透鏡成像反向?qū)W習(xí)的精英池侏儒貓鼬優(yōu)化算法

賈鶴鳴，陳麗珍，力尚龍，劉慶鑫，吳 迪，盧程浩

1.三明學(xué)院 信息工程學(xué)院，福建 三明 365004

2.海南大學(xué) 計算機科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，?？?570228

3.三明學(xué)院 教育與音樂學(xué)院，福建 三明 365004

隨著科技的不斷發(fā)展，工程優(yōu)化問題變得越發(fā)復(fù)雜，亟需尋找更為有效的求解算法。因此許多學(xué)者受自然界中生物的習(xí)性和事物的自然規(guī)律啟發(fā)提出了元啟發(fā)式算法，并將其應(yīng)用于工程優(yōu)化問題求解。近年來提出的元啟發(fā)式算法主要有算術(shù)優(yōu)化算法（arithmetic optimization algorithm，AOA）[1]、正余弦優(yōu)化算法（sine cosine algorithm，SCA）[2]、灰狼優(yōu)化算法（grey wolf optimization，GWO）[3]、樽海鞘群優(yōu)化算法（salp swarm algorithm，SSA）[4]、蛇優(yōu)化算法（snake optimizer，SO）[5]、?魚優(yōu)化算法（remora optimization algorithm，ROA）[6]、黏菌優(yōu)化算法（slime mould algorithm，SMA）[7]和粒子群優(yōu)化算法（particle swarm optimization，PSO）[8]等。元啟發(fā)式算法因具有穩(wěn)定性強且易于實現(xiàn)等優(yōu)點，常被人們應(yīng)用于工程設(shè)計問題求解。

侏儒貓鼬優(yōu)化算法（dwarf mongoose optimization algorithm，DMO）是由Agushaka 等[9]于2022 年提出的一種群體智能優(yōu)化算法。其靈感來源于侏儒貓鼬的群體覓食行為，但DMO 算法依然存在收斂速度慢及易陷入局部最優(yōu)的缺點。透鏡成像反向?qū)W習(xí)策略是基于透鏡成像原理提出的一種改進(jìn)策略[10]，能夠增強算法跳出局部最優(yōu)的能力，從而提高算法的尋優(yōu)性能。周鵬等[11]提出一種改進(jìn)的平衡優(yōu)化器算法，通過透鏡成像反向?qū)W習(xí)策略來提高算法的搜索能力，降低算法在迭代后期陷入局部最優(yōu)的概率。劉慶鑫等[12]提出了一種多策略融合的?魚優(yōu)化算法，利用布朗運動提高算法的探索能力，再引入透鏡成像反向?qū)W習(xí)策略，進(jìn)一步提高算法跳出局部最優(yōu)解的能力，使算法的探索能力和開發(fā)能力更加平衡。

為了提高DMO算法的收斂速度，增強其探索能力，本文提出了融合透鏡成像反向?qū)W習(xí)的精英池侏儒貓鼬優(yōu)化算法。首先，采用透鏡成像反向?qū)W習(xí)策略，降低算法陷入局部最優(yōu)的概率，增強算法全局探索的能力；然后，在阿爾法組成員覓食的時候引入精英池策略，避免了算法迭代后期個體向食物源聚集的問題，進(jìn)一步降低陷入局部最優(yōu)的概率?；?3個標(biāo)準(zhǔn)測試函數(shù)的實驗結(jié)果表明，IDMO 算法具有更好的尋優(yōu)性能和魯棒性。最后，通過對汽車碰撞優(yōu)化問題的求解，驗證IDMO 算法對工程問題同樣具有較高的適用性。

1 侏儒貓鼬優(yōu)化算法

DMO算法是模擬侏儒貓鼬半游牧式生活的一種元啟發(fā)式算法。侏儒貓鼬通常生活在一個母系社會的家族群體中，主要有覓食、偵察和保姆三種社會職能。侏儒貓鼬以集體覓食和偵察而聞名，由雌性首領(lǐng)引導(dǎo)種群進(jìn)行食物源的搜尋。一旦滿足保姆交換條件，即當(dāng)阿爾法組未能尋找到合適的食物時，將交換阿爾法組和保姆組的成員，且阿爾法組同時進(jìn)行覓食和尋找睡眠丘。

