“加減乘除”及其“和差積商”說解

萬獻(xiàn)初

數(shù)學(xué)的四則運算中，“加減乘除”的結(jié)果是“和差積商”。為什么這樣命名？需要從字源構(gòu)成和詞義發(fā)展上作透徹的解析。

加法，指兩個或兩個以上的數(shù)、量合成一個數(shù)、量的計算，運算符號為“+”，進(jìn)行加法運算是以加號（+）將各項連接起來。

加（ji?。?，《說文》：“加，語相增加也。從力從口?！苯鹞淖鳎x指誣枉、夸大。段玉裁注：“誣人曰‘譄，亦曰‘加，故‘加從力……謂有力之口也?！币钥冢冢┲ΓΓ⒖浯笳_枉之詞強加于人，故“加”從力從口?！蹲髠鳌でf公十年》：“犧牲玉帛，弗敢加也，必以信?！倍蓬A(yù)注：“祝辭不敢以小為大，以惡為美。”由誣言加于人轉(zhuǎn)指置此于彼之上，即添上原無者，《論語·鄉(xiāng)黨》：“加朝服，拖紳?！睌U(kuò)展指增益、更加，《論語·子路》：“加我數(shù)年，五十以學(xué)《易》，可以無大過矣?！痹僦竷蓚€以上物或數(shù)目合在一起，與“減”相對，《九章算術(shù)·均輸》：“加一斛粟價，即致一斛之費?！庇谑怯辛怂阈g(shù)上的“加法”。加法運算的結(jié)果是“和”。

和（hé），又作“咊”，《說文》“咊，相譍也。從口禾聲”，《廣韻·過韻》“和，聲相應(yīng)”。金文“和”作，作，小篆作。《周易·中孚》“鳴鶴在陰，其子和之”，《后漢書·黃瓊傳》“陽春之曲，和者必寡”?！昂汀睆暮痰靡袅x，《說文·禾部》“禾，嘉谷也”，甲骨文作，金文作，莊稼結(jié)實低頭之形，本指粟（小米），擴(kuò)展為禾苗、莊稼的總稱。初民有“嘉谷天授、瑞麥天來”的觀念，有天的風(fēng)調(diào)雨順和人的辛勤耕作，才有“禾”的收成，因此“禾”字象形表示莊稼，也寓意“天人合一”，有“和合”的基本義素。如《呂氏春秋·必己》“以禾為量”，高誘注：“禾，中和。”此義后加皿為“盉（hé）”，《說文·皿部》“盉，調(diào)味也。從皿禾聲”，金文作、，意為在器中（皿）調(diào)和五谷之味（禾），即“五味和羹”。

“和”字有兩讀兩義：表示動作讀hè，《廣韻》胡臥切，匣母過韻去聲?！皬目诤搪暋北怼奥曇粝鄳?yīng)和”，即和諧地跟唱或伴奏。轉(zhuǎn)有“附和、響應(yīng)”義，又有“以詩歌酬答”義，擴(kuò)展有“答應(yīng)、允許”等義。作形容詞讀hé，《廣韻》戶戈切，匣母戈韻平聲，有“和諧、協(xié)調(diào)”義，本作龢，段玉裁《說文解字注》“經(jīng)傳多借和為龢”。龢（hé），《說文》“龢，調(diào)也。從龠禾聲，讀與和同”，甲骨文作，金文作。朱駿聲《說文通訓(xùn)定聲》“《一切經(jīng)音義》六引《說文》‘音樂和調(diào)也?！吨苷Z》‘聲應(yīng)相保曰龢?！?jīng)傳多以和為之”。龠（yuè），《說文》“龠，樂之竹管，三孔，以和眾聲也。從品、侖；侖，理也”，管樂器名，甲骨文作、、，構(gòu)字意圖為“用口吹排管”。龠同“樂—”，《說文》“樂，五聲八音之總名”，羅振玉謂“（樂）從絲附木上，琴瑟之象也”，即弦樂器?！百摺北硎竟軜?，“樂”表示弦樂，后“樂（樂）”通用而“龠”只作構(gòu)字部件。眾樂器聲音相和，故“龢”從龠禾聲。

