Caputo-Hadamard型分數(shù)階隱式微分方程周期邊值問題解的存在性

摘要： 用連續(xù)性定理討論一類Caputo-Hadamard型分數(shù)階隱式微分方程周期邊值問題， 得出了解的存在性結(jié)果， 并給出具體實例進行說明.

關(guān)鍵詞： Caputo-Hadamard型分數(shù)階微分; 分數(shù)階隱式微分方程; 周期邊值問題; 連續(xù)性定理; 存在性

中圖分類號： O175.8" 文獻標志碼： A" 文章編號： 1671-5489（2024）04-0851-07

Existence of Solutions for Periodic Boundary Value Problems ofCaputo-Hadamard Type Fractional Implicit Differential Equations

ZHANG Wei， ZHANG Yu， NI Jinbo

（School of Mathematics and Big Data， Anhui University of Science and Technology， Huainan 232001， Anhui Province， China）

Abstract： By using the continuation theorem， we discussed a class of periodic boundary value problems for Caputo-Hadamard type fra

ctional implicit differential equations， obtained the existence result of solutions， and provided specific example for explanation.

Keywords： Caputo-Hadamard type fractional differential; fractional implicit differential equation; periodic boundary value problem; continuation theorem; existence

1 引言與預(yù)備知識

分數(shù)階微分方程在物理學(xué)、 金融學(xué)、 黏彈性材料、 生物醫(yī)學(xué)、 控制理論和信號分析等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛［1＼|3］. 研究微分方程邊值問題解的存在性具有重要的理論和實際意義［4］. 近年來， 隨著

分數(shù)階微積分理論的發(fā)展， 對分數(shù)階微分方程邊值問題的研究已取得了許多成果［5＼|7］. 根據(jù)不同的邊值條件， 分數(shù)階微分方程邊值問題可劃分為兩點邊值問題

和非局部邊值問題. 經(jīng)典的分數(shù)階微分方程兩點邊值問題包括Dirichlet邊值問題、 Robin邊值問題、 Neumann邊值問題、 Sturm-Liouville邊值問題、 周期邊值問題以及反周期

邊值問題等. 目前， 研究分數(shù)階微分方程邊值問題采用的主要方法有： 不動點理論、 上下解方法、 單調(diào)迭代方法、 迭合度理論以及臨界點理論.

近年來， 關(guān)于分數(shù)階微分方程周期邊值問題的研究備受關(guān)注［8＼|14］. 例如： Benchohra等［9］討論了如下Caputo型分數(shù)階隱式微分方程周期邊值問題：

CDα0+y（t）=f（t，y（t），CDα0+y（t））， a.e. t∈J=［0，T］， Tgt;0， 0lt;α≤1，y（0）=y（T），

用連續(xù)性定理得到了其解的存在性結(jié)果， 其中CDα0+是α階Caputo分數(shù)階微分算子， f： J×瘙綆2→瘙綆是一個連續(xù)函數(shù).

Staněk［10］討論了如下多項Caputo型分數(shù)階微分方程周期邊值問題：

CDα0+u（t）+q（t，u（t））CDβ0+u（t）=f（t，u（t）），u（0）=u（T），

利用Schauder不動點定理得出了其解的存在性結(jié)果， 其中0lt;βlt;α≤1， CD（·）0+是Caputo分數(shù)階

微分算子， 記J=［0，T］， q∈C（J×瘙綆）且非負， f∈C（J×瘙綆）并且存在常數(shù)D，H（Dlt;H），" 滿足f（t，D）≥0， f（t，H）≤0， t∈J.

Benchohra等［12］討論了如下分數(shù)階隱式微分方程周期邊值問題：

HDα1+y（t）=f（t，y（t），HDα1+y（t））， t∈J=［1，T］， Tgt;1， 0lt;α≤1，y（1）=y（T），

用連續(xù)性定理得到了其解的存在性結(jié)果， 其中HDα1+是α階Hadamard分數(shù)階微分算子， f： J×瘙綆2→瘙綆是一個連續(xù)函數(shù). 特別地， 文獻［12］定義了如下Banach空間：

X={y∈C（J，瘙綆）： y（t）=HIα1+u（t）， u∈C（J，瘙綆）}，

賦予范數(shù)‖y‖X=max{‖y‖∞，‖HDα1+y‖∞}，

以及Y=C（J，瘙綆）賦予范數(shù)‖u‖Y=sup{u（t）： t∈J}.