1.1 阿爾法組

1.1.1 雌性首領(lǐng)的產(chǎn)生

雌性首領(lǐng)在阿爾法組中產(chǎn)生，阿爾法組中每個雌性個體成為首領(lǐng)的概率為α，計算公式如下：

其中，fiti是第i個個體的適應(yīng)度，N是侏儒貓鼬種群中個體的總數(shù)。阿爾法組的個體數(shù)量為n′,bs為保姆的數(shù)量。

1.1.2 阿爾法組成員覓食

阿爾法組成員將共行并進(jìn)行覓食，食物源的候選位置由式（2）給出：

其中，Xi+1是找到的食物源新位置，Xi為雌性首領(lǐng)的當(dāng)前位置，phi是均勻分布在[-1,1]之間的隨機數(shù)，本文peep選取為2，Xrand是阿爾法組中的隨機個體。

1.2 保姆交換條件

保姆交換條件是用于重置阿爾法組和保姆組中的貓鼬個體。當(dāng)阿爾法組成員未能搜尋到合適的食物時，認(rèn)為阿爾法組成員能力不足，將交換阿爾法組和保姆組的成員。交換條件滿足后，阿爾法組將同時進(jìn)行覓食和尋找睡眠丘，計算公式如下：

其中，Xb為交換后個體的新位置，ub和lb分別為搜索空間的上界和下界，rand是0到1之間的隨機數(shù)。

保姆交換后的覓食行為由公式（2）實現(xiàn)。睡眠丘是貓鼬休息的場所，而貓鼬不會回到之前的睡眠丘，這種生活模式能夠避免搜索區(qū)域被過度開發(fā)的問題。新搜尋到的睡眠丘的數(shù)學(xué)模型如下：

其中，Xsm為新的睡眠丘的位置，M是決定貓鼬移動到新睡眠丘的方向向量，φ是睡眠丘的平均值，計算公式如下：

其中，smi代表睡眠丘值：

CF表示貓鼬種群移動能力的參數(shù)，它會隨著迭代次數(shù)線性遞減，計算公式如下：

其中，t為當(dāng)前迭代次數(shù)，T為最大迭代次數(shù)。

2 改進(jìn)的侏儒貓鼬優(yōu)化算法

2.1 基于透鏡成像原理的反向?qū)W習(xí)策略

反向?qū)W習(xí)是通過計算當(dāng)前位置的反向解，從而擴大搜索范圍的一種改進(jìn)策略。在群智能優(yōu)化算法中采用反向?qū)W習(xí)策略，可以在一定程度上提升算法的尋優(yōu)能力；但通過反向?qū)W習(xí)求得的反向解是固定的，若個體已經(jīng)陷入局部最優(yōu)，且其反向解劣于當(dāng)前解，則反向?qū)W習(xí)策略無法使該個體跳出局部最優(yōu)。而透鏡成像反向?qū)W習(xí)可以有效解決上述問題。

透鏡成像反向?qū)W習(xí)策略如圖1所示，以二維空間為例，[a,b]為解的搜索范圍，y軸表示凸透鏡。假設(shè)有一物體P，高度為h，在x軸上的投影為x；該物體通過凸透鏡成像在凸透鏡的另一側(cè)呈現(xiàn)出一個倒立的實像P*，高度為h*，在x軸上的投影為x*。由凸透鏡成像原理可得：

圖1 透鏡成像反向?qū)W習(xí)策略示意圖Fig.1 Opposition learning strategy based on lens image

令k=h/h*，則式（9）可改寫為：

式（10）為凸透鏡成像反向?qū)W習(xí)策略的反向解的求解公式，當(dāng)k=1 時，式（10）可化簡為：

該式即為反向?qū)W習(xí)的求解公式。

由上述可知，反向?qū)W習(xí)就是特殊的透鏡成像反向?qū)W習(xí)，采用反向?qū)W習(xí)得到的是固定的反向解。而通過調(diào)整k的大小，可以在透鏡反向?qū)W習(xí)中獲得動態(tài)變化的反向解，進(jìn)一步提升算法的尋優(yōu)能力。本文中采用的k值計算公式如下：

