一類具有時(shí)滯的Leslie-Gower捕食-食餌模型的Hopf分支

摘要： 利用Hopf分支理論， 研究一類具有時(shí)滯的Leslie-Gower捕食-食餌模型. 首先， 以時(shí)滯為分支參數(shù)， 討論該模型正平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性和Hopf分支的存在性; 其次， 根據(jù)偏泛函微分方程的規(guī)范型理論和中心流形定理， 確定Hopf分支的分支方向和分支周期解的穩(wěn)定性; 最后， 利用MATLAB進(jìn)行數(shù)值模擬.

關(guān)鍵詞： 時(shí)滯; Leslie-Gower模型; Hopf分支; 穩(wěn)定性

中圖分類號： O175.12" 文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A" 文章編號： 1671-5489（2024）04-0821-10

Hopf Bifurcation of a Class of Leslie-GowerPredator-Prey Models with Time Delay

YUAN Hailong， FAN Yu， LI Yiduo

（School of Mathematics amp; Data Science， Shaanxi University of Science amp; Technology， Xi’an 710021， China）

Abstract： Using the Hopf bifurcation theory， we studied a class of Leslie-Gower predator-prey models with time delay.

Firstly， taking time delay as the bifurcation parameter， we discussed the stability of the positive equilibrium point of the model and the existence of Hopf bifurcation.

Secondly， according to the normal form theory and center manifold theorem for partial differential equation， we derived the direction of Hopf bifurcation and the stability of

bifurcation periodic solutions. Finally， we used MATLAB for numerical simulations.

Keywords： time delay; Leslie-Gower model; Hopf bifurcation; stability

0 引 言

捕食-食餌關(guān)系是自然界種群之間最重要和最廣泛的基本關(guān)系之一， 種群模型在研究外來物種入侵、 流行疾病傳播以及自催化化學(xué)反應(yīng)等方面都具有重要作用. 目前， 對捕食-食餌關(guān)系模型的研究已取得了豐富的成果［1-5］.

考慮到Leslie-Gower捕食-食餌模型中食餌的生長速率可能具有Allee效應(yīng)， Ni等［6］研究了如下捕食-食餌模型：

dudt=u（1-u）ub-1-βuv，tgt;0，

dvdt=μv1-vu，tgt;0，u（0）=u0gt;0， v（0）=v0gt;0，（1）

其中u和v分別表示食餌和捕食者的種群密度， b∈（0，1）為Allee效應(yīng)的閾值， 初始值u0和v0為非負(fù)的連續(xù)函數(shù)， 參數(shù)β和μ均為正常數(shù). 對于系統(tǒng)（1）， Ni等［6］主要討論了當(dāng)系統(tǒng)只有一個(gè)正平衡點(diǎn)時(shí)， 正平衡點(diǎn)的穩(wěn)定流形和不穩(wěn)定流形.

由于種群具有成熟期， 當(dāng)前的種群數(shù)量會依賴于過去某一時(shí)刻的種群狀態(tài). 因此考慮時(shí)滯影響可更準(zhǔn)確地描述系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性. 時(shí)滯效應(yīng)在自然界中普遍存在， 時(shí)滯微分方程的穩(wěn)定性及其分支問題也備受關(guān)注. 例如： Yang等［7］考慮一類具有恒定獵物避難所和時(shí)滯的捕食-食餌系統(tǒng)， 研究了其正平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性和圖靈不穩(wěn)定性， 證明了時(shí)滯對系統(tǒng)的影響， 得到了Hopf分支的存在性并確定了Hopf分支的性質(zhì)， 同時(shí)做出了數(shù)值模擬； Chen等［8］考慮一個(gè)具有齊次Neumann邊界條件的時(shí)滯擴(kuò)散Leslie-Gower捕食-食餌系統(tǒng)， 通過分析特征方程， 研究了其共存平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性和不穩(wěn)定性以及相關(guān)的Hopf分支， 利用上下解方法， 給出了其共存平衡點(diǎn)全局漸近穩(wěn)定的參數(shù)充分條件； Du等［9］考慮具有雙時(shí)滯和擴(kuò)散的修正Leslie-Gower捕食-食餌模型， 研究了其正平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性以及Hopf、 雙Hopf分支的存在性， 并給出了雙Hopf分支點(diǎn)附近中心流形上的正規(guī)形式及臨界點(diǎn)附近的展開， 還得到了雙Hopf分支點(diǎn)附近的復(fù)雜動(dòng)力學(xué)行為.

