具p-Laplace算子的分?jǐn)?shù)階脈沖微分方程奇異邊值問題的解

摘要： 用Banach壓縮映像原理和Krsnoasel’skii不動點(diǎn)定理證明一類具有p-Laplace算子的分?jǐn)?shù)階脈沖微分方程奇異邊值問題解的唯一性和存在性.

關(guān)鍵詞： 分?jǐn)?shù)階微分方程; 脈沖; 不動點(diǎn)定理; 奇異邊值問題; p-Laplace算子

中圖分類號： O175.8" 文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A" 文章編號： 1671-5489（2024）04-0842-09

Solutions of Singular Boundary Value Problems for FractionalImpulsive Differential Equations with p-Laplacian Operator

ZHAO Tian1， HU Weimin1，2， LIU Yuanbin3

（1. School of Mathematics and Statistics， Yili Normal University， Yining 835000，Xinjiang Uygur Autonomous Region， China;

2. Institute of Applied Mathematics， Yili Normal University， Yining 835000， Xinjiang Uygur Autonomous Region，" China;

3. School of Mathematics and Physics， Xinjiang Institute of Engineering， Urumqi 830023， China）

Abstract： We proved" the uniqueness and existence of solutions for a class of singular boundary value problems of fractional impulsive differential

equations with p-Laplacian operators by using Banach contraction mapping principle and Krsnoasel’skii fixed point theorem.

Keywords： fractional differential equation; impulse; fixed point theorem; singular boundary value problem; p-Laplacian operator

0 引 言

分?jǐn)?shù)階微分方程廣泛應(yīng)用于空氣動力學(xué)、 復(fù)雜介質(zhì)電動力學(xué)、 聚合物流變學(xué)、 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的擬合等領(lǐng)域， 目前， 關(guān)于分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題解的存在性和唯一性研究已有很多結(jié)果［1-14］. 脈沖微分方程在物理學(xué)、 社會學(xué)和信號處理建模中具有重要作用［1-6］， 它可以描述模型在某些時(shí)刻發(fā)生變化的狀態(tài)， 不能由經(jīng)典的微分方程建模表示. 關(guān)于分?jǐn)?shù)階脈沖微分方程奇異邊值問題的研究已得到廣泛關(guān)注［7＼|8］. 近年來， 具p-Laplace算子的分?jǐn)?shù)階微分方程的數(shù)學(xué)模型在多孔介質(zhì)中的湍流過濾、 血液流動、 流變學(xué)和材料科學(xué)中應(yīng)用廣泛， 因此研究具p-Laplace算子的分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題備受關(guān)注［9-14］.

文獻(xiàn)［1］研究了分?jǐn)?shù)階脈沖微分方程邊值問題

Dβ0+φp（Dβ0+u（t））=f（t，u（t））， t∈J′，

Δu（tk）=Ik（u（tk））， Δφp（Dα0+u（tk））=bk， k=1，2，…，m，u（0）=u0， Dα0+u（0）=u1

解的存在性， 其中0lt;α，β≤1， 1lt;α+β≤2， 0=t0lt;t1lt;…lt;tklt;…lt;tmlt;tm+1=1， J′=［0，1］＼{t1，t2，…，tm}， f∈C（［0，1］×瘙綆，瘙綆）， u0，u1∈瘙綆， bk∈瘙綆， k=1，2，…，m，

Ik∈C（瘙綆，瘙綆）. 文獻(xiàn)［2］用Schauder不動點(diǎn)定理、 不動點(diǎn)指數(shù)定理研究了分?jǐn)?shù)階脈沖微分方程積分邊值問題

-Dα0+u（t）=λa（t）f（t，u，u′）， t∈（0，1）＼{tk}mk=1，Δu（tk）=Ik（u（tk））， t=tk，

u（0）=u′（0）=…=u（n-2）（0）， u′（1）=∫10u（s）dH（s）

的解， 其中n-1lt;α≤n. Dα0+是Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)， a（t）∈C（（0，1），［0，+∞））， f∈C（［0，1］×［0，+∞），［0，+∞））， Ik∈C（瘙綆+，瘙綆+）.

