基于響應(yīng)矩陣的RFQ新調(diào)諧算法的驗證與實現(xiàn)

陸羿行 方文程 張俊強 郭玉森,5 趙振堂

1（中國科學(xué)院上海應(yīng)用物理研究所 上海 201800）

2（中國科學(xué)院大學(xué) 北京 101408）

3（中國科學(xué)院上海高等研究院 上海 201204）

4（上海市低溫超導(dǎo)高頻腔技術(shù)重點實驗室 上海 201800）

5（上?？萍即髮W(xué) 上海 201210）

射頻四極場加速器（Radio Frequency Qaudrupole，RFQ）［1-4］常用于低能質(zhì)子的加速，可以保證其束流品質(zhì)，如今廣泛應(yīng)用于質(zhì)子加速器及相關(guān)裝置中?，F(xiàn)有裝置上的RFQ工作頻率通常在200~400 MHz，而歐洲核子中心（European Organization for Nuclear Research，CERN）研發(fā)的用于質(zhì)子治療裝置的RFQ工作頻率為750 MHz［5］，這種高頻率的RFQ具有更高的加速梯度，可以推動質(zhì)子加速器的小型化。近十多年中，上海光源（Shanghai Synchrotron Radiation Facility，SSRF）也在致力于質(zhì)子治療裝置的研發(fā)，為瑞金醫(yī)院腫瘤質(zhì)子中心設(shè)計、建造的首臺國產(chǎn)質(zhì)子治療裝置已經(jīng)通過驗收，進入臨床試驗階段［6-8］；同時，提出了基于直線加速器的質(zhì)子閃療裝置［9-11］，緊湊型RFQ作為裝置中的一部分，也已經(jīng)過了多年的研究。調(diào)諧是緊湊型RFQ的關(guān)鍵技術(shù)之一，傳統(tǒng)的調(diào)諧算法基于腔體理論計算得到的物理特性，用于緊湊型RFQ效果欠佳。CERN在高頻RFQ上利用實際場分布對調(diào)諧棒的響應(yīng)量，即響應(yīng)矩陣，來進行調(diào)諧［12-13］，在求解的過程中應(yīng)用了奇異值分解（Singular Value Decomposition，SVD）方法。然而，這種方法仍然存在不足，在求解過程中常常出現(xiàn)調(diào)諧量超出調(diào)諧棒可調(diào)節(jié)范圍的情況，即使對SVD方法進行了改造解決了這個問題，又會造成精度下降，導(dǎo)致調(diào)諧步驟多、二極場分量難以降低等問題。

針對以上問題，本文提出了一種在響應(yīng)矩陣的基礎(chǔ)上利用最小二乘法（Least Squares，LS）進行求解的調(diào)諧算法。該算法可以限定求解的范圍，得到其中的最優(yōu)解；同時，對腔體的二極場分量賦予權(quán)重，可以有效地對二極場進行調(diào)諧，解決二極場誤差難以降低的問題?；谶@種新型的RFQ調(diào)諧算法，在Matlab下進行了算法的開發(fā)，完成了模擬條件下的調(diào)諧實驗，搭建了基于微擾法的測量平臺，編寫了控制和通信的Labview程序，并在RFQ樣機上完成了算法的最終驗證。

經(jīng)過實驗驗證，新調(diào)諧算法可以在限定范圍內(nèi)得到最優(yōu)解，并有效地解決二極場誤差。該算法具有普適性，可以應(yīng)用到其他頻率的RFQ中，解決更多RFQ的調(diào)諧問題；將來可以促進質(zhì)子加速器的小型化，推動醫(yī)用質(zhì)子裝置的發(fā)展，普及相關(guān)診療手段（質(zhì)子治療、質(zhì)子CT（Computed Tomography）［14-15］、硼中子俘獲療法（Boron Neutron Capture Therapy，BNCT）［16］、醫(yī)用同位素生產(chǎn)［17］等）。

