擬靜力法地下通道抗震驗(yàn)算

沈中治

北京市市政工程設(shè)計(jì)研究總院有限公司 100082

引言

由于地下通道地震作用可借鑒的算例很少，工程設(shè)計(jì)人員容易產(chǎn)生疑惑，本文借編制標(biāo)準(zhǔn)圖集的機(jī)會(huì)，對(duì)此作了探討。主要問(wèn)題有兩個(gè)，一個(gè)是地下通道在地震力作用下的計(jì)算；二是通道在設(shè)防地震作用下的結(jié)構(gòu)受力狀態(tài)。

1 框架的內(nèi)力和變形計(jì)算

1.1 計(jì)算思路

（1）根據(jù)力獨(dú)立作用原理，將結(jié)構(gòu)荷載分為水平荷載和豎直荷載兩大類，對(duì)每種荷載分別作用計(jì)算結(jié)果進(jìn)行疊加，即可得到結(jié)構(gòu)總的內(nèi)力和變形。

（2）水平荷載作用包括框架地震力、填土地震力、土壓力、動(dòng)土壓力、土彈性抗力，共分三步：

第一步是求出框架整體內(nèi)力，先將全部水平荷載化成框架節(jié)點(diǎn)力。由于水平荷載不對(duì)稱，而框架是對(duì)稱的，故產(chǎn)生的內(nèi)力和變形都不對(duì)稱。用“修正側(cè)移剛度法”［1］計(jì)算出框架的整體位移和內(nèi)力，具體步驟是：節(jié)點(diǎn)荷載——側(cè)移剛度——側(cè)墻水平位移——側(cè)墻剪力——側(cè)墻、頂板、底板的整體彎矩。

第二步是求框架的單體內(nèi)力，由于結(jié)構(gòu)已經(jīng)完成側(cè)向變形，每個(gè)單體構(gòu)件（側(cè)墻、頂板、底板）都按固端梁考慮。在固端節(jié)點(diǎn)處，相鄰構(gòu)件單體內(nèi)力是平衡的，所以不管構(gòu)件上是否有水平荷載，固端彎矩都是可以求取的。

第三步是將整體和單體內(nèi)力疊加，即得到水平荷載作用下的內(nèi)力。

（3）豎直荷載作用包括框架重力、填土重、鋪裝重，由于荷載對(duì)稱、結(jié)構(gòu)對(duì)稱，故框架內(nèi)力和變形都對(duì)稱。節(jié)點(diǎn)無(wú)側(cè)向位移，框架頂板、側(cè)墻按閉合框架計(jì)算內(nèi)力［3］，底板按彈性地基固端梁計(jì)算內(nèi)力和變形［4］。

（4）將水平荷載和豎直荷載作用計(jì)算結(jié)果疊加，即得到框架的總內(nèi)力和總變形。

（5）按各構(gòu)件的配筋量進(jìn)行強(qiáng)度驗(yàn)算。

1.2 內(nèi)力和變形計(jì)算

通道尺寸如圖1 所示。

本圖集涉及的通道抗震設(shè)防類別為B類，設(shè)防烈度Ⅷ度地區(qū)，故只考慮水平向地震作用，不考慮豎向地震作用。

通道按縱向1m寬的框架計(jì)算。

1.水平荷載作用用“修正剛度位移法”，求框架整體位移和內(nèi)力。（1）水平節(jié)點(diǎn)力由水平力求?。▓D2），框架側(cè)移是頂板相對(duì)底板而言，故只需求取頂板A、C的節(jié)點(diǎn)力QA、QC。

圖2 框架節(jié)點(diǎn)力Fig.2 Frame node forces

左側(cè)墻地震力及土壓力、動(dòng)土壓力，根據(jù)規(guī)范［2］可得：

左右側(cè)墻頂板地震力和填土地震力?？蚣茼敯迳咸钔粒卣鹆ψ饔昧π∮谕梁晚敯逯g的摩阻力，所以填土的地震作用力傳達(dá)到頂板上，加上頂板地震力總和T為：

右側(cè)墻墻背土抗力：在地震作用下，框架頂板相對(duì)于底板發(fā)生變位，因側(cè)墻后的被動(dòng)土壓力較大，大于土的抗力（安全系數(shù)2），所以墻后產(chǎn)生側(cè)向水平抗力，抗力大小和位移有關(guān)，和深度呈正比，抗力系數(shù)。側(cè)墻變形曲線按上下端固結(jié)梁考慮，水平位移為側(cè)墻頂水平位移（m）（此值根據(jù)節(jié)點(diǎn)力和側(cè)墻修正剛度求?。?。水平抗力