文獻(xiàn)［8］研究了分?jǐn)?shù)階微分方程奇異邊值問題

Dα0+u（t）=f（t，u（t））， 0lt;tlt;1，u（0）=u′（t）=u″（t）=u″（1）=0

正解的唯一性， 其中3lt;α≤4， Dα0+為標(biāo)準(zhǔn)的Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階微分， f： （0，1］×［0，+∞）→［0，+∞）， f在t=0處奇異.

目前， 對具p-Laplace算子的分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題的研究已有很多結(jié)果， 但對具p-Laplace算子的分?jǐn)?shù)階脈沖微分方程奇異邊值問題的研究報(bào)道較少， 基于此， 本文主要研

究具p-Laplace算子的分?jǐn)?shù)階脈沖微分方程奇異邊值問題

CDβ0+φ（CDα0+u（t））=λf（t，u（t），u′（t））， t∈J′， λgt;0，

Δu（tk）=Ik（u（tk））， Δu′（tk）=Qk（u（tk），u′（tk））， k=1，2，…，m，

u（0）=u0， u（1）=u1， CDα0+u（0）=0（1）

解的存在性， 其中： CDα0+，CDβ0+為標(biāo)準(zhǔn)的Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)， 0lt;β≤1lt;α≤2， 且β+1lt;α; 0=t0lt;t

1lt;…lt;tklt;…lt;tmlt;tm+1=1， J′=［0，1］＼{t1，t2，…，tm}; f∈C（［0，1］×瘙綆2，瘙綆）， 非線性函數(shù)f可能在t=0處具有奇性；

Ik（u）∈C（瘙綆，瘙綆）， Qk（u，u′）∈C（瘙綆2，瘙綆）， Δu=u（t+k）-u（t-k）， Δu′=u′（t+k）-u′（t-k）， Δu（t+k），Δu（t-k）和Δu′（t+k），Δu′（t-

k）分別為Δu（tk）和Δu′（tk）在t=tk處的左右極限； φp（s）=sp-2s， pgt;1， （φp）-1（s）=φq（s）， 且1/p+1/q=1.

1 預(yù)備知識

為討論方程解的存在性和唯一性， 引入以下空間： 令J=［0，1］， 0=t0lt;t1lt;t2lt;…lt;tmlt;tm+1=1， J0=［t0，t1］， …， J

m=（tm，tm+1］， PC（J，瘙綆）={u： J→瘙綆u∈C（Jk）， k=0，1，…，m且u（t+k）存在}， 其范數(shù)為‖u‖PC=supt∈Ju（t）， 并有PC′（J，瘙綆）={u： J→瘙綆u∈C（Jk）， k=0，1，…，m且u′（t+k）存在}， 其范數(shù)為

‖u‖PC′=supt∈Ju（t）+supt∈Ju′（t），

顯然PC（J，瘙綆）與PC′（J，瘙綆）為Banach空間.

定義1［7］ 函數(shù)f ：［0，+∞）→瘙綆的αgt;0階積分定義為

Iα0+f（t）=1Γ（α）∫t0（t-s）α-1f（s）ds，

其中右邊是在［0，+∞）上逐點(diǎn)定義的.

定義2［7］ 函數(shù)f： ［0，+∞）→瘙綆的αgt;0階Caputo微分定義為

CDα0+f（t）=1Γ（n-α）∫t0（t-s）n-α-1f（n）（s）ds，

其中n=［α］+1， 右邊是在［0，+∞）上逐點(diǎn)定義的.

定理1（壓縮映像原理）［7］ 設(shè)（X，d）為非空完備度量空間， T： X→X為X上的壓縮映射， 存在qlt;1， 使得x，y∈X， 都有

d（Tx，Ty）lt;qd（x，y）， 則存在唯一的ξ∈X， 使得Tξ=ξ.