2.2 精英池策略

精英池策略是用于提高算法探索能力的一種選擇策略[13]。其將當(dāng)前最優(yōu)的三個個體和種群中適應(yīng)度值前一半個體的加權(quán)平均位置儲存在精英池中，種群中前一半的個體在進(jìn)行位置更新時都會隨機選擇精英池中的一個個體作為食物源；該策略有效避免了種群因只有一個食物源而陷入局部最優(yōu)的問題，提高了算法的探索能力。

原始DMO 算法具有較強的全局探索能力，但由于僅確定一個食物源會導(dǎo)致貓鼬種群出現(xiàn)向一個食物源聚集的問題，導(dǎo)致算法易陷入局部最優(yōu)，所以本文采用上述策略來解決該問題。選擇當(dāng)前適應(yīng)度值最優(yōu)的三個個體和阿爾法組全部成員的加權(quán)平均位置存儲在精英池中。三個最優(yōu)個體能夠幫助阿爾法組進(jìn)行探索，加權(quán)平均位置則代表整個優(yōu)勢種群的進(jìn)化趨勢，有利于算法進(jìn)行開發(fā)。隨后將隨機選擇精英池中的一個個體進(jìn)行覓食，從而增強了原始算法的探索能力。精英池策略如圖2所示。

圖2 精英池策略示意圖Fig.2 Schematic diagram of elite pool strategy

圖2 中，Xbest1、Xbest2和Xbest3分別為當(dāng)前種群適應(yīng)度值最優(yōu)的前三個個體，Xmean是阿爾法全部成員的加權(quán)平均位置，其計算公式如下：

調(diào)整后的食物源的更新公式如下：

其中，Xelite是精英池策略選擇的個體位置。

2.3 IDMO的偽代碼

融合透鏡成像反向?qū)W習(xí)的精英池侏儒貓鼬優(yōu)化算法的偽代碼如下所示：

2.4 IDMO的流程圖

融合透鏡成像反向?qū)W習(xí)的精英池侏儒貓鼬優(yōu)化算法實現(xiàn)流程如圖3所示。

圖3 IDMO算法流程Fig.3 Flow chart of IDMO

2.5 IDMO的時間復(fù)雜度分析

時間復(fù)雜度直接反映算法的運算效率，間接反映算法的收斂速度，是體現(xiàn)算法性能的重要因素。

在DMO 算法中，假設(shè)種群規(guī)模為N，個體維度為n，初始化算法參數(shù)所需時間為η0，每一維上產(chǎn)生均勻分布隨機數(shù)的時間為η1，則初始化種群階段的時間復(fù)雜度為：

進(jìn)入迭代后，迭代次數(shù)為T，計算每個貓鼬個體適應(yīng)度值的時間為f(n)，根據(jù)公式（1）計算阿爾法組中雌性個體成為首領(lǐng)的概率所需時間為η2，則此階段的時間復(fù)雜度為：

在阿爾法組成員覓食階段，阿爾法組的個體數(shù)量為n′，在公式（2）中，phi為均勻分布的隨機數(shù)，每個個體的每一維都各不相同，其生成時間均與η1一致，選取peep的時間為η3且由公式（2）進(jìn)行每一維食物源位置更新的時間為η4。則該階段的時間復(fù)雜度為：

滿足保姆交換條件后，在公式（3）中，rand是隨機數(shù)且每個個體的每一維都各不相同，其生成時間均與η1一致。公式（3）初始化所需時間為η5。在公式（4）中，計算M、φ和smi所需時間分別為η6、η7、η8，計算phi和rand所需時間與上述一致。則該階段的時間復(fù)雜度為：