當(dāng)墻頂取單位位移時(shí)，側(cè)墻頂剛度為：

框架總節(jié)點(diǎn)力：

式中：h、h1、d1、d2、L、b見(jiàn)圖1 所示；Ci、Cs、A、γ、?見(jiàn)規(guī)范［2］；m為填土水平抗力比例系數(shù)（kN／m4）；γδ為框架鋼筋混凝土重度（kN／m3）。

（2）水平位移和水平剪力。頂?shù)装搴蛡?cè)墻的剛度為i板＝EδI板／h，i墻＝EδI墻／L（I為慣性矩），由于節(jié)點(diǎn)產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)，降低墻的抗側(cè)移性能，故應(yīng)予修正，根據(jù)頂?shù)装搴蛡?cè)墻的線剛度比i墻，則剛度修正系數(shù)

側(cè)墻頂?shù)乃搅?，按剛度大小分配?/p>

（3）框架整體構(gòu)件的彎矩M′。側(cè)墻反彎點(diǎn)高度位置和板墻線剛度比有關(guān)，可按從表1 查得反彎矩點(diǎn)系數(shù)y0。

表1 反彎矩點(diǎn)系數(shù)Tab.1 Coefficient of inflection point

（4）框架單體構(gòu)件的彎矩M″。由于框架在總體節(jié)點(diǎn)力下完成節(jié)點(diǎn)的位移和轉(zhuǎn)角，于是單體構(gòu)件作為一固端梁，作用在上面的水平荷載產(chǎn)生局部彎矩，稱之單體構(gòu)件彎矩。

左側(cè)墻彎矩：水平荷載為梯形，qA、qB作用。

右側(cè)墻彎矩：水平荷載為矩形qC，和高次方程曲線作用。梁上彎矩先根據(jù)固端彎矩M″墻C和M″墻D的內(nèi)插值，再疊加以按簡(jiǎn)支梁的彎矩M″簡(jiǎn)支x，可得：

式中：M″簡(jiǎn)支x為簡(jiǎn)支梁彎矩，可用簡(jiǎn)支梁上均布荷載qC的彎矩和集中力彎矩Mf公式積分后相加可得，如圖3 所示。

圖3 右側(cè)墻水平荷載按簡(jiǎn)支梁力系Fig.3 Horizontal load on the right wall according to the simply supported beam force system

當(dāng)P在x以上時(shí)；

頂板、底板彎矩：

2.豎直荷載作用

框架結(jié)構(gòu)圖式為彈性地基上的閉合框架（圖4）。

圖4 框架豎直荷載Fig.4 Vertical load on frame

（1）頂板、側(cè)墻及底板的荷載

頂面均布荷載（頂板、填土、車輛）：

底面均布荷載（底板、鋪裝）：

側(cè)墻集中荷載：

式中：∑Pi為不利車輛位置輪重之和（kN）；∑S縱、∑S橫為車輛縱橫向距離之和（m）；γ鋪裝為鋪裝容重（kN／m3）。

（2）頂板、側(cè)墻彎矩［3］

（3）底板按彈性地基梁

根據(jù)文克爾假定，地基反力和沉降成正比，由材料力學(xué)推算出梁受彎微分方程式：

解此微分方程，分別得到梁的內(nèi)力和變形，即：撓度y，轉(zhuǎn)角θ ＝y(tǒng)′，彎矩剪力Q＝反框架底板為兩端固結(jié)的彈性地基梁，圖集中梁長(zhǎng)為：L＝5.5m～8.8m，因L＜3／β，故為短梁。由于沒(méi)有短梁的計(jì)算公式，故選取了半無(wú)限長(zhǎng)梁公式近似計(jì)算，半無(wú)限長(zhǎng)梁遠(yuǎn)端邊界條件和短梁不同，利用結(jié)構(gòu)對(duì)稱與荷載對(duì)稱等條件，將公式中遠(yuǎn)端內(nèi)力和變形進(jìn)行局部修正。短梁左右兩端承受上面?zhèn)鱽?lái)的荷載，可分別用左右端為原點(diǎn)的兩根反方向的半無(wú)限長(zhǎng)梁替代在左右端點(diǎn)原點(diǎn)上作用此荷載來(lái)計(jì)算內(nèi)力和變形，再將各種荷載計(jì)算結(jié)果疊加，得到總的內(nèi)力和變形（圖5）。

圖5 彈性地基短梁化為半無(wú)限長(zhǎng)梁作用Fig.5 Effect of transforming short beams on elastic foundation into semi-infinite beams