定理2（Krsnoasel’skii不動點(diǎn)定理）［7］ 令M是Banach空間X中的非空閉凸子集， 并且A，B為算子， 使得：

1） 對x，y∈M， Ax+By∈M;2） A為全連續(xù)算子;3） B為壓縮映射.

則存在z∈M， 使得z=Az+Bz.

引理1（Hlder不等式）［7］ 假設(shè)γ，δ≥1， 滿足1/γ+1/δ=1， 若a∈Lγ（J）， b∈Lδ（J

）對于1≤δ≤∞， ab∈L1（J）， 則有‖ab‖L1（J）≤‖a‖Lγ（J）‖b‖Lδ（J）.

引理2［2］ 若αgt;0， 則有：

1） Iα0+（CDα0+u（t））=u（t）+c0+c1t+…+cn-1tn-1;

2） CDα0+（Iα0+u（t））=u（t）.

其中ci∈瘙綆， i=0，1，…，n-1， n=［α］+1.

引理3［4］ 對p-Laplace算子φp（s）=sp-2s（pgt;1）， 下列結(jié)論成立：

1） 如果1lt;plt;2， uvgt;0， u，v≥rgt;0， 則有

φp（u）-φp（v）≤（p-1）rp-2u-v；

2） 如果pgt;2， u，vlt;R， 則有

φp（u）-φp（v）≤（p-1）Rp-2u-v.

引理4 對給定的函數(shù)y∈C［0，1］， u（t）是如下分?jǐn)?shù)階脈沖微分方程積分邊值問題

CDβ0+φ（CDα0+u（t））=y（t）， t∈J， λgt;0，

Δu（tk）=Ik（u（tk））， Δu′（tk）=Qk（u（tk），u′（tk））， k=1，2，…，m，

u（0）=u0， u（1）=u1， CDα0+u（0）=0（2）

的解， 當(dāng)且僅當(dāng)有如下形式：

u（t）=∫t0（t-s）α-1Γ（α）φq∫s0（s-τ）β-1Γ（β）y（τ）dτds-c1-c2t， t∈J0，

∫ttk（t-s）α-1Γ（α）φq∫s0（s-τ）β-1Γ（β）y（τ）dτds+∑ki=1∫titi-1（ti-s）α-1Γ（α）φq∫s0（s-τ）β-1Γ（β）y（τ）dτds+

∑ki=1t-tkΓ（α-1）∫titi-1（ti-s）α-2φq∫

s0（s-τ）β-1Γ（β）y（τ）dτds+" ∑k-1i=1tk-tiΓ（α-1）

∫titi-1（ti-s）α-2φq∫s0（s-τ）β-1Γ（β）y（τ）dτds+

∑ki=1Ii（u（ti））+∑ki=1（t-tk）Qi（u，u′）+∑k-1i=1（tk-ti）Qi（u，u′）-c1-c2t， t∈Jk，（3）

其中c1=-u0，

c2=∑m+1i=1∫titi-1（ti-s）α-1Γ（α）φq∫s0

（s-τ）β-1Γ（β）y（τ）dτds+∑mi=11-tmΓ（α）∫ti

ti-1（ti-s）α-1φq∫s0（s-τ）β-1Γ（β）y（τ）dτds

+∑m-1i=1tm-tiΓ（α）∫titi-1（ti-s）α-1φq∫s0（s-τ）β-1Γ（β）y（τ）dτds+∑mi=1Ii（u（ti））+∑mi=1（1-t

m）Qi（u，u′）+∑m-1i=1（tm-ti）Qi（u，u′）+u0-u1.