1 RFQ及其測量方法

四翼型RFQ的腔體是在諧振腔的腔壁上添加4個極頭形成的，其工作模式是類TE210模。在橫向上，4個極頭間可以激發(fā)出電四極場，腔體中的電場也主要集中在極頭附近；在遠(yuǎn)離極頭的位置，主要為磁場，方向沿軸向（圖1（a））。當(dāng)束流在軸線上通過時，會受到四極電場的聚焦作用，并且該電場的極性會隨時間和粒子的位置變化，因此，每過半個射頻周期粒子就會受到相反的作用。在縱向上，極頭與軸線間的距離最小為a，最大為ma，m為調(diào)制參數(shù)。經(jīng)過調(diào)制后，極頭呈類三角函數(shù)的形狀，形成縱向的電場，實現(xiàn)對束流的聚束和加速作用。極頭形狀變化的周期為βλ，相對極頭的“峰”和“谷”是對應(yīng)的，而相鄰極頭的“峰”和“谷”則是錯開的（圖1（b））。

圖1 RFQ結(jié)構(gòu)及測量框架圖(a) RFQ橫向形狀及電磁場分布，(b) RFQ極頭縱向形狀，(c) RFQ測量方法框架圖Fig.1 Structure of an RFQ and the framework of the measurement(a) Transverse section of an RFQ and the electromagnetic field on it, (b) Longitudinal section of an RFQ, (c) Framework of measuring an RFQ

測量腔體中的場分布是RFQ調(diào)諧的第一步，可以利用微擾法實現(xiàn)。RFQ的最小束流孔徑一般都非常小，在1~3 mm，難以測量其軸線上的電場分布，因此，RFQ是通過測量4個象限中的磁場來得到場分布的。用步進電機帶動魚線，魚線又帶動金屬小球在腔體中運動，金屬小球會對腔體中的電磁場分布產(chǎn)生影響，探針測量得到的S12信號也會發(fā)生改變，由此可以推算出小球所在位置的磁場強度，存在關(guān)系［18］：

式中：B表示磁場強度；ΔP表示小球的擾動引起的相位差。電機控制器和網(wǎng)絡(luò)分析儀可以與計算機進行通信來傳遞數(shù)據(jù)（圖1（c））。

2 基于響應(yīng)矩陣和最小二乘法的調(diào)諧算法

加速器調(diào)諧的基本邏輯是利用調(diào)諧器對腔體的擾動，彌補腔體內(nèi)場分布的誤差。通過對腔體的測量，得到場分布及其與理想狀態(tài)的差別，再利用腔體的物理特性，計算得到調(diào)諧器所需的調(diào)諧量。RFQ的主要調(diào)諧方法可以分為兩大類：一種基于理論計算得到的物理特性，例如文獻［19］，可以稱為“理論法”；另外一種基于實際測量得到的物理特性，例如文獻［12-13］，可以稱為“解析法”。理論法的缺點在于把理想狀態(tài)下計算得到的數(shù)據(jù)應(yīng)用于實際，忽略了實際腔體和理想模型之間的差別；對于敏感度更高的緊湊型RFQ而言，實際情況與理想狀態(tài)相差較大，因此理論法難以適用。解析法則可以消除理論和實際之間的誤差對調(diào)諧造成的影響，可以解決緊湊型RFQ的調(diào)諧問題；解析法的缺點是需要額外測量響應(yīng)矩陣。下面將詳細(xì)介紹基于響應(yīng)矩陣和最小二乘法的新調(diào)諧算法。

分別用B1、B2、B3、B4來表示各象限中的磁場（圖1（a）），則可以計算得到腔體中的二、四極場：

式中：Q為四極場；Ds、Dt為兩個方向上的二極場。在實際測量和計算中，以上場量均使用歸一化值，其歸一化誤差定義為：

將二、四極場組合起來形成場矩陣：

式中：n為沿軸線取場的點數(shù)，并滿足場矩陣中元素的數(shù)量大于等于調(diào)諧器數(shù)量，即3n≥ntuner，因為這樣可以提高調(diào)諧的精度。RFQ初始狀態(tài)的場矩陣記為Fi，接著分別移動每一個調(diào)諧器并重復(fù)測量對應(yīng)的場分布，記為F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)n-tuner，可以得到不同場分量對調(diào)諧器的響應(yīng)，即響應(yīng)矩陣：

