具身操作體驗，感悟度量本質
——以五年級下冊“長方體和正方體的體積”教學為例

廣西南寧市江南小學華府校區(qū)（530011） 胡曉英

在《義務教育數(shù)學課程標準（2022 年版）》中，“圖形的認識”和“圖形的測量”被整合為“圖形的認識與測量”主題。這個主題包括圖形的認識以及圖形長度、角度、周長、面積和體積的測量和計算。“圖形的認識與測量”具有內在的聯(lián)系，教師應強調從整體角度認識圖形和測量，通過使用統(tǒng)一的度量單位來理解概念。這樣可以幫助學生真正體會到統(tǒng)一度量單位的重要性和一致性，并能夠通過度量單位來理解圖形的長度、角度、周長、面積和體積，凸顯度量的本質關聯(lián)，形成知識鏈。

在小學階段的“圖形與幾何”領域中，“長方體和正方體的體積”通常被視為相對較難的內容。然而，教材普遍將這一內容分為兩個階段來編排。一年級上冊的教學主要是初步認識，側重于直觀感知和辨認，讓學生能夠理解基本概念。而五年級下冊的教學則是再認識，著重系統(tǒng)教授長方體和正方體的相關知識，同時培養(yǎng)學生的空間想象能力。（如圖1-1、1-2）

圖1-1 “初步認識”教材內容

圖1-2 各版本教材的知識點

長方體和正方體是小學數(shù)學中最常見、最基本的立體圖形。學習“長方體和正方體的體積”之前，學生對此已經具有一定的整體感知和直觀形象的認識體驗，并掌握了體積的概念和常用的體積單位（如圖1-3）。因此，這一節(jié)課旨在讓學生進一步探究和掌握長方體和正方體的體積計算方法，學會使用體積公式計算這些立體圖形的體積，從而不斷深化對體積概念和體積單位的理解，同時為下一階段的圓柱、圓錐的體積計算學習奠定基礎。

圖1-3 單元知識結構圖

五年級的學生已經具備了一定的推理能力和空間想象能力，已經學習了長方體和正方體的特征、展開圖，理解了體積的含義，認識了體積單位，還會計算這些立體圖形的表面積。然而，他們尚未建立起關于立體圖形體積計算的模型，因此在推導體積公式和建立不同知識點之間的聯(lián)系方面可能存在難度。在這個階段，學生的思維發(fā)展正逐漸從形象思維轉向抽象思維，他們正在逐漸具備從抽象層面思考問題的能力。然而，對于長方體的體積公式的推導和不同知識點之間的聯(lián)系，學生可能需要更多的指導。

針對以上情況，筆者把教學重點和難點放在探究為什么“長方體體積=長×寬×高”上，找準單位度量“承重墻”，打通不同領域、不同維度之間的“隔斷墻”。

【教學目標】

1.經歷探索長方體、正方體的體積計算方法的推導過程，理解并掌握長方體、正方體的體積公式，以及體積公式的推導方法，能運用體積公式解決一些生活中簡單的實際問題。

2.通過觀察猜測、具身操作、小組驗證和辨析歸納等數(shù)學活動，積累數(shù)學活動經驗，發(fā)展空間觀念和類比推理的能力，感悟度量的本質。

3.在探索、合作活動中，學會與人交流、合作，形成樂于探索新知的思維品質。

【教學重點】理解并掌握長方體和正方體的體積計算方法。

【教學難點】探究為什么“長方體體積=長×寬×高”。

【教學設計】

一、激活經驗，提出想法

1.勾連長度、面積，理解“度量”的意義

師（出示圖2）：這條線段的長度有多少米？你是怎么知道的？

圖2

師（出示圖3）：小正方形的面積是1平方厘米，長方形的面積是多少？

圖3

師：要想知道長方體的體積，你有什么好建議？

師：線段的長度是它含有的“長度單位”的數(shù)量，平面圖形面積的大小是它含有的“面積單位”的數(shù)量，那立體圖形體積的大小是不是它含有的“體積單位”的數(shù)量呢？

