關(guān)聯(lián)：指向深度學(xué)習(xí)的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)實踐
——以“正比例”教學(xué)為例

浙江杭州市錢塘區(qū)月雅河小學(xué)（310000） 魯 琪

“正比例”是小學(xué)數(shù)學(xué)六年級“比例”單元中的內(nèi)容，具有抽象、復(fù)雜等特點，學(xué)生通過學(xué)習(xí)“正比例”，初步理解抽象思維和函數(shù)思想，為將來學(xué)習(xí)函數(shù)知識打下基礎(chǔ)。然而，學(xué)生在學(xué)習(xí)“正比例”的過程中，難免對概念認識不夠深刻，對核心內(nèi)涵模糊不清，遇到變式容易誤判，解決問題時不能主動關(guān)聯(lián)比例思想等。基于學(xué)生認知、情感、思維、應(yīng)用等發(fā)展狀況，筆者結(jié)合比例相關(guān)上下位知識、內(nèi)容特點及教學(xué)方式分析，梳理影響“正比例”教學(xué)效果的因素，具體如下。

整體意識不強，孤立看待學(xué)習(xí)內(nèi)容。課堂教學(xué)容易出現(xiàn)單獨化、碎片化狀態(tài)，導(dǎo)致學(xué)生覺得該內(nèi)容突兀、難以理解，無法在同類情境下判斷兩個量是否成正比例，不能形成關(guān)于比例的學(xué)科整體觀念。

思維程度偏淺，未能深入理解本質(zhì)。六年級學(xué)生的思維雖然以抽象邏輯思維為主，但這種思維程度還比較淺顯，仍與直觀經(jīng)驗相關(guān)。因此，在學(xué)習(xí)“正比例”時，學(xué)生難以深入思考其內(nèi)涵及意義，比如，為什么給出的數(shù)據(jù)只有幾組？為什么畫出的“正比例”的圖像是一條可以無限延長的射線？

應(yīng)用意識淡薄，缺少聯(lián)系生活實踐。雖然“比例”在生活中無處不在，但是由于其在生活中的呈現(xiàn)方式多樣，加之學(xué)生的生活經(jīng)驗相對有限，應(yīng)用意識比較薄弱，導(dǎo)致他們認為比例知識只能用于解決數(shù)學(xué)問題，不能應(yīng)用在其他領(lǐng)域。

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中，聯(lián)系無處不在且形式多樣，包括內(nèi)容層面、思想方法層面及數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用價值層面等。教學(xué)中應(yīng)注重引導(dǎo)學(xué)生在不同層面進行關(guān)聯(lián)，實現(xiàn)深度學(xué)習(xí)，發(fā)展核心素養(yǎng)。

一、縱觀·中觀·微觀：體悟?qū)W習(xí)進階過程的內(nèi)容關(guān)聯(lián)

數(shù)學(xué)教材中一個大概念被分割成多個小知識點，分布在不同學(xué)期、不同單元中。教師教學(xué)時要避免因單元及課時劃分等造成的知識斷層，應(yīng)以整體視角看待學(xué)習(xí)素材，把新知識融入知識體系中。

1.溯源縱觀：學(xué)段視角解構(gòu)

“數(shù)學(xué)是一門關(guān)系學(xué)?！边@是張奠宙教授在《小學(xué)數(shù)學(xué)研究》一書中提出的。意思是，數(shù)學(xué)中不同的知識、方法、思想有著密切的聯(lián)系。通過梳理教材可以發(fā)現(xiàn)，與正比例相關(guān)的前置知識，在第二、三學(xué)段均有出現(xiàn)，具體內(nèi)容見表1。

表1 第二、三學(xué)段“正比例”要素

由表1 可知，“正比例”并不是突然出現(xiàn)和單獨存在的?？梢哉f，“正比例”是小學(xué)階段“除法”“分數(shù)”“比”等內(nèi)容的升華。在教學(xué)時，整理概念目標和內(nèi)容，明確邏輯關(guān)系，注重關(guān)聯(lián)性，引導(dǎo)學(xué)生建立新的概念與學(xué)過的數(shù)學(xué)概念的聯(lián)系，讓學(xué)生對新概念自然地擴展提升。

2.截面中觀：單元視角解析

數(shù)學(xué)知識具有系統(tǒng)性和連貫性，新知識通常是在舊知識的某一連接點上生長的。因此，對于“正比例”的教學(xué)應(yīng)該立足于大單元視角，及時捕捉前置資源，提前滲透相關(guān)內(nèi)容。

【案例1】

“比例”單元第一課時“比例的意義”引入大小不同的國旗。它們的長、寬不同，但都是標準的。為什么它們看起來大小不同，形狀卻完全一樣？通過這個問題引導(dǎo)學(xué)生從國旗的長、寬進行對比。經(jīng)過計算，學(xué)生發(fā)現(xiàn)三面國旗的長、寬之比相等。

