逐層深入,優(yōu)化數(shù)學(xué)思維

牛怡怡

? 山東省濟(jì)南泉城中學(xué)

思維的形成與能力的發(fā)展需遵循由淺入深的原則,是一個長期積累的漫長過程.這就要求教師要注重教學(xué)的層次性,讓學(xué)生在逐層深入的教學(xué)中理論聯(lián)系實際,實現(xiàn)思維由量變到質(zhì)變的突破,為核心素養(yǎng)的形成奠定基礎(chǔ).

波利亞認(rèn)為:“數(shù)學(xué)教學(xué)過程就是思維活動的過程.”[1]層次分明的教學(xué)過程,能激發(fā)學(xué)生主動參與的興致,產(chǎn)生探究意識,為思維的形成與發(fā)展提供幫助.為此,筆者在實踐中做了一些嘗試,特整理成文與大家分享.

1 概念教學(xué)

概念是編織數(shù)學(xué)這張大網(wǎng)的一個個結(jié)點,它呈現(xiàn)的是知識的脈絡(luò).若脈絡(luò)不清,則無法深入學(xué)習(xí)這門學(xué)科,更談不上數(shù)學(xué)思維的發(fā)展與各項能力的提升.因此,概念教學(xué)是夯實數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的關(guān)鍵,逐層深入進(jìn)行概念教學(xué),能讓學(xué)生更好地順應(yīng)與內(nèi)化概念的內(nèi)涵,建構(gòu)新的認(rèn)知結(jié)構(gòu),為學(xué)習(xí)打牢地基[2].

案例1“一元二次方程”概念的教學(xué)

為了體現(xiàn)概念教學(xué)的層次性,讓學(xué)生的思維由淺入深地經(jīng)歷知識建構(gòu)過程,筆者設(shè)計了以下三個層次的教學(xué)活動.

1.1 直探主題,巧妙引導(dǎo)

問題1觀察下列方程,歸納它們的共同點:

①2x2+2x=1; ②3x2-4x2+2=0;

大型綜合性醫(yī)院門診科室眾多，如果門診科室布局不當(dāng)，會大幅降低醫(yī)護(hù)人員的工作效率，進(jìn)而增加求診者就醫(yī)的時間，甚至引發(fā)局部的沖突和混亂等不良后果。對于患者和患者家屬來講，他們的心理負(fù)擔(dān)可能原本就比較沉重，比較容易產(chǎn)生焦躁不安的情緒。復(fù)雜難懂的交通路徑，繁瑣冗長的就醫(yī)流程可能會為病人和家屬帶來極大的不便，從而引致患者和家屬更多的負(fù)面情緒，造成醫(yī)患關(guān)系更為緊張。所以，清晰的功能布局不但能夠提高醫(yī)院運作的效率，而且還能緩解緊張的醫(yī)患關(guān)系。

③3y2-y=0; ④4x2=0.

學(xué)生觀察后一致認(rèn)為:這些方程都符合一元二次方程的概念,即等號兩邊都是整式,只含有一個未知數(shù)(一元),并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2(次).當(dāng)學(xué)生對一元二次方程的概念有了初步認(rèn)識后,筆者要求學(xué)生將每個式子都對照教材中一元二次方程的概念再一次進(jìn)行辨別,以檢驗自己的判斷是否正確,以達(dá)到對此概念的初步認(rèn)識.

1.2 變式訓(xùn)練,啟發(fā)思維

問題2給學(xué)生指明了思考的方向,只要沿著這兩問進(jìn)行探究,就能自主發(fā)現(xiàn)一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的內(nèi)涵,從而對自己的猜想堅定信心.此過程,不僅能促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展,還能讓他們感悟到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的趣味性,從而對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)產(chǎn)生信心.

問題2觀察下列方程,判斷它們是否為一元二次方程?為什么?

要學(xué)生作基本判斷,不存在問題.但要說明理由,部分學(xué)生有些懵懂.這就要求學(xué)生不僅能認(rèn)識一元二次方程,還需對其特點了如指掌.此時,教師可適度引導(dǎo),幫助學(xué)生從根本上理解一元二次方程與其他類似概念之間的異同點,只有深度掌握概念的本質(zhì),才能達(dá)到知其然而知其所以然,進(jìn)而靈活運用的地步.

