分?jǐn)?shù)階計(jì)算機(jī)病毒模型的穩(wěn)定性與分岔分析

鞠雅雯,肖敏?,丁潔,楊鑫松

(1.南京郵電大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院、人工智能學(xué)院,江蘇 南京 210023;2．四川大學(xué) 電子信息學(xué)院,四川 成都 610065)

計(jì)算機(jī)病毒是一種能夠通過自我復(fù)制或者自我延伸來入侵他人電腦并破壞計(jì)算機(jī)系統(tǒng)的程序代碼,其具有潛伏性、破壞性、傳染性、寄生性和隱蔽性等特點(diǎn)[1],這些病毒主要通過互聯(lián)網(wǎng)從一臺(tái)計(jì)算機(jī)傳播到另一臺(tái)計(jì)算機(jī)。存在各種類型的計(jì)算機(jī)病毒,它們不僅已經(jīng)成為計(jì)算機(jī)用戶的主要威脅,也成為網(wǎng)絡(luò)資源的主要威脅[2]。隨著信息技術(shù)的快速發(fā)展,網(wǎng)絡(luò)信息資源已滲透到社會(huì)生活的各個(gè)領(lǐng)域,計(jì)算機(jī)技術(shù)在信息管理中的應(yīng)用效果有著重要的影響,依靠計(jì)算機(jī)創(chuàng)新信息管理方式,可以不斷優(yōu)化信息管理系統(tǒng),提高信息應(yīng)用集成的標(biāo)準(zhǔn)化,更好地將計(jì)算機(jī)技術(shù)有效應(yīng)用到信息管理的各個(gè)平臺(tái)[3-4]。

計(jì)算機(jī)病毒會(huì)直接作用于系統(tǒng)內(nèi)部,并在相對(duì)穩(wěn)定的情況下直接擴(kuò)散到另一載體中,從而達(dá)到將病毒擴(kuò)散到全部系統(tǒng)的目的,最終導(dǎo)致眾多計(jì)算機(jī)技術(shù)應(yīng)用領(lǐng)域遭受嚴(yán)重?fù)p失[5],給社會(huì)安全造成巨大危害。2017年,WannaCry病毒在世界多個(gè)國(guó)家和地區(qū)大爆發(fā),給政府部門、企業(yè)單位和教育機(jī)構(gòu)等關(guān)鍵設(shè)施造成難以估計(jì)的損失[6]。隨后出現(xiàn)的新型勒索病毒Petya在歐洲迅速蔓延,破壞性比傳統(tǒng)的病毒更大[7],導(dǎo)致社會(huì)產(chǎn)生嚴(yán)重的危機(jī)管理問題。近年來,國(guó)內(nèi)外諸多學(xué)者都致力于研究病毒在計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)中的傳播機(jī)理[8-11],其中有關(guān)Hopf分岔的研究取得了許多重要成果[12-15]。于振華等[16]運(yùn)用穩(wěn)定性理論與Hopf分岔定理研究了惡意軟件的傳播動(dòng)力學(xué),并深入分析了控制參數(shù)對(duì)分岔點(diǎn)的影響。Li等[17]考慮了具有非線性發(fā)生率的病毒傳播模型,將原有的三維系統(tǒng)拓展到四維,分析了平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性,推導(dǎo)出Hopf分岔的規(guī)范形式,得到了分岔周期解的穩(wěn)定性條件。吳三柱等[18]建立了改進(jìn)的病毒傳播動(dòng)力學(xué)模型,新增了病毒節(jié)點(diǎn)在網(wǎng)絡(luò)傳播中的通信半徑、移動(dòng)和停留兩種狀態(tài),并進(jìn)行了平衡點(diǎn)存在性和穩(wěn)定性分析。陳實(shí)等[19]針對(duì)Hopf分岔導(dǎo)致的惡意病毒傳播擴(kuò)散,采用了參數(shù)調(diào)節(jié)法和狀態(tài)反饋法相結(jié)合的混合分岔控制策略,并探明分岔閾值與控制器增益參數(shù)之間的關(guān)系。

