單元整體教學的一次嘗試
——“勾股定理(第1課時)”的課堂實錄

王 俊

? 江蘇省無錫市連元英和雙語實驗學校

作為單元的起始課,對整章知識起著統(tǒng)領與導向作用.做好單元整體教學,需要教師很好地做到三個理解(理解教材,理解學生,理解教學),然后落實到每個具體的教學活動環(huán)節(jié),整體設計,再分步驟實施,在整個過程中培養(yǎng)學生的核心素養(yǎng).下面結合“勾股定理第一課時”的課堂實錄及分析,來探討一下單元整體教學.

1 教材分析

“勾股定理(第1課時)”教學目標主要有兩個:(1)經歷探索勾股定理的過程,發(fā)展合情推理的能力,體會數(shù)形結合的思想;(2)能應用勾股定理求直角三角形中未知邊的長.前者需要花時間讓學生去探索,所以設計了讓學生在紙上多次操作驗證、觀看視頻等活動,引導學生去發(fā)現(xiàn)勾股定理蘊含的數(shù)與形的關系,以及學會如何發(fā)現(xiàn)與探索,形成學習的能力,這也是本課重點.

2 設計思路與意圖

本節(jié)課分六個環(huán)節(jié)來具體實施:

(1)導入直角三角形邊角的內部關系,讓學生建立形與數(shù)之間的對應關系.

(2)利用面積割補法解決問題,實現(xiàn)直角三角形面積與邊邊關系的轉化,初步感受三邊關系;進一步在網格中驗證其他直角三角形中相同結論的存在,實現(xiàn)特殊到一般的探索.

(3)運用類比思想,技能遷移,驗證銳角三角形和鈍角三角形中是否有同樣的三邊關系.這既是對前面勾股定理探索過程的再一次經歷,而且是主動經歷,也引出大膽猜想(勾股定理的逆定理),為后續(xù)學習作鋪墊.

(4)關于勾股定理的課外知識介紹,在傳播數(shù)學文化的同時,激發(fā)學生的興趣.

(5)利用勾股定理完成練習.

(6)師生小結,為下一課時作鋪墊.

3 課堂實錄及分析

3.1 導入直角三角形,建立對應關系

師:特殊的圖形其邊角具備特殊的內部關系,例如,直角三角形,我們已經學過它的內角之間的關系是什么呢?

生1:兩銳角互余.

師:除了角與角之間的關系,我們還能研究直角三角形各元素的什么關系呢?

生2:邊邊關系,邊角關系.

師:很好.關于直角三角形的邊角關系我們留待初三去探討.這一章,我們將探索直角三角形邊與邊的內部關系.你已經知道直角三角形的邊有什么樣的關系呢?

生3:兩邊之和大于第三邊.

師:很好.可是這一事實對所有三角形都適用,作為特殊的直角三角形,是否有更特殊的邊邊關系呢?

3.2 利用面積割補法實現(xiàn)面積與邊邊關系的轉化

在下列網格中,將小方格邊長看作1,完成下列問題:

備用圖

圖1中,四邊形ABMN是什么形狀?你會計算它的面積嗎?有哪些方法?

圖1

生1和生2上黑板講解“割”與“補”兩種方法.

師:剛剛兩位同學發(fā)現(xiàn)不能直接利用邊長的平方求正方形面積后,采用了割補法將面積進行轉化,這一轉化思想在后續(xù)第五章“函數(shù)”中也會經常用到.下面請大家利用割補法,完成探索部分的第1,2題.

3.3 運用類比思想,遷移技能

師:利用上面預習中的方法,計算圖2中正方形ABMN、正方形BCDE、正方形ACFG的面積,其面積依次是______,猜想它們之間有何關系?

圖2

生1:分別算出三個正方形的面積,得出9+16=25.

教師板書S1+S2=S3后,追問:線段AB,BC,AC之間有何關系?

生2繼續(xù)轉化,直至寫出BC2+AC2=BA2(板書).