【設計意圖：通過長度、面積的鋪墊，學生能想到“利用邊長為1 厘米的小正方體擺出長方體，從而測量出長方體體積”的方法?！?/p>

2.探究長方體的體積與長、寬、高的關系

師：猜想長方體的體積大小與長方體的長、寬、高之間有什么關系。

師：猜測影響長方體體積大小的是什么因素。數(shù)學是一門以嚴謹著稱的學科，光有猜想可不夠呢，還得進一步驗證才行。

二、逐級探究，明確算理

1.初探：實踐操作，充分感悟

出示小組合作活動要求：

A.動手操作：用1 立方厘米的小正方體擺一擺、拼一拼，得出3個不同的長方體。

B.觀察記錄：邊擺邊數(shù)，把3 個不同長方體的相關數(shù)據(jù)填入學習單（略）中。

C.總結討論：拼成的長方體所含體積單位的個數(shù)可能等于多少？長、寬、高與拼成的長方體的每行個數(shù)、每層行數(shù)、層數(shù)之間有什么關系？長方體的體積和長方體的什么有關？有怎樣的關系？

2.再探：匯報展示，溝通難點，理解本質

生1：每一排都有4 個小正方體，共有2排，列式為4×2=8，從而知道每一層都有8個小正方體，共有2 層，8×2=16，拼成的長方體由16 個小正方體組成，體積是16 立方厘米。我們組發(fā)現(xiàn)長方體的體積與長、寬、高之間的關系是長方體的體積等于長×寬×高。

生2：每行個數(shù)相當于長，每層行數(shù)相當于寬，層數(shù)相當于高，小正方體數(shù)量等于“每行個數(shù)×每層行數(shù)×層數(shù)”，那么體積就等于“長×寬×高”。

師（動畫呈現(xiàn)拼長方體過程）：長方體的長相當于每行個數(shù)，寬相當于每層行數(shù)，“長×寬”表示一層的個數(shù)，高表示層數(shù)。因為長方體所含體積單位的數(shù)量（即小正方體的數(shù)量）就是長方體的體積，而“小正方體的數(shù)量=每行個數(shù)×每層行數(shù)×層數(shù)”，所以“長方體的體積=長×寬×高”。

【設計意圖：現(xiàn)場統(tǒng)計學生的實踐數(shù)據(jù)，利用圖表分析實際情境與數(shù)學問題，探索解決問題“長方體的體積為什么等于長×寬×高”的思路。這一環(huán)節(jié)培養(yǎng)了學生的幾何直觀與數(shù)據(jù)意識?！?/p>

3.遷移認知，再學新知

師（出示圖形轉化的視頻）：正方體就是比較特殊的長方體，它的長、寬、高的長度都相等，也就是棱長長度相同。類比推理得出“正方體的體積=棱長×棱長×棱長”。

生3：V=a×a×a=a3。

師：a3怎樣讀，它表示什么？

生4：三個a連續(xù)相乘，寫成a3，讀作a的立方。

4.歸納統(tǒng)一體積公式

師：長方體的體積也能用底面積乘高來計算。用字母S表示底面積，h表示高，用字母表示為V=Sh。

師：長方體的這兩個體積公式有什么聯(lián)系呢？

【設計意圖：練習環(huán)節(jié)有層次，既考查了學生對公式的靈活運用，又考查了學生是否仔細審題。最后的拓展題，是鼓勵學生用多種方法解決問題，而分層練習，能讓不同層次的學生體會到成功的快樂，從而保持旺盛的學習熱情?！?/p>

三、溝通三維，構建體系

師：有人說長度、面積和體積的測量方法是一樣的，你覺得呢？

師：測量，就是通過觀察數(shù)一數(shù)、通過動手量一量，再計算有多少個這樣的測量單位。

【設計意圖：度量的本質是度量單位個數(shù)的累加，這個環(huán)節(jié)讓學生溝通了三者的聯(lián)系，即長度是一維圖形的度量，面積是二維圖形的度量，體積是三維圖形的度量。從長度到面積再到體積的測量方法來進行系統(tǒng)的分析總結，度量的本質并沒有發(fā)生改變，充分體現(xiàn)了空間與幾何大單元教學理念中從線到面再到體的空間觀念的發(fā)展規(guī)律?！?/p>

四、適時小結，興趣延伸

師：這節(jié)課你有什么收獲？

師：先估計家里的一個長方體物品的體積或者一個房間的容積，再測量并計算。

【設計意圖：實踐作業(yè)讓數(shù)學知識回歸生活。讓學生利用身邊常見的長方體進行合理的估算，并做出合理的判斷，不僅給每位學生動手實踐、學以致用的機會，而且培養(yǎng)了學生的數(shù)感和空間想象能力，提高了學生解決問題的能力?！?/p>

