折紙大冒險(xiǎn)：未來(lái)建筑的幾何危機(jī)

6月4日" "星期二" "天氣：小雨

美術(shù)課上的煩惱

今天的美術(shù)課課堂非常熱鬧，相比于平時(shí)大家自顧自地畫(huà)畫(huà)，折紙好像更有趣。大家三三兩兩地湊在一起，炫耀著自己的作品。有的同學(xué)折出了栩栩如生的飛鳥(niǎo)，有的同學(xué)則精心塑造出精巧復(fù)雜的花朵，還有的同學(xué)設(shè)計(jì)出了立體的紙機(jī)器人……教室里洋溢著創(chuàng)意與歡樂(lè)的氣息。

然而，陸小豆卻獨(dú)自坐在角落，桌上放著幾團(tuán)皺巴巴的彩色紙，眼神中流露出困惑與無(wú)奈。他看著同學(xué)們手指靈活地折疊、剪裁，不一會(huì)兒就制作出了各種精美的折紙作品，而自己卻怎么也學(xué)不會(huì)。

“為什么我就是不會(huì)折紙呢？”陸小豆沮喪地想，“我明明很想做出漂亮的作品啊?！?/p>

陸小豆不太好意思詢問(wèn)同學(xué)們，只能悄悄地打開(kāi)書(shū)包，原來(lái)學(xué)霸精靈正在里面休眠。陸小豆晃了晃書(shū)包喚醒了學(xué)霸精靈。

看到陸小豆一臉沮喪，學(xué)霸精靈問(wèn)：“你這是怎么了？”

陸小豆低著頭說(shuō)：“我做不好折紙?！?/p>

學(xué)霸精靈翻了個(gè)白眼說(shuō)：“折紙是一門(mén)需要技巧和空間想象能力的藝術(shù)，其中涉及數(shù)學(xué)中一個(gè)很重要的分支——幾何。”忽然，學(xué)霸精靈好像想到了什么，然后雙目中流動(dòng)起了數(shù)據(jù)。

奇形怪狀的大樓

“果然，你又捅大婁子了！”學(xué)霸精靈無(wú)奈地說(shuō)道。

“切，我也不過(guò)是折紙的水平不太行，我才不信會(huì)對(duì)未來(lái)有什么影響呢?！标懶《共环獾卣f(shuō)道。

“折紙事小，但暴露了你不熟悉各種基本的平面圖形和立體圖形，對(duì)簡(jiǎn)單的幾何圖形剪拼和立體圖形展開(kāi)也一竅不通，空間想象能力很糟糕。這樣的你，如果去規(guī)劃未來(lái)城市，可不就是捅了大簍子了?！闭f(shuō)罷學(xué)霸精靈也不廢話，馬上從雙眼投射出全息投影，一幅未來(lái)都市的景象展示在陸小豆面前。

畫(huà)面中高樓林立，各種高架橋縱橫交錯(cuò)，形成了繁雜的建筑群和立體交通網(wǎng)絡(luò)。陸小豆把畫(huà)面放大，仔細(xì)觀看各種樓房，發(fā)現(xiàn)很多建筑都奇形怪狀、七扭八歪、混亂不堪，很多房屋出現(xiàn)了結(jié)構(gòu)錯(cuò)誤。摩天大樓因?yàn)轭^重腳輕，動(dòng)不動(dòng)就傾斜搖晃，很是危險(xiǎn)。

“你看看吧，這些建筑物還不光是表面不美觀，其中很多結(jié)構(gòu)還非常不穩(wěn)定，又或者非常的不實(shí)用，施工成本高，施工困難……這都是你的錯(cuò)！”學(xué)霸精靈毫不客氣地說(shuō)道。

“這……這也太危險(xiǎn)了！快，我要好好學(xué)習(xí)一下幾何圖形的知識(shí)了！”陸小豆已經(jīng)輕車熟路了，馬上按下學(xué)霸勛章，變身成了學(xué)霸。

平面圖形識(shí)別和運(yùn)用：

識(shí)別和使用正方形、長(zhǎng)方形、三角形等基本平面圖形。

通過(guò)組合平面圖形創(chuàng)造更復(fù)雜的造型。

空間圖形理解：

理解平面圖形在三維空間中的展開(kāi)和折疊。

預(yù)測(cè)折疊后的立體造型。

掌握立方體、柱體、棱錐等基本立體圖形的特點(diǎn)。

難度：

下面的圖形中哪些是三角形？哪些是長(zhǎng)方形？哪些是平行四邊形？哪些是菱形？

答案：三角形有2個(gè)：④⑦；長(zhǎng)方形也有2個(gè)：①②；平行四邊形有4個(gè)：①②③⑥；菱形有2個(gè)：①⑥。

解答：用示意圖來(lái)表示三角形與特殊三角形，四邊形與特殊四邊形之間的關(guān)系：

難度：

有兩個(gè)相同的直角三角形紙片，三條邊分別為3厘米、4厘米和5厘米。不許折疊，用這兩個(gè)直角三角形可以拼成幾種平行四邊形（經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)或翻轉(zhuǎn)后相同的平行四邊形算同一種）？

