數(shù)形結(jié)合思想在初中函數(shù)解題中的應(yīng)用

姜靜怡

摘要：函數(shù)部分是中考考查的熱點(diǎn)，也是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重難點(diǎn).根據(jù)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》，中考關(guān)于函數(shù)考查的題目比例有所增加，其中應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想解決的問(wèn)題較多，給學(xué)生帶來(lái)了一定的難度.本文中以此作為研究視角，立足初中函數(shù)解題教學(xué)，科學(xué)融入數(shù)形結(jié)合思想，借助圖形的輔助，將抽象思維和形象思維結(jié)合起來(lái)，最終將復(fù)雜的函數(shù)問(wèn)題簡(jiǎn)單化，幫助學(xué)生順利解決相關(guān)函數(shù)問(wèn)題.

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué);函數(shù);數(shù)形結(jié)合思想

1 利用數(shù)形結(jié)合思想解決函數(shù)概念問(wèn)題

學(xué)習(xí)函數(shù)，首先要明確函數(shù)的概念.這就要求學(xué)生能識(shí)別簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題中的常量、變量及其意義；能根據(jù)函數(shù)圖象分析出實(shí)際問(wèn)題中變量的信息，發(fā)現(xiàn)變量間的變化規(guī)律；能結(jié)合函數(shù)圖象分析簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題中的函數(shù)關(guān)系，進(jìn)而能初步推測(cè)變量的變化趨勢(shì).

例1?最近長(zhǎng)春市連降雨雪，某水庫(kù)水位上漲.圖1表示某一天的水位變化情況，0時(shí)的水位為警戒水位.結(jié)合圖象判斷下列敘[JP]述不正確的是（）.

A.8時(shí)水位最高

B.P點(diǎn)表示12時(shí)水位為0.6 m

C.8時(shí)到16時(shí)水位都在下降

D.這一天水位均高于警戒水位

解析：本題是一道典型的運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決函數(shù)概念的問(wèn)題.解題時(shí)要在具體情景的基礎(chǔ)上認(rèn)真審題，結(jié)合題目給出的圖象分析得出答案.

對(duì)于A選項(xiàng)，通過(guò)觀察圖象可知，在8時(shí)圖象縱坐標(biāo)最大為1.0.所以A選項(xiàng)正確.

對(duì)于B選項(xiàng)，在圖象中可以觀察到，P點(diǎn)對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)為12，縱坐標(biāo)為0.6.所以B選項(xiàng)正確.

在C選項(xiàng)中，提到了從8時(shí)到16時(shí)的水位問(wèn)題.通過(guò)觀察圖象可以發(fā)現(xiàn)，從8時(shí)到12時(shí)水位確實(shí)在不斷下降，但從12時(shí)到16時(shí)水位沒(méi)有發(fā)生變化.所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤.

D選項(xiàng)中提到這一天水位均高于警戒水位，即高于0時(shí)水位，觀察圖象可知D選項(xiàng)正確.

在解決本題時(shí)，教師要提醒學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想將圖象與題干對(duì)應(yīng)的信息聯(lián)系起來(lái)，進(jìn)而輕松解決問(wèn)題.

2 利用數(shù)形結(jié)合思想解決一次函數(shù)問(wèn)題

在學(xué)習(xí)一次函數(shù)的過(guò)程中，要十分注意數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用.要會(huì)畫一次函數(shù)的圖象，能根據(jù)圖象和表達(dá)式y(tǒng)=kx+b（k≠0）探索并理解k>0和k<0時(shí)圖象的變化情況，并且能夠根據(jù)已知條件結(jié)合以往學(xué)過(guò)的知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題.

例2 已知正比例函數(shù)y=2x的圖象上有一點(diǎn)B（m+2，m2－4），且點(diǎn)B在第一象限.

（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；

解析：（1）通過(guò)數(shù)形結(jié)合思想，利用待定系數(shù)法將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入正比例函數(shù)解析式，解方程即可求得m的值.將點(diǎn)B（m+2，m2－4）代入正比例函數(shù)解析式y(tǒng)=2x，得到2（m+2）=m2－4，解得m=4或-2.又因?yàn)辄c(diǎn)B在第一象限，所以m=4.故點(diǎn)B的坐標(biāo)為B（6，12）.