然而目前針對(duì)計(jì)算機(jī)病毒的分?jǐn)?shù)階模型并不常見,在傳統(tǒng)的病毒模型研究中也很少考慮到時(shí)滯對(duì)系統(tǒng)的影響。分?jǐn)?shù)階涉及積分和借助分?jǐn)?shù)微積分的橫切微分,與普通整數(shù)階相比,分?jǐn)?shù)階為描述不同物質(zhì)的記憶和遺傳特性提供了強(qiáng)有力的工具,可以更好地幫助學(xué)者們理解對(duì)現(xiàn)實(shí)世界問題的解釋,也有助于真實(shí)現(xiàn)象的建模,這是分?jǐn)?shù)階模型與整數(shù)階模型相比最顯著的優(yōu)點(diǎn)[20-21]。隨著分?jǐn)?shù)階微積分的蓬勃發(fā)展,分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的控制和Hopf分岔問題近年來受到了越來越多的學(xué)者的關(guān)注。此外,復(fù)雜系統(tǒng)中的時(shí)滯現(xiàn)象不容忽視,某個(gè)不起眼的時(shí)滯也有可能影響到整個(gè)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。通過將分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)與時(shí)滯相結(jié)合來分析系統(tǒng)的狀態(tài)能更加符合實(shí)際,因此研究分?jǐn)?shù)階時(shí)滯動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的特征有著十分重要的理論和實(shí)踐意義[22]。

傳統(tǒng)的病毒模型中并未考慮時(shí)滯對(duì)系統(tǒng)的影響,更多的文獻(xiàn)也僅考慮了潛伏期這種單一時(shí)滯對(duì)系統(tǒng)帶來的影響。并且用傳統(tǒng)的整數(shù)階導(dǎo)數(shù)刻畫模型,無法反映系統(tǒng)變量之前的狀態(tài)信息,因此具有一定的局限性。為了更加精準(zhǔn)地刻畫病毒在計(jì)算機(jī)系統(tǒng)中的傳播機(jī)制,本文將已有的病毒傳播模型拓展到分?jǐn)?shù)階形式,并考慮了隔離期與治愈期兩類時(shí)滯因素對(duì)系統(tǒng)的影響。僅有潛伏期時(shí)滯的惡意病毒模型只能反應(yīng)病毒在計(jì)算機(jī)內(nèi)部節(jié)點(diǎn)中感染擴(kuò)散對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響,而本文提出的另外兩類時(shí)滯為研究嚴(yán)格的控制措施對(duì)惡意病毒在計(jì)算機(jī)中的傳播影響提供了理論分析。

1 模型描述

當(dāng)計(jì)算機(jī)被某一類病毒惡意入侵時(shí),病毒會(huì)攻擊計(jì)算機(jī)中的各個(gè)節(jié)點(diǎn),并且病毒在計(jì)算機(jī)中的每個(gè)節(jié)點(diǎn)狀態(tài)傳播時(shí)均需要一定的時(shí)間。假設(shè)計(jì)算機(jī)中含有易被病毒感染的一些漏洞節(jié)點(diǎn),可稱漏洞節(jié)點(diǎn)為易感節(jié)點(diǎn);當(dāng)漏洞節(jié)點(diǎn)被病毒攻擊后,經(jīng)過一段時(shí)間易感節(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)化為感染節(jié)點(diǎn);當(dāng)用戶發(fā)現(xiàn)計(jì)算機(jī)被惡意病毒攻擊而采取相應(yīng)的病毒消殺措施后,感染節(jié)點(diǎn)被隔離,轉(zhuǎn)化為隔離節(jié)點(diǎn);感染節(jié)點(diǎn)和隔離節(jié)點(diǎn)被治愈后轉(zhuǎn)化為恢復(fù)節(jié)點(diǎn)。