綜上所述，DMO的總時間復(fù)雜度為：

在改進(jìn)算法IDMO中，算法的種群規(guī)模、個體維度、初始化參數(shù)時間以及每一維上產(chǎn)生均勻分布隨機數(shù)的時間均與DMO 算法一致，所以初始化種群階段的時間復(fù)雜度為：

進(jìn)入迭代后，迭代次數(shù)為T，計算每個貓鼬個體適應(yīng)度值的時間和計算阿爾法組中雌性個體成為首領(lǐng)的概率所需的時間均與DMO 算法一致，則此階段的時間復(fù)雜度為：

設(shè)由公式（12）產(chǎn)生k的時間為t1，由公式（14）產(chǎn)生的阿爾法組中按適應(yīng)度值降序排列的權(quán)重系數(shù)ωi的時間為t2，由公式（13）產(chǎn)生的Xmean的時間為t3，由公式（15）產(chǎn)生的Xi+1的時間為t4。則該階段的時間復(fù)雜度為：

綜上所述，IDMO算法的總時間復(fù)雜度為：

由此可知，與DMO算法相比，本文IDMO算法并未增加時間復(fù)雜度，執(zhí)行效率沒有下降。

3 實驗仿真與分析

本次實驗的實驗操作系統(tǒng)為Windows11 系統(tǒng)，11th Gen Intel?CoreTMi7-11700 2.50 GHz，16.00 GB內(nèi)存，實驗仿真過程在Matlab 2021a 中實現(xiàn)。為了驗證IDMO 算法的性能，本文選取了13 個標(biāo)準(zhǔn)測試函數(shù)對IDMO算法的性能進(jìn)行測試[14]。表1為13個標(biāo)準(zhǔn)測試函數(shù)的基本信息。其中，F(xiàn)1～F5 是單峰函數(shù)，只有一個全局最優(yōu)解，對算法的開發(fā)能力進(jìn)行檢驗。F6～F10 是多峰函數(shù)，有一個全局最優(yōu)解和多個局部最優(yōu)解，可對算法的全局搜索能力進(jìn)行檢測。F11～F13 是固定維度多峰函數(shù)，對算法探索和開發(fā)能力之間的平衡性進(jìn)行驗證。通過上述三種不同類型的測試函數(shù)，充分驗證算法的尋優(yōu)性能。

表1 標(biāo)準(zhǔn)測試函數(shù)Table 1 Benchmark functions

3.1 對比算法與參數(shù)設(shè)置

為充分驗證本文提出的IDMO算法的性能，選取了7種算法進(jìn)行對比，分別是DMO[9]、AOA[1]、SCA[2]、GWO[3]、SSA[4]、SO[5]和ROA[6]，這些算法已被證實具有良好的尋優(yōu)性能。為了更準(zhǔn)確地驗證IDMO 算法與比對算法的優(yōu)劣性，統(tǒng)一設(shè)定種群規(guī)模N=30，維度D=30，最大迭代次數(shù)500 次，各算法獨立運行30 次。選取平均值、標(biāo)準(zhǔn)差與Wilcoxon 秩和檢驗作為評價標(biāo)準(zhǔn)。平均值與標(biāo)準(zhǔn)差越小，算法的性能越好。表2為各對比算法的參數(shù)設(shè)置。