證明： 設(shè)u（t）為問題（1）的解， 當(dāng)t∈J0=［0，t1］時(shí)， 由引理2中1）可得

φp（CDβ0+u（t））=Iβ0+y（t）-c0=1Γ（β）∫t0（t-s）β-1y（s）ds-c0，

由邊值條件CDα0+u（0）=0得c0=0， 因此

φp（CDβ0+u（t））=1Γ（β）∫t0（t-s）β-1y（s）ds.（4）

對式（4）兩邊取φ-1p， 再結(jié)合引理2可得

u（t）=1Γ（α）∫t0（t-s）α-1φq1Γ（β）∫s0（s-τ）β-1y（τ）dτds-c1-c2t，

從而當(dāng)t∈J0=［0，t1］時(shí)， 有

u′（t）=1Γ（α-1）∫t0（t-s）α-2φq1Γ（β）∫s0（s-τ）β-1y（τ）dτds-c2，

若t∈J1=（0，t1］， 則有

u（t）=1Γ（α）∫tt1（t-s）α-1φq1Γ（β）∫s0（s-τ）β-1y（τ）dτ

ds-d1-d2（t-t1），

u′（t）=1Γ（α-1）∫tt1（t-s）α-2φq1Γ（β）∫s0（s-τ）β-1y（τ）dτds-d2，

其中d1，d2∈瘙綆， 從而可得

u（t-1）=1Γ（α）∫t10（t1-s）α-1φq1Γ（β）∫s0（s-τ）β-

1y（τ）dτds-c1-c2t1，" u（t+1）=-d1，

u′（t-1）=1Γ（α-1）∫t10（t1-s）α-2φq1Γ（β）∫s0（s-τ）β

-1y（τ）dτds-c2，" u′（t+1）=-d2.

由于Δu（tk）=Ik（u（tk））， Δu′（tk）=Qk（u（tk），u′（tk）），

-d1=1Γ（α）∫t10（t1-s）α-1φq1Γ（β）∫s0（s-τ）β-1y（

τ）dτds-c1-c2t1+I1（u（t1）），

-d2=1Γ（α-1）∫t10（t1-s）α-2φq1Γ（β）∫s0（s-τ）β-1

y（τ）dτds-c2+Q1（u（t1），u′（t1）），

則當(dāng)t∈J1=（t1，t2］時(shí)， 有

u（t）= "1Γ（α）∫tt1（t-s）α-1φq1Γ（β）∫s0（s-τ）β-1y（τ）dτds+ "1Γ（α）∫t10（t1-s）α-1φq1Γ（β）∫s0（s-τ）β-1y（τ）dτds+ "t-t1Γ（α-1）∫t10（t1-s）α-2φq1Γ（β）∫s0（s-τ）β-1

y（τ）dτds+ "I1（u（t1））+（t-t1）Q1（u（t1），u′（t1））-c1-c2t.

利用數(shù)學(xué)歸納法， 當(dāng)t∈Jk=（tk，tk+1］時(shí)， 有

u（t）= "1Γ（α）∫ttk（t-s）α-1φq1Γ（β）∫s0（s-τ）β-1y（τ）dτds

+ "1Γ（α）∑ki=1∫titi-1（ti-s）α-1φq1Γ（β）

∫s0（s-τ）β-1y（τ）dτds+ "∑ki=1t-tkΓ（α-1）∫t

iti-1（ti-s）α-2φq1Γ（β）∫s0（s-τ）β-1y（τ）dτds

+ "∑k-1i=1tk-tiΓ（α-1）∫titi-1（ti-s）α-2φq1Γ（β）∫s0（s-τ）β-1y（τ）dτds+∑ki=1Ii（u（ti））+ "∑ki=1（t-t

i）Qi（u（ti），u′（ti））+∑k-1i=1（tk-ti）Qi（u（ti），u′（ti））-c1-c2t.

由邊值條件u（0）=u0， u（1）=u1可得式（3）; 反之， 若u（t）為式（3）的形式， 由引理2中2）可得u（t）為邊值問題（2）的解.