“盉—龢—和”三字音同，形義本有分工：盉，在器皿中調(diào)和糧食味道；龢，音樂和調(diào)；和（咊），人聲應(yīng)和。后用“和”兼表三者：《申鑒·雜言上》“嘉味以濟(jì)，謂之和羹”，是以“和”代“盉”；《爾雅·釋樂》“大笙謂之巢，小者謂之和”，是以“和”代“龢”?！昂汀苯y(tǒng)三義之后，“盉”退而只表裝食品的盒子，“龢”則廢棄不用。

“和”的義項較多：和諧、協(xié)調(diào)→適中、恰到好處→和順、平和、和融→和解、和平→溫和、溫暖→調(diào)和、調(diào)治→匯合、結(jié)合→加法的結(jié)果→伴隨、連同→連詞。

“和”指和諧、協(xié)調(diào)，《禮記·樂記》：“其聲和以柔。”指適中、恰到好處，《周禮·天官·大司徒》：“一曰六德：知、仁、圣、義、忠、和?！编嵭ⅲ骸昂停瑒?cè)徇m也。”作動詞指調(diào)治、調(diào)和，《周禮·天官·食醫(yī)》：“食醫(yī)掌和王之六食、六飲、六膳、百羞、百醬、八珍之齊。”“和”是兩個以上物或數(shù)目疊加調(diào)和的結(jié)果，故用于數(shù)學(xué)名詞，就指兩個以上的數(shù)相加所得的總數(shù)。勾股術(shù)中有“勾股和”之稱，明徐光啟《勾股義》：“勾股和，求股求勾?！鼻辶_士琳《勾股截積和較算術(shù)》：“有勾股和，有截闊截長和，有截積，求勾?！?/p>

減法，是從一個復(fù)數(shù)中減去另一個數(shù)的運算。已知兩個加數(shù)的和與其中一個加數(shù)，求另一個加數(shù)的運算為減法，其運算是以減號（-）將各項連接起來。

減（jiǎn），本從氵作減，《說文》：“減，損也。從水咸聲?！苯鹞淖鳌?，小篆作。咸（xián），《說文》：“咸，皆也，悉也。從口從戌。戌，悉也?！奔坠俏摹跋獭弊鳌?，從戌從口，戌為斧鉞類兵器。上古戰(zhàn)爭多，部族豎立武器（戌）呼集（口）全體部落男子參加（咸—喊），有“皆、悉”義，故“咸”從口從戌。作副詞表示范圍，相當(dāng)于“都、全”。“鹹（xián）”指鹽味，鹽為“鹵—”，咸鹽味是最普遍之味，飲食不可缺少，故“鹹”從鹵咸聲。鹹味太重則苦，《爾雅·釋言》：“鹹，苦也?！惫弊ⅲ骸翱嗉创篼y?！焙萝残辛x疏：“鹹極必苦?！碧蹋y）苦難食，加水使變淡可食，故“減”從水咸聲。后省“氵”為“冫”成“減”。

“減”由損鹽分?jǐn)U展指去掉一部分，《禮記·樂記》：“故禮主其減，樂主其盈。”宋玉《登徒子好色賦》：“東家之子，增之一分則太長，減之一分則太短?！鞭D(zhuǎn)指減輕、降低，《左傳·昭公十四年》：“三數(shù)叔魚之惡，不為末減?！倍蓬A(yù)注：“減，輕也?！庇糜跀?shù)學(xué)運算方法，就指求兩數(shù)之差的“減法”，為加法的逆運算?！吨荀滤憬?jīng)》“夏至之日中與夜半，日光九萬六千里過極相接”，趙爽注：“倍日光所照，以夏至日道徑減之，馀即相接之?dāng)?shù)?！睖p法運算的結(jié)果是“差”。