1.2.4 UPPSP沖動行為量表(UPPSP impulsive behavior scale) 共59道題目，采用Likert 4點評分，包括消極緊迫感、缺乏計劃性、缺乏耐性、感覺尋求和積極緊迫感5個維度，得分越高沖動性越高。本研究采用其中文修訂版［12］，5個維度的克隆巴赫α系數(shù)分別為 0.84、0.85、0.76、0.83、0.88，總量表 α系數(shù)為0.89。

1.3 深入探究,深刻理解

在學(xué)生的思維得到一定啟發(fā)的基礎(chǔ)上,教師可沿著變式訓(xùn)練的思路,帶領(lǐng)學(xué)生繼續(xù)往下探究.為了讓學(xué)生對一元二次方程的概念產(chǎn)生更深刻的認(rèn)識,達(dá)到創(chuàng)新性理解的程度,使得思維上升到更高層次,筆者進(jìn)一步提出設(shè)問.

數(shù)學(xué)思想方法的指導(dǎo)在解題教學(xué)中尤為重要,盲目的生搬硬套只會禁錮學(xué)生的思維[3].因此,教師應(yīng)注重學(xué)生的解題反思與總結(jié)的過程,讓學(xué)生不斷地將新知內(nèi)化到新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中,以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想,提高解題能力.

(2)求證:不論m取何值,關(guān)于x的方程(m2-8m+20)x2+20mx+5=0恒為一元二次方程.

于是，大腦又開始自動走神，這一次可能要比之前更久，因為大腦早已“證明”過自己“游刃有余”。而當(dāng)再次歸來之時，大腦也許還會“印證”自己并未錯過什么。于是，走神的次數(shù)越來越多，時間越來越長。如此這般下去，終究會出現(xiàn)真正錯過重要信息的情況。

(3)已知方程ax2+ax=1是一個關(guān)于x的一元二次方程,則a的取值范圍是什么?

在問題串的引導(dǎo)下,學(xué)生思維由淺入深地獲得啟發(fā).一環(huán)接一環(huán)的教學(xué)活動的開展,使得學(xué)生不僅對一元二次方程的概念有了一定的理解,更重要的是掌握了概念學(xué)習(xí)的方法.學(xué)生在教師所創(chuàng)設(shè)的問題情境中,通過觀察、分析、表征與思考,循序漸進(jìn)地掌握了概念的本質(zhì),數(shù)學(xué)思維得到了良好的開發(fā).

2 公式、定理、性質(zhì)的教學(xué)

新課標(biāo)引領(lǐng)下的初中數(shù)學(xué)教學(xué)不再以應(yīng)試為主要教學(xué)目標(biāo),而要實現(xiàn)從知識型人才的培養(yǎng)向能力型人才的培養(yǎng)轉(zhuǎn)化.這就要求學(xué)生不僅要掌握基本的公式、定理與性質(zhì)等知識,還要領(lǐng)悟其中所蘊含的一些重要的數(shù)學(xué)思想與方法.教師可引導(dǎo)學(xué)生逐漸提升思維品質(zhì),將原有的認(rèn)知經(jīng)驗逐漸轉(zhuǎn)化為各項數(shù)學(xué)能力.

案例2“一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系”的教學(xué)

為了讓學(xué)生能在此教學(xué)過程中感知數(shù)學(xué)思想方法的形成與發(fā)展過程,筆者設(shè)計了以下三個層次的教學(xué)活動,以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力.

2.1 利用引例,激活思維

問題1解以下方程:①x2-4x+5=0,y2-4y+5=0;②3x2-4x-3=0,3y2-4y-3=0.以上兩組方程的解有沒有什么聯(lián)系?并說明理由.

經(jīng)過觀察,學(xué)生發(fā)現(xiàn)這兩組方程的未知數(shù)雖不一樣,但未知數(shù)相對應(yīng)的系數(shù)卻是一樣的.從解的結(jié)論來看,這兩組方程的根與系數(shù)的確存在一定的聯(lián)系.到底是怎樣的聯(lián)系呢?筆者在此基礎(chǔ)上呈現(xiàn)了具有階梯性的問題,以引發(fā)學(xué)生的探究,為學(xué)生思維的發(fā)展指明方向.

2.2 誘導(dǎo)探究,明確方向

為了誘導(dǎo)學(xué)生產(chǎn)生探究的欲望,可從二次項系數(shù)為1的方程開始討論,以發(fā)現(xiàn)其中存在的規(guī)律.

ax2+bx+c=0(a≠0)是一元二次方程的一般形式,它的根與系數(shù)究竟具有怎樣的聯(lián)系?請各位同學(xué)說說自己的看法,并證明自己的猜想.

