基于K近鄰非參數(shù)回歸的壓痕彈性模量估計

金宏平

（湖北汽車工業(yè)學(xué)院 機械工程學(xué)院，湖北 十堰 442002）

傳統(tǒng)的拉伸試驗作為主要試驗手段常用于材料的性能測試，具有試驗過程簡單、直觀的特點，但需要耗費大量的時間制作標準試樣來進行破壞性試驗，而且易受多種因素的影響導(dǎo)致重復(fù)性較差。壓痕試驗類似于拉伸試驗，通過連續(xù)采集載荷-位移數(shù)據(jù)，利用相應(yīng)的理論對數(shù)據(jù)進行處理來獲取材料的性能。壓痕試驗不需要制備大尺度的試樣，試驗過程簡單，對零部件表面的損傷較小，能在一定程度上代替現(xiàn)有的拉伸試驗，特別是在微小尺度的材料領(lǐng)域和在役設(shè)備性能檢測上能獲取相關(guān)材料的力學(xué)性能。由于材料與壓頭的接觸變形中呈現(xiàn)大量的非線性過程，根據(jù)載荷-位移曲線數(shù)據(jù)并不能直接獲取材料的力學(xué)性能。大量學(xué)者利用壓痕試驗、有限元仿真分析和量綱分析等手段和方法進行了材料性能的反演研究［1-3］。Dao 等［4］對76 種彈塑性材料進行了有限元仿真分析，研究表明，采用尖壓頭能夠辨識出材料的力學(xué)性能。Yan等［5］采用量綱分析和有限元仿真對尖壓頭進行了壓痕分析，研究結(jié)果表明，采用3種不同的尖壓頭進行壓痕試驗?zāi)塬@取較高精度的力學(xué)性能指標。石文超等［6］利用量綱法確定了鋁基復(fù)合材料應(yīng)變強化指數(shù)和初始特征應(yīng)力，采用納米壓痕試驗獲取鋁基體載荷-位移曲線，利用有限元迭代的反演分析法能確定鋁基體特征應(yīng)力和特征應(yīng)變參數(shù)。隨著神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和機器學(xué)習(xí)的迅速發(fā)展，不少學(xué)者也將這些理論和方法應(yīng)用在壓痕試驗領(lǐng)域［7-9］。孫明成等［10］采用有限元仿真建立了奧氏體不銹鋼的壓痕曲線數(shù)據(jù)庫，利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和優(yōu)化函數(shù)能快速有效獲取材料的力學(xué)性能指標。通過有限元仿真建立數(shù)據(jù)集，Weng等［11］采用支持向量回歸機建立了代理模型來關(guān)聯(lián)輸入（應(yīng)力-應(yīng)變函數(shù)常數(shù)）和輸出（預(yù)測結(jié)果與測量結(jié)果之間的平均誤差）之間的關(guān)系，利用尖壓頭獲取了灰口鑄鐵的應(yīng)力-應(yīng)變曲線。Ghanbari等［12］對鋁合金材料進行了大量的仿真模擬并對壓痕載荷-位移曲線進行分析，利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)實現(xiàn)了殘余應(yīng)力、屈服強度和硬化指數(shù)的有效估計。Huang 等［13］采用迭代有限元模擬和模擬退火群粒子優(yōu)化方法，通過多重加載-卸載曲線獲取了應(yīng)變硬化指數(shù)和應(yīng)變硬化速率等力學(xué)性能。K 近鄰回歸是根據(jù)Cover等［14］提出的K近鄰分類方法改進而來，主要思想是對測試樣本周圍的K個近鄰數(shù)據(jù)進行平均來預(yù)測其輸出值。由于K 近鄰回歸的算法簡單、魯棒性好，在回歸問題中應(yīng)用較廣泛。球壓頭在壓痕試驗過程中，沒有尖壓頭的幾何相似性，而且被壓材料與球壓頭在接觸變形過程中，材料經(jīng)歷明顯的彈性變形、彈塑性變形和塑性變形3個變形階段，因此采用球壓頭進行壓痕試驗具有明顯的優(yōu)勢。為此，文中采用球壓痕技術(shù)和K 近鄰算法，擬從大量的壓痕試驗數(shù)據(jù)中回歸得到材料的壓痕彈性模量。

1 球壓痕試驗的基本原理

在球壓痕試驗過程中，利用高精度載荷和位移傳感器連續(xù)采集加載和卸載過程的載荷-位移數(shù)據(jù)，得到如圖1所示的曲線。根據(jù)載荷-位移曲線，通過數(shù)學(xué)計算可得到各種參數(shù)，如加載斜率、卸載斜率、最大加載力Fm、最大壓入深度hm、殘余壓痕深度hr等。結(jié)合接觸力學(xué)、彈塑性理論和量綱分析等相關(guān)理論與方法，可建立材料力學(xué)性能與這些壓痕參數(shù)之間的關(guān)系，從而獲取材料的力學(xué)性能，如彈性模量E、屈服強度、硬化指數(shù)、殘余應(yīng)力等。