定義線性算子L： dom LX→Y， Ly=HDα1+y，

其中dom L={y∈X： HDα1+y∈Y， y（1）=y（T）}.

引理1［12］ 算子L滿足如下性質(zhì)：

Ker L=0，" Im L=y∈Y： ∫T0lnTsα-1y（s）sds=0.

引理2［12］ 算子L是一個零指標的Fredholm算子.

但根據(jù)引理1可知， 引理2不可能成立. 這是因為0=dim Ker L≠dim Im L=1，

即L不是零指標的Fredholm算子. 導(dǎo)致該錯誤的原因是Ker L ≠0. 事實上， 對于方程HDα1+y（t）=0， 有如下形式的解：

y（t）=c（ln t）α-1，" c∈瘙綆.

注意到0lt;α≤1， 所以（ln t）α-1在t=1處爆破. 因此， 根據(jù)周期邊值條件y（1）=y（T）推不出c=0， 即Ker L≠0. 解決該問題的方法有

兩種， 第一種方法： 修正邊值條件. 例如， 將原邊值條件修正為

（ln t）1-αy（t）t=1=（ln t）1-αy（t）t=T.

第二種方法： 替換分數(shù)階微分算子， 將Hadamard分數(shù)階微分算子替換成Caputo-Hadamard型分數(shù)階微分算子. 基于第二種方法， 本文討論如下分數(shù)階隱式微分方程周期邊值問題：

CHDα1+x（t）=f（t，x（t），CHDα1+x（t））， a.e. t∈J=［1，T］， Tgt;1， 0lt;α≤1，x（1）=x（T），（1）

其中CHDα1+是Caputo-Hadamard分數(shù)階微分算子， f： J×瘙綆2→瘙綆是一個連續(xù)函數(shù).

研究表明， 對于材料疲勞斷裂、 Lomnitz對數(shù)蠕變律等現(xiàn)象的精確描述， 需要引入Caputo-Hadamard分數(shù)階導(dǎo)數(shù)，" 從而得到的數(shù)學(xué)模型表現(xiàn)為Caputo-Hadamar

d分數(shù)階微分方程［15］. 但目前關(guān)于Caputo-Hadamard分數(shù)階微分方程邊值問題解的存在性研究報道較少， 尤其是針對問題（1）的討論目前尚未見文獻報道. 因此， 本文工

作不僅修正了文獻［12］中的錯誤， 而且還有一定的創(chuàng)新性.

令x（t）是定義在（a，b）上的連續(xù)函數(shù)， 0lt;alt;blt;∞. 定義空間ACnδ［a，b］為

ACnδ［a，b］=x： ［a，b］瘙綆δn-1x（t）∈AC［a，b］， δ=tddt，

其中AC［a，b］表示［a，b］上絕對連續(xù)函數(shù)全體.

定義1［16］ 函數(shù)x： ［1，T］→瘙綆的α（αgt;0）階Hadamard分數(shù)階積分定義為

HIαa+x（t）=1Γ（α）∫talntsα-1x（s）dss，" t∈［1，T］，

其中假設(shè)右端積分存在.

定義2［16］ 令αgt;0， n=［α］+1， 函數(shù)x： ［1，T］→瘙綆的α（αgt;0）階Hadamard分數(shù)階導(dǎo)數(shù)定義為

HDα1+x（t）=1Γ（n-α）tddt

n∫t1lntsn-α-1x（s）dss，" t∈［1，T］.

定義3［17］ 令αgt;0， n=［α］+1， 函數(shù)x（t）∈ACnδ［1，T］的α（αgt;0）階Caputo-Hadamard分數(shù)階導(dǎo)數(shù)定義為

CHDα1+x（t）=（HIn-α1+δnx）（t）=1Γ（n-α）∫t1lnts

n-α-1δnx（s）dss.

引理3［16］ 設(shè)α，βgt;0， Hadamard分數(shù)階積分滿足半群性質(zhì)：

（HIα1+HIβ1+x）（t）=（HIα+β1+x）（t）.

引理4［17］ 設(shè)αgt;0， n=［α］+1， x（t）∈ACnδ［1，T］， 則

（HIα1+CHDα1+x）（t）=x（t）-∑n-1k=0δkx（1）k?。╨n t）k.