問題2(1)猜想關(guān)于x的方程x2+ax+b=0的根與系數(shù)的關(guān)系.

訓(xùn)練過程中，程序遇到被勿分類的點，會沿著梯度下降的方向重新修改超平面的權(quán)重w1，w2和閾值b以適應(yīng)新的環(huán)境[19].訓(xùn)練反復(fù)迭代，直到所有樣本都被分類正確.感知機(jī)模型訓(xùn)練程序流程圖見圖4.

(2)若二次項系數(shù)不是1,以上猜想是否成立?

每個人受生活環(huán)境與認(rèn)知背景的影響,都有自己獨特的思維習(xí)慣,有些思維習(xí)慣根植于學(xué)生的大腦中難以改變.為了讓學(xué)生的思維跟上時代的發(fā)展與教學(xué)手段的革新,在解題教學(xué)中教師可示范例題解析過程,讓解題思路完全暴露在學(xué)生面前,鼓勵學(xué)生自主進(jìn)行觀察與分析,以激活思維,提升解題能力.

當(dāng)學(xué)生對一元二次方程的概念有了初步的認(rèn)識,筆者又從多個角度提出新的變式,供學(xué)生訓(xùn)練、探究.

3.3 呈現(xiàn)原形,獲得能力

習(xí)近平總書記指出，標(biāo)準(zhǔn)決定質(zhì)量，有什么樣的標(biāo)準(zhǔn)就有什么樣的質(zhì)量，只有高標(biāo)準(zhǔn)才有高質(zhì)量?；矢G景區(qū)能夠在短短幾年內(nèi)快速的發(fā)展，并得到社會的廣泛認(rèn)可，其標(biāo)準(zhǔn)化的實踐告訴我們，標(biāo)準(zhǔn)化已成為推進(jìn)科學(xué)發(fā)展，構(gòu)建生態(tài)文明，促進(jìn)社會和諧的重要保障，是政府參與服務(wù)業(yè)管理的有效抓手。

此教學(xué)活動與上個教學(xué)活動有著異曲同工之處,均是基于學(xué)習(xí)者猜想的基礎(chǔ)上提出自己的看法,但此過程更為深入,強(qiáng)調(diào)對根與系數(shù)關(guān)系的總結(jié)與提煉.想讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中獲得更多的能力,必然要鼓勵他們自主探索與發(fā)現(xiàn)一些問題的規(guī)律,并通過驗證來確定自己的猜想是否準(zhǔn)確.因此,教師的精心設(shè)計與引導(dǎo)具有重要意義.

3 解題教學(xué)

在應(yīng)用Slide軟件來研究邊坡的穩(wěn)定性時，使用垂直條塊極限平衡分析邊坡穩(wěn)定性，其為當(dāng)前世界巖土領(lǐng)域內(nèi)普遍認(rèn)可的一種計算軟件，可以準(zhǔn)確預(yù)測邊坡穩(wěn)定情況，找出危險系數(shù)最高的滑面并計算滑面的安全性。應(yīng)用Slide軟件，可采用不同的方法對邊坡的安全穩(wěn)定性進(jìn)行計算。

問題3(1)關(guān)于x的方程ax2+(3a-1)x+2a+3=0,當(dāng)a為何值時,該方程是一元二次方程?當(dāng)a為何值時,該方程是一元一次方程?

案例3“菱形”的教學(xué)

問題1如圖1,已知菱形ABCD的邊長是3 cm,∠DAB=120°,AC與BD分別為兩條對角線,交點為O,則菱形ABCD的面積是多少?

圖1

只要學(xué)生學(xué)過菱形面積的計算方法,解決此題就沒有什么困難.在學(xué)生獨立解決此問題時,筆者巡視并進(jìn)行個別指導(dǎo).當(dāng)學(xué)生順利完成此問題后,筆者以計算菱形面積的方法為基礎(chǔ),設(shè)計出幾個新的問題,以啟發(fā)學(xué)生的思維.