（2）算出△OBC的面積為36，結(jié)合正比例函數(shù)解析式設(shè)點(diǎn)P（a，2a），分兩種情況討論.

當(dāng)點(diǎn)P在線段OB上時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥BC于點(diǎn)D，如圖2，

則PD=6－a.

當(dāng)點(diǎn)P在射線BA上時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥BC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，如圖3，則PD=a－6.

綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，6）或（9，18）.

3 利用數(shù)形結(jié)合思想解決二次函數(shù)問(wèn)題

在初中函數(shù)的學(xué)習(xí)中，二次函數(shù)既是重點(diǎn)也是難點(diǎn)，更是中考的熱點(diǎn).中考對(duì)于二次函數(shù)考查的難度也在不斷增加，在解題中，要不斷融入數(shù)形結(jié)合思想才可以更加順利地解決相關(guān)問(wèn)題［1］.關(guān)于二次函數(shù)，主要考查其圖象問(wèn)題，包括圖象的開口方向、對(duì)稱軸以及二次函數(shù)的最大值和最小值并確定相應(yīng)的自變量的值，在此基礎(chǔ)上還要能夠解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)要更加關(guān)注二次函數(shù)解析式中各個(gè)字母代表的含義.

A.①②

B.②③

C.②④

D.③④

當(dāng)x=1時(shí)，由圖象知y=2，代入解析式得a+b+c=2，所以②正確.

當(dāng)x=-1時(shí)，y=a-b+c<0;由（a+b+c）-（a-b+c）>2，得b>1，所以④錯(cuò)誤.

綜上所述，B選項(xiàng)正確.

4 利用數(shù)形結(jié)合思想解決反比例函數(shù)問(wèn)題

反比例函數(shù)作為初中函數(shù)的重要組成部分，主要考查其函數(shù)解析式及函數(shù)圖象的應(yīng)用，明確當(dāng)k<0和k>0時(shí)反比例函數(shù)圖象的整體特征，并能基于此解決實(shí)際問(wèn)題.反比例函數(shù)知識(shí)點(diǎn)經(jīng)常與一次函數(shù)和二次函數(shù)相結(jié)合，并且解題方法也相對(duì)比較特殊.經(jīng)常借助交點(diǎn)求解三角形的面積.

（1）求k的值及點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（2）在y軸上有一點(diǎn)D（0，5），連接AD，BD，求△ABD的面積.

總而言之，函數(shù)是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個(gè)難點(diǎn)，它也是考試的重點(diǎn).對(duì)于學(xué)生在解決函數(shù)問(wèn)題的過(guò)程中經(jīng)常出現(xiàn)的一些錯(cuò)誤，要給予他們足夠的引導(dǎo)和啟發(fā)，在解答問(wèn)題的時(shí)候，將數(shù)形結(jié)合思想與問(wèn)題直觀融合起來(lái)，利用圖形的幫助，將抽象、復(fù)雜的函數(shù)問(wèn)題形象地展示出來(lái)，以便讓學(xué)生能夠更好地理清解題思路，從而更好地完成問(wèn)題的解答.與此同時(shí)，在數(shù)形結(jié)合思想的幫助下，學(xué)生也實(shí)現(xiàn)了對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)化，推動(dòng)了數(shù)學(xué)思維的發(fā)展，從而數(shù)學(xué)綜合素質(zhì)也得到了提高.總之，數(shù)形結(jié)合思想的合理應(yīng)用，對(duì)于初中數(shù)學(xué)函數(shù)解題具有很大幫助.因此，具體教學(xué)中，教師應(yīng)根據(jù)實(shí)際情況，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)合理的數(shù)學(xué)思維進(jìn)行解題.這樣才可以獲得更好的教學(xué)效果，促進(jìn)初中生數(shù)學(xué)學(xué)科的良好學(xué)習(xí)與發(fā)展[2].

參考文獻(xiàn)：

［1］楊遠(yuǎn)鴻.數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用——以初中函數(shù)問(wèn)題為例[J].數(shù)理天地（初中版），2023（1）：52-53.

［2］曹峰.初中數(shù)學(xué)解題中的函數(shù)思想應(yīng)用策略[J].數(shù)理天地（初中版），2023（9）：26-27.