四元數(shù)偏移分?jǐn)?shù)階傅里葉變換的性質(zhì)及其應(yīng)用

楊河河, 馮 強

(延安大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)科學(xué)學(xué)院, 陜西 延安 716000)

分?jǐn)?shù)階傅里葉變換(fractional Fourier transform, FRFT)[1]是一種重要的時頻分析工具. 由于FRFT有1個自由參數(shù), 所以它比無參數(shù)的傅里葉變換(Fourier transform, FT)更加靈活, 并被廣泛用于求解微分方程[2]、信號分析與處理[3-4]和圖像處理[5-6]等．Hamilton[7]于1843年提出的四元數(shù)在數(shù)學(xué)、計算機(jī)與工程學(xué)等領(lǐng)域有重要的應(yīng)用．近年來, 眾多學(xué)者將經(jīng)典的積分變換拓展到四元數(shù)域, 并取得了一系列研究成果．Cheng等[8]研究了四元數(shù)傅里葉變換(quaternion Fourier transform, QFT)的Plancherel定理、反演定理以及四元數(shù)傅里葉變換的一些重要性質(zhì); El Haoui等[9]研究了雙邊四元數(shù)傅里葉變換的Benedicks等不確定性原理; Tefjeni等[10]定義了右邊四元數(shù)小波變換(quaternion wavelet transform, QWT), 研究了四元數(shù)小波變換的重要性質(zhì)及相關(guān)的不確定性原理; Xu等[11]定義了四元數(shù)分?jǐn)?shù)階傅里葉變換(quaternion fractional Fourier transform, QFRFT), 并研究了QFRFT的可逆性、線性性質(zhì)、奇偶不變性及可加性等性質(zhì), 推導(dǎo)出四元數(shù)分?jǐn)?shù)卷積定理、四元數(shù)分?jǐn)?shù)相關(guān)定理以及四元數(shù)分?jǐn)?shù)乘積定理; 付志遠(yuǎn)等[12]在四元數(shù)域上定義了分?jǐn)?shù)階傅里葉變換, 研究了該變換的平移、調(diào)制和Plancherel定理等性質(zhì)及其在微分方程中的應(yīng)用; Li等[13]研究了雙邊QFRFT與帕塞瓦爾恒等式的一些微分性質(zhì); Mei等[14]定義了雙邊加窗四元數(shù)分?jǐn)?shù)階傅里葉變換(quaternion windowed fractional Fourier transform, QWFRFT), 研究了QWFRFT的卷積定理以及加窗四元數(shù)分?jǐn)?shù)卷積算法及其復(fù)雜度分析．

偏移分?jǐn)?shù)階傅里葉變換(offset fractional Fourier transform, OFRFT)[15]是分?jǐn)?shù)階傅里葉變換的進(jìn)一步拓展, 由于OFRFT較FRFT多2個自由參數(shù), 所以在非平穩(wěn)信號處理中比FRFT更靈活．近年來, 雖然對四元數(shù)分?jǐn)?shù)階傅里葉變換的理論及其應(yīng)用的研究日趨活躍, 但是對四元數(shù)偏移分?jǐn)?shù)階傅里葉變換的研究仍處于零散狀態(tài). 由于四元數(shù)偏移分?jǐn)?shù)階傅里葉的微分性質(zhì)在求解微分方程中起著至關(guān)重要的作用, 所以從數(shù)學(xué)與工程的角度出發(fā), 有必要進(jìn)一步研究四元數(shù)偏移分?jǐn)?shù)階傅里葉變換的相關(guān)性質(zhì)及應(yīng)用．本文擬將偏移分?jǐn)?shù)階傅里葉變換拓展到四元數(shù)域, 通過定義左邊四元數(shù)偏移分?jǐn)?shù)階傅里葉變換, 討論其基本性質(zhì), 并將其應(yīng)用于研究一類線性偏微分方程的解．

1 預(yù)備知識

1.1 四元代數(shù)

設(shè)ei(i=1,2)是向量空間R2的標(biāo)準(zhǔn)正交基, 則四元數(shù)代數(shù)空間H的基是1,e1,e2,e12, 故H中任意元素q都可以表示為q=q0+e1q1+e2q2+e12q3, 其中q0,q1,q2,q3∈R, 且e1,e2,e12遵循如下法則:

將q的標(biāo)量部分記為q0=Sc(q), 矢量部分記為Vec(q)=e1q1+e2q2+e12q3, 則四元數(shù)p,q的乘法為

qp=q0p0-Vec(q)·Vec(p)+q0Vec(p)+p0Vec(q)+Vec(q)×Vec(p)．

下面給出與四元數(shù)有關(guān)的一些重要定義和引理．

定義1設(shè)L1(R2;H),L2(R2;H),S(R2;H)為3個四元數(shù)值的函數(shù)空間,其中

S(R2;H)={f|f∈C∞(R2;H), supx∈R2(1+|x|k)|?αf(x)|<+∞},

定義2設(shè)函數(shù)f,g:R2→H, 則f與g的內(nèi)積與標(biāo)量積分別定義為

引理4[16]設(shè)f1,f2∈L2(R2;H),則有

1.2 四元數(shù)分?jǐn)?shù)階傅里葉變換

定義5設(shè)f∈L2(R2;H), 則f(x)的左邊四元數(shù)分?jǐn)?shù)傅里葉變換定義為

2 主要結(jié)果

定義6設(shè)四元函數(shù)f∈L1(R2;H), 且ei是一維向量,i=1,2,θi≠niπ, 則左邊四元數(shù)偏移分?jǐn)?shù)階傅里葉變換定義為

定義7設(shè)f∈L1(R2;H), 則左邊四元數(shù)偏移分?jǐn)?shù)階傅里葉變換的逆變換定義為

下面給出QOFRFT與QFT的相互關(guān)系．

下面探究左邊四元數(shù)偏移分?jǐn)?shù)階傅里葉變換的基本性質(zhì)．

定理9設(shè)f1,f2∈L1(R2;H), 常數(shù)a,b∈R, 則

下面討論左邊四元數(shù)偏移分?jǐn)?shù)階傅里葉變換的微分性質(zhì)．

定理11設(shè)f∈S(R2;H),有

其中i=1,2．

定理12設(shè)f∈S(R2;H),有

其中i=1,2．

同理, 當(dāng)i=2時, 結(jié)論類似可證．

其中i=1,2．

由定理13可得以下推論．

其中i=1,2.

定理15設(shè)f∈L1(R2;H), 則對于任意b∈Z+, 有

其中i=1,2．

其中i=1,2．

特別的, 當(dāng)f1=f2時, 可得以下推論．

證明 由范數(shù)的定義, 得

下面利用QOFRFT的微分性質(zhì)給出一類線性偏微分方程的顯式解．

在此式兩端取左邊四元數(shù)偏移分?jǐn)?shù)階傅里葉變換的逆變換, 得