2 主要結(jié)果

定義算子T： PC′（J，瘙綆）→PC′（J，瘙綆）為

（Tu）（t）= "1Γ（α）∫ttk（t-s）α-1φq1Γ（β）∫s0（s-τ）β-1λf（

τ，u，u′）dτds+ "1Γ（α）∑ki=1∫ti

ti-1（ti-s）α-1φq1Γ（β）∫s0（s-τ）β-1λf（τ，u，u′）dτds

+ "∑ki=1t-tkΓ（α-1）∫titi-1（ti-s）α-2φq1Γ（β

）∫s0（s-τ）β-1λf（τ，u，u′）dτds+ "∑k-1i=1tk-tiΓ（α-1）

∫titi-1（ti-s）α-2φq1Γ（β）∫s0（s-τ）β-1λf（τ，u，u′）dτds+

∑ki=1Ii（u（ti））+ "∑ki=1（t-ti）Qi（u（ti），u′（ti））+∑k-1i=1（tk-ti）Qi（u（ti），u′（ti））-c1-c2t，

（Tu）′（t）= "1Γ（α-1）∫ttk（t-s）α-2φq1Γ（β）∫s0（s-τ）β-

1λf（τ，u，u′）dτds+ "∑ki=11Γ（α-1）∫ti

ti-1（ti-s）α-2φq1Γ（β）∫s0（s-τ）β-1λf（τ，u，u′）dτds

+ "∑ki=1Qi（u（ti），u′（ti））-c2，

其中c1=-u0，

c2= "1Γ（α）∑m+1i=1∫titi-1（ti-s）α-1φq1Γ（

β）∫s0（s-τ）β-1λf（τ，u，u′）dτds+ "∑mi=11-tmΓ（α-1）∫t

iti-1（ti-s）α-2φq1Γ（β）∫s0（s-τ）β-1λf（τ，u，u′）dτds

+ "∑m-1i=1tm-tiΓ（α-1）∫titi-1（ti-s）α-2φq1Γ（β）∫s0（s-τ）β-1λf（τ，u，u′）dτds+∑mi=1Ii（u（ti））+ "∑mi=1（1-t

m）Qi（u（ti），u′（ti））+∑m-1i=1（tm-ti）Qi（u（ti），u′（ti））+u0-u1.

假設(shè)：

（H1） 存在正數(shù)N及非負(fù)值函數(shù)a（t），b（t）∈C［0，1］， 使得

f（t，u，u′）-f（t，v，v′）≤a（t）u-v+b（t）u′-v′，

并且A=sup0≤t≤1a（t）， B=sup0≤t≤1b（t），

N1/（q-1）=sup（t，u，u′）∈［0，1］×［0，r］×［-r，r］f（t，u，u′）;

（H2） 存在正數(shù)L1，L2，L3，LI，LQ， x，y∈瘙綆， x′，y′∈瘙綆， 使得

Ik（x）-Ik（y）≤L1x-y，" Ik（·）≤LI，

Qk（x，x′）-Qk（y，y′）≤L2x-y+L3x′-y′，" Qk（·，·）≤LQ;

（H3） 存在μ∈L1/σ（J，瘙綆）， σ∈（0，α-1）， 使得對（t，x，x′）∈（J×瘙綆×瘙綆）， 有f（t，x，x′）≤μ（t）成立， 并且有

ρ=2mL1+（4m-2）LQ+u0+u1lt;1.（5）

定理3 假設(shè)1lt;plt;2， 條件（H1）～（H3）成立， f∈C（J×瘙綆×瘙綆）， 則算子T： PC′→PC′為全連續(xù)算子.

證明： 由f，Ii，Qi的連續(xù)性可知T是連續(xù)的， 這里不妨設(shè)Ω為PC′（J，瘙綆）上的有界子集， 根據(jù)p-Laplace算子的定義和性質(zhì)并結(jié)合條件（H1）， 可得

c1≤u0，

c2≤ "1Γ（α）∑m+1i=1∫titi-1（ti-s）α-1φq1Γ（β）∫s0（s-τ）β-1λf（τ，u，u′）dτds

+ "∑mi=1∫titi-1（ti-s）α-2Γ（α-1）φq1Γ（

β）∫s0（s-τ）β-1λf（τ，u，u′）dτds+ "∑m-1i=1∫titi-1

（ti-s）α-2Γ（α-1）φq1Γ（β）∫s0（s-τ）β-1λf（τ，u，u′）dτds+∑mi=1Ii（u（ti））+ "∑mi=1Qi（u（ti），u′（ti））+∑m-1i=1