常笑源等［10］在系統(tǒng)（1）的基礎(chǔ)上， 考慮如下捕食-食餌系統(tǒng)：

dudt=ru1-uK（u-m）-quv，tgt;0，

dvdt=sv1-v（t-τ）u（t-τ），tgt;0，

u（θ）=1（θ）， v（θ）=2（θ），θ∈［-τ，0］，（2）

其中時(shí)滯τ表示捕食者的成熟期， K為食餌的最大環(huán)境容納量， r和s分別為食餌和捕食者的自然增長率， q表示食餌人均減少率的最大值， m∈（0，1）為

Allee效應(yīng)的閾值. 對于系統(tǒng)（2）， 文獻(xiàn)［10］給出了其非負(fù)平衡點(diǎn)的存在性和穩(wěn)定性， 并以時(shí)滯τ作為分支參數(shù)證明了在正平衡點(diǎn)附近產(chǎn)生Hopf分支.

基于以上研究， 本文考慮食餌的成熟期對捕食者種群密度的影響， 在系統(tǒng)（1）中對捕食者方程引入時(shí)滯， 同時(shí)考慮其包含齊次Neumann邊界條件的反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)：

ut-d1Δu=u（1-u）ub-1-βuv，x∈Ω， tgt;0，

vt-d2Δv=μv1-vu（t-τ），x∈Ω， tgt;0，

νu=νv=0，x∈Ω， tgt;0，

u（x，0）=u0（x）gt;0， v（x，0）=v0（x）≥0（不恒為0），x∈，（3）

其中d1和d2分別對應(yīng)食餌和捕食者的擴(kuò)散系數(shù)， Δ為Laplace算子， Ω∈瘙綆N為具有光滑邊界Ω的有界開集， ν為邊界Ω上的單位外法向量.

為書寫方便， 做無量綱變換， 令

t=tb， m=b， q=bβ， s=μ，

仍用t表示t， 在空間域Ω∈［0，lπ］考慮系統(tǒng)（3）， 且Δ=2x2， l∈瘙綆+， 從而系統(tǒng)（3）可化為

ut-d12ux2=u（1-u）（u-m）-quv，x∈（0，lπ）， tgt;0，

vt-d22vx2=sv1-vu（t-τ），x∈（0，lπ）， tgt;0，

u（x，t）x=v（x，t）x=0，x=0，lπ， tgt;0，

u（x，t）=u0（x，t）gt;0， v（x，t）=v0（x，t）≥0（不恒為0），x∈［0，lπ］， t∈［-τ，0］.（4）

本文研究時(shí)滯效應(yīng)在偏微分系統(tǒng)中對正平衡點(diǎn)產(chǎn)生的影響， 并分析正平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性和Hopf分支的存在性， 給出判斷Hopf分支的分支方向和分支周期解穩(wěn)定性的表達(dá)式. 結(jié)果表明：

當(dāng)時(shí)滯參數(shù)小于某一臨界值時(shí)， 正平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性不發(fā)生改變; 當(dāng)時(shí)滯參數(shù)增大且經(jīng)過某一臨界值時(shí)， 會改變正平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性， 系統(tǒng)在正平衡點(diǎn)附近會發(fā)生振蕩并產(chǎn)生Hopf分支.

用瘙綃和瘙綆+分別表示非負(fù)整數(shù)集和正實(shí)數(shù)集.

1 平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性和Hopf分支的存在性

考慮具有時(shí)滯參數(shù)的偏微分系統(tǒng)（4）， 根據(jù)計(jì)算及文獻(xiàn)［10］可知：

1） 系統(tǒng)（4）存在兩個(gè)邊界平衡點(diǎn)E0（1，0）和Em（m，0）;

2） 當(dāng)0lt;qlt;（1-m）2時(shí)， 系統(tǒng)（4）存在兩個(gè)正平衡點(diǎn)E1（u*，v*）和E2（u，v）， 其中

u*=v*=（1+m-q）+（1+m-q）2-4m2，u=v=（1+m-q）-（1+m-q）2-4m2;

3） 當(dāng)q=（1-m）2時(shí)， 系統(tǒng)（4）存在唯一一個(gè)正平衡點(diǎn)E3（m，m）;

4） 當(dāng)qgt;（1-m）2時(shí)， 系統(tǒng)（4）不存在正平衡點(diǎn).