表2 算法參數(shù)設(shè)置Table 2 Algorithm parameter setting

3.2 求解精度分析

IDMO算法及其對比算法的最優(yōu)適應(yīng)度值、平均適應(yīng)度值和適應(yīng)度值標(biāo)準(zhǔn)差如表3所示。Best為最優(yōu)適應(yīng)度值，Mean 為平均適應(yīng)度值，Std 為適應(yīng)度值標(biāo)準(zhǔn)差。函數(shù)F1～F5 為單峰函數(shù)；在求解函數(shù)F1 時，IDMO 算法得到了理論最優(yōu)值；在求解函數(shù)F2和F4時，IDMO算法均得到了理論最優(yōu)值，明顯優(yōu)于DMO和其他對比算法；在求解函數(shù)F3時，IDMO算法得到了理論最優(yōu)值，ROA雖得到了最優(yōu)適應(yīng)度值和適應(yīng)度值標(biāo)準(zhǔn)差的理論最優(yōu)值，但其穩(wěn)定性較差；在求解函數(shù)F5時，IDMO算法得到了最優(yōu)適應(yīng)度值的理論最優(yōu)值，SSA雖得到了最佳的平均適應(yīng)度值和適應(yīng)度值標(biāo)準(zhǔn)差，但其最優(yōu)適應(yīng)度值明顯較差，表明IDMO 算法跳出局部最優(yōu)的能力較強；由此可知，引入透鏡成像反向?qū)W習(xí)和精英池策略使得IDMO算法的局部開發(fā)能力顯著提升，算法收斂精度有所提高。函數(shù)F6～F10 為多峰函數(shù)；在求解函數(shù)F6 和F8 時，IDMO 算法和ROA 均得到了理論最優(yōu)值，SO 則得到了最優(yōu)適應(yīng)度值的理論最優(yōu)值，但其穩(wěn)定性較差；在求解函數(shù)F7、F9和F10時，IDMO算法均得到了最優(yōu)值，明顯優(yōu)于DMO和其余對比算法；由此可知，IDMO算法的探索能力優(yōu)于其他對比算法。函數(shù)F11～F13 為固定維度多峰函數(shù)；在求解函數(shù)F11時，IDMO算法雖未取得最優(yōu)的適應(yīng)度值標(biāo)準(zhǔn)差，但其最優(yōu)適應(yīng)度值和平均適應(yīng)度值都是最優(yōu)的；在求解函數(shù)F12和F13時，IDMO算法均得到了最佳的最優(yōu)適應(yīng)度值、平均適應(yīng)度值和適應(yīng)度值標(biāo)準(zhǔn)差，GWO 和ROA 均得到最佳的最優(yōu)適應(yīng)度值，但平均適應(yīng)度值和適應(yīng)度值標(biāo)準(zhǔn)差略差于IDMO算法；這驗證了IDMO算法的收斂精度明顯更高，且搜索能力和開發(fā)能力的平衡明顯更優(yōu)。

表3 各算法標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)測試結(jié)果Table 3 Test results of benchmark functions of each algorithm

3.3 收斂曲線分析

為了更直觀地反映各算法的收斂速度和跳出局部最優(yōu)的能力，本文給出部分測試函數(shù)的收斂曲線如圖4所示。對于函數(shù)F1、F2、F3和F4，DMO、AOA、SCA、GWO、SSA和SO的收斂精度都較低；ROA在函數(shù)F1和F3中，收斂精度較高，但收斂速度過慢，在函數(shù)F2和F4中，收斂精度較低；IDMO 算法在迭代一開始就快速收斂，且找到了理論最優(yōu)值。對于函數(shù)F5，IDMO算法在迭代初期快速收斂，收斂精度明顯更高。單峰函數(shù)的收斂曲線證明了IDMO 算法引入透鏡成像反向?qū)W習(xí)策略和精英池策略有效提高了收斂能力和全局探索能力。對于函數(shù)F7、F8、F9 和F10，IDMO 算法在迭代初期快速收斂，且在函數(shù)F8 中得到理論最優(yōu)值，AOA 在函數(shù)F7、F9 和F10 中長期陷入局部最優(yōu)。多峰函數(shù)F7、F8、F9 和F10體現(xiàn)了IDMO 算法具有卓越的探索能力。對于固定維度多峰函數(shù)F12 和F13，IDMO 算法在迭代前期快速收斂，尋優(yōu)時間均少于其他算法；在函數(shù)F13 中，AOA、SCA、GWO、SSA、SO、RAO均多次陷入局部最優(yōu)，DMO算法的收斂速度略遜于IDMO算法；體現(xiàn)了IDMO算法探索和開發(fā)之間平衡性的優(yōu)越。