引理5［16］ 令αgt;0. 設(shè)x∈C［1，∞）∩L1［1，∞）， 則

HIα1+HDα1+x（t）=x（t）+∑ni=1ci（ln t）α-i，

其中ci∈瘙綆， i=1，2，…，n， n-1lt;αlt;n.

定義4［18］ 設(shè)（X，‖·‖X）和（Y，‖·‖Y）是實的Banach空間， L： dom LX→Y是線性算子， 如果

Im L是Y的閉子空間， 并且dim Ker L=co dim Im Llt;∞， 則稱L是零指標的Fredholm算子.

設(shè)L： dom LX→Y是零指標的Fredholm算子， 則存在投影算子P： X→X和Q： Y→Y， 使得

Im P=Ker L， Im L=Ker Q， X=Ker LKer P， Y=Im LIm Q，

從而Ldom L∩Ker P： dom L→Im L是可逆的， 記KP=（Ldom L∩Ker P）-1.

令Ω是X上的非空有界開集， 滿足dom L∩≠. 如果QN（）有界， KP（I-Q）N： →X是緊的，" 則稱映射N： X→Y在上是L-緊的.

定理1［18］ 設(shè)L： dom LX→Y是零指標的Fredholm算子， ΩX是關(guān)于θ∈Ω對稱的有界開集， 且

N： →Y是L-緊的. 如果對任意的（λ，x）∈（0，1］×dom L∩Ω， 有Lx-Nx≠λ（-Lx-N（-x））， 則方程Lx=Nx在dom L∩中至少有一個解.

2 主要結(jié)果

定義Banach空間Y=C［0，1］， 賦予范數(shù)‖y‖Y=maxt∈［1，T］ y（t）.

定義空間X={x（t）： x（t），CHDα1+x（t）∈C［1，T］}，

賦予范數(shù)‖x‖X=‖x‖∞+‖CHDα1+x‖∞，

則（X，‖·‖X）是Banach空間.

定義線性算子L： dom LX→Y和非線性算子N： X→Y分別為

Lx（t）=CHDα1+x（t），" x（t）∈dom L，Nx（t）=f（t，x（t），CHDα1+x（t）），" x（t）∈X，

其中dom L={x∈X： x（1）=x（T）}， 則邊值問題（1）等價于算子方程Lx=Nx， x∈dom L.

引理6 算子L： dom LX→Y是零指標的Fredholm算子.

證明： 首先， 證明L滿足

Ker L={x∈dom L： x（t）=c， c∈瘙綆}瘙綆，（2）

Im L=y∈Y： ∫T1lnTsα-1y（s）dss=0.（3）

事實上， 由引理4易證式（2）成立. 對y∈Im L， 存在x∈dom L， 使得Lx=CHDα1+x（t）=y（t）. 應(yīng)用引理4， 得

x（t）=Iα1+y（t）+c1=1Γ（α）∫t1lntsα-1y（s）dss+c1，" c1∈瘙綆.

結(jié)合邊值條件x（1）=x（T）， 得

∫T1lnTsα-1y（s）dss=0，（4）

即

Im Ly∈Y： ∫T1lnTsα-1y（s）dss=0.

另一方面， 對滿足式（4）的y∈Y， 取x（t）=HIα1+y（t）， 則有

0=x（1）=x（T）=HIα1+x（t）t=T=1Γ（α）∫T1lnTsα-1y（s）dss，

Lx（t）=CHDα1+HIα1+y（t）=y（t），

即y∈Y： ∫T1lnTsα-1y（s）dss=0Im L，

從而式（3）成立.

下面證明L是零指標的. 為此， 定義線性算子Q： Y→Y，

Qy=α（ln T）α∫T1lnTsα-1y（s）dss.

易知Q是連續(xù)算子且Im L=Ker Q. 對y∈Y， 有

Q2y=Q（Qy）=Qyα（Im T）α∫T1lnTsα-1dss=Qy，

即Q是投影算子. 對y∈Y， 令y=y-Qy， 則Qy=0， 即y∈Ker Q=Im L， 從而Y=Im L+Im Q.

另一方面， 對y∈Im L∩Im Q， 有y=Qy=0， 從而Y=Im LIm Q. 注意到

dim Ker L=dim Im Q=co dim Im L=1. 綜上可知， L是零指標的Fredholm算子.