由于當(dāng)0lt;qlt;（1-m）2時(shí)， 正平衡點(diǎn)E2（u，v）是不穩(wěn)定的， 因此本文首先討論當(dāng)0lt;qlt;（1-m）2時(shí)系統(tǒng)（4）正平衡點(diǎn)E1（u*

，v*）的穩(wěn)定性及Hopf分支. 當(dāng)τ=0時(shí)， 滿足條件0lt;qlt;（1-m）2， sgt;s*=-2u*2+（m+1）u*， 且u*∈m+12，1， 其中0

lt;mlt;1， 則E1（u*，v*）是局部漸近穩(wěn)定的. 然后分析當(dāng)τ≠0時(shí)， 對系統(tǒng)（4）的正平衡點(diǎn)E1（u*，v*）的影響， 若τ∈［0，τ00）， 則系統(tǒng)（4）的正平衡點(diǎn)E1（u*，v*）

是局部漸近穩(wěn)定的; 若τ=τjn， j∈瘙綃， 則存在n使系統(tǒng)（4）在正平衡點(diǎn)E1（u*，v*）處產(chǎn)生Hopf分支; 若τgt;τ00， 則系統(tǒng)（4）的正平衡點(diǎn)E1（u*，v*）是不穩(wěn)定的.

定義X=C（［0，lπ］，瘙綆2）， 在系統(tǒng)（4）中令=u-u*， =v-v*， 仍用u，v表示，， 則其在抽象空間C（［-τ，0］，X）中具有如下形式的抽象泛函微分方程：

dU（t）dt=dΔU

（t）+L（Ut）+F（Ut），（5）

其中dΔ=（d1Δ，d2Δ）， dom（dΔ）={（u，v）T： u，v∈C2（［0，lπ］，瘙綆）， ux，vx=0， x=0，lπ}.

已知L： C（［-τ，0］，X）→X， F： C（［-τ，0］，

X）→X， 對于Ut=φ， U（t

）=φ（0）， φ=（φ1，φ2 ）T∈C（［-τ，0］）， 有

L（φ）=［-2u*2+（m+1）u*］φ1（0）-qu*φ2（0）

sφ1（-τ）-sφ2（0），" F（φ）=F1（φ）

F2（φ），

其中

F1（φ）= "（φ1（0）+u*）［1-（φ1（0）+u*）］（φ1（0）+u*-m）- "q（φ1（0）+u*）（φ2（0）+v*）-［-2u*2+（m+1）u*］φ1（0）+qu*φ2（0），

F2（φ）= "s（φ2（0）+v*）1-φ2（0）+v*（φ1（-τ）+u*）-sφ1（-τ）+sφ2（0）.

系統(tǒng)（4）在（0，0）附近的線性化系統(tǒng)為

dU（t）dt=dΔU

（t）+L（Ut）.（6）

根據(jù)文獻(xiàn)［11］， 可得線性系統(tǒng)的特征方程為

λy-dΔy-L（eλ·y）=0， y∈

dom（dΔ）， y≠0.（7）

由特征值問題-ψ″=μψ， x∈（0，lπ）， ψ′（0）=ψ′（lπ）=0， 可得特征值μn=n2l2（n∈瘙綃）， 相應(yīng)的特

征函數(shù)為ψn（x）=cosnlx， 將

y=∑∞n=0cosnlxy1ny2n

代入特征方程（7）得

-2u*2+（m+1）u*-d1n2l2-qu*

se-λτ-s-d2n2l2y1n

y2n=λy1ny2n，" n∈瘙綃.

因此， 特征方程（7）的所有特征根由以下特征方程給出：

Δn（λ，τ）=λ2+Anλ+Be-λτ+Cn=0，" n∈瘙綃，（8）

其中

An=（d1+d2）n2l2+2u*2-（m+1）u*+s，" B=qu*s，

Cn=d1n2l2+2u*2-（m+1）u*d2n2 l2+s.

若λ=±iσ（σgt;0）為方程（8）的一對純虛根， 則有

σ2-Cn=Bcos（στ），σAn=Bsin（στ），" n∈瘙綃，（9）

將式（9）中兩式平方后再相加， 可得

σ4+（A2n-2Cn）σ2+C2n-B2=0，" n∈瘙綃，（10）

其中

A2n-2Cn=d1n2l2+2u*2-（m+1）u*2+d2n2l2+s2，

C2n-B2=d1n2l2+2u*2-（m+1）u*2d2n2l2+s2-q2u*2s2.（11）

當(dāng)m+qlt;1時(shí)， 有C20-B2lt;0成立， 由于 limn→∞（C2n-B2）=+∞， 故存在一個(gè)最小的N0， 使得當(dāng)0≤n≤N0時(shí)， 方程（10）至多有一個(gè)正根，

當(dāng)ngt;N0時(shí)， 方程（10）沒有正根. 當(dāng)0≤n≤N0時(shí)， 方程（10）有一個(gè)正根σn， 滿足

σn=-（A2n-2Cn）+（A2n-2Cn）2-4（C2n-B2）2，（12）

則τ的表達(dá)式可確定為

τ=τjn=τ0n+2jπσn，" j∈瘙綃，（13）

其中

τ0n=1σnarccosσ2n-CnB，An≥0，

1σn2π-arccosσ2n-CnB，Anlt;0.（14）

此時(shí)方程（8）有一對純虛根±iσn.