差（ch?。?，《說文》：“差，貳也，差不相值也。從左，從。，籀文從二?！苯鹞淖?，作，小篆作?！啊埂保╟huí）是一樹花朵（玉蘭花）下垂?fàn)顟B(tài)，加手（右左）揉擦使脫落分開，同“搓”，“差—搓”古今字。由搓擦義轉(zhuǎn)指差錯、不當(dāng)，《荀子·天論》：“亂生其差，治盡其詳?！睏顐娮ⅲ骸安?，謬也?！弊鞲痹~表示程度較小、略微，《漢書·食貨志下》：“白金三品……二曰以重差小，方之，其文馬，直五百?！庇糜跀?shù)學(xué)術(shù)語，表示兩數(shù)相減之間的結(jié)果差別，如五減去三之差就是二。

乘法，是加法的簡便運算，是將相同的數(shù)加起來的快捷方式，是加法的量變導(dǎo)致的質(zhì)變結(jié)果。乘法的運算符號為“×”，以乘號（×）將各項連接起來。

乘（chénɡ），《說文》：“乘，覆也。從入、桀?！崩钚⒍ā都坠俏淖旨尅罚骸俺酥玖x為升為登，引申之為加其上。許訓(xùn)覆也，與加其上同意，字象人登木之形?！奔坠俏淖?，金文作，一個人翹著腳板爬到樹（木）頂上，有“攀高、登上”義。《詩經(jīng)·豳風(fēng)·七月》“亟其乘屋”，人登上屋頂就是“乘屋”，轉(zhuǎn)指登、升?！吨芤住ね恕罚骸俺似滠タ斯?，吉?！薄秶Z·晉語》“郤叔虎將乘城”，晉國大夫郤叔虎要登上翟柤的城墻。由人翹足登上樹類比：騰身駕云是“乘風(fēng)”，騎上馬背是“乘馬”，登上車廂是“乘車”，四匹馬拉一車稱為“駟”，也稱“乘”，讀shèng，“千乘之國”是擁有很多戰(zhàn)車的大國。

乘字的本義是登、升，就是到了高的地方，走上去、爬上去、送上去都可以，登上高處就能覆蓋下處，故《說文》訓(xùn)“乘，覆也”。由登上、覆蓋轉(zhuǎn)指翻倍，用于運算方法，兩數(shù)相倍為“乘”，即今算術(shù)的乘法?！吨荀滤憬?jīng)》卷上：“勾股各自乘，并而開方除之，得邪至日?！薄度龂尽侵尽ぺw達(dá)傳》：“且此術(shù)微妙，頭乘尾除，一算之法，父子不相語?！背朔ㄊ且缘惴▽蓚€變量進(jìn)行移位、加減得到積，其逆運算的除法是以迭代算法對兩個變量進(jìn)行移位、加減得到商和馀數(shù)。乘法的運算結(jié)果為“積”。

積（jī），繁體作“積”，是形聲字?！墩f文》：“積，聚也。從禾責(zé)聲?！睘楹坦染奂Ｖ祢E聲《說文通訓(xùn)定聲》：“禾谷之聚曰積。”金文作，小篆加禾作，簡化字從禾只聲作“積”。《詩經(jīng)·大雅·公劉》：“乃積乃倉，乃裹餱糧。”《說文》：“責(zé)，求也。從貝朿聲?！北玖x為索取。王筠《句讀》：“責(zé)，謂索求負(fù)家償物也?！彼魅∈菑娭菩郧笕∝斘铮ㄘ悾?，如刺（朿）人般給人帶來傷害，故“責(zé)”從貝朿聲。甲骨文“責(zé)”作、，從貝朿聲。朿（cì），《說文》：“朿，木芒也。象形。讀若刺?！北玖x為木芒，后加刂（刀）作“刺”。小篆“朿”作，徐鍇《系傳》：“從木形，左右象刺生之形也?！奔坠俏淖?、，像木上多刺形，或謂像戟、矛等有刺武器?！胺e”字構(gòu)形指聚集禾谷，谷物必先收?。ㄘ?zé)）方能聚集，故“積”從禾責(zé)聲。