（4）底板內(nèi)力和變形計(jì)算

框架底板在彈性地基上受到水平荷載和豎直荷載的作用，歸納起來(lái)，一共有四種承載型式，即：

Ⅰ.框架水平荷載產(chǎn)生的側(cè)墻底彎矩MB、MD（圖6a）；

圖6 底板在彈性地基上的承載型式Fig.6 Bearing type of bottom plate on elastic foundation

Ⅱ.框架頂板豎直荷載產(chǎn)生的側(cè)墻底彎矩MB、MD（圖6b）；

Ⅲ.側(cè)墻底集中反力產(chǎn)生的剪力-QB＝QD＝（圖6c）；

Ⅳ.底板自重及鋪裝均布荷載產(chǎn)生的梁端彎矩和剪力（圖6d）：

式中：L為梁的長(zhǎng)度（m）；x為梁的計(jì)算截面離原點(diǎn)的坐標(biāo)值（m）；βx為梁的計(jì)算截面離原點(diǎn)的計(jì)算距離，β0、βL／2、βL分別表示梁的左端B、中點(diǎn)H和右端D的位置。

1.3 承載力計(jì)算

（1）材料：混凝土強(qiáng)度等級(jí)，鋼筋種類，配筋量，地基物理力學(xué)性能。

（2）內(nèi)力組合：根據(jù)JTG／T 2231-01 3.6 取地震作用E2、E1組合設(shè)計(jì)值。

（3）承載力驗(yàn)算：對(duì)框架頂板、側(cè)墻、底板各控制截面及底面應(yīng)力進(jìn)行驗(yàn)算，按照公路橋梁設(shè)計(jì)規(guī)范JTG 3362—2018、地基基礎(chǔ)規(guī)范JTG D63—2017 規(guī)定，采用鋼筋混凝土偏心受壓，斜截面抗剪，基礎(chǔ)底面偏心受壓等公式計(jì)算（或查閱計(jì)算圖表［5］）滿足且符合公路（城市）橋梁抗震規(guī)范JTG／T 2231-01—2020（CJJ 166）的要求。

2 計(jì)算實(shí)例

從圖集中選取常規(guī)的斷面，覆土較厚，設(shè)計(jì)條件有代表性的通道進(jìn)行驗(yàn)算。

2.1 基本資料

（1）斷面尺寸：凈空5.0m ×2.50m（圖1），d1＝d2＝b＝0.50m，h1＝2.50m，h2＝0.30m，h＝3.30m，L＝5.50m，B＝6.00m。

（2）材料參數(shù)：C30 混凝土，鋼筋HRB400，鋼筋混凝土彈性模量E＝0.8Ec＝2.4 ×107kN／m2，容重γδ＝25kN／m3，鋪裝容重γ鋪裝＝20kN／m3。

（3）地基：粉細(xì)砂土，場(chǎng)地類別Ⅱ類；場(chǎng)地基床系數(shù)κ ＝3.0 ×104kN／m3，承載力基本容許值［fA0］＝150kN／m2，填土水平彈性抗力系數(shù)m＝2.0 ×104kN／m4，容重γ ＝18kN／m3，內(nèi)摩擦角? ＝35°。

（4）抗震基本要求［1］

設(shè)防列度：8 度（A＝0.20g），設(shè)防分類：C類，設(shè)防目標(biāo)：按兩水準(zhǔn)設(shè)防E1和E2，重要性系數(shù)：E1作用Ci＝0.34，E2作用Ci＝1.0。

