中考數(shù)學(xué)“倍長中線模型”應(yīng)用分析

劉現(xiàn)強(qiáng)　韓愛華

［摘 要］義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)幾何模型的增加，使得教學(xué)難度和學(xué)生的思維深度大大提高。文章闡述初中數(shù)學(xué)的一個經(jīng)典幾何模型——倍長中線模型，并以北京、四川等地方的數(shù)學(xué)中考試題為例，解析該模型蘊含的數(shù)學(xué)思想方法與核心素養(yǎng)。首先對該模型進(jìn)行概述，然后分析解題的思路方法及輔助線的構(gòu)建，研究模型的拓展延伸與應(yīng)用。結(jié)合《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》中模型意識和模型觀念兩大核心素養(yǎng)的重要地位和作用，圍繞中線進(jìn)行模型解題策略研究分析，以增強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)幾何模型知識的應(yīng)用，提升學(xué)生的模型建構(gòu)能力。

［關(guān)鍵詞］中考數(shù)學(xué)；倍長中線；模型

［中圖分類號］ G633.6 ［文獻(xiàn)標(biāo)識碼］? A ［文章編號］ 1674-6058（2023）26-0007-04

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出，模型觀念是初中階段的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的主要表現(xiàn)之一。對初中學(xué)生來說，運用數(shù)學(xué)幾何模型來解決實際問題要有清晰的認(rèn)識，需要具備較好的解題思維與解題技巧。數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)世界與現(xiàn)實世界聯(lián)系的基本途徑之一，教師應(yīng)讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中感知數(shù)學(xué)建模的基本過程，增強(qiáng)數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用意識和能力。文章以魯教版五四學(xué)制初中數(shù)學(xué)教材七年級上冊第一章第1節(jié)“認(rèn)識三角形”中的相關(guān)內(nèi)容為例進(jìn)行講解分析，進(jìn)而研究倍長中線模型（中線加倍法模型）解題策略和解題思路。初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)策略模型的建立及其應(yīng)用案例的研究顯得尤其重要。文章重點分析倍長中線模型并進(jìn)行拓展應(yīng)用，達(dá)到思維的提升。

一、倍長中線模型

中線：平面內(nèi)的三角形，任意取一個頂點，這個頂點到對邊中點的線段，定義為三角形的一條中線，顯然三角形有三條中線。倍長中線模型（中線加倍法模型）：沿著某一個方向延長中線，使得被延長的部分線段的長度等于它本身的長度，再連接兩個端點。此模型經(jīng)常用來構(gòu)造三角形全等（AAS、SAS）以求解三角形邊長之間的取值范圍、長度、數(shù)量關(guān)系等問題。

一般思路：已知條件中出現(xiàn)三角形一邊的中線或與中點有關(guān)的線段時，優(yōu)先運用倍長中線模型來構(gòu)造全等三角形加以論證說明。利用中點巧作輔助線，通常是把中線延長一倍，然后利用全等三角形判定定理來解決問題。常用的解決方案如下面四種情況所示：已知，在[△ABC]中，[AD]是[BC]邊上的中線。①如圖1所示，延長[AD]到[E]，使得[DE=AD]，連接[BE]；②如圖2所示，延長[AD]到[F]，使得[DF=AD]，連接[CF]；③如圖3所示，作[CN⊥AD]于點[N]，作[BM⊥AD]的延長線于點[M]；④如圖4所示，在[AB]上取一點[G]，連接[GD]并延長到點[H]，使得[DH=GD]，連接[CH]。上述四種解題思路均可以推導(dǎo)出兩個三角形全等。

二、模型應(yīng)用及分析

倍長中線的應(yīng)用，需要借助中線的條件，根據(jù)題目條件來求解問題。本文探究求解三角形邊長取值范圍的問題及結(jié)合2022年北京市中考數(shù)學(xué)第27題來分析倍長中線模型的應(yīng)用。

（一）求模型中的數(shù)量關(guān)系

［例1］（2022年北京中考數(shù)學(xué)第27題）在[△ABC]中，[∠ACB=90°]，[D]為[△ABC]內(nèi)的一點，連接[BD]，[DC]，延長 [DC]到點[E]，使得[CE=DC]。