“積”指積聚、貯藏糧食，《管子·牧民》：“積于不涸之倉，藏于不竭之府?！弊髅~指積聚之物，《左傳·僖公三十三年》：“居則具一日之積?！倍蓬A(yù)注：“積，芻米菜薪?！弊鲃釉~通指累積、堆疊，《荀子·勸學(xué)》：“積土成山，風(fēng)雨興焉；積水成淵，蛟龍生焉?！崩鄯e則增多，故也指多，《周禮·地官·遺人》：“掌邦之委積，以待施惠。”鄭玄注：“少曰委，多曰積?！庇种笖?shù)量的累積，《周易·升》：“君子以順德，積小以高大?！庇糜谶\算，指若干個數(shù)相乘的乘法結(jié)果，即倍數(shù)的累積，《九章算術(shù)·商功》：“今有城下廣四丈，上廣二丈，高五丈，袤一百二十六丈五尺，問積幾何？”

除法，是乘法的逆運算，已知兩個因數(shù)的積與其中一個因數(shù)，求另一個因數(shù)的運算，就是除法。用乘法做的任何事情，都可以用除法撤消。

除（chú），《說文》：“除，殿陛也。從，余聲?！笔奈淖?，小篆作。

甲骨文“阝”作，為山阜臺階形。余（yú），《說文》：“余，語之舒也。從八，舍省聲?！庇脼檎Z氣詞，后用為第一人稱代詞。語氣分散方能平舒，“八”有分散義；房舍四平八穩(wěn)，梁柱分散受力，亦有平舒意，故“余”從八，舍省聲。甲骨文“余”作，金文作，像梁柱撐起屋頂?shù)姆可嵝?，與“舍”同義，由梁柱上撐房頂轉(zhuǎn)指語氣上出舒展義。

臺階（）可拾級上下，故“除”指宮殿的臺階，即“殿陛”，《史記·魏公子列傳》：“趙王掃除自迎，執(zhí)主人之禮?！薄稘h書·王莽傳下》：“群臣扶掖莽，自前殿南下椒除。”顏師古注：“除，殿陛之道也?！庇钟身樑_階而下轉(zhuǎn)指去除、清除，《尚書·微子之命》：“撫民以寬，除其邪虐?！庇种笖?shù)量上除去、不計算在內(nèi)，北魏賈思勰《齊民要術(shù)·作酢法》：“取七日水，十五日作。除此兩日，則不成。”用于數(shù)學(xué)計算方法，指均分某數(shù)為若干份，與“乘”相反，是乘法的逆運算，《漢書·律歷志下》：“推日月元統(tǒng)，置太極上元以來，外所求年，盈元法除之，余不盈統(tǒng)者，則天統(tǒng)甲子以來年數(shù)也?！薄杜f唐書·歷志一》：“乃以十二乘之，以時法六千五百三除之，所得為半辰之?dāng)?shù)?！背ǖ倪\算結(jié)果為“商”。

商（shānɡ），本作，《廣韻》式羊切，書母陽韻平聲?！墩f文·貝部》“，行賈也，從貝，商省聲”，段玉裁注謂“，俗作，經(jīng)傳皆作商，商行而廢矣。渾言之則賈可互稱，析言之則行賈曰”。甲骨文“商”作，金文作，釋為地名、人名、方國名，或謂本為器名轉(zhuǎn)作地名?！队衿た诓俊贰吧?，五音金音也”。參考出土器物，“商”像懸掛的鐘類樂器，下加口示其發(fā)聲。故樂律五聲“宮商角徵羽”中有商聲。