2.2 內(nèi)力和變形計(jì)算

地震作用E1、E2，為簡(jiǎn)明閱讀，本算例中均采用E2表達(dá)（E1將最后補(bǔ)充結(jié)果）。

1.水平荷載作用（圖2）

（1）框架節(jié)點(diǎn)力QA、QC

左側(cè)墻地震力和地震土壓力由式（1）～式（5）中代入Ci、Cs、A、γδ、b、?等數(shù)據(jù)得：

qA＝19.82kN／m，qB＝46.14kN／m，QA1＝47.18kN

右側(cè)墻地震力：

頂板地震力和填土地震力：

右側(cè)墻土抗力：

總節(jié)點(diǎn)力：

（2）墻頂水平位移Δ和水平剪力VA、VC

在式（6）～式（7）中求得：

頂?shù)装搴蛡?cè)墻的剛度：

頂?shù)装搴蛡?cè)墻線剛度比：

左右側(cè)墻側(cè)移剛度：

水平位移：

水平剪力：

（3）框架整體構(gòu)件的彎矩M′

（4）框架單體構(gòu)件的彎矩M″

將前面已知的系數(shù)代入式（9）～式（11）中，計(jì)算出側(cè)墻和頂?shù)装宓膯误w彎矩：

2.豎直荷載作用（圖4）

由式（12）～式（14）中代入∑Pi＝2 ×2 ×140kN，∑S縱＝1.40m，∑S橫＝1.3 ＋2 ×1.8m及前面已知的其他系數(shù)后，可得：頂面均布荷載p＝74.4kN／m，底面均布荷載q＝14.5kN／m，側(cè)墻集中荷載P1＝35.0kN，繼而再求出頂板、側(cè)墻、底板的內(nèi)力變形等。

（1）頂板、側(cè)墻彎矩

（2）底板內(nèi)力和變形

底板是彈性地基梁，共有四種承載型式（圖6），本算例僅顯示第Ⅰ種承載型式（其他承載型式后面補(bǔ)充結(jié)果）。

如圖7 所示：

圖7 底板在彈性地基上化為半無(wú)限長(zhǎng)梁后按Ⅰ類承載作用Fig.7 The bottom plate is transformed into a semi-infinite beam on an elastic foundation and subjected to class Ⅰbearing action

圖8 框架彎矩（單位：kN·m）Fig.8 Frame bending moment（unit：kN·m）

現(xiàn)分別對(duì)底板左端B、中點(diǎn)H和右端D截面所在位置β0、βL／2、βL，根據(jù)式（14）計(jì)算內(nèi)力和變形。

撓度：

在計(jì)算了四種承載型式荷載后，底板的內(nèi)力和變形如表2 所示。

表2 底板內(nèi)力和變形Tab.2 Internal force and deformation of bottom plate

3.框架彎矩圖

2.3 承載力驗(yàn)算

根據(jù)1.3（3）節(jié)的要求，框架承載力驗(yàn)算都能滿足，如表3 所示。

表3 框架地震承載力驗(yàn)算Tab.3 Checking calculation of seismic bearing capacity of frames

3 結(jié)論

1.按照上述思路，在選取了計(jì)算圖式并在荷載取值及荷載作用方式確定之后，宜采用計(jì)算機(jī)軟件（平面桿系程序）進(jìn)行具體計(jì)算，這樣可以快捷地得到滿意的結(jié)果，本文采用解析方法，根據(jù)現(xiàn)有理論公式［2-5］，并經(jīng)推導(dǎo)補(bǔ)充后完成，其優(yōu)點(diǎn)是思路清晰，概念明確，且能滿足工程精度要求，但是過(guò)于累贅。

2.框架地震荷載計(jì)算中，應(yīng)該考慮頂板面填土的作用，以及墻背面水平彈性土抗力的作用，其作用方式前者為頂板上的均布靜力，后者為沿側(cè)墻高度呈高次方程的曲線分布。

3.對(duì)于常規(guī)的通道設(shè)計(jì)（材料：C30 混凝土，HRB400 鋼筋，μ ＝0.7%配筋率）可以滿足8 度地震作用，以此表明國(guó)標(biāo)圖集適用范圍為基本烈度8 度的地震區(qū)。

4.通過(guò)計(jì)算，可以給設(shè)計(jì)提供如下資料：1）框架內(nèi)力控制截面位置在頂板的端支點(diǎn)和底板中點(diǎn)，按常規(guī)的配筋，8 度地震時(shí)還有較富余的承載能力（本算例為40%）；2）框架變形量，在地震作用下，在土體不發(fā)生震陷、液化、弱化的條件下，其彈性變形量數(shù)值也不大（本算例水平為0.16cm，豎直為0.7cm）；3）框架頂板和底板在支點(diǎn)角隅處加腋是有利于抗震的。

5.通道是一個(gè)閉合框架結(jié)構(gòu)，本文按靜力法計(jì)算，鑒于框架頂板上集中了較大的靜載，相對(duì)于側(cè)墻，可視為單質(zhì)點(diǎn)體系，根據(jù)反應(yīng)譜理論，也可以采用偽靜力法計(jì)算，即：等效單質(zhì)點(diǎn)體系水平地震作用和底面總剪力相等且沿高度呈倒三角形分布，求出內(nèi)力和變形，提出此方法，可供討論。

編制“通道抗震”算例，前無(wú)可參仿之作，今筆者構(gòu)思此文，乃是拋磚引玉之舉，內(nèi)中不妥之處，望同行批評(píng)指正！