu)化數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)，同時結(jié)構(gòu)化數(shù)學(xué)思維的形成也有利于學(xué)生有結(jié)構(gòu)地去理解數(shù)學(xué)知識。點狀思維只停留在表面，很難深入到本質(zhì)；線狀思維只關(guān)注思維的縱向，不考慮橫向聯(lián)系［31］。這兩種思維方式雖然能夠使學(xué)生學(xué)會知識，但很難使學(xué)生達到對于知識的應(yīng)用和遷移。而結(jié)構(gòu)化思維是一種有序的網(wǎng)狀思維，既從縱向深入到本質(zhì)，又能從橫向產(chǎn)生聯(lián)系。在數(shù)學(xué)變式中需要通過形成結(jié)構(gòu)化變式來培養(yǎng)學(xué)生的結(jié)構(gòu)化思維。結(jié)構(gòu)化變式需要形成有序的變式網(wǎng)，變式網(wǎng)的形成從縱向看需要有梯度，從橫向看需要有維度，從整體看需要對變式進行結(jié)構(gòu)化整合。

2.3.4 關(guān)鍵詞突現(xiàn)分析

依據(jù)檢索文獻中關(guān)鍵詞在某一時間段出現(xiàn)較大變化的情況，基于CiteSpace的關(guān)鍵詞突現(xiàn)分析，得到該領(lǐng)域關(guān)于關(guān)鍵詞拐點出現(xiàn)及其持續(xù)時間的可視化的圖譜，如圖5所示。該領(lǐng)域共出現(xiàn)11個突變強度較高的關(guān)鍵詞，分別是：素質(zhì)教育（4.25）、培養(yǎng)學(xué)生（3.24）、變式訓(xùn)練（3.14）、創(chuàng)新能力（3.37）、數(shù)學(xué)教學(xué)（3.97）、數(shù)學(xué)課堂（3.2）、課堂教學(xué)（4.11）、初中數(shù)學(xué)（9.46）、高中數(shù)學(xué)（9.29）、小學(xué)數(shù)學(xué)（4.33）、核心素養(yǎng)（9.38）。

2.3.5 研究導(dǎo)向分析

根據(jù)關(guān)鍵詞突現(xiàn)及相關(guān)文獻的分析，可知數(shù)學(xué)變式已經(jīng)廣泛地運用到中小學(xué)的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，數(shù)學(xué)變式也從零散的變式訓(xùn)練向系統(tǒng)的變式教學(xué)轉(zhuǎn)變，近20年數(shù)學(xué)變式有素質(zhì)教育和核心素養(yǎng)2個導(dǎo)向。

1）以素質(zhì)教育為導(dǎo)向的數(shù)學(xué)變式

2001年全國基礎(chǔ)教育工作會議發(fā)布了《國務(wù)院關(guān)于基礎(chǔ)教育改革與發(fā)展的決定》，明確提出了加快構(gòu)建符合素質(zhì)教育要求的基礎(chǔ)教育課程體系。課堂教學(xué)是落實素質(zhì)教育的主戰(zhàn)場，而變式教學(xué)能夠發(fā)展學(xué)生的

思維和能力，提高學(xué)生的綜合素質(zhì)，所以變式教學(xué)是實施素質(zhì)教育的一個重要途徑。同時創(chuàng)新能力的培養(yǎng)是素質(zhì)教育必不可少的一部分，可以通過創(chuàng)設(shè)開放性的變式問題［32］，加強變式思維的訓(xùn)練［33］來培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力。

2）以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向的數(shù)學(xué)變式

數(shù)學(xué)課程的基本理念指出“落實立德樹人的根本任務(wù)，提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)”。所以數(shù)學(xué)變式不能僅停留在知識的獲得及技能的形成上，使學(xué)生的思維得到進階，能力得到提升，促進學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展才是其真正意義所在。在實際的教育教學(xué)中，應(yīng)該將發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)做為數(shù)學(xué)變式的高階目標［5］，變式應(yīng)該成為核心素養(yǎng)視角下深度學(xué)習(xí)的重要環(huán)節(jié)［34］，同時核心素養(yǎng)背景下數(shù)學(xué)作業(yè)設(shè)計也需要注重變式［35］。

3 數(shù)學(xué)變式研究的特征與走向

3.1 研究的特征

3.1.1 研究內(nèi)容從單一到豐富

變式在數(shù)學(xué)教學(xué)中的系統(tǒng)研究與運用首先出現(xiàn)在對數(shù)學(xué)幾何概念的教學(xué)中，顧泠沅提出了概念性變式和過程性變式，概念性變式又可分為概念變式和非概念變式，通過概念性變式，使學(xué)生能夠從多角度理解概念，從而深入的理解到概念的本質(zhì)。過程性變式能夠為學(xué)生提供概念形成的動態(tài)過程，有利于學(xué)生對知識的建構(gòu)和活動經(jīng)驗的積累，進而有利于知識的運用和遷移。變式對于我國數(shù)學(xué)教育具有獨特的優(yōu)勢，對它的研究也從理論層面逐漸走向?qū)嵺`層面，同時研究內(nèi)容的廣度也在不斷的提升，不僅涉及了函數(shù)、代數(shù)、幾何和概率統(tǒng)計等課程內(nèi)容領(lǐng)域，對于初高中數(shù)學(xué)競賽的變式研究與推廣也更加深入與廣泛。并且有學(xué)者從數(shù)學(xué)課型的視角，提出了不同課型的變式教學(xué)的基本范式［36］。所以，數(shù)學(xué)變式的研究內(nèi)容從單一的幾何概念變式，逐漸走向豐富的多領(lǐng)域、多課型的多元變式。