（1）如圖5所示，延長[BC]到點[F]，使得[CF=BC]，連接[AF]，[EF]。若[AF⊥EF]，求證：[BD⊥AF]。

（2）連接[AE]，交[BD]的延長線于點[H]，連接[CH]，依題意補(bǔ)全圖6。若[AB2=AE2+BD2]，用等式表示線段[CD]與[CH]的數(shù)量關(guān)系，并證明。

解：（1）在[△CDB]和[△CEF]中，

∵[CD=CE]，[∠DCB=∠ECF]，[CB=CF]，

∴△CDB ≌△CEF（SAS），∴[∠BDC=∠FEC]，

∴EF∥BD，

∵[AF⊥EF]，∴[BD⊥AF]。

（2）補(bǔ)全圖形如圖7所示，數(shù)量關(guān)系為[CD=CH]。

理由如下：延長BC到點M，使[CM=CB]，連接EM、AM，

∵[∠ACB=90°]，[CM=CB]，∴AC垂直平分BM，

∵△BAM為等腰三角形，∴[AM=AB]，

在△CDB和△CEM中，

∵[CD=CE]，[∠DCB=∠ECM]，[CB=CM]，

∴△CDB ≌△CEM（SAS），∴[EM=BD]，

∴[∠BDC=∠MEC]，

∵[AB2=AE2+BD2]，[AM=AB]，[EM=BD]，∴[AM2=AE2+EM2]，

∴△AEM是直角三角形，[∠AEM=90°]，

∵由（1）知 EM∥BD，∴EM∥BH，

∴[∠AEM=∠BHE=90°]，

點評：例1考查知識點較多，綜合性較強(qiáng)，涉及三角形全等、平行線相關(guān)的定理、線段垂直平分線定理、直角三角形的判定定理和直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)等。第（2）問，考生正確地作輔助線，利用中線模型構(gòu)造三角形來證明全等是解題的關(guān)鍵。

（二）求三角形邊長的取值范圍

［例2］如圖8所示，已知在△ABC中，AD為BC邊上的中線，若[AB=3 cm]， [AD=4 cm]，求邊長AC的取值范圍。

解：如圖9所示，延長AD至點E，使得[DE=AD]，連接CE。

∵D為BC的中點，∴[BD=CD]。

∵在△ABD和△ECD中，[BD=CD]，[∠ADB=∠EDC]，[AD=ED]，

∴[△ABD] ≌[△ECD]（SAS），∴E[C=AB=3]，[ED=AD=4]，

∴[AE=AD+ED=8]。

在△ACE中，∵[AE-EC<AC<AE+EC]，

∴[8-3<AC<8+3]，∴[5 cm<AC<11 cm]。

點評：延長[△ABC]的中線[AD]一倍，使得線段[AD=DE]，構(gòu)造出[△ECD]，易于證明[△ABD] ≌[△ECD]。這是倍長中線模型典型的解題思路方法。輔助線添加的目的是加倍延長線段構(gòu)造全等圖形。

變式1：如圖8所示，已知在△ABC中，AD為BC邊上的中線，若[AB=3 cm]，[AC=5 cm]，求AD的取值范圍。

解：如圖9所示，延長AD至點E，使得[DE=AD]，連接CE，

∵D為BC的中點，∴[BD=CD]。

∵在△ABD和△ECD中，[BD=CD]，[∠ADB=∠EDC]，[AD=ED]，

∴△ABD ≌△ECD（SAS），∴AB=EC=3。

在△ACE中，∵[AC=5]，[AC-EC<AE<AC+EC]，

∴[5-3<AE<5+3]，∴[5-3<2AD<5+3]，

∴[2<2AD<8]，∴[1 cm<AD<4 cm]。

點評：變式1相對于例題的變化是，[AC]已知，要求解未知量[AD]，解題思路相同，輔助線作法也相同。

變式2：（2017年四川達(dá)州中考數(shù)學(xué)第14題）在△ABC中，[AB=5]，[AC=3]，AD是△ABC的中線，設(shè)AD長為m，則m的取值范圍是? ? ? ? ? ?。