令λn（τ）=αn（τ）+iβn（τ）是方程（8）的根， 且當(dāng)τ→τjn時(shí)， 滿足αn（τjn）=0和βn（τjn）=σn， 下面給出橫截條件.

引理1 對于0≤n≤N0， j∈瘙綃， 且sgt;s*， 有α′n（τjn）gt;0.

證明： 將λn（τ）代入方程（8）并關(guān)于τ求導(dǎo)， 得

dαn dττ=τjn-1=Re

2λneλnτ+Aneλnτ-BτBλnτ=τjn，

由于σn和τjn滿足方程（9）， 并且根據(jù)方程（12）中σn的表達(dá)式， 可得

dαndττ=τjn-1= "Re（2λn+An）（cos（λnτ）+isin （λnτ））-BτBλn=

（A2n-2Cn）2-4（C2n-B2）B2gt;0.

因此橫截條件成立， 證畢.

根據(jù)式（13）， 顯然τj+1ngt;τjn， 下面給出τjn關(guān)于n的單調(diào)性.

性質(zhì)1 若0≤n≤N0， j∈瘙綃， 且sgt;s*， 則有τjn+1gt;τjn成立.

證明： 將式（12）變形可得

σ2n=-（A2n-2Cn）+（A2n-2Cn）2-4（C2n-B2）2=2（A2n-2Cn）2（B2-C

2n）2+4B2-C2n+A2n-2CnB2-C2n，

其中A2n-2Cn和C2n-B2都在式（11）中給出. 又由于sgt;s*， 當(dāng)0≤n≤N0時(shí)， A2n-2Cn關(guān)于n嚴(yán)格遞增， 同時(shí)B2-C2n關(guān)于n嚴(yán)格遞減， 所以可得

σ2n+1lt;σ2n. 由于sgt;s*時(shí)， An≥0， 根據(jù)式（14）， τ0n=1σnarccosσ2n-CnB. 因此， 當(dāng)0≤n≤N0 時(shí)， 有τ0n+1gt;τ0n.

因?yàn)棣襫+1lt;σn， 結(jié)合式（13）， 所以當(dāng)j≥1， 0≤n≤N0時(shí)， τjn+1gt;τjn.

綜合上述分析， 可得如下定理：

定理1 設(shè)0lt;qlt;（1-m）2， sgt;s*， u*∈m+12，1成立， 則有：

1） 若τ∈［0，τ00）， 則系統(tǒng)（4）的正平衡點(diǎn)E1（u*，v*）是局部漸近穩(wěn)定的;

2） 若τ=τjn， j∈瘙綃， 0≤n≤N0， 則系統(tǒng)（4）在正平衡點(diǎn)E1（u*，v*）處產(chǎn)生Hopf分支;

3） 若τgt;τ00， 則系統(tǒng)（4）的正平衡點(diǎn)E1（u*，v*）是不穩(wěn)定的.

2 Hopf分支的方向和穩(wěn)定性

當(dāng)τ=τjn時(shí)， 系統(tǒng)（4）在E1（u*，v*）處產(chǎn)生Hopf分支. 下面利用時(shí)滯偏微分方程的中心流形定

理［12］和規(guī)范型理論［11，13］研究τ=τ0=τ00時(shí)Hopf分支的方向和分支周期解的穩(wěn)定性.

令τ=τ0+μ， 則μ=0為系統(tǒng)（5）的Hopf分支值. 令t=tτ并代入方程（5）， 且仍用t表示t

， 同理， Ut=φ， U（t）=φ（0）， 則可將系統(tǒng)（5）轉(zhuǎn)化為

dU（t）dt=τ0dΔ

U（t）+τ0L0（Ut）+G（Ut，μ），（15）

其中，

L0（φ）=［-2u*2+（m+1）u*］φ1（0）-qu*φ2（0）sφ1（-1）-sφ2（0），

G（φ，μ）=μdΔφ（0）+μL0（φ）+（μ+τ

0）F0（φ），F(xiàn)0（φ）=（φ1（0）+u*）（［1-（φ1（0）+u*）］（φ1（0）+u*-m）-q（φ2（0）+v*））

-［-2u*2+（m+1）u*］φ1（0）+qu*φ2（0）s（φ2（0）+v*）1-φ2（0）+v*（φ1（-τ）+u*）-sφ1（-1）+sφ2（0），

且φ∈C（［-1，0］，X）.

