考慮相位分布特征的多諧波源疊加方法

高 敏，朱明星，汪 清，焦亞東，丁 同

（1. 安徽大學(xué)電氣工程與自動(dòng)化學(xué)院，合肥 230601；2. 南方電網(wǎng)公司新型智慧城市高品質(zhì)供電聯(lián)合實(shí)驗(yàn)室（深圳供電局有限公司），深圳 518020）

隨著光伏電站、風(fēng)電場、電氣化鐵路、高壓直流換流站等規(guī)?；⒕W(wǎng)，電力系統(tǒng)的“雙高”特征凸顯[1]，加劇了電網(wǎng)的波形畸變[2-3]。同時(shí)，輸配電線路電纜化率的不斷提升[4]，電纜對(duì)地電容[5-6]和治理裝置[7]等引起的諧波諧振問題頻現(xiàn)，威脅電力系統(tǒng)的安全穩(wěn)定運(yùn)行。因此，加強(qiáng)對(duì)非線性負(fù)載并網(wǎng)前后的諧波管控是保障電網(wǎng)安全穩(wěn)定運(yùn)行的重要手段。然而，并網(wǎng)前預(yù)評(píng)估過程中的諧波發(fā)生量計(jì)算，以及并網(wǎng)后測試評(píng)估過程中的諧波限值分配，均會(huì)涉及多諧波源疊加問題[8]。

目前，多諧波源疊加方法主要有兩種實(shí)現(xiàn)路徑：①通過建立配電網(wǎng)節(jié)點(diǎn)模型，模擬在不同節(jié)點(diǎn)注入諧波源，采用蒙特卡羅等方法對(duì)關(guān)注節(jié)點(diǎn)的諧波電流疊加結(jié)果進(jìn)行越限概率或畸變水平的統(tǒng)計(jì)分析[9-10]，該類方法不關(guān)注具體的諧波疊加過程，需建立網(wǎng)絡(luò)阻抗模型，在實(shí)際應(yīng)用中實(shí)施難度較大；②國標(biāo)《GB/T 14549—1993 電能質(zhì)量 公用電網(wǎng)諧波》推薦在無相位條件下采用諧波電流疊加方法，并給出了諧波電流疊加公式和諧波電流疊加系數(shù)推薦值，為多諧波源疊加的工程應(yīng)用提供了方法指導(dǎo)。但該標(biāo)準(zhǔn)中疊加系數(shù)是在一定的分布假設(shè)下得到的[11]，不同類型的非線性負(fù)荷諧波電流分布特征均存在差異，采用統(tǒng)一的諧波電流疊加系數(shù)會(huì)增大諧波電流疊加計(jì)算誤差[10]，增大諧波管控難度及成本。為獲取實(shí)際應(yīng)用場景下諧波電流疊加系數(shù)，文獻(xiàn)[12]基于核密度估計(jì)與重要抽樣的蒙特卡羅方法，對(duì)兩個(gè)諧波電流源相位差的余弦值進(jìn)行期望估算，得到諧波電流疊加系數(shù)，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)多諧波源疊加的準(zhǔn)確計(jì)算，但該方法需要對(duì)參與疊加的兩個(gè)諧波源進(jìn)行同步采樣。文獻(xiàn)[8]基于多通道同步采樣計(jì)算多諧波源電流疊加系數(shù)的分布，再通過置信區(qū)間估計(jì)得到諧波電流疊加系數(shù)的取值，但該方法也需多通道同步采樣?？梢?，目前關(guān)于諧波電流疊加系數(shù)的計(jì)算主要是基于同步采樣和概率統(tǒng)計(jì)法解決多隨機(jī)變量矢量求和問題。在實(shí)際應(yīng)用中，由于測試條件限制，很多場景無法滿足同步采樣需求。此外，對(duì)相位差余弦值的概率分析只能反映兩個(gè)諧波源的疊加特性，當(dāng)電網(wǎng)中存在多個(gè)不同類型的諧波源時(shí)，需對(duì)各諧波源的不同組合分別同步采樣。

