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      方格紙中發(fā)現(xiàn)勾股定理

      2023-12-11 12:06:09
      初中生世界·八年級 2023年11期
      關(guān)鍵詞:方格紙方格直角

      趙維坤 整理

      據(jù)《周髀算經(jīng)》記載,公元前11世紀(jì),我們的祖輩就在生產(chǎn)實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)了“勾三股四弦五”的結(jié)論,這種結(jié)論用數(shù)學(xué)語言可以表述為:如果取勾的長度為3個(gè)單位,股的長度為4個(gè)單位,連結(jié)勾股兩端的這條“弦”的長度恰好為5個(gè)單位,那么勾、股兩條邊一定相互垂直。這就是我們常說的“商高定理”(其實(shí)是勾股定理的逆定理)。

      古人利用這個(gè)結(jié)論制造出了標(biāo)準(zhǔn)的測量工具——“矩”。有了“矩”,我們就能進(jìn)行準(zhǔn)確的測量。

      今天,我們利用方格紙來重新發(fā)現(xiàn)勾股定理。

      我們記下列圖形中每個(gè)小方格的邊長都為1。

      首先,我們在方格紙中畫出2條直角邊長分別為1、2的直角三角形(如圖1)。通過計(jì)算圖中3個(gè)正方形的面積,我們能發(fā)現(xiàn),直角三角形(陰影部分)的兩直角邊a、b和斜邊c之間的關(guān)系:c2=2ab+1及a2+b2=c2。

      繼續(xù)畫直角三角形(圖2—圖4),這兩個(gè)結(jié)論還成立嗎?

      要說明這兩個(gè)結(jié)論正確與否,我們還要進(jìn)行一般化證明。

      把上圖中的小方格背景撤去,并且隱去a、b的具體數(shù)值,在一般的直角三角形ABC中,已知∠ACB=90°,BC=a,AC=b,AB=c,a2+b2=c2是否同樣成立?(可以利用剛才計(jì)算斜邊上正方形面積的方法證明這一命題的正確性。)

      (作者單位:江蘇省鹽城市毓龍路實(shí)驗(yàn)學(xué)校)

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