系統(tǒng)（5）在（0，0）處的線性化系統(tǒng)為

dU（t）dt=τ0dΔU（t）+τ0L0（Ut）.（16）

由式（10）可知， ±iσ0τ0為系統(tǒng)（16）的一對純虛根， 其線性泛函微分方程為

dz（t）dt=τ0L0（zt）.（17）

根據(jù)Riesz表示定理可知， 存在η（θ，μ）（θ∈［-1，0］）為2×2階的有界變差函數(shù)矩陣， 且滿足

（τ0+μ）L0（φ）=∫0-1d

η（θ，μ）φ（θ），" φ（θ）∈C（［-1，0］，瘙綆2），

其中η（θ，μ）=（τ0+μ）Eδ（θ）-（τ0+μ）Fδ（θ+1），

E=-2u*2+（m+1）u*-qu*0-s，" F=00s0，

且對于δ（θ）： ［-1，0］→（X，X）， 有δ（θ）=0，θ∈［-1，0），1，θ=0.

若φ（θ）∈C1（［-1，0］，瘙綆2）， 則A（0）定義為

A（0）（φ（θ））=dφ（θ）dθ，θ∈［-1，0），

∫0-1dη（θ，0）φ（θ），θ=0.

若ψ=（ψ1，ψ2）∈C1（［-1，0］，（瘙綆2）*）， 則A*定義為

A*（ψ（s））=-dψ（s）ds，s∈（0，1］，

∫0-1ψ（-s）dη（θ，0），s=0.

若φ（θ）∈C1（［-1，0］，瘙綆2）， ψ（s）∈C1（［-1，0］，（瘙綆2）*）， 引入如下雙線性形式：

〈ψ（s），φ（θ）〉0=ψ（0）φ（0）-∫0-1∫θ0

ψ（ξ-θ）dη（θ，0）φ（ξ）dξ，

則A（0）和A*是雙線性形式〈ψ（s），φ（θ）〉0下的伴隨算子.

經(jīng)驗(yàn)證可知， ±iσ0τ0是A（0）和A*的特征值， 設(shè)q（θ）=（q1，q2）Teiσ0τ0

θ（θ∈［-1，0］）和q*（s）=1（q*1，q*2）eiσ0τ0s（s∈［0，1］）分

別為A（0）和A*關(guān)于特征值iσ0τ0和-iσ0τ0對應(yīng)的特征向量， 其中

（q1，q2）=1，-2u*+m+1q-iσ0qu

*，" （q*1，q*2）=1，-qu*（s+iσ0）s2+σ20，

D=1-qu*（s+iσ0）s2+σ20-2u*+m+1q-iσ0qu*+τ0se-iσ0τ0.

根據(jù)文獻(xiàn)［11］可知， AU是線性系統(tǒng)（16）的無窮小生成元， 滿足AUψ=（θ

）. 同時(shí)， 令f0=（f10，f20）T

， 其中f10=（1，0）T， f20=（0，1）T， c=（c1，c2）T∈瘙綇

2， 定義c·f0=c1f10+c2f20， 當(dāng)ψ（θ）∈［-1，0］時(shí)， 定義（ψ·f0）（θ）=ψ（θ）·f0，

且對u=（u1，u2）， v=（u1，u2）∈X=C（［0，lπ］，瘙綆2）， 有

〈u，v〉=1lπ∫lπ0u1v1dx+1lπ

∫lπ0u2v2dx.

因此， 〈φ，f0〉=（〈φ

，f10〉，〈φ，f20〉）T， 其中φ∈C（［-1，0］，X）.

令Φ=（q（θ），q（θ））， Ψ=（q*（s），q

*（s））T， 則（Ψ，Φ）0=I， 其中I=10

01. 設(shè)系統(tǒng)（17）的中心子空間為P=span{q（θ），q（θ）}，

伴隨子空間為P*=span{q*（s），q*（s）}.

下面再由PCNC給出系統(tǒng)（17）的中心子空間， 其中

PCNφ=Φ（Ψ，〈φ，f0〉）0·f0， φ

∈C， PCNC={（q（θ）z，q（θ）z）·f0： z∈瘙綇}，

C=PCNCPSC， PSC為穩(wěn)定的子空間.