一般的病毒傳播模型只考慮了時(shí)滯對(duì)惡意病毒擴(kuò)散的影響,沒有考慮到病毒的遺傳特性,針對(duì)這一點(diǎn)可以通過引入分?jǐn)?shù)階微積分來進(jìn)一步研究惡意病毒傳播模型。分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)有3種常用的定義,即Grunwald-Letnikov定義,Riemann-Liouville定義和Caputo定義[23]。而Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)在初始條件下與整數(shù)階方程有相同的形式,與其他 分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)相比不需要復(fù)雜的Laplace變換式。連續(xù)函數(shù)f(x)的α階Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)表示為

本文提出了如下的Caputo分?jǐn)?shù)階時(shí)滯SIQR(Susceptible-Infectious-Quarantine-Recovered)計(jì)算機(jī)病毒傳播模型

(1)

惡意病毒在計(jì)算機(jī)中傳播時(shí)的隔離期和治愈期實(shí)際為I態(tài)節(jié)點(diǎn)到Q態(tài)節(jié)點(diǎn)和Q態(tài)節(jié)點(diǎn)到R態(tài)節(jié)點(diǎn)的轉(zhuǎn)化過程,轉(zhuǎn)化過程耗費(fèi)的時(shí)間都基本相似。因此,假設(shè)τ1=τ2=τ,模型(1)變?yōu)?/p>

(2)

2 穩(wěn)定性和Hopf分岔分析

經(jīng)計(jì)算可得,當(dāng)β>c1+k+d+μ1時(shí),模型(1)有唯一平衡點(diǎn)E*=(S*,I*,Q*,R*),其中:

令u1(t)=S(t)-S*,u2(t)=I(t)-I*,u3(t)=Q(t)-Q*,u4(t)=R(t)-R*代入模型(2)并進(jìn)行線性化處理,得到

(3)

模型(3)對(duì)應(yīng)的特征方程為

s4α+A3s3α+A2s2α+A1sα+A0=0

(4)

其中:

A3=a1+a4+a5+a6+b1+b2+b3,

A2=a1a4+a1b1+a1b2-a2a3+a1a5+

a4a5+a5b1+a5b2+a1a6+a4a6+a6b1+

a6b2+a1b3+a4b3+b1b3+b2b3+

a5a6+a6b3,

A1=a1a4a5+a1a5b1+a1a5b2-a2a3a5+

a1a4a6+a1a6b1+a1a6b2-a2a3a6+

a1a4b3+a1b1b3+a1b2b3-a2a3b3+a1a5a6+

a4a5a6+a5a6b1+a5a6b2+a1a6b3+a4a6b3+

a6b1b3+a6b2b3,

A0=a1a4a5a6+a1a5a6b1+a1a5a6b2-

a2a3a5a6+a1a4a6b3+a1a6b1b3+a1a6b2b3-

a2a3a6b3,

并且

a5=d+μ2,a6=d,

b1=ke-sτ,b2=c1e-sτ,b3=c2e-sτ。

選取時(shí)滯作為分岔參數(shù),驗(yàn)證模型(2)從穩(wěn)定到不穩(wěn)定的Hopf分岔,因此以下討論無時(shí)滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性和有時(shí)滯時(shí)分岔發(fā)生的條件。

2.1 無時(shí)滯情形

當(dāng)τ=0時(shí),此時(shí)b1=k,b2=c1,b3=c2,令λ=sα,則特征方程(4)化為

λ4+A3λ3+A2λ2+A1λ+A0=0

(5)

令

Δ1=A3,Δ2=A2A3-A1,

根據(jù)勞斯-赫爾維茲判據(jù)和分?jǐn)?shù)階穩(wěn)定性判據(jù),可以得到以下引理。

引理1 當(dāng)τ=0時(shí),如果Δi>0(i=1,2,3,4),則方程(5)的所有根都滿足|arg (λ)|>απ/2,方程(4)的根都具有負(fù)實(shí)部。

根據(jù)引理1可以得到如下結(jié)論。

定理1 當(dāng)τ=0時(shí),如果Δi>0(i=1,2,3,4),則模型(2)在平衡點(diǎn)E*=(S*,I*,Q*,R*)附近局部漸近穩(wěn)定。

