把握特征　正確列舉

丁建生

概率是描述不確定現(xiàn)象的一種基本數(shù)學(xué)模型，“等可能條件下的概率” 研究的是一類特殊的隨機事件的概率。我們要想學(xué)好本章，關(guān)鍵在于正確理解概念，準確求出概率。

一、把握特征，理解概念

教材在“摸球試驗”“拋擲硬幣試驗”的基礎(chǔ)上給出了等可能性的概念。在此概念中，事件的隨機性、排斥性（有且只有其中的一個結(jié)果）是前提，而可能出現(xiàn)的結(jié)果有n個、結(jié)果出現(xiàn)的機會均等，即有限性、均衡性是兩個基本特征。依據(jù)這樣的特征，我們就可以判斷一些事件的結(jié)果是不是等可能的。如在問題“一個質(zhì)地均勻的正十二面體，12個面上分別有1—12這12個整數(shù)，拋擲這個正十二面體一次”中，朝上一面的數(shù)是1—12這12個整數(shù)中的任何1個數(shù)，這些結(jié)果的出現(xiàn)是等可能的；“出現(xiàn)朝上一面的數(shù)是奇數(shù)（1、3、5、7、9、11）”與“朝上一面的數(shù)是偶數(shù)（2、4、6、8、10、12）”這兩個事件的發(fā)生是等可能的；而“出現(xiàn)朝上一面的數(shù)是4的倍數(shù)（4、8、12）”與“出現(xiàn)朝上一面的數(shù)是6的倍數(shù)（6、12）”這兩個事件是不等可能的。

在八（下）“認識概率”一章中，我們通過大量重復(fù)試驗，得到某個隨機事件發(fā)生的頻率，用頻率的穩(wěn)定值估計其發(fā)生的概率。如在“拋擲圖釘試驗”中，當試驗次數(shù)很大時，“釘尖不著地”的頻率在0.61附近擺動，由此就估計“釘尖不著地”的概率為0.61。這一章我們研究的是等可能條件下的概率，其定義中有兩個顯著特征，就是試驗結(jié)果的有限性和等可能性。故我們要求一個事件發(fā)生的概率時，首先要判斷它是否滿足“有限性、等可能性”。教材4.3“等可能條件下的概率（二）”中，將轉(zhuǎn)盤等分、涂色，使無限個指針位置轉(zhuǎn)化成有限個，且每種結(jié)果都是等可能的，這樣就可求概率了。

二、正確列舉，求解概率

要求等可能條件下某個事件發(fā)生的概率大小，首先要把所有可能出現(xiàn)的結(jié)果一一列舉出來，列舉時要做到不重復(fù)、不遺漏。教材中介紹了兩種列舉方法：畫樹狀圖、列表格。當試驗結(jié)果分為兩步，并且所有等可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)較少時，運用這兩種方法都快速有效；當試驗結(jié)果分為兩步，但所有等可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)較大時，運用“表格”就更清晰、簡捷；當試驗結(jié)果分為三步或更多時，一般用“樹狀圖”更簡便。

例1 在一個隨機試驗中，有2個小球依次沿軌道滑落，分別隨機掉入軌道下方的甲、乙、丙這3個盒子中的某一個。求：（1）第一個小球掉入甲盒的概率；（2）甲盒至少接到1個小球的概率。

【解析】第（1）問的概率為[13]；第（2）問是兩步試驗，我們通過畫樹狀圖或列表（略），可以知道共有9種等可能的結(jié)果，其中符合題意的結(jié)果有5種，所以甲盒至少接到1個小球的概率為[59]。

概率的問題中，有的有“放回”“不放回”“至少”等表述，有的沒有，這就需要我們做好識別與判斷，將其“顯化”，否則容易出現(xiàn)差錯。

例2 現(xiàn)有甲、乙、丙三人組成的籃球訓(xùn)練小組，他們?nèi)酥g進行互相傳球練習(xí)，籃球從一個人手中隨機傳到另一個人記作傳球一次，共連續(xù)傳球三次。若開始時籃球在甲手中，求經(jīng)過連續(xù)三次傳球后，籃球傳回甲手中的概率。

【解析】此題本質(zhì)上是“不放回”且有“三次”的問題，故應(yīng)用畫樹狀圖的方法（略），可知共有8種等可能的結(jié)果，其中符合題意的結(jié)果有2種，因此所求概率為[14]。

數(shù)學(xué)概念都有其獨有的內(nèi)涵和特征。我們要體會每句話的含義，并學(xué)會提煉概括。只有這樣，我們才能正確理解和靈活運用。在用公式求概率時，我們首先要分析問題的本質(zhì)，運用分類思想列舉出所有等可能的結(jié)果，有時還需將表面上的“不等可能事件”轉(zhuǎn)化為“等可能事件”，唯此，才能逐步形成嚴謹、深刻等思維品質(zhì)。

（作者單位：南京師范大學(xué)第二附屬初級中學(xué)）