由于Hopf分支的方向和穩(wěn)定性都與μ=0有關(guān)， 因此在系統(tǒng)（15）中令μ=0， 可確定中心流形

W（z，z）=W20（θ）z22+W11（θ）z

z+W02（θ）z22+…，

系統(tǒng)（15）在中心流形中的流可寫為

ut=Φ（z（t），z（t））T+W（z（t），z（t））=q（θ）z（t）+

q（θ）z（t）+W（z（t），z（t）），

其中

（t）=iω0τ0z（t）+q*（0）〈G（ut，0），f0〉=iω0τ

0z（t）+g（z，z），

且

g（z，z）=q*（0）〈G（ut，0），f0〉

=g20z22+g11zz+g02z22+g21z2z2+….（18）

再根據(jù)G（φ，μ）的表達(dá)式， 有

G（φ，0）=τ0F0（φ）=τ0G1G2，

其中，G1= "（-6u*+2m-2）φ21（0）-6φ31（0）-qφ1（0）φ2（0）+O（4），

G2=-2sv*2u*3φ21（-1）+6sv*2u*4φ31（-1）+12sv*u*4φ

21（-1）φ2（0）+2sv*u*2φ1（-1）φ2（0）+2su*2φ1（-1）φ22（0）-2su*φ

22（0）+O（4），（19）

式中O（4）=O（‖（u，v）‖4）.

由式（18），（19）可得

g20= "2q*1τ0D［（-6u*+2m-2）q21-qq1q2］+2q*2τ0D

-2sv*2u*3q21e-2iσ0τ0+2sv*u*2q1q2e-iσ0τ0-2su*q22，

g11= "q*1τ0D［2（-6u*+2m-2）q1q1-q（q1q2+q1q2）］

+ "q*2τ0D-4sv * 2 u*3q1q1+2sv*u*2（q1q

2eiσ0τ0+q1q2e-iσ0τ0）-4su*q2q2，

g02= "2q*1τ0D［（-6u*+2m-2）q21-qq1q2］+2q*2τ0D

-2sv*2u*3q21e2iσ0τ0+2sv*u*2q

1q2eiσ0τ0-2su*q22，

g21= "2q*1τ0D［（-6u*+2m-2）（2q1W111（0）+q1W120（0））-2q21q21］-

q*1τ0βD［2qq21W211（0）+qq21W220（0）+qq2W120（0）+2qq2W111（0）］-

2q*2τ0D2sv*2u*3（2q1e-iσ0τ0W111（-1）+q1

eiσ0τ0W120（-1））+2q*2τ0D

6sv*2u*4（2q1q21e2iσ0τ0）+12sv*u*4（2q21q2e-2iσ0τ0）

+ "q*2τ0D2sv*u*2（2q2W111（-1）+2q2W120（-1）+q1e

iσ0τ0W220（0）+2q1e-iσ0τ0W211（0））- "2q*2τ0D

2su*（2q2W211（0）+q2W220（0））

+2q*2τ0D2su*2（q1q22e-iσ0τ0），

因此， 要得到g21， 需要先計(jì)算出W20（θ）和W11（θ）.

由于W（z（t），z（t））滿足

= "AUW+X0G

（Φ（z，z）T·f0+w（z，z），0）

- "Φ（Ψ，〈X0G（

Φ（z，z）T·f0+w（z，z），0），f0〉）0·f0

= "A（0）W+H20 z22+H11zz+H

02z22+…，（20）

因此根據(jù)鏈?zhǔn)椒▌t

=W（z，z）z·+W（z，z）z

·z·，

可得

［2iσ0τ0-AU］W20=H20，

-AUW11=H11，

［-2iσ0τ0-AU］W02=H02.（21）

當(dāng)-1≤θlt;0時(shí)， 有

-Φ（Ψ，〈X0G

（Φ（z，z）T·f0+w（z，z），0），f0〉）0·f0=H20z

22+H11zz+H02z22+…，（22）

H20（θ）=-［g20q（θ）+g02q（θ）］·f0，

H11（θ）=-［g11q（θ）+g11q（θ）］·f0.

根據(jù)式（21），（22）可得

W20（θ）=ig20σ0τ0q（θ）·f0+ig023σ0

τ0q（θ）·f0+E1e2iσ0τ0θ，

W11（θ）=-ig11σ0τ0q（θ）·f0+ig11σ

0τ0q（θ）·f0+E2.