由于區(qū)塊鏈中節(jié)點眾多，節(jié)點地理分布較廣，且不同節(jié)點之間的通信存在延遲，因此需要一種算法決定新塊的記賬權(quán)以保證節(jié)點數(shù)據(jù)的一致性，這種算法被稱為共識機(jī)制[2]。共識機(jī)制以所有誠實節(jié)點數(shù)據(jù)保持一致為目標(biāo)，同時要求在節(jié)點互相平等的情況下明確記賬權(quán)的歸屬。由于共識機(jī)制的存在，用戶無需信任交易，另一方同時也無需信任第三方機(jī)構(gòu)即可完成交易。區(qū)塊鏈支持多種共識機(jī)制，這些共識機(jī)制在效率、安全性、資源消耗等方面各不相同，因此文章中我們著重探討了常見共識機(jī)制的發(fā)展歷史、效率以及安全性。

3.1 問題延伸,發(fā)展求異思維

問題2如圖2,以上求菱形面積的方法是否適用于矩形或平行四邊形?為什么?

“金沂蒙的產(chǎn)品之所以能夠取得這么好的口碑，是因為金沂蒙的產(chǎn)品有其獨特之處。”金沂蒙生態(tài)肥業(yè)副總經(jīng)理劉仲濤表示，首先，原料不一樣。金沂蒙選用進(jìn)口食品級木薯作為生物有機(jī)肥原料，無污染、無公害。其次，菌種不一樣。金沂蒙生物有機(jī)肥特別添加以高效廣譜芽孢桿菌為代表的生物菌群，菌種穩(wěn)定，每克數(shù)量≥10億個。再次，工藝不一樣。17道流程工藝，7級腐熟，道道工序都有嚴(yán)格操作要領(lǐng)和技術(shù)要求。80℃以上高溫消滅有害物質(zhì)，有機(jī)質(zhì)含量最高可達(dá)70%。最后，原料、菌種、工藝不一樣，功效和品質(zhì)自然也不一樣。

2013年，馬云卸任阿里巴巴集團(tuán)CEO，從那時起，阿里已經(jīng)經(jīng)歷了多次內(nèi)部的交接。2013年陸兆禧接任阿里巴巴集團(tuán)CEO，2015年張勇接任CEO，標(biāo)志著阿里“70后”合伙人全面掌權(quán)；2016年井賢棟出任螞蟻金服的CEO，并于2018年4月接任董事長。顯然，在阿里巴巴合伙人機(jī)制下，輪換交接是常態(tài)。不僅是阿里和螞蟻，阿里云、菜鳥等阿里體系的其他重要板塊也都完成了至少一次的管理團(tuán)隊更替。外界能夠清晰地感受到，阿里巴巴的戰(zhàn)略從未因人事上的變動而發(fā)生變化，而阿里巴巴的增長勢頭也始終強(qiáng)勁。馬云的接班人張勇，彭蕾的接班人井賢棟，都在合伙人群體這個人才儲備庫中誕生的。

圖2

3.2 揭露本質(zhì),發(fā)展探究思維

問題3如圖3,已知AC與BD為四邊形ABCD的兩條對角線,相交于點O,且AC⊥BD,以上求面積的方法是否適用于本題?為什么?

圖3

3.3 歸納提煉,發(fā)展整體思維

問題4請根據(jù)問題1～3,歸納出你所獲得的結(jié)論,并說一說這幾個問題的本質(zhì)是什么?涉及到哪些數(shù)學(xué)思想方法?

利用典型例題,引導(dǎo)學(xué)生逐層深入地進(jìn)行探究,不僅能增強(qiáng)學(xué)生對基礎(chǔ)知識與技能的掌握程度,還能拓展解題思路,增強(qiáng)思維的廣度,為培養(yǎng)創(chuàng)新意識與核心素養(yǎng)提供幫助.

IBM開發(fā)的Fabric[6]看到了另外一個生存空間，那就是避開以太坊，構(gòu)造聯(lián)盟鏈，在企業(yè)中運行。得益于IBM的代碼質(zhì)量和一貫良好的形象，F(xiàn)abric很快在聯(lián)盟鏈中占據(jù)了主導(dǎo)地位。Fabric的特點是不用密碼貨幣，轉(zhuǎn)而用節(jié)點背書，其中每個節(jié)點的身份可以識別，不誠實的節(jié)點需要付出代價。目前在大部分所謂落地的應(yīng)用中，例如：銀行、供應(yīng)鏈、積分、稅務(wù)等場景，無一例外地采用了聯(lián)盟鏈的模式。

總之,新課標(biāo)引領(lǐng)下的數(shù)學(xué)教學(xué)以培養(yǎng)學(xué)生形成高階思維為主要目的.逐層深入的教學(xué)過程,使得學(xué)生在逐層遞進(jìn)中感知、感悟并學(xué)會運用數(shù)學(xué)思想與方法,形成良好的探究習(xí)慣與思維方式,為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升奠定基礎(chǔ).