式中：d為調(diào)諧器的移動量。對于一個理想的RFQ，需要四極場的值都相等，且二極場大小為0，即目標(biāo)矩陣：

因此，調(diào)諧器對場分布的補償量應(yīng)為：

至此，調(diào)諧問題轉(zhuǎn)化為求解方程：

式中：T即為需要求解的調(diào)諧量矩陣。

從上文可以發(fā)現(xiàn)，響應(yīng)矩陣M通常為一個非正方形矩陣，因此無法直接求解。CERN使用SVD方法來求解，但該方法無法限定調(diào)諧量的范圍，直接求解得到的調(diào)諧量非常大，超出調(diào)諧棒可調(diào)諧的范圍，因此，在求解過程中將特征值向量中的部分元素代換為0。這種改造后的SVD方法雖然解決了結(jié)果的范圍問題，但是舍去部分特征值會影響到結(jié)果的精度，并可能放大二極場誤差難以減小的問題。

對SVD方法做嘗試時發(fā)現(xiàn)了上述問題。針對結(jié)果的范圍問題，可以利用最小二乘法對調(diào)諧量矩陣T中的每一個元素進行單獨求解，得到這一元素在限定范圍內(nèi)使誤差最小的值，可以用式（9）表示：

式中：tn為矩陣T中的第n個元素。依次求解矩陣T中的元素，并對這個過程進行迭代，直到所有誤差達(dá)到預(yù)期的目標(biāo)為止。

在這種方法中，還可以對二極場分量賦予權(quán)重，以解決二極場誤差難以減小的問題，即將原方程變?yōu)榍蠼猓?/p>

式中：k為給二極場賦予的權(quán)重。

整個調(diào)諧算法如圖2所示。以上為調(diào)諧實驗過程中針對一些問題給出的新解法，下面從模擬和實驗兩方面闡述對新調(diào)諧算法的驗證。

圖2 基于響應(yīng)矩陣和最小二乘法的調(diào)諧算法流程圖Fig.2 Flowchart of the tuning algorithm based on response matrix and least squares method

3 基于模擬軟件的調(diào)諧實驗與算法驗證

為驗證新調(diào)諧算法，首先利用三維電磁場模擬軟件進行了大量模擬調(diào)諧實驗。RFQ的三維模型基于上海光源設(shè)計的714 MHz RFQ，在正式設(shè)計中，該RFQ的長度為2 m，可以將質(zhì)子從50 keV加速至4 MeV，而用于模擬實驗的模型長為1 m，橫截面形狀與正式設(shè)計相似。RFQ的實驗?zāi)Ｐ腿鐖D3（a）所示，為金屬模型，在該腔體上共有16根調(diào)諧棒，如圖中所指部分，其余為耦合器、真空口及探測器預(yù)留位置。為實驗?zāi)Ｐ椭匦略O(shè)計了底切，在所有調(diào)諧棒均插入5 mm深的狀態(tài)下，將其頻率調(diào)至714 MHz，且將場分布調(diào)至理想狀態(tài)。讀取腔體4個象限中的磁場分布，在不同象限中讀取的位置是對稱的，其中一個位置如圖3（b）所示。對場分布處理后，得到腔體的二、四極場分布如圖3（c）所示，即為理想狀態(tài)。圖中四極場上的“x”標(biāo)記為后續(xù)調(diào)諧實驗過程中，選取場值用于調(diào)諧算法的位置，即n=6。

圖3 模擬條件下RFQ的模型及場分布(a) RFQ模型，(b) RFQ截面圖及選取場分布位置示意，(c) RFQ二、四極場分布（Qo為四極場，Ds、Dt分別為水平和豎直方向的二極場）Fig.3 3-D model of the RFQ and its field distribution in simulation(a) Model of the RFQ, (b) Transverse section of the RFQ and the place where the field was picked, (c) Dipole and quadrupole components of the RFQ

根據(jù)算法在Matlab中編寫了相應(yīng)的程序。在理想狀態(tài)下，將每根調(diào)諧棒的插入深度分別減少和增加3 mm，重復(fù)獲取模型中的場分布，得到每根調(diào)諧棒在6 mm范圍內(nèi)對場的影響，計算出的響應(yīng)矩陣為18×16的矩陣。