諧波源的相位分布往往表現(xiàn)為在小于2π的扇形分布或橢圓分布[13-15]，通過數(shù)據(jù)篩選諧波電流較大工況時(shí)的相位分布近似呈正態(tài)分布[16-18]。為此，本文針對(duì)上述諧波源相位角分布特征，提出考慮相位角分布特征參數(shù)的諧波電流疊加系數(shù)計(jì)算方法。該方法通過獲取各諧波源相位角分布的期望值和標(biāo)準(zhǔn)差，即可實(shí)現(xiàn)任意諧波源之間疊加系數(shù)的準(zhǔn)確計(jì)算，無需同步采樣，有利于實(shí)際應(yīng)用。

1 多諧波源疊加模型

多諧波源疊加模型如圖1[19-20]所示。其中，為背景h次諧波電壓時(shí)序數(shù)列；ZS,h,t為等效的系統(tǒng)h次諧波阻抗時(shí)序數(shù)列；為公共連接點(diǎn)PCC（point of common coupling）處h次諧波電壓時(shí)序數(shù)列；為PCC 處h次諧波電流時(shí)序數(shù)列；，分別為負(fù)荷1，2，…，m注入電網(wǎng)的h次諧波電流時(shí)序數(shù)列；分別為負(fù)荷1，2，…，m中h次諧波電流源時(shí)序數(shù)列；Z1,h,t，Z2,h,t，…，Zm,h,t分別為負(fù)荷1，2，…，m的h次諧波阻抗時(shí)序數(shù)列；h為諧波次數(shù)；t為各時(shí)序數(shù)列的時(shí)間維度。

圖1 多諧波源疊加模型Fig.1 Multi-harmonic source superposition model

不考慮背景諧波影響時(shí)，M個(gè)諧波電流源注入PCC形成的總h次諧波電流時(shí)序數(shù)列可表示為

考慮背景諧波影響下，各諧波源注入PCC處的總h次諧波電流時(shí)序數(shù)列可表示為

式中，Zh,t為PCC 處所有負(fù)荷等效諧波阻抗的時(shí)序數(shù)列?？梢姡嘀C波源同次諧波電流疊加是指多諧波源諧波相量時(shí)序數(shù)列的疊加。根據(jù)各諧波源諧波電流的幅值和相位變化信息，采用相量時(shí)序數(shù)列疊加的方式進(jìn)行疊加計(jì)算，如圖2所示。

圖2 諧波電流相量疊加示意Fig.2 Schematic of superposition of harmonic current phasors

圖2中，I1,h,t和I2,h,t為兩個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量的h次諧波電流幅值的時(shí)序數(shù)列，φ1,h,t和φ2,h,t為兩個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量的h次諧波電流相位的時(shí)序數(shù)列，則兩個(gè)時(shí)序數(shù)列的相量疊加值的幅值計(jì)算公式為

對(duì)于相互獨(dú)立的兩個(gè)隨機(jī)變量，其乘積的期望值等于期望值的乘積，則對(duì)式（3）兩邊求數(shù)學(xué)期望可得到諧波電流疊加公式為

式中：Ih、I1,h和I2,h分別為Ih,t、I1,h,t和I2,h,t時(shí)序數(shù)列的期望值；E() 表示期望運(yùn)算。當(dāng)電網(wǎng)中含有多個(gè)諧波源時(shí)，先將諧波電流含量較大的諧波源進(jìn)行疊加，再與諧波電流含量較小的諧波源疊加，依此類推。