Qi（u（ti），u′（ti））+u0+u1，

從而可得

（Tu）（t）= "1Γ（α）∫ttk（t-s）α-1φq1Γ（β）∫s0（s-τ）

β-1λf（τ，u，u′）dτds+ "1Γ（α）∑ki=1∫ti

ti-1（ti-s）α-1φq1Γ（β）∫s0（s-τ）β-1λf（τ，u，u′）dτds

+ "∑ki=1∫titi-1（ti-s）α-1Γ（α-1）φq1Γ（

β）∫s0（s-τ）β-1λf（τ，u，u′）dτds+ "∑k-1i=1∫titi-1

（ti-s）α-2Γ（α-1）φq1Γ（β）∫s0（s-τ）β-1λf（τ，u，u′）dτds+∑ki=1Ii（u（ti））+ "∑ki=1Qi（u（ti），u′（ti））+∑k-1i=1

Qi（u（ti），u′（ti））+c1+c2≤ "N2m+2Γ（α+1）+4m-2

Γ（α）λΓ（β+1）q-1+2mL1+2（2m-1）LQ+2u0+u1∶=L1，

（Tu）′（t）≤ "∫ttk（t-s）α-2Γ（α-1）φq1Γ（β）∫s0（s-τ）β-1λf（τ，u，u′）dτds+ "∑ki=1∫titi-1（ti

-s）α-2Γ（α-1）φq1Γ（β）∫s0（s-τ）β-1λf（τ，u，u′）dτds

+ "∑ki=1Qi（u（ti），u′（ti））+c2≤ "NλΓ（β+1）q-1m+1Γ（α）+mL1+（3m-1）LQ+u0+u1∶=L2，

于是有（Tu）（t）+（Tu）′（t）≤L1+L2∶=L， 即算子T一致有界.

另一方面， 對t1，t2∈Jk（k=1，2，…，m）， 不妨設(shè)t1≤t2， 可得

（Tu）（t2）-（Tu）（t1）≤1Γ（α）∫t2tk（t

2-s）α-1φq1Γ（β）∫s0（s-τ）β-1λf（τ，u，u′）dτds

-"""" 1Γ（α）∫t1tk（t1-s）α-1φq1Γ（β）∫s0（s-τ）β

-1λf（τ，u，u′）dτds+"""" ∑ki=1t2-tkΓ（α-1）

∫titi-1（ti-s）α-2φq1Γ（β）∫s0（s-τ）β-1λf（τ，u，u′）dτd

s-"""" ∑ki=1t1-tkΓ（α-1）∫titi-1（ti-s）α-2φq1Γ（β）∫s0（s-τ）β-1λf（τ，u，u′）dτds+"""" ∑ki=1（t2-tk）Qi（u（ti），u′（ti））-∑

ki=1（t1-tk）Qi（u（ti），u′（ti））+（t2-t1）c2≤

NΓ（α+1）λΓ（β+1）q-1（（t2-tk）α-（t1-tk）α）+"""" NΓ（α）λΓ（β+1）q-1+mLQ+c2（t2-t1），

當(dāng)t2→t1時(shí)， 有（Tu）（t2）-（Tu）（t1）→0，

（Tu）′（t2）-（Tu）′（t1）≤1Γ（α-1）∫t2tk

（t2-s）α-2φq1Γ（β）∫s0（s-τ）β-1λf（τ，u，u′）dτds

-1Γ（α-1）∫t1tk（t1-s）α-2φq1Γ（β）∫s0（s-τ）β

-1λf（τ，u，u′）dτds≤NΓ（α）λΓ（β+1）

q-1（（t2-tk）α-（t1-tk）α），

當(dāng)t1→t2時(shí)， 有（Tu）′（t2）-（Tu）′（t1）→0.