圖1 壓痕的載荷-位移曲線示意圖

在壓痕試驗的加載過程中，定義外力所施加的能量是壓痕加載功Wt，如圖1 所示的加載曲線OA與水平位移軸所確定的面積，即

在卸載過程中，被壓材料的彈性變形施加在壓頭上產(chǎn)生彈性恢復(fù)功We，如圖1 所示的卸載曲線AC與水平位移軸所確定的面積，即

加載曲線OA和卸載曲線AC所圍的區(qū)域是材料塑性變形所消耗的能量，即壓痕塑性功：

在圖1中，定義△OAB的面積是絕對加載功WS，即

定義絕對彈性恢復(fù)功WE是△ABC的面積，即

同樣，△OAC的面積是絕對壓痕塑性功：

采用有限元分析軟件ABAQUS 進行球壓痕的仿真分析。球壓頭簡化為半徑是0.794 mm 的剛體，被壓材料簡化為軸對稱結(jié)構(gòu)，最大壓痕深度為10 μm。選擇彈性模量與屈服強度的比值范圍是30～1000，泊松比ν取0.3，硬化指數(shù)n分別取0、0.1、0.3和0.5，共60種材料參數(shù)模型。

為了提高材料壓痕彈性模量的回歸精度，利用壓痕試驗的載荷-位移曲線，通過擬合和積分等數(shù)學(xué)方法來計算壓痕參數(shù)。根據(jù)對壓痕參數(shù)的數(shù)據(jù)進行相關(guān)性分析，選擇9個無量綱壓痕功We/Wt、Wp/Wt、Wp/WS、Wp/WE、Wt/WR、Wt/WE、WR/WS、WR/WE、WE/WS和無量綱壓痕彈性模量Eh2m Fm作為樣本的特征參數(shù)。相關(guān)性矩陣如圖2所示。從圖2中可以看出，雖然Eh2m Fm和Wp/WE、Wt/WE以及WR/WE均呈線性正相關(guān)性，但由此并不能唯一確定材料的壓痕彈性模量，有可能存在多種材料的Wp/WE、Wt/WE以及WR/WE均相同［5］。其余6個參數(shù)均與Eh2m Fm非線性相關(guān)。如果建立這些參數(shù)之間的映射關(guān)系，即可通過壓痕試驗獲取相應(yīng)材料的壓痕彈性模量。有些學(xué)者采用多項式擬合的方式來建立壓痕參數(shù)之間的非線性模型，但該模型易受人為因素的影響，導(dǎo)致其精度和適用范圍受到一定的影響。為此，選擇上述10個無量綱參數(shù)作為K近鄰的樣本數(shù)據(jù)以增加樣本數(shù)據(jù)的維度，從而提高非參數(shù)回歸的準確性。流程如下：首先通過仿真或試驗獲取球壓痕的載荷-位移曲線，計算各壓痕參數(shù)，建立球壓痕參數(shù)數(shù)據(jù)庫；然后對數(shù)據(jù)歸一化，并確定K 近鄰的K和距離模式，采用K近鄰非參數(shù)回歸得到無量綱壓痕彈性模量；最后根據(jù)Fm和hm計算壓痕彈性模量E。

圖2 壓痕特征參數(shù)的相關(guān)性矩陣

2 K近鄰非參數(shù)回歸算法原理

常用的回歸模型是基于數(shù)據(jù)分布的假設(shè)，而在實際應(yīng)用中很少有滿足這種假設(shè)的情況。而K 近鄰回歸不需要考慮數(shù)據(jù)分布，僅僅是通過訓(xùn)練數(shù)據(jù)來進行預(yù)測。因此，K近鄰回歸算法能有效處理線性和非線性問題，尤其在高維空間。

假設(shè)訓(xùn)練數(shù)據(jù)集有N對數(shù)據(jù)，表示為

式中：Xi為訓(xùn)練樣本集的第i個輸入樣本數(shù)據(jù)，維度是m維空間為第i個樣本的第j個特征參數(shù)，對應(yīng)的輸出值為yi。

根據(jù)K近鄰算法（KNN）的定義，測試樣本X與訓(xùn)練樣本Xi的相似關(guān)系是通過計算特征參數(shù)之間的距離來進行判斷，通常采用歐式距離：

歐式距離是最常用的用于判斷2 個樣本相似性的距離測度，但并不是在每個領(lǐng)域都最優(yōu)。有些學(xué)者采用曼哈頓距離來判斷2個樣本的相似度：

將X與Xi的距離按從小到大排序，找到距離最近的K個樣本，并將對應(yīng)的輸出yi進行數(shù)值平均，即可回歸得到測試樣本的輸出估計值y?：

從式（10）中可以看出，K 近鄰回歸存在一些問題，如所有近鄰具有相同的權(quán)重時K如何確定以及距離模式的選擇等。一些學(xué)者對K 近鄰算法進行了改進，如加權(quán)K 近鄰算法（WKNN）［15］，通過改變近鄰的權(quán)重來提高K 近鄰算法的可靠性和準確度?；貧w得到測試樣本的估計值y?采用式（11）計算：