殷商的始祖契封于商地（今商丘），因地名國，故有商代，盤庚東遷改商為殷。吳晗認(rèn)為：周武王滅商后，“商人”指失國而為周子民的殷商遺民，他們失國失家失地，無以為生計，故用在殷商時善經(jīng)營的長處，跑買賣而掙腳力錢糊口，久而久之，商人就成了遠(yuǎn)途貿(mào)易者的代名詞。因初時殷商遺民本錢缺乏，只能“徙有之無”販運而從中獲得薄利，因而定下“通物曰商”的性質(zhì)，商與旅從此分不開，《周易·復(fù)》“商旅不行”即是（參吳晗《燈下集·從商品生產(chǎn)想到中國商人的起源》，生活·讀書·新知三聯(lián)書店，1960）。商周用貝幣，通物者作從貝的“”字正合理，然商周之商字經(jīng)典習(xí)慣用商不用，經(jīng)商也就隨之用“商”?！豆茏印ば】铩贰敖穹蛏特?fù)任擔(dān)荷，服牛駱馬以周四方，料多少，計貴賤，以其所有易其所無，買賤鬻貴”，是對行商的典型描述。因“商人”起源于殷商遺民，從事周貴族看不起的跑買賣行業(yè)，其時被貶稱“頑民”，故傳統(tǒng)為官者與讀書人都輕賤商人，官府多重農(nóng)抑商，與此種思想背景大有關(guān)系。

商，由樂器轉(zhuǎn)指商地商朝，再由商朝義轉(zhuǎn)為商人，字形或從言作“謪”，擴(kuò)展出的詞義很多。有“經(jīng)商、販賣”義，《商君書·墾令》“重關(guān)市之賦，則農(nóng)惡商”；郭璞《江賦》“泝洄沿流，或漁或商”。有“商人”義，指販賣貨物的人，《商君書·墾令》“商欲農(nóng)，則草必墾矣”；唐韓愈《送僧澄觀》詩“越商胡賈脫身罪，珪璧滿船寧計資”。有“商討、商量”義，《周易·兌》九四“商兌未寧”，王弼注“商，商量裁制之謂也”；《后漢書·宦者傳論》“成敗之來，先史商之久矣”，李賢注“商謂商略”；唐韓愈《貞曜先生墓志銘》“興元人以幣如孟氏賻，且來商家事”。有“計量、計算”義，《尚書·費誓》“我商賚爾”，孔傳“我則商度汝功，賜與汝”；《漢書·食貨志上》“時大司農(nóng)中丞耿壽昌以善為算能商功利得幸于上”，顏師古注“商，度也”。古漏壺中箭上所刻的度數(shù)（遞減），《儀禮·士昏禮》賈公彥疏：“鄭《目錄》云：‘士娶妻之禮以昏為期因而名焉。必以昏者，陽往陰來。日入三商為昏?！讨^商量，是刻漏之名?！薄对姟R風(fēng)·東方未明》“狂夫瞿瞿”，唐孔穎達(dá)疏：“《尚書緯》謂刻為商。鄭作《士昏禮目錄》云‘日入三商為昏，舉全數(shù)以言耳?！?/p>

“商”由商討、計量、遞減刻度轉(zhuǎn)用于數(shù)學(xué)名詞，表示除法的結(jié)果，指一數(shù)除以不為零之?dāng)?shù)的結(jié)果，如6÷2=3，6是被除數(shù)，2是除數(shù)，3就是商數(shù)。除法計算結(jié)果稱為“商”，是由其“商量、比較、計算、遞減刻度”義延展出來的。

當(dāng)除數(shù)變成一個基準(zhǔn)值，被除數(shù)變成一個數(shù)據(jù)值，商數(shù)就可以變成一系列數(shù)據(jù)值的比較標(biāo)準(zhǔn)?；谶@個標(biāo)準(zhǔn)，現(xiàn)代人設(shè)計一些實驗來制定這個基準(zhǔn)值，并用基準(zhǔn)值作為測量的標(biāo)準(zhǔn)?！爸巧獭保↖Q），即智力商數(shù)，就是用此法來驗測一個人在普遍社會智力水平上的位置。同樣的，情緒商數(shù)（EQ）、逆境商數(shù)（AQ）、創(chuàng)造力商數(shù)（CQ）等，都是這樣的商數(shù)。