解：如圖10所示，延長AD至點E，使[DE=AD]，連接CE，則[AE=2]m，

∵[AD]是△[ABC]的中線，∴[BD=CD]。

在△ADB和△EDC中，

∵[AD=DE]，[∠ADB=∠EDC]，[BD=CD]，

∴△ADB ≌△EDC（SAS），∴[EC=AB=5]，

∵在△AEC中，[EC-AC<AE<AC+EC]，即[5-3<2m<5+3]，∴[1<m<4]。

答案：[1<m<4]。

三、模型拓展延伸

模型意識有助于增強(qiáng)學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用能力，提升學(xué)生的邏輯思維能力和數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。模型的拓展應(yīng)用更多的考查熱點趨向于綜合與實踐、探究與合作等開放性、探究性試題。

拓展1 綜合與實踐

小明同學(xué)遇到這樣一個問題：如圖11所示，在[△ABC]中，AC的長度等于5，[AB]的長度等于7，滿足[BD=CD]，請?zhí)骄縖AD]的長度范圍。小明嘗試運用 “倍長中線法”來探究推導(dǎo)問題。所謂倍長中線法，就是將三角形的中線延長一倍，以便構(gòu)造出全等三角形，從而運用全等三角形的有關(guān)知識來處理。思路如下：如圖12所示，延長線段[AD]至點[E]，滿足[DE=AD]，顯然易于證明出[△BED] [≌][△CAD]。

（1）小明證明△BED ≌△CAD用到的判定定理是? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 。（填入你選擇的選項字母）

A. SAS B. SSS C. AAS D. ASA

（2） AD的取值范圍是? ? ? &nbsp; ? ? ? ? ? ? 。

（3）小明還發(fā)現(xiàn)：倍長中線法最重要的一點就是延長中線一倍，完成全等三角形模型的構(gòu)造。

參考小明思考問題的方法，解決下面問題：如圖13所示，在正方形ABCD中，E為AB邊的中點，G、F分別為AD、BC邊上的點，若[AG=2]，[BF=4]，[∠GEF=90°]，求GF的長。

解：（1）如圖12所示，延長AD到點E，使[DE=AD]，連接BE，根據(jù)對頂角相等，即可利用“SAS”來證明[△BED] ≌[△CAD]，得到答案A。

（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得[△BED] [≌][△CAD]，所以[BE=AC=5]，再利用三角形的三邊關(guān)系即容易得到答案為[1<AD<6]。

（3）如圖14所示，延長GE交CB的延長線于點H，連接BH，

∵四邊形ABCD是正方形，∴[∠A=∠ABC=90°]。

∵E為AB邊的中點，∴[AE=BE]。

在△EAG和△EBH中，∵[∠A=∠EBH=90°]，[AE=BE]，[∠AEG=∠BEH]，

∴[△EAG] [≌][△EBH]（ASA），∴[AG=BH]，[EG=EH]。

∵[AG=2]，[BF=4]，∴[BH=2]，∴[FH=BF+BH=4+2=6]。

∵[∠GEF=90°]，∴[∠AEG+∠BEF=90°]，

∴[∠BEH+∠BEF=∠HEF=90°]，∴[FE⊥GH]。

∵[EG=EH]，∴FE垂直平分線段GH，

∴GF=FH=6（線段垂直平分線的性質(zhì)定理）。

點評：本題考查了倍長中線模型，探索三角形全等的條件、三角形的三邊之間的關(guān)系、正方形的性質(zhì)、垂直平分線的綜合運用等相關(guān)內(nèi)容的應(yīng)用。利用“倍長中線法”作輔助線構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵所在。

拓展2 探究與實踐

【問題提出】在某次小組研討的過程中，遇到下面的問題：如圖15所示，在△ABC中，已知AC長為3，AB長為5。請寫出中線AD的取值范圍并推導(dǎo)出過程。小明與同學(xué)研討發(fā)現(xiàn)解決思路：延長AD至點E，滿足DE等于AD，連接BE后（也可以看作△ACD繞點D順時針方向旋轉(zhuǎn)180°得到△EBD），線段AB、AC和[AE=2AD]轉(zhuǎn)化在同一個△ABE中，由三角形的邊長關(guān)系得到[2<AE<8]，所以[1<AD<4]。

【方法思路】當(dāng)已知中出現(xiàn)線段的中點及三角形的中線，添加輔助線，把一條過中點的線段延長一倍，構(gòu)造兩個三角形全等，便于轉(zhuǎn)化已知與結(jié)論，這種作輔助線的方法稱為“中線加倍”法。