3.1.2 研究載體從解題到教學(xué)

數(shù)學(xué)變式經(jīng)歷了從變式訓(xùn)練向變式教學(xué)的轉(zhuǎn)變。變式訓(xùn)練是一種解題訓(xùn)練方式，強調(diào)從怎樣解題出發(fā)來展開變式，通過編制變式題組，使形成一題多解、多題一解等，但是機械的變式訓(xùn)練容易造成新的題海戰(zhàn)術(shù)。而變式教學(xué)是一種教學(xué)方法，重在將數(shù)學(xué)變式融入到數(shù)學(xué)教學(xué)過程中。變式教學(xué)不僅可以豐富課堂教學(xué)，為課堂教學(xué)添彩增色［37］，而且有利于學(xué)生建立起對數(shù)學(xué)概念的多角度理解，增長數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，實現(xiàn)知識的融會貫通［38］。

3.1.3 研究目的從熟練做題到培養(yǎng)思維

以往強調(diào)通過變式訓(xùn)練培養(yǎng)學(xué)生解決問題的技能和技巧，使學(xué)生把握問題的本質(zhì)，學(xué)到解題的通性通法，達到熟練做題的程度。但是這種傳統(tǒng)的變式訓(xùn)練僅僅使學(xué)生的認知水平停留在操作與識別層面，未能達到數(shù)學(xué)思想的高度［39］。變式教學(xué)是從問題的本質(zhì)特點出發(fā)，從不同的角度和方向抓住事物的特殊屬性，進而概括出事物一般屬性的思維方式的教學(xué)方法［40］。變式教學(xué)能夠激發(fā)學(xué)生思維的活力，使學(xué)生把握思維的本質(zhì)，理清思維的脈絡(luò)，進而培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì)［6］，同時巧妙的變式教學(xué)設(shè)計能夠促進學(xué)生高效思維的自動化［41］。從不同的變式類型看，概念性變式有助于思維技能的準確把握，過程性變式是促進思維在不同情境間應(yīng)用和遷移的有效手段［41］。

3.1.4 研究導(dǎo)向從素質(zhì)教育到核心素養(yǎng)

素質(zhì)教育是針對應(yīng)試教育的弊端而提出的以提高國民素質(zhì)為根本宗旨的教育，有利于培養(yǎng)人的創(chuàng)新精神和實踐能力，促進人的全面發(fā)展。但是素質(zhì)教育在實踐的過程中還存在諸多的難題［42］，這嚴重制約著素質(zhì)教育的全面發(fā)展。而核心素養(yǎng)是對素質(zhì)教育的繼承和超越，它更加重視對新時代人的素養(yǎng)的培養(yǎng)，更有利于全面把握人的素質(zhì)結(jié)構(gòu)［43］。所以，以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向的數(shù)學(xué)變式研究更加具有時代特點，更有助于克服應(yīng)試教育的弊端，促進素質(zhì)教育的全面發(fā)展與實施，同時也更有助于落實核心素養(yǎng)，促進學(xué)生的全面發(fā)展。

3.2 研究的走向

3.2.1 加強主體合作，構(gòu)建研究共同體

從研究主體看，該領(lǐng)域研究機構(gòu)和人員之間的聯(lián)系大多比較分散，相互之間的合作還有待加強，中小學(xué)一線數(shù)學(xué)教師應(yīng)成為研究主力。事實上，由于數(shù)學(xué)學(xué)科的抽象性、應(yīng)用性等特征，中小學(xué)一線教師長期與數(shù)學(xué)變式打交道，積累了豐富的數(shù)學(xué)變式及其教學(xué)經(jīng)驗。通過將一線中小學(xué)數(shù)學(xué)教師納入研究共同體，將他們的經(jīng)驗聚沙為塔，進而上升為具有廣泛實用性的模式、策略，這將極大地推動中國數(shù)學(xué)變式研究走向世界。

3.2.2 立足課堂教學(xué)，滿足學(xué)生需要

隨著數(shù)學(xué)課程改革的逐步深入，那種“頭痛醫(yī)頭，腳痛醫(yī)腳”的曇花一現(xiàn)的研究形式已經(jīng)行不通了，數(shù)學(xué)變式研究的持續(xù)性和深度需要進一步提高。課堂教學(xué)是數(shù)學(xué)變式研究的主陣地，學(xué)生需要是數(shù)學(xué)變式研究的內(nèi)驅(qū)力，只有立足課堂教學(xué)、針對學(xué)生需要的數(shù)學(xué)變式研究才具有生命力，才能夠具有持續(xù)性，達到一定深度。