引理7 定義算子KP： Im L→dom L∩為

KPy=HIα1+y=1Γ（α）∫t1lntsα-1y（s）dss.

則KP是算子Ldom L∩的逆， 其中={x∈X： x（1）=0}.

證明： 定義線性算子P： X→X為Px（t）=x（1）. 顯然， P是一個投影算子， 且有Im P=Ker L， =Ker P.

下面證明KP=（Ldom L∩Ker P）-1. 事實上， 對y∈Im L， 由KP的定義易證

KPy∈dom L∩Ker P. 即KP的定義是合理的. 對x∈dom L∩Ker P， 由引理4可得

（KPLx）（t）=HIα1+CHDα1+x（t）=x（t）-c2，" c2∈瘙綆.

注意到（KPLx）（t）∈Ker P以及c2∈Ker L=Im P， 可推出

0=P（KPLx）（t）=Px（t）-c2=-c2，

即（KPLx）（t）=x（t）.

另一方面， 對y∈Im L， 有（LKPy）（t）=CHDα1+HIα1+y（t）=y（t）.

綜上， KP是算子Ldom L∩Ker P的逆.

假設(shè)如下條件成立：

（H） 存在非負連續(xù)函數(shù)p（t），q（t）， 使得對t∈［1，T］， ui，vi∈瘙綆（i=1，2）， 有

f（t，u1，v1）-f（t，u2，v2）≤p（t）u1-u2+q（t）v1-v2.

并記p=maxt∈J p（t）， q=maxt∈J q（t）.

引理8 假設(shè)（H）成立， ΩX是有界開集滿足dom L∩≠， 則N在上是L-緊的.

證明： 因為f： ［1，T］×瘙綆2連續(xù)且滿足條件（H）， 因此可斷言QN（）與（I-Q）N（）均一致有界.

事實上， 由ΩX有界知， 存在常數(shù)rgt;0， 使得‖x‖X≤r， x∈. 由假設(shè)條件（H）， 得

Nx（t）≤f（t，x（t），CHDα1+x（t））-f（t，0，0）+f（t，0，0）

≤σ+p（t）x（t）+q（t）CHDα1+x（t）≤σ+（p+q）r∶=r1，

QNx（t）≤α（ln T）α∫T1lnTsα-1Nx（s）dss

≤αr1（ln T）α∫T1lnTsα-1dss=r1，

這里σ=maxt∈［1，T］ f（t，0，0）， p=maxt∈［1，T］ p（t）， q=maxt∈［1，T］ q（t）. 從而可得

‖QNx‖Y≤r1，" ‖（I-Q）Nx‖Y≤‖Nx‖Y+‖QNx‖Y≤2r1.

另一方面， 有

‖KP（I-Q）Nx‖X=‖HIα1+（I-Q）Nx（t）‖X=‖HIα1+（I-Q）Nx（t）‖∞+‖CHDα1+

HIα1+（I-Q）Nx（t）‖∞≤2（ln T）αΓ（α+1）r1+2r1=2r11+（ln T）αΓ（α+1）.

即QN（）與KP（I-Q）N（）一致有界.

下面證明KP（I-Q）N（·）在上等度連續(xù). 事實上， 對x∈， 1≤t1lt;t2≤T. 由（ln t）α，ln t在［t1，t2］上一致連續(xù)以及f（t，u，v）在［t1，t2］×［-r，r］2上一致連續(xù)， 有

HIα1+（I-Q）Nx（t）t=t1-HIα1+（I-Q）Nx（t）t=t2=

1Γ（α）∫t11lnt1sα-1（I-Q）Nx（s）dss-∫t2

1lnt2sα-1（I-Q）Nx（s）dss≤

1Γ（α）∫t11lnt1sα-1-lnt2s

α-1（I-Q）Nx（s）dss+""""" 1Γ（α）∫t2t1

lnt2sα-1（I-Q）Nx（s）dss≤""""" 2r1Γ（α）∫t11

lnt1sα-1-lnt2sα-1dss+2r1Γ（α）∫t

2t1lnt2sα-1dss=""""" 2r1Γ（α+1）

lnt2t1α+（ln t1）α-（ln t2）α→0， t1→t2，

CHDα1+HIα1+（I-Q）Nx（t）t=t1-CHDα1+HIα1+（I-Q）Nx（t）t=t2

=""" f（t1，x（t1），CHDα1+x（t1））-f（t2，x（t2），CHDα1+x（t2））→0， t1→t2.