因此對εgt;0， 總存在不依賴于t1，t2的δ=δ（ε）gt;0， 使得當(dāng)t2-t1lt;δ時(shí)， 有‖（Tu）（t2）-（Tu）（t1）‖lt;ε， 從而算子T在［

0，1］上等度連續(xù)， 由Arzela-Ascoli定理知， T： PC′→PC′為全連續(xù)算子.

定理4 假設(shè)1lt;plt;2， 條件（H1）～（H3）成立， 則邊值問題（1）至少存在一個(gè)解.

證明： 選取

rgt;M‖μ‖q-1Lλ/σ2m+2Γ（α+1）+4m-2Γ（α）+2mLI+（4m-2）

LQ+u0+u1，

其中M=1Γ（β）1-σβ-σ1-σq-1.

令Br={u∈PC′（J，瘙綆）‖u‖≤r}， 定義算子P，Q為

（Pu）（t）= "1Γ（α）∫ttk（t-s）α-1φq1Γ（β）∫s0（s-τ）β-1λf（

τ，u，u′）dτds+ "1Γ（α）∑ki=1∫ti

ti-1（ti-s）α-1φq1Γ（β）∫s0（s-τ）β-1λf（τ，u，u′）dτds

+ "∑ki=1t-tkΓ（α-1）∫titi-1（ti-s）α-2φq1Γ（β

）∫s0（s-τ）β-1λf（τ，u，u′）dτds+ "∑k-1i=1tk-tiΓ（α-1）

∫titi-1（ti-s）α-2φq1Γ（β）∫s0（s-τ）β-1λf（τ，u，u′）dτd

s+ "∑mi=11-tmΓ（α-1）∫titi-1（ti-s）α-2φq1Γ（β

）∫s0（s-τ）β-1λf（τ，u，u′）dτds+ "∑m-1i=1tm-tiΓ（α-1）

∫titi-1（ti-s）α-2φq1Γ（β）∫s0（s-τ）β-1λf（τ，u，u′）dτds，

（Qu）（t）=∑ki=1Ii（u（ti））+∑ki=1（t-ti）Qi（u（ti），u′（ti））+∑k-1i=1（tk

-ti）Qi（u（ti），u′（ti））-∑mi=1tIi（u（ti））-∑mi=1t（1

-tm）Qi（u（ti），u′（ti））+∑m-1i=1t（tm-ti）Qi（u（ti），u′（ti））+（1-t）u0+u1t，

于是對t∈J， u，v∈Br， 再結(jié)合條件（H3）和引理1， 可得

φq1Γ（β）∫s0（s-τ）β-1λf（τ，u，u′）dτ

≤φqλΓ（β）∫s0（s-τ）（β-1）/（1-σ）dτ1-σ∫s

0μ（τ）1/σdτ）σ≤M‖μ‖q-1L1/σ，

從而

‖Pu+Qv‖≤M‖μ‖q-1Lλ/σ2m+2Γ（α+1）+4m-2Γ（α）

+2mLI+（4m-2）LQ+u0+u1.

因此Pu+Qv∈Br， 由定理2和定理3知， 邊值問題（1）至少存在一個(gè)解.

定理5 假設(shè)1lt;plt;2， 若條件（H1），（H2）成立， 且滿足

ρ=N（q-1）1Γ（β+1）q-12m+2Γ（α+1）+4m-2Γ（α）+2mLI+（4m-2）（L2+L3）lt;1，（6）

則邊值問題（1）有唯一解.

證明： 設(shè)Br為PC′的有界子集， 令Br={u∈PC′‖u‖≤r}， 由式（6）可選取r為如下形式：

rgt;NλΓ（β+1）q-12m+2Γ（α+1）+5m-1Γ（α）+3mLI+（

7m-3）LQ+3u0+2u1.

定義算子T： Br→PC′， 由定理 3可知Tu一致有界， 即有（Tu）（t）+（Tu）′（t）≤L1+L2lt;r， 因此得‖（Tu）‖lt;r， 即T（Br）Br， 往證T是壓縮算子.