根據(jù)式（4），令諧波電流時(shí)序數(shù)列的疊加系數(shù)Kh為

可見，確定諧波電流疊加系數(shù)Kh是多諧波源疊加的關(guān)鍵。在多諧波源系統(tǒng)中，若φ1,h,t和φ2,h,t保持恒定，則諧波電流疊加系數(shù)計(jì)算結(jié)果也是確定的。但在實(shí)際應(yīng)用中，諧波電流相位分布在一定區(qū)間內(nèi)隨機(jī)變化，而獲取φ1,h,t-φ2,h,t的時(shí)序數(shù)列時(shí)，需對(duì)兩個(gè)諧波源開展同步測量，不同時(shí)間的測試結(jié)果難以兼容，增大了諧波電流疊加系數(shù)的計(jì)算難度和工作量。因此，如何僅通過獲取單個(gè)諧波源相位時(shí)序數(shù)列的分布特征，準(zhǔn)確計(jì)算不同諧波源的疊加系數(shù)，是當(dāng)前急需解決的技術(shù)難題。

2 考慮相位分布特征的諧波疊加方法

2.1 疊加原理及影響因素

根據(jù)對(duì)典型負(fù)荷諧波電流相位分布特征的研究，大多諧波源在諧波電流較大工況下的相位特征近似呈正態(tài)分布。正態(tài)分布概率密度函數(shù)為

式中，μ、σ分別為正態(tài)分布的期望值和標(biāo)準(zhǔn)差，μ、σ均為常數(shù)且σ> 0 。若隨機(jī)變量X滿足式（6）所示的概率密度函數(shù)，則稱X服從參數(shù)為μ、σ2的正態(tài)分布，記作X～N(μ,σ2)。設(shè)諧波源1和諧波源2的相位角正態(tài)分布參數(shù)分別為和，下標(biāo)1 和2 表示諧波源編號(hào)，則相位差φh,t仍呈正態(tài)分布，φh,t=φ1,h,t-φ2,h,t，則相位差φh,t滿足

根據(jù)式（5）和式（7），疊加系數(shù)是對(duì)兩個(gè)諧波相位差余弦值的時(shí)序數(shù)列求期望，若不考慮標(biāo)準(zhǔn)差的影響，即令，則疊加系數(shù)可表示為

可見，不考慮標(biāo)準(zhǔn)差影響時(shí)，期望值μ1-μ2越小，疊加系數(shù)越大，兩者呈余弦關(guān)系。當(dāng)期望值一定時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)差越大，相位角分布的離散性越大，諧波疊加的不確定性越大，則疊加系數(shù)越小。因此，當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)差不為0 時(shí)，式（8）不成立。為驗(yàn)證標(biāo)準(zhǔn)差對(duì)疊加系數(shù)的影響，利用蒙特卡羅法產(chǎn)生相位分布滿足φ1,h,t～N(30°,(20°)2) 和φ2,h,t～N(5°,(10°)2) 的兩組隨機(jī)數(shù)組，如圖3（a）和圖3（b）所示。將諧波源1與諧波源2 的相位求差值，即φh,t=φ1,h,t-φ2,h,t，得到φh,t的概率密度分布及疊加系數(shù)概率密度分布分別如圖3（c）和圖3（d）所示。

圖3 正態(tài)分布相量疊加的概率密度Fig.3 Probability density for superposition of normally distributed phasors

諧波源1與諧波源2相位差的期望值為25°，不考慮標(biāo)準(zhǔn)差影響時(shí)，疊加系數(shù)Kh= 2 cos 25°= 1.81，而根據(jù)疊加系數(shù)概率密度分布得到的疊加系數(shù)為1.68，因此，疊加系數(shù)受相位分布標(biāo)準(zhǔn)差的影響也較大。

綜上所述，疊加系數(shù)取決于諧波源相位分布的期望值和標(biāo)準(zhǔn)差。由于期望值與疊加系數(shù)呈余弦關(guān)系，因此如何量化標(biāo)準(zhǔn)差對(duì)疊加系數(shù)的影響是本文方法的關(guān)鍵。