作為單元第一課，教材提供的例題是生活中常見的“正比例”知識的應(yīng)用。雖然此時學(xué)生沒有正式學(xué)習(xí)“正比例”知識，但是在解決問題的過程中，需要利用已有經(jīng)驗對相關(guān)的量進行充分對比。教師要引導(dǎo)學(xué)生感受比相等的內(nèi)涵。比相等即比值相等，這是“正比例”的本質(zhì)屬性。

3.落點微觀：課時視角解讀

具體到課時，教學(xué)重心無疑會放在“比值一定”這個本質(zhì)特征上。對于小學(xué)生來說，這是他們第一次正式接觸變量，從固定的量到變化的量，從研究單一量到研究兩個相關(guān)的量，是學(xué)生數(shù)學(xué)思維一次重大的飛躍。

【案例2】

課始，教師展示學(xué)生一年級和六年級時的照片，讓學(xué)生觀察、對比照片中的自己，說說感受。大家的身高、年齡、體重等都發(fā)生了很大的變化。教師引導(dǎo)學(xué)生理解，像年齡、身高、體重、時間等這些不斷變化的量叫變量。

教師出示汽車行駛路程簡圖，引導(dǎo)學(xué)生找“路程”和“時間”這兩個變量，并請學(xué)生簡單描述這兩個變量。學(xué)生會用“隨著……也……”等關(guān)聯(lián)詞來表達路程和時間的關(guān)系?！奥烦獭焙汀皶r間”這兩個量是有關(guān)系的，還會互相影響，這兩個變量叫相關(guān)聯(lián)的量。

用最常見的行程問題，讓學(xué)生交流并感受一個量變化，另一個量也隨之變化，從而清楚地認識“相關(guān)聯(lián)”，為理解“正比例”做好鋪墊。

二、過渡·遞進·交融：理解正比例概念建構(gòu)的思想關(guān)聯(lián)

“正比例”概念是對現(xiàn)實生活數(shù)量關(guān)系的抽象概括，是數(shù)學(xué)抽象邏輯思維的產(chǎn)物。小學(xué)生思維以直觀形象思維為主，對高度概括、抽象的“正比例”概念的理解容易流于表面，達不到深度學(xué)習(xí)的效果。因此，教學(xué)時，應(yīng)利用舊知識過渡、問題引領(lǐng)遞進、數(shù)形結(jié)合等方式建構(gòu)概念。

1.舊知過渡

從數(shù)的角度出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察數(shù)，找變化規(guī)律，并利用文字、算式、代數(shù)式等方式表達兩個變量之間的關(guān)系，達到理解概念的目的。

【案例3】

根據(jù)汽車加油的情境，讓學(xué)生描述“總價”和“加油量”的變化情況。學(xué)生從橫向觀察數(shù)據(jù)的變化情況，發(fā)現(xiàn)總價與加油量的變化情況相同，并且總價÷油量=6，也就是汽油的單價不變（如圖1）。

圖1

從表格中找規(guī)律是學(xué)生熟悉和擅長的。教師引領(lǐng)學(xué)生，不僅找“商相同”這個規(guī)律，也不忽視橫向上的規(guī)律，一個量增加，另一個量也隨之增加，學(xué)生充分感受橫向?qū)Ρ葧r兩個變量變化的關(guān)聯(lián)性和一致性，加強對兩個變量的關(guān)聯(lián)性的理解。

2.問題遞進

根據(jù)難點，教師設(shè)置不同梯度的問題。對內(nèi)容、方法、思路、表達等方面的追問，讓學(xué)生的思維外顯，自然搭建知識學(xué)習(xí)梯度，避免了學(xué)生因被動學(xué)習(xí)而對概念理解不足的情況。

【案例4】

（1）如果加油量是80 升，在不計算的前提下，推測總價對應(yīng)的點可能是哪一個？（如圖2）

圖2

（2）想象，如果這樣的點足夠多，會呈現(xiàn)怎么樣的圖？

借助有梯度的問題，提供良好的學(xué)習(xí)任務(wù)，幫助學(xué)生進入學(xué)習(xí)情境，激發(fā)學(xué)習(xí)動機，逐步完成“正比例”圖像的構(gòu)建。

在早教方式上，線下課程是大多數(shù)年輕父母的首選，只有31%的父母接受線上課程。線上課程里，最受歡迎的是音樂課和語言課。一線城市偏愛語言課，特別是上海，比例高達93%；五線城市最愛音樂課，整體占比為80%。

3.數(shù)形交融

讓學(xué)生會用數(shù)學(xué)語言表達現(xiàn)實世界，是教學(xué)目標之一。學(xué)生在用數(shù)表征“正比例”概念時，初步感知量的連續(xù)變化，初步感受兩個變量的比值一定。在進行“形”的補充中，深挖圖像背后的意義。數(shù)與形兩種數(shù)學(xué)語言對比、交融，讓深度學(xué)習(xí)發(fā)生。