3.1 單調(diào)諧棒擾動模擬調(diào)諧

首先進行單調(diào)諧棒擾動模擬。在理想狀態(tài)下，將第一根調(diào)諧棒t1的深度增加2 mm，對場產(chǎn)生擾動，破壞理想狀態(tài)，通過基于響應(yīng)矩陣和LS方法來對場進行模擬調(diào)諧實驗。

在單根調(diào)諧棒擾動的情況下，雖然在算法中加入了對調(diào)諧量范圍的限制，但是在實際計算的過程中并未出現(xiàn)解出的調(diào)諧量大于調(diào)諧棒可調(diào)諧范圍的情況。在給二極場誤差加上不同的權(quán)重后，對比得到的結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)（圖4），隨著權(quán)重的增加，調(diào)諧棒t1的解越接近-2 mm；而不論權(quán)重如何變化，其他調(diào)諧棒解出的調(diào)諧量絕對值均非常小，都在0.1 mm以內(nèi)。由于在數(shù)值上該結(jié)果就已經(jīng)十分接近擾動量，因此沒有再將該結(jié)果應(yīng)用到模型中進行模擬。基本可以推論，僅通過一次調(diào)諧，這些誤差就已經(jīng)大幅降低。

圖4 單調(diào)諧棒擾動下不同權(quán)重得到的調(diào)諧量Fig.4 Solution with the different weight for dipole components under single tuners' perturbation

通過單調(diào)諧棒擾動下的模擬調(diào)諧，初步驗證了調(diào)諧算法的可行性，并且實現(xiàn)了較為精準(zhǔn)的調(diào)諧效果。

3.2 多調(diào)諧棒擾動模擬調(diào)諧

單調(diào)諧棒擾動實驗初步驗證了算法的準(zhǔn)確性，但這種誤差情況與實際不符，因此進一步進行了多調(diào)諧棒擾動模擬。通過在［-3 mm，3 mm］范圍內(nèi)生成隨機數(shù)，為每一根調(diào)諧棒賦予了“擾動”，作為調(diào)諧的初始狀態(tài)。調(diào)諧過程中的歸一化誤差用下式定義：

初始的二、四極場分布如圖5（b、c）所示，初始的二極場誤差較大，接近30%。

圖5 模擬調(diào)諧實驗結(jié)果及對比(a) 不同權(quán)重下得到的二、四極場誤差比較，(b) 調(diào)諧過程中四極場分布比較，(c) 調(diào)諧過程中二極場分布比較Fig.5 Result comparisons of the tuning experiment in simulation(a) Quadrupole and dipole component errors with different weights, (b) Quadrupole field variation during the tuning,(c) Dipole field variation during the tuning

同樣利用LS調(diào)諧算法來進行調(diào)諧。首先比較了二極場誤差不同權(quán)重下的結(jié)果（圖5（a）），圖5中q為四極場誤差，ds、dt分別為水平和豎直方向的二極場誤差。與單調(diào)諧棒擾動的情況不同，當(dāng)二極場誤差權(quán)重達(dá)到5之后，四極場誤差明顯增長，迅速增長到2%以上，當(dāng)權(quán)重增加到10以后，誤差達(dá)到了6%。為了詳細(xì)了解權(quán)重對結(jié)果的影響，補充了權(quán)重為2、3的結(jié)果，可以發(fā)現(xiàn)這兩種情況下，四極場誤差會有所增長，同時二極場誤差會降低，并且在這個范圍內(nèi)，四極場誤差均不超過2%，二極場誤差也均在2%以內(nèi)。幾種權(quán)重相比而言，2倍的權(quán)重可以在保證較小的二極場誤差的同時，讓四極場誤差在1%左右，是比較好的結(jié)果。以上模擬實驗表明，多調(diào)諧棒擾動的情況和單調(diào)諧棒是有明顯區(qū)別的，多調(diào)諧棒擾動下進行模擬調(diào)諧會更加接近實際情況，同時也說明為二極場誤差賦予權(quán)重的方法仍然是有效的。