2.2 影響量化分析

為量化分析諧波電流相位分布的標(biāo)準(zhǔn)差對(duì)疊加系數(shù)的影響，利用蒙特卡羅法，每次生成5 000組滿足指定正態(tài)分布特征參數(shù)的隨機(jī)數(shù)，計(jì)算出相位差在不同的數(shù)學(xué)期望和標(biāo)準(zhǔn)差下疊加系數(shù)的變化趨勢，如圖4 所示。當(dāng)諧波源相位差的期望值為180°、標(biāo)準(zhǔn)差為0°時(shí)，疊加系數(shù)為-2，諧波電流疊加時(shí)相互削弱。以相位差的期望值等于180°為界限，當(dāng)相位差的期望值從180°變化至360°，與從180°變化至0°時(shí)，兩者的疊加系數(shù)變化趨勢相互對(duì)稱。當(dāng)諧波源的相位差為0°（或360°）、標(biāo)準(zhǔn)差為0°時(shí)，諧波電流疊加系數(shù)為2，諧波電流疊加時(shí)可采用線性疊加。

圖4 相位分布特征與諧波電流疊加系數(shù)的量化關(guān)系Fig.4 Quantitative relationship between phase distribution characteristics and Kh

為量化標(biāo)準(zhǔn)差σ對(duì)疊加系數(shù)的影響，定義諧波電流疊加衰減系數(shù)Kσ等于標(biāo)準(zhǔn)差為σ時(shí)的諧波電流疊加系數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差為0 時(shí)的諧波電流疊加系數(shù)的比值。在不同期望值下，Kσ隨σ的變化趨勢如圖5（a）所示?？梢?，在不同期望值下，Kσ與σ的變化趨勢均一致，說明Kσ僅受標(biāo)準(zhǔn)差的影響，不受期望值的影響。由圖5（a）中各條曲線擬合得到Kσ與σ的對(duì)應(yīng)關(guān)系如圖5（b）所示。

圖5 諧波電流疊加衰減系數(shù)Kσ擬合結(jié)果Fig.5 Fitting results of Kσ

因此，基于蒙特卡羅擬合結(jié)果，可得出兩個(gè)諧波相位呈正態(tài)分布的諧波電流疊加系數(shù)的計(jì)算公式為

這里諧波電流疊加衰減系數(shù)Kσ僅與兩個(gè)諧波源相位差的標(biāo)準(zhǔn)差有關(guān)。由式（9）可知，只要獲取各諧波源相位角的期望值和標(biāo)準(zhǔn)差，即可準(zhǔn)確計(jì)算任意諧波源之間的疊加系數(shù)。

3 測試數(shù)據(jù)驗(yàn)證

3.1 居民負(fù)荷諧波疊加驗(yàn)證

某居民負(fù)荷臺(tái)區(qū)有兩條饋出線，為便于對(duì)疊加效果進(jìn)行驗(yàn)證，采用多通道測試儀器對(duì)兩路饋出線和低壓臺(tái)區(qū)總進(jìn)線的電流信號(hào)及供電母線電壓信號(hào)進(jìn)行同步采樣。以A相3次諧波電流為例，測得饋線1、饋線2的3次諧波電流變化趨勢分別如圖6（a）和圖6（c）所示，兩條居民用電負(fù)荷饋線的3次諧波電流相位分布特性如圖6（b）和圖6（d）所示。

圖6 居民用電負(fù)荷3 次諧波電流趨勢及相位概率密度Fig.6 Trend and phase probability density of 3rd harmonic current of residential electric load

從圖6 可以看出，由于居民負(fù)荷用電具有隨機(jī)特征，不同時(shí)段的用電設(shè)備不同，導(dǎo)致測試時(shí)間內(nèi)的諧波電流相位分布呈現(xiàn)非標(biāo)準(zhǔn)的正態(tài)分布。但是，根據(jù)兩條居民負(fù)荷饋線3次諧波電流相位差的正態(tài)分布特征參數(shù)，饋線1 的3 次諧波電流相位角分布的數(shù)學(xué)期望和標(biāo)準(zhǔn)差分別為54.36°和9.49°，饋線2的3次諧波電流相位角分布的數(shù)學(xué)期望和標(biāo)準(zhǔn)差分別為31.48°和4.17°。兩者相位差分布的數(shù)學(xué)期望μ= 54.36°- 31.48°= 22.88° ，相位差分布的標(biāo)準(zhǔn)差。根據(jù)圖5得到標(biāo)準(zhǔn)差σ= 10.37° 對(duì)應(yīng)的諧波電流疊加衰減系數(shù)Kσ= 0.98 ，根據(jù)式（9）計(jì)算出的諧波電流疊加系數(shù)期望值為Kh= 2 cos 22.8°× 0.98 = 1.805 8 。