2.2 有時(shí)滯情形

當(dāng)τ>0時(shí),此時(shí)b1=ke-sτ,b2=c1e-sτ,b3=c2e-sτ,則特征方程(4)化為

e-2sτ(B1s2α+B2sα+B3)+e-sτ(C1s3α+C2s2α+C3sα+C4)+(s4α+D1s3α+D2s2α+D3sα+D4)=0

(6)

其中:

B1=c2(k+c1),B2=a6(kc2+c1c2),

B3=a1a6(kc2+c1c2),C1=k+c1+c2,

C2=(a1+a5+a6)(k+c1)+c2(a1+a4+a6),

C3=(a1a5+a1a6+a5a6)(k+c1)+c2(a1a4+

a1b1+a1b2-a2a3+a1a6+a4a6),

C4=a1a5a6(k+c1)+c2(a1a4a6-a2a3a6),

D1=a1+a4+a5+a6,

D2=a1a4-a2a3+a1a5+a4a5+a1a6+

a4a6+a5a6,

D3=a1a4a5-a2a3a5+a1a4a6-a2a3a6+

a1a5a6+a4a5a6,

D4=a1a4a5a6-a2a3a5a6。

式(6)等價(jià)于

e-sτ(B1s2α+B2sα+B3)+C1s3α+C2s2α+

C3sα+C4+esτ(s4α+D1s3α+D2s2α+

D3sα+D4)=0

(7)

假設(shè)特征方程(7)有一對(duì)純虛根。將s=iω(ω>0)代入方程(7),且替換如下:

e-sτ=e-iτω=cos (τω)-isin (τω),

esτ=eiτω=cos (τω)+isin (τω),

s2α=ω2α(cos (απ)+isin (απ)),

s4α=ω4α[cos (2απ)+isin (2απ)]。

特征方程(7)可化為

[cos (τω)-isin (τω)](F1+iF2)+F3+

iF4+[cos (τω)+isin (τω)](F5+iF6)=0,

其中:

分離上式的虛部實(shí)部可以得到方程組

(8)

整理方程組(8)得到

(9)

其中:

T1(ω)=(F5-F1)F3-F4(F2-F6),

T2(ω)=(F1+F5)F4-F3(F2+F6),

T3(ω)=(F2-F6)(F2+F6)F4-

(F5-F1)(F5+F1)。

根據(jù)cos2(ωτ)+sin2(ωτ)=1,可以得到

(10)

j=0,1,2,…

(11)

定義

給出假設(shè) (H1)G<0。

引理2 當(dāng)(H1)成立時(shí),方程y(ω)=0至少存在一個(gè)正根。

2.3 驗(yàn)證穿越條件

令

Q1(s)=B1s2α+B2sα+B3,

Q2(s)=C1s3α+C2s2α+C3sα+C4,

Q3(s)=s4α+D1s3α+D2s2α+D3sα+D4。

則式(7)可寫成如下形式:

e-sτQ1(s)+Q2(s)+esτQ3(s)=0

(12)

方程(12)關(guān)于τ求導(dǎo),可以得到

對(duì)上式取倒數(shù)可得

令

Q1(s)=P1(ω0)+iP2(ω0),

Q2(s)=P3(ω0)+iP4(ω0),

Q3(s)=P5(ω0)+iP6(ω0)。

其中:

M1=cos (ω0τ0)(P1(ω0)-P5(ω0))+

sin (ω0τ0)(P2(ω0)+P6(ω0)),

M2=cos (ω0τ0)(P2(ω0)-P6(ω0))-

sin (ω0τ0)(P1(ω0)+P5(ω0)),

基于上述討論,可以得到如下定理。

定理2 1)當(dāng)τ=0時(shí),如果Δi>0(i=1,2,3,4),那么模型(2)在平衡點(diǎn)E*=(S*,I*,Q*,R*)處漸近穩(wěn)定;

2)如果Gk>0(k=1,2,3,…15)且G<0,那么當(dāng)τ∈[0,τ0)時(shí),模型(2)在平衡點(diǎn)E*=(S*,I*,Q*,R*)處漸近穩(wěn)定;