進一步地，在權(quán)重為2的調(diào)諧結(jié)果的基礎(chǔ)上進行了第二次調(diào)諧，在第二次調(diào)諧中，賦予二極場誤差的權(quán)重依舊設(shè)為2。兩次調(diào)諧結(jié)果，以及初始場、目標(biāo)場的比較見圖5（b、c）。圖5中，q為四極場誤差，ds、dt分別為水平和豎直方向的二極場誤差，前綴o表示目標(biāo)場，i表示初始場，l1表示第一次調(diào)諧后結(jié)果，l2表示第二次調(diào)諧后結(jié)果。從圖5中可以發(fā)現(xiàn)，經(jīng)過一次調(diào)諧后，四極場分布已經(jīng)和目標(biāo)十分接近，同時二極場誤差大大減小。經(jīng)過兩次調(diào)諧后，二、四極場誤差均又在縮小，最終四極場誤差為0.8%，二極場誤差為0.4%，是非常理想的誤差水平。

經(jīng)過多調(diào)諧棒擾動模擬調(diào)諧實驗，完全驗證了調(diào)諧算法的可行性，驗證了二極場權(quán)重對消除二極場的作用，預(yù)示著調(diào)諧方法在實際調(diào)諧中的優(yōu)秀效果。

3.3 LS解法與SVD解法比較

對基于SVD解法的調(diào)諧算法也進行了簡單驗證。不可避免地，通過SVD解法得到的調(diào)諧范圍很大，遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了調(diào)諧棒的可移動范圍，必須利用改造后的SVD方法。根據(jù)算法，一共可以得到16組結(jié)果，其中前幾組結(jié)果存在同樣的問題，而后幾組結(jié)果又存在丟失精度過多的問題，因此挑選了其中第9組來進行調(diào)諧。經(jīng)過調(diào)諧后場分布誤差有明顯改善，四極場誤差在1%以內(nèi)，最大二極場誤差約2%；第二次調(diào)諧依舊選用第9組結(jié)果，經(jīng)過第二次調(diào)諧后，二極場誤差減小（0.8%），而四極場誤差增大（2%）。通過SVD方法兩次調(diào)諧后四極場誤差偏大，必須經(jīng)過更多的調(diào)諧次數(shù)來減小誤差；而應(yīng)用二極場誤差權(quán)重加LS方法，如上一節(jié)所述，兩次調(diào)諧后實現(xiàn)了較為理想的場分布。

最終SVD方法和LS方法得到的二、四極場誤差比較如圖6所示，通過比較結(jié)果，驗證了LS方法可限定求解范圍、高效處理二極場誤差、縮短調(diào)諧過程等優(yōu)點。

圖6 不同調(diào)諧算法下二、四極場誤差對比Fig.6 Comparison of the quadrupole and dipole component errors with different tuning methods

4 基于RFQ樣機的調(diào)諧算法驗證

以上完成了調(diào)諧算法的初步驗證，根據(jù)模擬調(diào)諧實驗的RFQ模型，加工了一段鋁模樣段（圖7（a）），利用RFQ樣機進一步驗證調(diào)諧方法。

圖7 RFQ樣段調(diào)諧平臺及實驗結(jié)果(a) 714 MHz RFQ樣機，(b) RFQ測量平臺，(c) 電機控制和微波測量程序面板，(d) RFQ樣段初始場，(e) 調(diào)諧過程中二、四極場誤差變化Fig.7 Testbed of the RFQ prototype and the experimental results(a) Prototype of the 714-MHz RFQ, (b) Testbed of the prototype, (c) User interface of the motor control and RF measurement,(d) Initial field of the RFQ prototype, (e) Variation of quadrupole and dipole component errors during the tuning