答案：3種

解答：要把2個(gè)三角形粘成平行四邊形，就必須把其中長(zhǎng)度相同的2條邊粘在一起。

①把2條長(zhǎng)為3厘米的邊粘在一起，可以得到：

其中圖1是一個(gè)三角形，不是題目所求；圖2是平行四邊形，對(duì)邊長(zhǎng)分別是4厘米和5厘米。

通過(guò)類似的嘗試可知，把2條長(zhǎng)為4厘米的邊粘在一起，或2條長(zhǎng)為5厘米的邊粘在一起，能拼成如下2個(gè)平行四邊形：其中圖3是對(duì)邊長(zhǎng)分別是3厘米和5厘米的平行四邊形，圖4是長(zhǎng)和寬分別為4厘米和3厘米的長(zhǎng)方形，是特殊的平行四邊形。因此2個(gè)三角形一共能拼成3種平行四邊形。

難度：

下面的四個(gè)正方體標(biāo)字母的方式是完全相同的，請(qǐng)你利用圖中已知的信息，判斷A、B、C的對(duì)面分別標(biāo)的是哪個(gè)字母。

答案：A的對(duì)面標(biāo)有D，B的對(duì)面標(biāo)有F，C的對(duì)面標(biāo) 有E。

解答：由已知條件可推斷，標(biāo)有C、D的兩個(gè)面不能相對(duì)，那么或A的對(duì)面標(biāo)有D，或B的對(duì)面標(biāo)有D。

①如果標(biāo)有D、A的兩個(gè)面相對(duì)，那么“標(biāo)有C、D的兩個(gè)面不能相對(duì)”，“標(biāo)有E、A的兩個(gè)面也不能相對(duì)”這兩個(gè)條件都可以滿足。

注意到當(dāng)D在朝右的面，E在朝上的面時(shí)，F(xiàn)在朝前的面上，那么只能是標(biāo)有E、C的兩個(gè)面相對(duì)，而標(biāo)有F、B的兩個(gè)面相對(duì)。經(jīng)檢驗(yàn)，這種情況滿足題目 要求。

②如果標(biāo)有D、B的兩個(gè)面相對(duì)，那么由于標(biāo)有E、A的兩個(gè)面也不能相對(duì)，于是標(biāo)有A的對(duì)面就是標(biāo)有F的面，而標(biāo)有C的對(duì)面就是標(biāo)有E的面。

此時(shí)D在朝后的面上，E在朝左的面上，F(xiàn)在朝下的面上。我們把六面體旋轉(zhuǎn)，把D轉(zhuǎn)到朝右的面，并把E轉(zhuǎn)到朝上的面，此時(shí)朝前的面上標(biāo)的是A，而朝后的面上標(biāo)的是F，與題意不符。

綜上所述，滿足題意的答案只有一個(gè)：A的對(duì)面標(biāo)有D，B的對(duì)面標(biāo)有F，C的對(duì)面標(biāo)有E。

難度：

這是一個(gè)立體圖形的展開(kāi)圖，請(qǐng)問(wèn)：原來(lái)立體圖形的棱和面各有多少？

答案：16條棱，9個(gè)面。

解答：展開(kāi)圖中最下面的正方形就是原立體圖形的底面，除了這個(gè)正方形余下的是由4個(gè)大小形狀完全相同的圖形組成，其中4個(gè)長(zhǎng)方形構(gòu)成一個(gè)六面體的4個(gè)側(cè)面。而4個(gè)三角形構(gòu)成一個(gè)四棱錐的4個(gè)側(cè)面。因此原立體圖形由兩部分組成，如圖所示：

立體圖形的上半部分是一個(gè)四棱錐，其中四棱錐的4個(gè)側(cè)面也是立體圖形的面，8條棱也是立體圖形的棱。

立體圖形的下半部分是底面為正方形的平行六面體，其中5個(gè)面是立體圖形的面，12條棱都是立體圖形的棱。但是上底面的4條棱在考慮四棱錐的棱時(shí)已經(jīng)計(jì)算過(guò)，不能重復(fù)計(jì)算，那么考慮平行六面體時(shí)新增加的棱就有12-4=8（條）。

因此，原立體圖形有4+5=9（個(gè)）面，有8+8= 16（條）棱。

難度：

將一個(gè)正方體紙盒的某些棱剪開(kāi)后，可以將其平鋪成一個(gè)“平面展開(kāi)圖”，也就是由6個(gè)正方形連接起來(lái)的一整張紙片。那么正方體的平面展開(kāi)圖一共有多少種？請(qǐng)全部畫(huà)出來(lái)。（注意：如果經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)或者翻轉(zhuǎn)后，兩個(gè)展開(kāi)圖可以完全重合，那么只能算作一種平面圖形）

答案：一共有11種正方體的平面展開(kāi)圖。

解答：