綜上， KP（I-Q）N（·）在上等度連續(xù). 根據(jù)Ascoli-Arzel定理， KP（I-Q）N： →X是緊的， 故N在是L-緊的.

引理9 假設(shè)（H）成立， 令

Ω={x∈dom L＼Ker L： Lx-Nx=-λ［Lx+N（-x）］， λ∈（0，1］}，

則當（1-q）Γ（α+1）gt;（ln T）αp時， Ω有界.

證明： 對x∈Ω， 有Lx=11+λNx-λ1+λN（-x）. 從而對t∈［1，T］， 有

Lx= "CHDα1+x≤11+λNx+λ1+λN（-x）

≤ "11+λ［f（t，x（t），CHDα1+x（t））-f（t，0，0）+σ］+

λ1+λ［f（t，-x（t），-CHDα1+x（t））-f（t，0，0）+σ］≤

σ+px（t）+qCHDα1+x（t）≤σ+p‖x‖∞+q‖CHDα1+x‖∞，（5）

x（t）= "11+λHIα1+Nx-λHIα1+N（-x）

≤ "σ（ln T）αΓ（α+1）+1（1+λ）Γ（α）∫t1lntsα-1

f（s，x（s）），CHDα1+x（s）-f（s，0，0）dss+ "λ（1+λ）Γ（α）∫t1ln

tsα-1f（s，-x（s），-CHDα1+x（s））-f（s，0，0）dss

≤ "（ln T）αΓ（α+1）［p‖x‖∞+q‖CHDα1+x‖∞］+σ（ln T）αΓ（α+1）.（6）

由式（5）和式（6）得

‖CHDα1+x‖∞≤σ+p‖x‖∞+q‖CHDα1+x‖∞，（7）

‖x‖∞≤（ln T）αΓ（α+1）［p‖x‖∞+q‖CHDα1+x‖∞］+σ（ln T）αΓ（α+1）.（8）

解不等式組（7）＼|（8）， 得

‖x‖∞≤（ln T）ασ（1-q）Γ（α+1）-（ln T）αp=∶m1，

‖CHDα1+x‖∞≤11-qσ+（ln T）αpσ（1-q）Γ（α+1）-（ln T）αp=∶m2.

于是有‖x‖X=‖x‖∞+‖CHDα1+x‖∞≤m1+m2，

即Ω有界.

定理2 假設(shè)（H）成立， 則當（1-q）Γ（α+1）gt;（ln T）αp時， 邊值問題（1）至少存在一個解.

證明： 令Ω′={x∈X： ‖x‖Xlt;m1+m2+1}，

則Ω′X是有界開集并關(guān)于0∈Ω′對稱， 且X∩′≠. 由引理8知， N在′上是L-緊的. 由引理9知， 對x∈Ω′和λ∈（0，1］， 有

Lx-Nx≠-λ［Lx+N（-x）］. 根據(jù)定理1知， 邊值問題（1）在X中至少有一個解.

3 應(yīng)用實例

例1 考慮如下分數(shù)階微分方程周期邊值問題：

CHD4/51+x（t）=t+13x（t）1+x（t）+12sin

CHDα1+x（t）， a.e. t∈J=［1，e］，x（1）=x（e），（9）

對應(yīng)邊值問題（1）， 這里α=4/5， T=e，

f（t，x（t），CHDα1+x（t））=1+13x（

t）1+x（t）+12sinCHDα1+x（t），" t∈［1，e］.

取p（t）=13， q（t）=12， 則有

p=13， q=12， f（t，u1，v1）-f（t，u2，v2）≤p（t）u1-u2+q（t）v1-v2，

此外，

（1-q）Γ（α+1）-（ln T）αp=12Γ（1.8）-13≈0.132 3gt;0.

故定理2的條件成立， 從而邊值問題（9）至少存在一個解.

綜上所述， 本文討論了一類Caputo-Hadamard型分數(shù)階隱式微分方程周期邊值問題. 在非線性項滿

足Lipschitz條件下， 利用連續(xù)性定理證明了該問題解的存在性， 修正了文獻［12］的相關(guān)結(jié)果.

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（責任編輯： 趙立芹）