【教后反思】

一、抓住“量”的本質，實現(xiàn)知識遷移

量感是人們對外部事物大小屬性的感知和直覺。小學生在沒有使用測量工具的情況下，可以根據(jù)經驗合理估計某個量的大小。

培養(yǎng)量感首先需要學生具備度量的意識，也就是用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界，尤其是觀察日常生活中的事物。其次，需要在真實情境中提出測量問題，引導學生用數(shù)學思維來思考現(xiàn)實世界，從而進行合理的估測。學生的猜測是他們對體積的初步感知，通過觀察和想象，學生逐漸將頭腦中的形象思維轉化為抽象思維。學生通過觀察一個長方體的長、寬、高的變化引起的體積變化，就能夠理解長方體的體積與這些因素之間的因果關系。教師還可以提出關鍵問題，例如“體積與長、寬、高有什么關系”，引導學生將思維從二維領域的“面”轉到三維領域的“體”。最后，通過動手擺弄和拼接來驗證學生的猜測。這個過程將體積的度量與長、寬、高的度量緊密結合，對幫助學生理解長方體體積的度量具有實際意義。通過“觀察—猜測—驗證—得出結論”的過程，學生逐步推導出了長方體的體積公式。同時，將估測和猜測相結合，能使學生真實地體驗量的形成過程。

二、動手操作，培養(yǎng)空間觀念

建立度量單位的概念是培養(yǎng)量感的基礎。度量單位是測量物體數(shù)學屬性的統(tǒng)一標準，只有統(tǒng)一的標準才能確保測量結果的一致性和統(tǒng)一性。培養(yǎng)量感的關鍵在于學會識別數(shù)量屬性，并能夠“創(chuàng)造”或選擇適當?shù)亩攘繂挝粊砹炕@些屬性，而不僅僅是知道用已有的度量單位來測量。在培養(yǎng)學生量感的過程中，可以通過復習舊知、深化理解，從學生已有的知識出發(fā)建立學習路徑。這個過程包括以下步驟：①復習舊知。通過回顧學生已經學過的知識，幫助他們感受度量知識的衍生性和其與舊知之間的聯(lián)系。②變量刻畫。引導學生將數(shù)量屬性與數(shù)學變量聯(lián)系起來，感知量的大小。③深度體驗。通過實際的操作和觀察，讓學生深入體驗“幾個單位”累加的感覺。④溝通三維。引導學生進一步理解三維度量，構建度量單位的體系。在這個過程中，學生通過親身操作和探究，建立了長方體的長、寬、高與體積之間的聯(lián)系。他們經歷了從一維測量（長度）到二維測量（面積）再到三維測量（體積）的過程，將“數(shù)”與“量”有機結合起來。最終，他們通過觀察和推導得出了長方體的體積計算公式。這個過程不僅是度量體積的過程，還是培養(yǎng)量感的過程，有助于發(fā)展學生的空間觀念。

培養(yǎng)量感是數(shù)學教學中的重要一環(huán)，通過實際操作和觀察，讓學生深刻理解數(shù)量屬性和度量單位的關系，從而更好地理解和運用數(shù)學知識。這種學習方式能讓數(shù)學學習更加生動和有趣。

三、對比分析，聚焦測量本質

量是可以通過測量得出的。測量體積的本質是使用體積單位進行測量，然后計算該物體所含體積單位的總數(shù)量；實際上是學生通過一定的計算得出這些體積單位的總數(shù)，用以描述測量對象的體積。在教學中，教師應側重讓學生經歷從“組合體積”“填寫數(shù)據(jù)”“數(shù)體積”到“計算體積”的過程，幫助他們理解體積與長、寬、高之間的關系。在解決日常生活中的簡單問題時，教師要強調度量的本質，從而將知識延伸和拓展到圓柱、圓錐的體積，以及容積概念，幫助學生能夠積累數(shù)學學習的基本經驗，提升量感。

課始通過長度和面積測量方法的引導，使學生不局限于解決長方體的體積問題，而是能理解長度、面積和體積之間的知識關系。這一過程有助于他們認識到數(shù)學圖形度量的本質是一致的：首先要使用相應的測量單位進行度量，然后計算測量單位的總數(shù)量，從而得出圖形的長度或大小。課程結束時，引導學生再次聚焦在“單位”這一測量的數(shù)學本質上，幫助學生在深度思考中厘清測量長度、面積和體積之間的經驗和聯(lián)系，即長度——一維圖形的度量，面積——二維圖形的度量，體積——三維圖形的度量。學生在學有所獲的同時，也能理解體積的測量本質是從長度和面積測量中延伸出來的，度量的本質是一脈相承的，進一步豐富了度量的內涵。