師:大家通過數(shù)量關系,利用面積實現(xiàn)了邊邊關系的轉化.這很好地體現(xiàn)了轉化思想和數(shù)形結合思想(板書).那么,大家能否用語言組織一下BC2+AC2=BA2這一結論呢?

生3:直角三角形的兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.是否所有的直角三角形都具備這樣的三邊關系呢?如何驗證?

師:對于所有直角三角形,都能在網格中利用面積法來驗證“直角邊的平方和等于斜邊的平方”這一結論.

3.4 介紹勾股定理,傳播數(shù)學文化

師:其實,我們不僅可以在網格中探索這一結論,還可以利用現(xiàn)代化實驗來驗證.下面請同學們觀看視頻實驗(以直角三角形三邊為邊往外作正多邊形探索面積的變化),進一步提出猜想——以直角三角形的兩直角邊為邊長的兩個正多邊形的面積和等于以斜邊為邊長的正多邊形的面積.

3.5 利用勾股定理完成練習

黑板上出示問題,用勾股定理小試牛刀.學生通過小組合作來回答:

在△ABC中,已知∠C=90°及兩邊的長如下,求第三邊:①a=3,b=4;②a=3,c=5;③b=40,c=41.

(學生合作探究過程略.)

如圖3,銳角三角形和鈍角三角形的三邊是否也具備這樣的關系呢?模仿前面的方法,思考并探索.如果不符合,三邊又有怎樣的關系?

圖3

師:剛剛我們發(fā)現(xiàn)并在網格中驗證了勾股定理的正確性,大家有沒有想過,勾股定理是否也適用于銳角三角形和鈍角三角形呢?(教師停留幾秒.)

生1:不一定,有可能……

師:怎么才能確定呢?

生2:畫一畫,驗一驗,像剛剛那樣畫圖驗證.

師:請大家在網格紙中加以驗證,并組內討論.

學生嘗試畫圖并組內討論(大部分同學還是可以獨立完成的).

師:結論是什么呢?

生4:銳角三角形中是BC2+AC2>BA2,鈍角三角形中是BC2+AC2

師:同學們很厲害!看來勾股定理確實只適用于直角三角形.我們又可以做怎樣的大膽猜想呢?

生5:反過來,如果三邊滿足BC2+AC2=BA2,可以得到△ABC是直角三角形.

師:確實,這就是勾股定理的逆定理(板書),這也是第三課時我們將要去深入研究的.

師:同學們通過在網格中構建圖形,或者用實驗去演示,發(fā)現(xiàn)了勾股定理.其實,早在五百多年前,就有古人研究并發(fā)現(xiàn)了勾股定理.

老師介紹畢達哥拉斯定理和我國的勾股弦以及“勾3股4弦5”的歷史.(展示畢達哥拉斯郵票圖片,板書.)

師:下面我們就用這個發(fā)現(xiàn),去解決問題吧.

利用勾股定理,完成書本第79頁練習1,2.

3.6 師生小結

師:通過上面的練習,我們再次發(fā)現(xiàn),有了勾股定理,就能實現(xiàn)直角三角形圖形內部的數(shù)量關系,解決三角形邊邊關系,這正是勾股定理的重要應用(板書),這也為以后用代數(shù)方法解決幾何問題提供了有效的工具.

4 對單元整體設計的認識

單元整體教學是一種教學理念,目的是讓教師從高處俯視教學的每一個觸角,將它們用一條無形的線串聯(lián)起來,形成一個有機整體.在實施“單元整體”教學的過程中,教師要注重對教學內容進行結構化整合,探索、鋪設適合發(fā)展學生核心素養(yǎng)的路徑.根據(jù)新課程標準的要求,尤其要重視數(shù)學結果的探索和形成過程.漫漫教學路,教師唯有不斷探索創(chuàng)新,才能與時俱進,與學生共成長.只有教師有整體的的眼光、更大的視野,才能引領學生一起走進數(shù)學的世界,打開數(shù)學之門.Z