RFQ的測量方法如§1所述，具體平臺搭建見圖7（b）。在RFQ樣機的端板上開有4個測量孔，分別在RFQ的4個象限，魚線帶著金屬小球在4個象限中來回穿過，并繞過固定在端板上的滑輪，利用步進電機帶動小球在腔體中勻速運動。通過腔體上預(yù)留的耦合孔、真空抽口以及探測器孔將探針伸入腔體內(nèi)，探針的另一頭連接到矢量網(wǎng)絡(luò)分析儀，獲取腔體中的微波參數(shù)。步進電機控制及網(wǎng)絡(luò)分析儀的數(shù)據(jù)傳輸均通過在LabView環(huán)境下編寫的程序來實現(xiàn)（圖7（c））。測量得到的數(shù)據(jù)先進行預(yù)處理，再利用調(diào)諧算法完成調(diào)諧量的計算，數(shù)據(jù)處理及計算均通過Matlab程序?qū)崿F(xiàn)。RFQ樣機上有16個調(diào)諧器，調(diào)諧器中螺桿帶動調(diào)諧頭移動，可以實現(xiàn)較為精準(zhǔn)的調(diào)諧量。

對RFQ樣段的初始場進行測量。先將每個調(diào)諧器的插入深度都調(diào)節(jié)為5 mm，使用兩根探針測量腔體內(nèi)的微波參數(shù)，處理后得到RFQ樣段的初始場分布，其中，二極場誤差在30%以上（圖7（d））。主要原因在于初始狀態(tài)調(diào)諧器的深度不一致，誤差主要來源于兩方面：一是調(diào)諧器與腔體間沒有焊接，導(dǎo)致調(diào)諧器與腔體的間隙不一樣，存在誤差；二是調(diào)諧器的精度未達(dá)到預(yù)想的程度，難以判斷各調(diào)諧器的深度是否一致。以上誤差只會影響初始誤差，不會影響調(diào)諧過程，因此在此樣段上進行調(diào)諧實驗來驗證算法及調(diào)諧平臺的可靠性仍是可行的。

利用上述調(diào)諧算法對RFQ模型腔進行調(diào)諧。初始狀態(tài)下二、四極場誤差分別為24.09%和1.57%，經(jīng)過5次調(diào)諧后兩者誤差分別降為2.33%和1.39%。此時誤差已經(jīng)達(dá)到理想的水平，對腔體進行了一次頻率調(diào)諧，即將所有調(diào)諧器的深度增加0.6 mm，二、四極場誤差產(chǎn)生輕微變化，為2.52%和1.34%（圖7（e）劃線處）。之后又進行了2次額外的調(diào)諧以驗證調(diào)諧算法的收斂性，結(jié)果顯示誤差在小范圍振蕩，可能是誤差較小的結(jié)果已接近調(diào)諧算法的極限精度。調(diào)諧各步的誤差結(jié)果見圖7（e）。

5 結(jié)語

針對高頻率、緊湊型RFQ在調(diào)諧過程中遇到的問題，提出了一種基于響應(yīng)矩陣和最小二乘法的新調(diào)諧算法，可以在調(diào)諧棒可調(diào)節(jié)范圍內(nèi)求出最優(yōu)解，且為二極場分量增加權(quán)重可以高效地減小二極場誤差。在模擬環(huán)境下進行了調(diào)諧實驗，初步驗證了新調(diào)諧算法的可行性，與SVD解法的比較中體現(xiàn)出了新調(diào)諧算法的優(yōu)勢。根據(jù)調(diào)諧算法編寫了Matlab程序，基于Labview開發(fā)了RFQ的測量和調(diào)諧平臺，通過RFQ樣機的調(diào)諧實驗進一步驗證了調(diào)諧算法。這種調(diào)諧算法是針對高頻率、緊湊型RFQ開發(fā)的，同時也具備很強的普適性，適用于其他頻率的RFQ，將來可以促使緊湊型RFQ應(yīng)用在更多質(zhì)子加速器裝置上，推動醫(yī)用質(zhì)子裝置的普及。

作者貢獻聲明陸羿行負(fù)責(zé)研究的提出及設(shè)計、數(shù)據(jù)的收集和整理、文章的起草和最終版的修訂；方文程負(fù)責(zé)項目的監(jiān)督和管理、文章的修訂；張俊強負(fù)責(zé)實驗數(shù)據(jù)的收集；郭玉森負(fù)責(zé)實驗數(shù)據(jù)的收集；趙振堂負(fù)責(zé)項目的監(jiān)督和管理、文章的修訂。