3)當(dāng)τ>τ0時(shí),模型(2)處于不穩(wěn)定狀態(tài),且當(dāng)τ穿過τ0時(shí),模型(2)在平衡點(diǎn)E*=(S*,I*,Q*,R*)處產(chǎn)生Hopf分岔,其中τ0是最小的臨界點(diǎn)。

3 數(shù)值仿真

為驗(yàn)證上述理論分析的正確性,本文使用具體的實(shí)例來進(jìn)行數(shù)值仿真。選取參數(shù)值A(chǔ)=10,β=0.6,d=0.02,c1=0.08,c2=0.02,k=0.01,μ1=0.03,μ2=0.04,并選取階次α=0.96。

通過計(jì)算可以得到模型(2)的唯一平衡點(diǎn)為E*=(20.833,68.452,8.557,270.366),然后可以驗(yàn)證Δi>0(i=1,2,3,4),模型(2)無時(shí)滯時(shí)在平衡點(diǎn)E*處漸近穩(wěn)定。計(jì)算可得ω0=0.0848,τ0=26.0947并驗(yàn)證得到假設(shè)(H1)符合要求。選擇τ=25<τ0,模型(2)在E*處漸近穩(wěn)定,結(jié)果如圖1所示;選擇τ=30>τ0,模型(2)在E*處不穩(wěn)定,結(jié)果如圖2所示。由圖1和圖2的變化,驗(yàn)證了定理1的正確性。

(a)變量S(t)的波形圖

(b)變量I(t)的波形圖

(c)變量Q(t)的波形圖

(d)變量R(t)的波形圖

(e)變量S(t),Q(t),R(t)的相圖

(a)變量S(t)的波形圖

(b)變量I(t)的波形圖

(c)變量Q(t)的波形圖

(d)變量R(t)的波形圖

(e)變量S(t),Q(t),R(t)的相圖

本文還研究了τ0隨α的變化關(guān)系。選擇不同的α值可以得到相應(yīng)的τ0的值,如表1所示。

表1 分?jǐn)?shù)階階次與穿越頻率、分岔時(shí)滯的關(guān)系

圖3給出了分岔時(shí)滯τ0隨分?jǐn)?shù)階階次α的變化曲線。由圖3可知,當(dāng)α∈[0.65,0.75]時(shí),分?jǐn)?shù)階階次α越小,穿越頻率ω0越小,分岔閾值點(diǎn)τ0越大。

圖3 分岔時(shí)滯隨分?jǐn)?shù)階階次變化圖

4 結(jié) 論

為研究惡意病毒的傳播機(jī)理,本文提出了一個(gè)具有飽和發(fā)生率的分?jǐn)?shù)階時(shí)滯SIQR計(jì)算機(jī)病毒模型,以時(shí)滯作為分岔參數(shù),利用導(dǎo)出的特征方程討論了模型(2)的穩(wěn)定情況。首先分析了無時(shí)滯情形下的穩(wěn)定性并給出了穩(wěn)定條件,然后在此基礎(chǔ)上研究了有時(shí)滯時(shí)系統(tǒng)局部穩(wěn)定和產(chǎn)生Hopf分岔的充分條件。通過理論計(jì)算分析表明,當(dāng)時(shí)滯小于分岔閾值時(shí),系統(tǒng)漸近穩(wěn)定;當(dāng)時(shí)滯穿越分岔閾值時(shí),系統(tǒng)失去穩(wěn)定性并產(chǎn)生Hopf分岔。最后通過數(shù)值仿真來驗(yàn)證理論的有效性和可行性。同時(shí)計(jì)算得出分岔時(shí)滯隨分?jǐn)?shù)階階次變化的規(guī)律,即階次越小,分岔時(shí)滯越大,Hopf分岔現(xiàn)象延后產(chǎn)生。關(guān)于SIQR計(jì)算機(jī)病毒傳播模型能否加入擴(kuò)散項(xiàng)來考慮空間位置對(duì)病毒傳播機(jī)制的影響,我們將在未來的工作中繼續(xù)研究。