對于t∈J， u，v∈Br， 有

（Tu）（t）-（Tv）（t）≤1Γ（α）∫ttk（t-s）α-1

φq1Γ（β）∫s0（s-τ）β-1λf（τ，u，u′）dτ-

φq1Γ（β）∫s0（s-τ）β-1λf（τ，v，v′）dτds+"""" 1Γ（α）∑

ki=1∫titi-1（ti-s）α-1φq1Γ（β）∫s0（s-τ）β

-1λf（τ，u，u′）dτ-"""" φq1Γ（β）∫s0（s-τ）β

-1λf（τ，v，v′）dτ ds+"""" ∑ki=1t-tkΓ（α-1）∫titi-1（ti-s）

α-2φq1Γ（β）∫s0（s-τ）β-1λf（τ，u，u′）dτ

-"""" φq1Γ（β）∫s0（s-τ）β-1λf（τ，v，v′）dτds+

∑k-1i=1tk-tiΓ（α-1）∫titi-1（ti-s）α-2φq1Γ（β）∫s0（s-τ）β-1λf（τ，u，u′）dτ-"""" φq1Γ（β）∫s0（s-τ）β

-1λf（τ，v，v′）dτds+∑ki=1Ii（u）-Ii（v）+

∑ki=1（t-ti）Qi（u，u′）-Qi（v，v′）+∑k-1i=1（tk-ti）Qi（u，u′）-Qi（

v，v′）+"" ""1Γ（α）∑mi=1∫titi-1（ti-s）α-1φq1Γ（β）

∫s0（s-τ）β-1λf（τ，u，u′）dτ-"""" φq1Γ（β）∫s0（s-τ）β

-1λf（τ，v，v′）dτds+"""" ∑mi=11-tmΓ（α-1）∫t

iti-1（ti-s）α-2φq1Γ（β）∫s0（s-τ）β-1λf（τ，u，u′）dτ-

φq1Γ（β）∫s0（s-τ）β-1λf（τ，v，v′）dτds

+"""" ∑m-1i=1tm-tiΓ（α-1）∫titi-1（ti-s）α-2φq1Γ（β）∫s0（s-τ）β-1λf（τ，u，u′）dτ-"""" φq1Γ（β）∫s0（s-τ）β

-1λf（τ，v，v′）dτds+∑ki=1Ii（u）-Ii（v）+

∑mi=1Ii（u）-Ii（v）+∑mi=1（1-tm）Qi（u，u′）-Qi（v，v′）

+"""" ∑m-1i=1（tm-ti）Qi（u，u′）-Qi（v，v′）+∑mi=1Qi（u，u′）-Qi（v，v′）

≤"""" N（q-1）λΓ（β+1）q-12m+2Γ（α+1）+4m-2Γ（α）+2mL+（4m-2）（L2+L3）‖u-v‖.

由式（6）可得T為壓縮映射， 由壓縮映射原理知， 具p-Laplace算子的分?jǐn)?shù)階脈沖微分方程奇異邊值問題（1）在PC′有唯一解.

3 應(yīng)用實(shí)例

考慮如下奇異邊值問題：

CD1/20+φp（CD3/20+u（t））=t-1/3u（t）16+u′（t）16， t∈（0，1），

Δu=u（1/2）20+u（1/2）， Δu=u（1/2）20+u（1/2）+u′（1/2）20+u′（1/2），u（0）=0， u（1）=1， CD3/20+u（0）=0，（7）

其中β=12， α=32， p=43，λ=m=1， f（t，u，u′）=t-1/3u（t）16+u′（t）16， 則有

ρ= "N（q-1）1Γ（β+1）q-12m+2Γ（α+1）+4m-2Γ（α）

+2mLI+（4m-2）（L2+L3）= "224512π2+1120≈0.594 3lt;1，

由定理5知， 邊值問題（7）有唯一解.

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