式中：wi為第i個近鄰訓(xùn)練樣本對測試樣本影響的權(quán)重，與訓(xùn)練樣本和測試樣本的距離相關(guān)。從式（12）中可以看出，距離測試樣本越近的訓(xùn)練樣本權(quán)重越大，對測試樣本的影響越大。

Keller 等［16］采用模糊數(shù)學(xué)理論，通過引入隸屬度來處理不確定性的問題，提出了模糊K近鄰算法（FKNN）。權(quán)重的計算公式為

式中：m為模糊強度系數(shù)，一般選擇2。

有學(xué)者采用高斯K 近鄰算法（GKNN）［17］計算訓(xùn)練樣本對測試樣本的影響權(quán)重：

式中：a為高斯峰值，一般選擇2；σ為標準方差，一般設(shè)定為0.5。

上述4種K近鄰算法的權(quán)重w與距離d的變化關(guān)系如圖3所示。從圖3可以看出，KNN算法對于K個近鄰訓(xùn)練樣本的權(quán)重相同，均為1。當測試樣本和訓(xùn)練樣本的距離小于單位長度時，F(xiàn)KNN算法中訓(xùn)練樣本對測試樣本的影響權(quán)重遠大于WKNN算法的權(quán)重；當訓(xùn)練樣本與測試樣本距離大于單位長度時，F(xiàn)KNN 算法的權(quán)重小于WKNN 算法的權(quán)重。從式（12）～（13）也可以看出這種變化關(guān)系。而對于GKNN算法，當距離小于0.1時，權(quán)重基本不變；當距離大于1后，權(quán)重迅速減小。

圖3 不同K近鄰算法的權(quán)重與距離關(guān)系圖

3 結(jié)果分析

將60個有限元仿真分析得到的數(shù)據(jù)樣本進行歸一化后，再隨機分成42個訓(xùn)練樣本和18 個測試樣本，分別對4種K近鄰算法進行測試分析。在使用K近鄰非參數(shù)回歸壓痕彈性模量過程中，分別采用曼哈頓距離和歐氏距離模式以及近鄰數(shù)K的變化范圍1～9。為評估回歸性能，采用均方根誤差（RMSE）作為評價指標：

式中：yi為測試樣本真實值；y?i為測試樣本估計值。

分別采用曼哈頓距離和歐氏距離來分析K對回歸性能的影響，結(jié)果如圖4 所示。當K為5 時，4種K 近鄰算法的RMSE 均為最小。隨著K增加，4種近鄰算法的回歸效果變差。而KNN 算法的RMSE變化最劇烈，說明近鄰點的影響程度對回歸精度影響較大。當近鄰點選取較多時，較遠的近鄰點對回歸值也有影響，降低了回歸精度。當近鄰數(shù)大于1 時，F(xiàn)KNN 算法的RMSE 變化較小，可見，采用模糊理論的隸屬度概念能提高K 近鄰算法的回歸性能。從圖4中也可以看出，采用曼哈頓距離的RMSE 比采用歐氏距離的RMSE 小，即采用曼哈頓距離的K近鄰算法的回歸性能較好。可見，在估計壓痕彈性模量時，采用曼哈頓距離能獲得更高的精度。因此文中采用5 近鄰和曼哈頓距離的模糊K近鄰算法來估計壓痕彈性模量。

圖4 K對回歸精度的影響

圖5 反映了當K為5 時采用曼哈頓距離的FKNN 算法的效果，可以看出，采用曼哈頓距離的FKNN 算法估計出的無量綱壓痕彈性模量參數(shù)Eh2m Fm精度較高，只有第9 個的測試樣本偏差較大，達到9%，主要原因是該樣本的特征與其他樣本的特征差異較大，屬于離群點。根據(jù)壓痕試驗的參數(shù)Fm、hm，利用回歸得到的無量綱壓痕彈性模量Eh2m Fm，可計算得到壓痕彈性模量。

圖5 FKNN算法的試驗值與估計值對比

4 結(jié)論

在球壓痕試驗過程中，被壓材料與球壓頭存在接觸變形、材料彈塑性變形和幾何變形等非線性變形。采用擬合的方式來建立壓痕參數(shù)之間的非線性顯式模型，易受人為因素的影響，導(dǎo)致其精度和適用范圍受到一定的影響。K 近鄰回歸通過訓(xùn)練數(shù)據(jù)來進行預(yù)測，能有效處理線性和非線性問題。文中通過有限元仿真分析和相關(guān)性分析，建立了無量綱壓痕功和無量綱壓痕彈性模量的數(shù)據(jù)集。仿真結(jié)果表明，相對于K 近鄰算法、加權(quán)K 近鄰算法和高斯K近鄰算法，采用5近鄰和曼哈頓距離的模糊K近鄰算法來估計壓痕彈性模量，能夠獲得較高精度的壓痕彈性模量。后續(xù)將通過收集試驗數(shù)據(jù)來進行驗證。