圖4 部分測試函數(shù)的收斂曲線Fig.4 Convergence curve of partial test function

3.4 Wilcoxon秩和檢驗

為了充分驗證算法的魯棒性，本文采用Wilcoxon秩和檢驗來驗證各算法整體結(jié)果的顯著性差別。Wilcoxon秩和檢驗在5%的顯著性水平下進(jìn)行，當(dāng)p<5%時，表明兩種對比算法存在顯著差異，反之表明兩種算法的尋優(yōu)性能差異不大。因此，本文將8 種算法作為樣本，各算法獨立求解15 次，設(shè)定種群個數(shù)N=30，維度D=30，測試13 個標(biāo)準(zhǔn)測試函數(shù)判斷IDMO 算法所得結(jié)果與7個對比算法所得結(jié)果的顯著性區(qū)別。Wilcoxon 統(tǒng)計檢驗p值結(jié)果如表4所示。由表4可知，大部分p值均小于5%，說明IDMO 算法與其余比對算法之間存在顯著差異。

表4 各算法Wilcoxon秩和檢驗結(jié)果Table 4 Wilcoxon rank sum test results of each algorithm

通過綜合分析各算法標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)測試結(jié)果、部分測試函數(shù)的收斂曲線和各算法Wilcoxon秩和檢驗結(jié)果，可得出如下結(jié)論：IDMO 算法的局部和全局能力均顯著提升，且優(yōu)于原始DMO 和SSA 等對比優(yōu)化算法，具有更佳的收斂速度、收斂精度以及穩(wěn)定性。

4 汽車碰撞優(yōu)化問題求解

汽車碰撞優(yōu)化問題的設(shè)計目的是實現(xiàn)汽車輕量化，即在保證汽車安全性能的前提下，最大程度地降低汽車的整備質(zhì)量[15]。該問題包含了11個決策變量和10個約束條件，其中決策變量分別是B 柱內(nèi)部厚度、B 柱鋼筋厚度、地板內(nèi)側(cè)厚度、橫梁厚度、門梁厚度、門帶線鋼筋厚度、車頂縱梁厚度、B 柱內(nèi)部材料、地板內(nèi)側(cè)材料、障礙高度、障礙撞擊位置，約束條件分別是腹部負(fù)荷、上部粘性標(biāo)準(zhǔn)、中部粘性標(biāo)準(zhǔn)、下部粘性標(biāo)準(zhǔn)、上部肋骨偏轉(zhuǎn)、中部肋骨偏轉(zhuǎn)、下部肋骨偏轉(zhuǎn)、恥骨聯(lián)合力、B 柱中間點速度和B柱前門速度。

其數(shù)學(xué)模型如下：目標(biāo)函數(shù)：

約束條件：

變量范圍：

IDMO 算法與對比算法求解汽車碰撞優(yōu)化問題的實驗結(jié)果如表5所示。從表5中可直觀看出，IDMO算法得到的最小質(zhì)量為23.256 9，該結(jié)果不僅優(yōu)于原始DMO算法，且小于其余的對比優(yōu)化算法，說明IDMO 算法在求解該類工程問題時具有良好的工程實用性。

表5 汽車碰撞優(yōu)化問題實驗結(jié)果Table 5 Experimental results of car crashworthiness optimization

5 總結(jié)

本文為提高DMO 算法的收斂速度和尋優(yōu)性能，提出了一種融合透鏡成像反向?qū)W習(xí)的精英池侏儒貓鼬優(yōu)化算法（IDMO）。使用13 個標(biāo)準(zhǔn)測試函數(shù)及Wilcoxon秩和檢驗對IDMO 算法進(jìn)行仿真實驗，實驗結(jié)果表明，IDMO算法具有良好的尋優(yōu)性能和魯棒性，再通過將其應(yīng)用于汽車碰撞優(yōu)化問題實例，驗證了IDMO算法在工程方面的適用性和可行性。在后續(xù)的研究中，考慮將算法應(yīng)用在其他工程問題求解中，更深入地驗證改進(jìn)算法的性能。