【案例5】

觀察圖像（如圖3），思考：這條線會拐彎嗎？圖中橫軸表示一個變量，縱軸表示另一個變量，不變的量在哪里？

圖3

此環(huán)節(jié)將數(shù)的表征和圖的表征進行對比和融合。結(jié)合多媒體動態(tài)的演示，學(xué)生發(fā)現(xiàn)兩個變量的比值反映在圖上是一個個點。隨著點的不斷增加，形成方向不變的直線。學(xué)生能清晰地感受到，隨著一種量增加，另一種量也在不斷增加，兩個變量比值對應(yīng)的點所在的直線不斷向上延伸。學(xué)生經(jīng)歷了直觀到抽象的過程，深刻理解了“正比例”和“比值一定”的本質(zhì)屬性。

三、對比·結(jié)構(gòu)·延伸：實現(xiàn)模擬社會實踐的價值關(guān)聯(lián)

深度學(xué)習(xí)讓學(xué)生形成自覺發(fā)展的核心素養(yǎng)，讓學(xué)生的成長從提高解答試題的能力轉(zhuǎn)向提高解決問題的能力。具體的知識作為解決問題的工具被探索、被發(fā)現(xiàn)的過程，就是實現(xiàn)深度學(xué)習(xí)的過程。

1.對比式溝通

判斷兩個變量是否成正比例，主要看這兩個量的比值是否一定。讓學(xué)生明確研究方向是兩個變量的比值。

【案例6】

學(xué)生通過辨析，得出圓周長和直徑的比值是一定的，因此兩者成正比例。正方形周長和邊長的比值是一定的，因此兩者成正比例。正方形面積與邊長的比值不是一定的，因此不成正比例。

此環(huán)節(jié)選取對比性較強的素材。因此，學(xué)生在對比、辨析中鞏固了“比值一定”這一概念核心。

2.生活化結(jié)構(gòu)

學(xué)生在面對陌生、復(fù)雜的真實問題時，所表現(xiàn)出的能夠創(chuàng)造性地分析、較快形成解決思路、迅速進行決策、快速整合資源解決問題的可遷移素養(yǎng)是學(xué)科育人的追求。教學(xué)中，要及時激活鏈接，讓學(xué)生經(jīng)歷知識的遷移。

【案例7】

有什么辦法可以測量出學(xué)校旗桿的高度呢？

學(xué)生想到旗桿旁邊的小樹和影子，通過計算小樹的實際高度和影長的比值，再測量旗桿的影長，進而求出旗桿的長度。

旗桿是學(xué)生熟悉的物體，知道直接測量旗桿高度的不便性，因此想到用正比例知識解題。學(xué)生分析問題，關(guān)聯(lián)知識，遷移應(yīng)用等能力和素養(yǎng)，正是在解決問題的過程中逐步實現(xiàn)的，這就是深度學(xué)習(xí)的意義。

3.延伸性思考

學(xué)生提出問題、理解問題、解決問題及產(chǎn)生新問題的過程，就是獲得知識的過程，也是深度學(xué)習(xí)的過程。在真實的生活中，許多正比例關(guān)系只有在嚴格的條件限制中才能成立。

【案例8】

解決問題：在科學(xué)課上我們見過彈簧秤，如果把彈簧的長度與所掛砝碼的質(zhì)量這兩種變量用圖表示，你覺得應(yīng)該是怎樣的？進一步思考——這條線可以向一端無限延長嗎？

學(xué)生知道彈簧是有彈性的，可以得出在彈性限度內(nèi)，所掛物體質(zhì)量和彈簧拉伸長度成正比例關(guān)系。在教師的提醒下，延伸思考，不難得出：如果掛的物體太重，超過了彈簧的最大承受力，彈簧就不會再伸長了，因此表示彈簧的長度這條線也不會無限延長。

生活中很多數(shù)量變化往往在一定范圍內(nèi)。在對上述現(xiàn)象的反思中，學(xué)生感受到數(shù)據(jù)變化的受限性。像這樣借助生活來理解數(shù)學(xué)知識，對學(xué)生多角度思考數(shù)學(xué)問題大有裨益，能促進學(xué)生形成求真、求實的思想品質(zhì)。

通過學(xué)習(xí)內(nèi)容基于整體視角的深度關(guān)聯(lián)，學(xué)生感受到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)之“根”；通過學(xué)習(xí)過程中基于數(shù)學(xué)思想的深度關(guān)聯(lián)，學(xué)生領(lǐng)悟到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)之“魂”；通過應(yīng)用價值實踐探究的深度關(guān)聯(lián)，學(xué)生體會到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)之“利”。教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中要以“深度關(guān)聯(lián)”為抓手，探索教學(xué)新樣態(tài)，讓深度學(xué)習(xí)自然發(fā)生。