根據(jù)本文方法計(jì)算得到的諧波電流疊加系數(shù)和國標(biāo)《GB/T 14549—1993 電能質(zhì)量 公用電網(wǎng)諧波》中提供的3次諧波電流疊加系數(shù)（即1.62），分別計(jì)算兩條居民負(fù)荷饋線的諧波電流疊加值，并與實(shí)測的居民負(fù)荷總進(jìn)線3次諧波電流進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果如圖7 所示?？梢?，實(shí)測的居民負(fù)荷總進(jìn)線3 次諧波電流最大值、95%概率值和平均值分別為31.80 A、30.81 A 和27.63 A；而根據(jù)國標(biāo)推薦的疊加方法計(jì)算的居民負(fù)荷總進(jìn)線3次諧波電流最大值、95%概率值和平均值分別為31.42 A、29.94 A和27.03 A；本文方法計(jì)算的居民負(fù)荷總進(jìn)線3次諧波電流最大值、95%概率值和平均值分別為32.19 A、30.66 A 和27.66 A。以95%概率值進(jìn)行評(píng)估時(shí)，國標(biāo)推薦的疊加方法和本文方法的計(jì)算誤差分別為2.8%和0.5%，本文方法計(jì)算誤差降低了82.1%，與國標(biāo)要求的A級(jí)諧波測量儀允許誤差（≤5%）相比，本文方法計(jì)算誤差降低顯著。

圖7 不同方法疊加結(jié)果與實(shí)際測試結(jié)果對(duì)比Fig.7 Comparison between superimposed results calculated bydifferent methods and actual test results

3.2 充電站負(fù)荷諧波疊加驗(yàn)證

某充電樁負(fù)荷含兩條充電樁饋線，每條饋線有兩個(gè)直流充電樁，為便于對(duì)疊加效果進(jìn)行驗(yàn)證，采用多通道測試儀器對(duì)兩條充電樁饋線和總進(jìn)線的電流信號(hào)及供電母線電壓信號(hào)進(jìn)行同步采樣。以A相的5次諧波電流為例，測得饋線1、饋線2的5次諧波電流變化趨勢分別如圖8（a）和圖8（c）所示。充電樁存在明顯的運(yùn)行周期，充電時(shí)段的諧波電流變化相對(duì)穩(wěn)定，非工作時(shí)段的諧波電流含量很小。為排除充電樁非工作時(shí)段諧波電流相位分布對(duì)疊加系數(shù)計(jì)算結(jié)果的影響，通過數(shù)據(jù)篩選剔除充電樁非工作時(shí)段的諧波數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)篩選閾值為對(duì)應(yīng)饋線最大諧波電流的0.3倍。數(shù)據(jù)篩選后兩條充電樁負(fù)荷饋線的5 次諧波電流相位分布特性的分析結(jié)果如圖8（b）和圖8（d）所示。

圖8 充電樁5 次諧波電流趨勢及相位概率密度Fig.8 Trend and phase probability density of 5th harmonic current of charging pile

從圖8 可以看出，對(duì)于充電樁負(fù)荷來說，充電過程中諧波電流相位穩(wěn)定，相位分布近似呈正態(tài)分布。而根據(jù)兩條充電樁饋線5 次諧波電流相位差的正態(tài)分布特征參數(shù)，饋線1 的5 次諧波電流相位角分布的數(shù)學(xué)期望和標(biāo)準(zhǔn)差分別為-120.55°和6.07°，饋線2 的5 次諧波電流相位角分布的數(shù)學(xué)期望和標(biāo)準(zhǔn)差分別為-134.37°和6.07°，則兩者相位差分布的數(shù)學(xué)期望μ= 13.82° 、標(biāo)準(zhǔn)差σ= 8.58° 。根據(jù)圖5 可得到標(biāo)準(zhǔn)差σ= 8.58° 對(duì)應(yīng)的諧波電流疊加衰減系數(shù)Kσ= 0.985 ，諧波電流疊加系數(shù)期望值Kh= 2 cos 13.82°× 0.985 = 1.913 。