【解決問題】如圖16所示，在△ABC中，D是邊BC的中點，點E在邊AB上，過點D作[DE⊥DF]，交邊AC于點F，連接EF。

（1）證明：EF < CF + BE。

（2）假如∠A等于90°，求線段EF、CF和BE三者之間的等量關(guān)系式。

（3）如圖17所示，在△ABC中，[∠ABC=90°]，D為邊AC的中點，點E和點F分別在邊AB、BC上，M為線段EF的中點。若[AE=2]，[CF=5]，則DM的長為? ? ? ? ? ? ? 。

【思路分析】（1）如圖18所示，延長ED到點G，使得[DG=ED]，連接GF、GC，根據(jù)SAS證得[△DBE] ≌[△DCG]，可得結(jié)論。

（2）如圖18所示，延長ED到點G，使得[ED=DG]，連接GF、GC，由（1）得△DBE ≌[△DCG]，則[EF=FG]，[BE=CG]，[∠B=∠BCG]，即[∠GCA=90°]，利用勾股定理解題即可。

解：（1）如圖18所示，延長ED到點G，使得[DG=ED]，連接GF、GC，

∵[DF⊥DE]，∴FD垂直平分EG，∴[EF=FG]，

∵D是BC的中點，∴[BD=CD]，

又∵[∠BDE=∠GDC]，[ED=EF]，∴[△DBE] ≌[△DCG]，

∴[BE=CG]，

在△CFG中，∵[CG+CF>GF]，[GF=EF]∴[BE+CF>EF]。

（2）如圖18所示，延長ED到點G，使得[DG=ED]，連接GF、GC，

∵[∠A=90°]，∴[∠B+∠ACB=90°]，

由（1）得△DBE ≌△DCG，[EF=FG]，

∴[BE=CG]，[∠B=∠BCG]，

∴[∠GCA=∠BCG+∠ACB=90°]，

在Rt△CFG中，∵[GC2+CF2=GF2]，

∴[BE2+CF2=EF2]。

（3）如圖19所示，連接ED，并延長ED到點G，使得[DG=ED]，連接GF、GC，

∵[∠ABC=90°]，∴[∠A+∠ACB=90°]。

同理可得△DAE ≌△DCG，

∴[CG=AE=2]，[∠A=∠ACG]，∴[∠GCB=∠BCA+∠ACG=90°]，

點評：此題應(yīng)用了全等三角形，三角形的三邊關(guān)系，直角的判定，勾股定理的運用，三角形的中位線定義及性質(zhì)定理等知識，可構(gòu)造全等三角形，并用類比的方法解決。

四、結(jié)語與建議

在初中階段，分別從演繹證明、運動變化規(guī)律、量化分析三個方面來研究圖形的基本性質(zhì)和圖形間的相互關(guān)系。演繹證明、運動變化、量化分析相當(dāng)于研究基本圖形的三個不同角度，既相互獨立又相互交織。學(xué)生創(chuàng)新能力的培養(yǎng)，需要教師在教學(xué)中善于運用和滲透模型意識，增強(qiáng)學(xué)生的實踐應(yīng)用技巧和能力，逐步形成模式化的幾何概念、模型等。教師在實際教學(xué)中應(yīng)多做模型策略方面的引導(dǎo)，增強(qiáng)學(xué)生的深度思維，減少學(xué)生對于公式、概念等的機(jī)械記憶，轉(zhuǎn)變學(xué)生的思維方式。教師應(yīng)淡化“純文字描述”及數(shù)學(xué)概念性的知識點，加強(qiáng)解題技巧訓(xùn)練，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，形成質(zhì)疑、問答、自我反問、勇于探索的科學(xué)精神和學(xué)習(xí)素養(yǎng)。

［? ?參? ?考? ?文? ?獻(xiàn)? ?］

［1］? 中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)：2022年版［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.

［2］? 王光明，李健，侯曉娟.初中生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)策略常模的建立及其應(yīng)用案例：以天津市為例［J］.數(shù)學(xué)通報，2020（2）：4-9，15.

［3］ 奚雯燕.如何利用中點巧作輔助線［J］.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2015（6）：127，129.

［4］ 陳莉紅，曹經(jīng)富. 2021年中考“圖形的性質(zhì)”專題命題分析［J］.中國數(shù)學(xué)教育，2022（增刊1）：68-78，96.