在式（21）中令θ=0， 再結(jié)合無窮小生成元的定義以及

H20（0）=-g20［q（0）+g02q（0）］·f0+τ0

（-6u*+2m-2）q21-qq1q2-2sv*2u*3q21e-2iσ0τ0+2sv*u*2q1q2e-iσ0τ0-2s

u*q22，H11（0）=-g11［q（0）+g11 q

（0）］·f0+τ02（-6u*+2m-2）q1q1-q（q1q2+q1q2）

-4sv*2u*3q1q1+2sv*u*2

（q1q2eiσ0τ0+q1q2e-iσ0τ0）-4su*q2q2，

得E1=E11·E12，

E2=E21·E22，（23）

其中

E11=2iσ0+2u*2-（m+1）u*qu*-se-2iσ0τ02iσ0+s-1，

E12=（-6u*+2m-2）q21-qq1q2-2sv*2u*3q21e-2iσ0τ0

+2sv*u*2q1q2e-iσ0τ0-2su*q22，

E21=2u*2-（m+1）u*qu*-ss-1，" E22=

2（-6u*+2m-2）q1q1-q（q1q2+q1q2）-4sv*2u*3q1q1+2sv*u*

2（q1q2eiσ0τ0+q1q2e-iσ0 τ0）-4su*q2q2.

因此， g21表達(dá)式由此可確定.

基于上述分析， 根據(jù)參數(shù)可計(jì)算出每個(gè)gij的值， 判斷分支方向和分支周期解穩(wěn)定性的表達(dá)式也可由計(jì)算得到：

C1（0）=i2σ0τ00g11g20-2g112-g0223

+g212，" μ2=-Re（C1（0））Re（λ′（τ00）），β2=2Re（C1（0）），

T2=-Im（C1（0））+μ2Im（λ′（τ00））σ0τ00.

因此可得如下定理.

定理2 對于系統(tǒng)（4）， 有以下結(jié)論：

1） μ2確定Hopf分支的分支方向， 當(dāng)μ2gt;0時(shí)， 分支方向是超臨界的， 當(dāng)μ2lt;0時(shí)， 分支方向是次臨界的;

2） β2確定分支周期解的穩(wěn)定性， 當(dāng)β2lt;0時(shí)， 分支周期解是漸近穩(wěn)定的， 當(dāng)β2gt;0時(shí)， 分支周期解是不穩(wěn)定的;

3） T2確定分支周期解的周期， 當(dāng)T2gt;0時(shí)， 周期增大， 當(dāng)T2lt;0時(shí)， 周期減少.

3 數(shù)值模擬

下面利用MATLAB工具給出具體的實(shí)例， 以驗(yàn)證上述理論分析結(jié)果.

對于系統(tǒng)（4）， 取參數(shù)m=0.29， q=0.2， s=0.185， l=2.25， d1=0.01， d2=1， 計(jì)算得到正平衡點(diǎn)為E1（u*，v*）=（0.628 8，0.628 8）， 同時(shí)滿足條件

0lt;qlt;（1-m）2， sgt;s*=-2u*2+（m+1）u*，

且u*∈m+12，1， 其中0lt;mlt;1， 根據(jù)計(jì)算可得τ00=8.027 0.

取τ=4.54lt;τ00， 由定理1和定理2可知， 當(dāng)τ經(jīng)過τ00， 正平衡點(diǎn)E1（u*，v*）由穩(wěn)定變?yōu)椴环€(wěn)定并產(chǎn)生Hopf分支， 如圖1～圖3所示. 取初值

u（x，t）=u*+0.01sin（4x）， v（x，t）=v*+0.01sin（4x）， τ=4.54lt;8.027 0，

由定理1和定理2可知， 系統(tǒng)（4）在正平衡點(diǎn)E1（u*，v*）處是局部漸近穩(wěn)定的， 如圖1所示.

取τ=8.03gt;τ00時(shí)， 由定理1和定理2可知， 系統(tǒng)（4）在正平衡點(diǎn)E1（u*，v*）處產(chǎn)生Hopf分支， 如圖2和圖3所示. 當(dāng)初值為

u（x，t）=u*+0.15sin（0.01x）， v（x，t）=v*+0.15sin（0.01x）

時(shí)， 系統(tǒng)（4）產(chǎn)生空間齊次周期解， 如圖2所示; 當(dāng)初值為

u（x，t）=u*+0.014sin（0.5x），" v（x，t）=v*+0.014sin（0.5x）

時(shí)， 系統(tǒng)（4）產(chǎn)生空間非齊次周期解， 如圖3所示.