根據(jù)本文方法計(jì)算的諧波電流疊加系數(shù)和國標(biāo)中提供的5次諧波電流疊加系數(shù)（即1.28）分別計(jì)算兩條充電樁饋線的諧波電流疊加值，并與實(shí)測的兩條充電樁總進(jìn)線5次諧波電流進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果如圖9所示?？梢钥闯觯瑢?shí)測的兩條充電樁總進(jìn)線的5次諧波電流最大值、95%概率值和平均值分別為2.670 A、2.529 A 和1.822 A，而根據(jù)國標(biāo)推薦的疊加方法計(jì)算的兩條充電樁總進(jìn)線的5次諧波電流最大值、95%概率值和平均值分別為2.461 A、2.326 A和1.710 A，本文方法計(jì)算的兩條充電樁總進(jìn)線的5 次諧波電流最大值、95%概率值和平均值分別為2.669 A、2.528 A和1.837 A。以95%概率值進(jìn)行評(píng)估時(shí)，國標(biāo)推薦的疊加方法和本文方法的計(jì)算誤差分別為8.03%和0.04%，本文方法的計(jì)算誤差降低了99.50%。

圖9 不同方法疊加結(jié)果與實(shí)際測試結(jié)果對(duì)比Fig.9 Comparison between superimposed results calculated by different methods and actual test result

4 結(jié) 論

本文提出了一種考慮諧波電流相位分布特征的多諧波源疊加方法，主要結(jié)論如下。

（1）諧波疊加是相量運(yùn)算，在實(shí)際電網(wǎng)中由于諧波的幅值和相位均在一定區(qū)間內(nèi)隨機(jī)變化，因此多諧波源疊加的本質(zhì)是隨機(jī)矢量求和問題。

（2）疊加系數(shù)取決于諧波電流相位分布的數(shù)學(xué)期望和標(biāo)準(zhǔn)差。本文基于蒙特卡羅法量化了標(biāo)準(zhǔn)差對(duì)諧波電流疊加系數(shù)的影響，提出了基于數(shù)學(xué)期望和標(biāo)準(zhǔn)差的諧波電流疊加系數(shù)計(jì)算公式。通過在居民負(fù)荷和充電樁負(fù)荷兩種典型場景中的應(yīng)用驗(yàn)證，本文方法較國標(biāo)推薦方法的計(jì)算誤差降低80%以上。

（3）實(shí)際應(yīng)用中往往以諧波的95%概率值進(jìn)行評(píng)估，當(dāng)非線性負(fù)荷的諧波電流變化幅值較大時(shí)，篩選出諧波電流較大時(shí)刻的諧波電流相位分布特征進(jìn)行計(jì)算，可以顯著降低計(jì)算誤差。

（4）本文方法以基波電壓上升沿過零點(diǎn)為諧波電流相位計(jì)算的參考基準(zhǔn)，僅需計(jì)算或獲取各諧波源的相位分布特征參數(shù)，即可實(shí)現(xiàn)任意諧波源的疊加計(jì)算，具有計(jì)算量較小、計(jì)算誤差小、無需同步測量等優(yōu)點(diǎn)，提高了多諧波源疊加的準(zhǔn)確性和工程實(shí)用性。

本文方法在各諧波源相位角近似滿足正態(tài)分布的場景下取得了較好的疊加效果，但對(duì)于交流電弧爐等電弧類非線性負(fù)荷場景下，諧波電流相位角不滿足正態(tài)分布時(shí)，諧波電流疊加方法的適用性及改進(jìn)是下一步需重點(diǎn)研究的方向。