3.2.3 深挖研究問題，凸顯數(shù)學(xué)本質(zhì)

從研究熱點和趨勢看，中小學(xué)數(shù)學(xué)變式主要是以變式教學(xué)的方式來呈現(xiàn)，并且變式教學(xué)大多是從對問題的變式出發(fā)來展開的，同時也包括一些基本課型和具體教學(xué)內(nèi)容的變式研究。但是當前的變式教學(xué)還存在諸多不足，這些不足應(yīng)成為變式研究的問題。一是變式源選取的意義和價值不大。真正有價值的變式源需要蘊含著豐富的數(shù)學(xué)思想、方法和原理，一定要有利于學(xué)生數(shù)學(xué)思維的提升和數(shù)學(xué)能力的發(fā)展，同時也一定要有利于數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的落實。二是過于追求變式的數(shù)量和難度。這就導(dǎo)致變式問題“散、難、多”，進而使課堂目標不聚焦，同時忽視了學(xué)生的基本學(xué)情，使整個課堂效率低下，不利于多維課堂目標的整體達成。三是在變式教學(xué)課堂中學(xué)生的主體性需要加強。教師對問題進行變式、學(xué)生再解答變式問題的教學(xué)模式已不能完全滿足實際的教學(xué)需要。學(xué)生只能知道問題“到哪里去”，很難了解到問題“從哪里來”，這實際上是形成了新的題海。學(xué)生的思維也被老師牽著鼻子走，這不利于學(xué)生持續(xù)性、整體性的發(fā)展。同時要從“雙基”發(fā)展為“四基”，學(xué)生的變式經(jīng)驗是基本活動經(jīng)驗必不可少的一部分。

3.2.4 優(yōu)化變式教學(xué)研究，發(fā)展核心素養(yǎng)

一要注重變式教學(xué)的針對性研究。所謂的針對性，是指變式教學(xué)需要對教學(xué)目標聚焦，并且針對教學(xué)目標進行有目的的階梯式變式，從而實現(xiàn)目標的逐步達成。二要注重變式教學(xué)的整體性研究。所謂的整體性，是指變式教學(xué)需要預(yù)先的整體設(shè)計和規(guī)劃，由不同類型的數(shù)學(xué)變式，不僅促進學(xué)生對知識、技能和方法的深入理解，更要有利于學(xué)生思維整體性的發(fā)展。三要注重變式教學(xué)的生主性研究。所謂的生主性，是指學(xué)生不僅要成為“解題”的主體，也應(yīng)成為“變題”的主體，讓學(xué)生自主去發(fā)現(xiàn)并提出變式問題，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的能力，學(xué)生自主提問的過程也是學(xué)生深入思考的過程，在這個過程中學(xué)生能夠明白變式的來龍去脈，抓住變式的本質(zhì)，同時學(xué)生變式的過程也是學(xué)生思維外化的過程，這將有利于教師充分了解學(xué)生，進而更好的對課堂進行宏觀調(diào)控和微觀調(diào)整。四要注重變式教學(xué)的高階性研究。所謂的高階性，是指通過變式教學(xué)使學(xué)生達到高階學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的高階思維，從布盧姆教育目標分類學(xué)來看，培養(yǎng)高階思維就是要使學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不僅限于達到記憶、理解、應(yīng)用的低階水平維度，而需要更進一步達到分析、評價、創(chuàng)造的高階水平維度。同時高階的變式教學(xué)需要將促進學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的發(fā)展作為變式教學(xué)的高階目標。

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Changes of Chinese “Mathematical Variation” Researchin the Past Two Decades：An Analysis Based on Visual Data

LUO Ke-yu，TANG Qiang

（School of Mathematics and Information，China West Normal University，Nanchong Sichuan 637009，China）

Abstract：Variation and its teaching are one of the characteristics of Chinese mathematics education and teaching.Taking the mathematical variation of primary and secondary schools as the theme，this paper visually analyzes the research subjects，hot spots and trends in this subject field from the perspective of authors，institutions and keywords，based on the database of China National Knowledge Infrastructure （CNKI） and with the help of the software Citespace.In terms of research subjects，the connection between research institutions and researchers is relatively loose，so it is necessary to strengthen the cooperation of subjects and build a research community.In the aspects of research hotspots and trends，the mathematical variation of primary and secondary schools takes geometry as its main content，teaching as its carrier，and the improvement of students’ thinking as its purpose.The research content is multi-field and multi-class，so it is necessary to rely on classroom teaching to meet the needs of students.At the same time，it is essential to dig deep into research problems and highlight the essence of mathematics.In addition，the core quality-oriented variation teaching is a major trend of research，and it is a must to strengthen the optimization of variation （teaching） research and development of core literacy.

Keywords：mathematical variation；CiteSpace；literature review；visualization map；primary and secondary schools