圖1 當(dāng)τ=4.54lt;τ00時(shí)系統(tǒng)（4）在正平衡點(diǎn)處穩(wěn)定

Fig.1 System （4） is stable at" positive equilibrium point when parameter τ=4.54lt;τ00

圖2 當(dāng)τ=8.03gt;τ00時(shí)系統(tǒng)（4）產(chǎn)生齊次周期解

Fig.2 System （4） generates homogeneous periodic solutions when parameter τ=8.03gt;τ00

圖3 當(dāng)τ=8.03gt;τ00時(shí)系統(tǒng)（4）

產(chǎn)生非齊次周期解Fig.3 System （4） generates inhomogeneous periodic solutions when parameter τ=8.03gt;τ00

此外， 計(jì)算得到μ2=1.348 1×105gt;0， 產(chǎn)生的Hopf分支方向?yàn)槌R界， β2=-1.385 7×103lt;0， 分支周期解是漸近穩(wěn)定的， T2=-6.594 1×103lt;0， 分支周期解的周期減少.

參考文獻(xiàn)

［1］ CHEN S S， SHI J P， WEI J J. The Effect of Delay on a Diffusive Preda

tor-Prey System with Holling Type-Ⅱ Predator Functional Response ［J］. Communications on Pure and Applied Analysis， 2013， 12（1）： 481-501.

［2］ 王雅迪， 袁海龍. 時(shí)滯Lengyel-Epstein反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)的Hopf分支 ［J］. 山東大學(xué)學(xué)報(bào)（理學(xué)版）， 2023， 58（8）： 92-103. （WANG Y D， YUAN H L. H

opf Bifurcation Analysis in the Lengyel-Epstein Reaction Diffusion System with Time Delay ［J］. Journal of Shandong University （Natural Science）， 2023， 58（8）： 92-103.）

［3］ 姚佳佳， 沈維. 一類食餌-捕食模型的穩(wěn)定性和Hopf分支的存在性 ［J］. 吉林大學(xué)學(xué)報(bào)（理學(xué)版）， 2022， 60（2）： 225-230. （YAO J J， SHEN W. Sta

bility of a Class of Prey-Predator Model and Existence of Hopf Bifurcation ［J］. Journal of Jilin University （Science Edition）， 2022， 60（2）： 225-230.）

［4］ CHANG X Y， WEI J J. Hopf Bifurcation and Optimal Con

trol in a Diffusive Predator-Prey System with Time Delay and Prey Harvesting ［J］. Nonlinear Analysis： Modelling and Control， 2012， 17（4）： 379-409.

［5］ FU S M， ZHANG H S. Effect of Hunting Cooperation on the Dynamic Behav

ior for a Diffusive Holling Type Ⅱ Predator-Prey Model ［J］. Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation， 2021， 99： 105807-1-105807-23.

［6］ NI W J， WANG M X. Dynamical Properties of a Leslie-

Gower Prey-Predator Model with Strong Allee Effect in Prey ［J］. Discrete and Continuous Dynamical Systems： Series B， 2017， 22（9）： 3409-3420.

［7］ YANG R Z， ZHANG C R. Dynamics in a Diffusive Predator-Prey System wit

h a Constant Prey Refuge and Delay ［J］. Nonlinear Analysis： Real World Applications， 2016， 31： 1-22.

［8］ CHEN S S， SHI J P， WEI J J. Global Stability and Hopf Bifurcation in

a Delayed Diffusive Leslie-Gower Predator-Prey System ［J］. International Journal of Bifurcation and Chaos， 2012， 22（3）： 1250061-1-1250061-11.

［9］ DU Y F， NIU B， WEI J J. Two Delays Induce Hopf Bifur

cation and Double Hopf Bifurcation in a Diffusive Leslie-Gower Predator-Prey S

ystem ［J］. Chaos： An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science， 2019， 29（1）： 013101-1-013101-16.

［10］ 常笑源， 汪紅， 楊鴻飛， 等. 具時(shí)滯和Leslie-Gower功能反應(yīng)函數(shù)的捕食者-食餌系統(tǒng)的Hopf分支分析 ［J］. 黑龍江大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報(bào)， 2020

， 37（1）： 39-44. （CHANG X Y， WANG H， YANG H F， et al. Analysis of Hopf Bifur

cation on the Leslie-Gower Predator-Prey System with Time Delay ［J］. Journal of Natural Science of Heilongjiang University， 2020， 37（1）： 39-44.）

［11］ WU J H. Theory and Applications of Partial Function

al Differential Equations ［M］. Applied Mathematical Sciences. New York： Springer， 1996： 1-448.

［12］ LIN X D， SO J W H， WU J H. Center Manifolds for Partial Differential E

quations with Delays ［J］. Proceedings of the Royal Society of Edinburgh Section A： Mathematics， 1992， 122（3/4）： 237-254.

［13］ HASSARD B D， KAZARINOFF N D， WAN Y H. Theory and

Applications of Hopf Bifurcation ［M］. Cambridge： Cambridge University Press， 1981： 1-499.

（責(zé)任編輯： 趙立芹）